Guide de survie spé maths Première : formules, pièges, réflexes (gratuit, à imprimer)

Guide de survie · fiche 1/11

Algèbre

Suites numériques

🎯 En 30 secondes

Une suite, c'est une liste de nombres numérotés : $u_n$ . Deux familles à reconnaître au premier coup d'œil : arithmétique (on ajoute toujours le même nombre $r$ ) et géométrique (on multiplie toujours par le même $q$ ). Presque tout le chapitre tient dans ces deux modèles.

🧰 Les formules qui sauvent

Arithmétique : $u_{n+1}=u_n+r$ et $u_n=u_0+n\,r$
Géométrique : $u_{n+1}=q\,u_n$ et $u_n=u_0\,q^n$
Somme des entiers : $1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
Somme géométrique : $1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ (si $q\neq 1$ )
Sens de variation :étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$

⚡ Les réflexes

« on ajoute toujours $r$ » suite arithmétique de raison $r$
« on multiplie par $q$ » / « +5 % » géométrique de raison $q$ (1,05 pour +5 %)
« croissante ou décroissante ? » signe de $u_{n+1}-u_n$
somme de termes consécutifs formule de somme (compter les termes !)

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Confondre $u_n = u_0 + n\,r$ (départ $u_0$ ) et $u_n = u_1 + (n-1)\,r$ (départ $u_1$ ) : tout dépend du premier terme.
Croire qu'une géométrique de raison $q<1$ décroît toujours : si $u_0<0$ , elle croît.
Se tromper dans le nombre de termes d'une somme : de $u_3$ à $u_{10}$ , il y a 8 termes, pas 7.

🌺 En vrai : Un loyer qui augmente de 2 % par an : suite géométrique de raison 1,02 — au bout de 10 ans, ce n'est pas +20 %.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Calculer les termes d’une suite définie explicitement
★★★
La suite est définie par $u_n = 2n + 1$ . Combien vaut $u_3$ ?
Voir la correction
Réponse : 7
Définition : Une suite explicite se calcule en remplaçant $n$ par sa valeur.

Méthode : On remplace $n$ par $3$ dans $u_n = 2n + 1$ .

Calcul / Observation : $u_3 = 2 \times 3 + 1 = 7$ .

Conclusion : $u_3 = 7$ .
Exo 2 · Suites arithmétiques : raison et terme général
★★★
Une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ a pour terme général :
- A. $u_n = u_0 + nr$
- B. $u_n = u_0 \times r^n$
- C. $u_n = u_0 + r^n$
- D. $u_n = n r$
Voir la correction
Réponse : $u_n = u_0 + nr$
Définition : Dans une suite arithmétique on ajoute la raison $r$ à chaque terme.

Méthode : Au bout de $n$ étapes depuis $u_0$ , on a ajouté $n$ fois $r$ .

Calcul / Observation : $u_n = u_0 + nr$ .

Conclusion : $u_n = u_0 + nr$ .
Exo 3 · Suites géométriques : raison et terme général
★★★
Une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ a pour terme général :
- A. $u_n = u_0 \times q^n$
- B. $u_n = u_0 + nq$
- C. $u_n = u_0 + q^n$
- D. $u_n = q^{u_0}$
Voir la correction
Réponse : $u_n = u_0 \times q^n$
Définition : Dans une suite géométrique on multiplie par la raison $q$ à chaque terme.

Méthode : Au bout de $n$ étapes depuis $u_0$ , on a multiplié $n$ fois par $q$ .

Calcul / Observation : $u_n = u_0 \times q^n$ .

Conclusion : $u_n = u_0 \times q^n$ .

☑️ Je sais…

Passer du langage courant à l’écriture d’une suite
Calculer les termes d’une suite définie explicitement
Calculer les termes d’une suite définie par récurrence
Calculer des termes d’une suite avec un algorithme
Modéliser une situation par une suite (motif, dénombrement)
Suites arithmétiques : raison et terme général
Suites géométriques : raison et terme général
Taux d’évolution : croissance linéaire ou exponentielle
Étudier le sens de variation d’une suite
Calculer 1 + 2 + … + n et une somme arithmétique
Calculer 1 + q + … + qⁿ et une somme géométrique
Conjecturer la limite éventuelle d’une suite

Guide de survie · fiche 2/11

Algèbre

Second degré

🎯 En 30 secondes

Tout trinôme $ax^2+bx+c$ se résout avec un seul nombre : le discriminant $\Delta$ . Il dit combien de racines (2, 1 ou 0), puis la chaîne est toujours la même : racines → factorisation → signe. Le signe de $a$ dit dans quel sens s'ouvre la parabole.

🧰 Les formules qui sauvent

Discriminant : $\Delta=b^2-4ac$
Racines (si $\Delta>0$ ) : $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ ; si $\Delta=0$ : $x_0=-\dfrac{b}{2a}$
Factorisation : $a(x-x_1)(x-x_2)$
Forme canonique : $a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ , $\beta=f(\alpha)$
Signe :signe de $a$ à l'extérieur des racines, signe de $-a$ entre

⚡ Les réflexes

équation avec $x^2$ calculer $\Delta$
inéquation du 2ⁿᵈ degré racines + tableau de signe (jamais diviser par $x$ )
sommet, maximum, minimum $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ (forme canonique)
vérifier des racines $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ et $x_1 x_2=\dfrac{c}{a}$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Erreur de signe dans $b^2$ : si $b=-3$ , alors $b^2=9$ (jamais $-9$ ).
Si $\Delta<0$ , le trinôme n'a pas de racine mais il a un SIGNE : celui de $a$ , partout.
Oublier le facteur $a$ dans la factorisation $a(x-x_1)(x-x_2)$ .

🌺 En vrai : La trajectoire d'un ballon au stade : une parabole — le sommet est atteint en $x=-\frac{b}{2a}$ .

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Exo 1 · Calculer le discriminant d’un trinôme
★★★
Quelle est la formule du discriminant d'un trinôme $ax^2 + bx + c$ ?
- A. $\Delta = b^2 - 4ac$
- B. $\Delta = b^2 + 4ac$
- C. $\Delta = a^2 - 4bc$
- D. $\Delta = 4ac - b^2$
Voir la correction
Réponse : $\Delta = b^2 - 4ac$
Définition : Le discriminant d'un trinôme $ax^2 + bx + c$ est noté $\Delta$ .

Méthode : Il se calcule par la formule officielle.

Calcul / Observation : $\Delta = b^2 - 4ac$ .

Conclusion : $\Delta = b^2 - 4ac$ .
Exo 2 · Résoudre une équation du second degré
★★★
Quelle est la formule des racines quand $\Delta > 0$ ?
- A. $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
- B. $x = \dfrac{b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
- C. $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{a}$
- D. $x = -b \pm \sqrt{\Delta}$
Voir la correction
Réponse : $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
Définition : Quand $\Delta > 0$ , les deux racines sont données par une formule générale.

Méthode : On utilise $-b$ , $\pm\sqrt{\Delta}$ et $2a$ .

Calcul / Observation : $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

Conclusion : $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ .
Exo 3 · Factoriser un trinôme (racine évidente, somme/produit)
★★★
Si un trinôme $ax^2 + bx + c$ a pour racines $x_1$ et $x_2$ , sa forme factorisée est :
- A. $a(x - x_1)(x - x_2)$
- B. $(x - x_1)(x - x_2)$
- C. $a(x + x_1)(x + x_2)$
- D. $a(x - x_1) + (x - x_2)$
Voir la correction
Réponse : $a(x - x_1)(x - x_2)$
Définition : Quand un trinôme a deux racines, il se factorise avec ces racines.

Méthode : Il faut conserver le coefficient dominant $a$ .

Calcul / Observation : $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .

Conclusion : $a(x - x_1)(x - x_2)$ .

☑️ Je sais…

Calculer le discriminant d’un trinôme
Résoudre une équation du second degré
Lire racines et signe sur une forme factorisée
Factoriser un trinôme (racine évidente, somme/produit)
Utiliser la somme et le produit des racines
Trouver un trinôme s’annulant en deux nombres donnés
Forme canonique, sommet et axe de symétrie
Obtenir la forme canonique par complétion du carré
Étudier le signe d’un trinôme
Résoudre une inéquation du second degré
Choisir la forme adaptée (développée, canonique, factorisée)

Guide de survie · fiche 3/11

Analyse

Dérivation

🎯 En 30 secondes

Dériver, c'est mesurer la vitesse instantanée de variation. Le nombre dérivé $f'(a)$ est la pente de la tangente au point d'abscisse $a$ . On connaît les dérivées usuelles par cœur, puis trois règles (somme, produit, quotient) font tout le reste.

🧰 Les formules qui sauvent

Usuelles : $(x^n)'=n\,x^{n-1}$ ; $k'=0$ ; $(ax+b)'=a$
Inverse et racine : $\left(\tfrac1x\right)'=-\tfrac1{x^2}$ ; $(\sqrt x)'=\tfrac1{2\sqrt x}$
Produit : $(uv)'=u'v+uv'$
Quotient : $\left(\tfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
Tangente en $a$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$

⚡ Les réflexes

« pente », « tangente », « vitesse » nombre dérivé $f'(a)$
calculer $f'(a)$ dériver D'ABORD, remplacer $x$ par $a$ ENSUITE
produit ou quotient les formules $u'v+uv'$ — jamais $u'v'$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Confondre $f(a)$ (hauteur du point) et $f'(a)$ (pente de la tangente en ce point).
Croire que $(u\times v)'=u'\times v'$ : FAUX, c'est $u'v+uv'$ .
Remplacer $x$ par $a$ avant de dériver : on obtient une constante, dérivée nulle — absurde.

🌺 En vrai : Ta vitesse au compteur dans les lacets de Cilaos : un nombre dérivé. La moyenne du trajet ne dit rien du virage en cours.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Dérivées des fonctions carré, cube, inverse, racine
★★★
Quelle est la dérivée de $f(x) = x^2$ ?
- A. $f'(x) = 2x$
- B. $f'(x) = x$
- C. $f'(x) = 2$
- D. $f'(x) = x^3$
Voir la correction
Réponse : $f'(x) = 2x$
Définition : On applique $(x^n)' = n x^{n-1}$ .

Méthode : Ici $n = 2$ .

Calcul / Observation : $f'(x) = 2x^{1} = 2x$ .

Conclusion : $f'(x) = 2x$ .
Exo 2 · Taux de variation et pente d’une sécante
★★★
Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ s'écrit :
- A. $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$
- B. $\dfrac{f(b) + f(a)}{b - a}$
- C. $\dfrac{b - a}{f(b) - f(a)}$
- D. $f(b) - f(a)$
Voir la correction
Réponse : $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$
Définition : Le taux de variation mesure la variation moyenne entre deux points.

Méthode : On divise la variation des images par la variation des abscisses.

Calcul / Observation : $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ .

Conclusion : $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ .
Exo 3 · Équation de la tangente en un point
★★★
L'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est :
- A. $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
- B. $y = f(a)(x - a) + f'(a)$
- C. $y = f'(a)x + f(a)$
- D. $y = f'(a)(x + a) - f(a)$
Voir la correction
Réponse : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
Définition : La tangente a pour pente le nombre dérivé $f'(a)$ et passe par $(a ; f(a))$ .

Méthode : On écrit l'équation d'une droite de pente $f'(a)$ passant par ce point.

Calcul / Observation : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .

Conclusion : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .

☑️ Je sais…

Taux de variation et pente d’une sécante
Nombre dérivé comme limite du taux de variation
Calculer un nombre dérivé à partir de la définition
Interpréter f’(a) : vitesse instantanée, coût marginal
Lire f’(a) sur un graphique et tracer la tangente
Équation de la tangente en un point
Dérivées des fonctions carré, cube, inverse, racine
Dériver x ↦ xⁿ pour n entier relatif
Dérivée d’une somme et d’un produit
Dérivée d’un inverse et d’un quotient
Dériver x ↦ g(ax + b)
Valeur absolue : courbe et non-dérivabilité en 0

Guide de survie · fiche 4/11

Analyse

Variations et courbes

🎯 En 30 secondes

Le signe de $f'$ commande tout : $f'>0$ → $f$ monte, $f'<0$ → $f$ descend. Étudier une fonction = dériver, étudier le signe de $f'$ , dresser le tableau de variations. Un extremum se cache là où $f'$ s'annule en changeant de signe.

🧰 Les formules qui sauvent

Le lien clé : $f'>0$ sur $I$ ⟹ $f$ croissante sur $I$ (et inversement)
Extremum local : $f'(x_0)=0$ ET $f'$ change de signe en $x_0$
Plan d'étude :dériver → signe de $f'$ → tableau → extremums
Signe de $f'$ du 2ⁿᵈ degré : $\Delta$ et signe de $a$ (chapitre Second degré)

⚡ Les réflexes

« étudier les variations » je dérive, puis signe de $f'$
« maximum / minimum / optimiser » extremum : $f'$ s'annule en changeant de signe
problème d'aire, de coût, de volume poser la fonction, puis la dériver
« valeur du maximum » c'est $f(x_0)$ , pas $x_0$ (lire la question !)

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

$f'(x_0)=0$ ne suffit pas : pour $f(x)=x^3$ en 0, $f'$ s'annule SANS changer de signe → pas d'extremum.
Confondre le tableau de signe de $f'$ et le tableau de variations de $f$ (le second se déduit du premier).
Répondre $x_0$ quand on demande $f(x_0)$ , ou l'inverse.

🌺 En vrai : La crue d'une rivière pendant un cyclone : tant que la dérivée (le débit entrant) est positive, le niveau monte.

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Exo 1 · Lien entre signe de la dérivée et variations
★★★
Sur un intervalle où $f'(x) > 0$ , la fonction $f$ est :
- A. croissante
- B. décroissante
- C. constante
- D. nulle
Voir la correction
Réponse : croissante
Définition : Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

Méthode : Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, $f$ y croît.

Calcul / Observation : C'est la règle fondamentale dérivée ↔ variations.

Conclusion : $f$ est croissante.
Exo 2 · Dresser un tableau de variations
★★★
Dans un tableau de variations, une flèche montante signifie que la fonction est :
- A. croissante
- B. décroissante
- C. constante
- D. négative
Voir la correction
Réponse : croissante
Définition : Le tableau de variations représente le sens de variation par des flèches.

Méthode : Une flèche montante ↗ correspond à une croissance.

Calcul / Observation : Elle se place là où $f' > 0$ .

Conclusion : La fonction est croissante.
Exo 3 · Déterminer un extremum
★★★
Un extremum d'une fonction dérivable est atteint là où :
- A. $f'$ s'annule en changeant de signe
- B. $f$ s'annule
- C. $f' > 0$
- D. $f$ est négative
Voir la correction
Réponse : $f'$ s'annule en changeant de signe
Définition : Un extremum local correspond à un changement de sens de variation.

Méthode : La dérivée s'annule et change de signe à cet endroit.

Calcul / Observation : Si $f'$ passe de $+$ à $-$ : maximum ; de $-$ à $+$ : minimum.

Conclusion : $f'$ s'annule en changeant de signe.

☑️ Je sais…

Lien entre signe de la dérivée et variations
Reconnaître une fonction constante par sa dérivée
Dresser un tableau de variations
Lire les variations et les extremums sur une courbe
Déterminer un extremum
Tangente horizontale en un extremum
Résoudre un problème d’optimisation
Démontrer une inégalité à l’aide des variations
Étudier la position relative de deux courbes
Étudier un trinôme par la dérivation

Guide de survie · fiche 5/11

Analyse

Fonction exponentielle

🎯 En 30 secondes

$\exp$ est LA fonction égale à sa propre dérivée : $(e^x)'=e^x$ , avec $e^0=1$ . Toujours strictement positive, toujours croissante. Elle transforme les sommes en produits : $e^{a+b}=e^a e^b$ — toutes les simplifications viennent de là.

🧰 Les formules qui sauvent

Propriété clé : $e^{a+b}=e^a\,e^b$ ; $e^{-a}=\dfrac1{e^a}$ ; $\dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$
Puissance : $(e^a)^n=e^{na}$
Dérivées : $(e^x)'=e^x$ ; $(e^{kx})'=k\,e^{kx}$
Signe et sens : $e^x>0$ pour tout $x$ ; $\exp$ strictement croissante

⚡ Les réflexes

équation $e^u=e^v$ $u=v$ (l'exponentielle ne prend jamais deux fois la même valeur)
signe d'un produit avec $e^x$ seul l'autre facteur compte ( $e^x>0$ )
factoriser une expression en $e^x$ mettre $e^{kx}$ en facteur sans risque (jamais nul)
croissance de $t$ % par période modèle exponentiel / géométrique

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Écrire $e^{a+b}=e^a+e^b$ : FAUX — la somme devient un PRODUIT.
Croire que $e^x$ peut être négatif ou nul : jamais.
Dériver $e^{3x}$ en $e^{3x}$ : il manque le facteur 3 ( $(e^{kx})'=k\,e^{kx}$ ).

🌺 En vrai : Les moustiques après une semaine de pluie : croissance exponentielle — d'où l'urgence de la démoustication.

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Exo 1 · Relation fonctionnelle exp(x + y) = exp(x)exp(y)
★★★
À quoi est égal $e^{x} \times e^{y}$ ?
- A. $e^{x+y}$
- B. $e^{xy}$
- C. $e^{x-y}$
- D. $e^x + e^y$
Voir la correction
Réponse : $e^{x+y}$
Définition : L'exponentielle transforme les produits en sommes d'exposants.

Méthode : $e^{x} \times e^{y} = e^{x+y}$ .

Calcul / Observation : C'est la propriété fondamentale.

Conclusion : $e^{x+y}$ .
Exo 2 · Le nombre e et la notation eˣ
★★★
Avec la notation puissance, comment s'écrit $\exp(3)$ ?
- A. $e^{3}$
- B. $3e$
- C. $3^{e}$
- D. $e \times 3$
Voir la correction
Réponse : $e^{3}$
Définition : La notation $e^x$ remplace $\exp(x)$ : le nombre donné à la fonction devient l'exposant.

Méthode : $\exp(3)$ s'écrit donc $e^{3}$ .

Calcul / Observation : $3e$ voudrait dire $3 \times e$ , ce qui est tout autre chose : $e^3 \approx 20{,}1$ alors que $3e \approx 8{,}2$ .

Conclusion : $\exp(3) = e^{3}$ .
Exo 3 · Dérivée, signe et variations de l’exponentielle
★★★
Quelle est la dérivée de $f(x) = e^x$ ?
- A. $f'(x) = e^x$
- B. $f'(x) = x e^{x-1}$
- C. $f'(x) = e^{x-1}$
- D. $f'(x) = 1$
Voir la correction
Réponse : $f'(x) = e^x$
Définition : La fonction exponentielle est définie comme égale à sa dérivée.

Méthode : $(e^x)' = e^x$ .

Calcul / Observation : Avec $e^0 = 1$ .

Conclusion : $f'(x) = e^x$ .

☑️ Je sais…

Définition : l’unique fonction telle que f’ = f et f(0) = 1
Relation fonctionnelle exp(x + y) = exp(x)exp(y)
Le nombre e et la notation eˣ
Propriétés algébriques de l’exponentielle
Simplifier une expression avec l’exponentielle
L’exponentielle est strictement positive
Dérivée, signe et variations de l’exponentielle
Dériver t ↦ e^(kt)
Représenter t ↦ e^(kt) et t ↦ e^(−kt)
Reconnaître que la suite (e^(na)) est géométrique
Modéliser une croissance ou décroissance exponentielle

Guide de survie · fiche 6/11

Analyse

Fonctions trigonométriques

🎯 En 30 secondes

Le radian mesure un angle par la longueur d'arc : $\pi$ rad $=180°$ . Sur le cercle trigonométrique (rayon 1), $\cos x$ est l'abscisse et $\sin x$ l'ordonnée du point. Les valeurs remarquables par cœur + les angles associés = l'essentiel du chapitre.

🧰 Les formules qui sauvent

Conversion : $180°=\pi$ rad (degrés → radians : $\times\dfrac{\pi}{180}$ )
Identité : $\cos^2 x+\sin^2 x=1$
Valeurs (cos) : $0,\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2}$ → $1,\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac{\sqrt2}{2},\dfrac12,0$ (sin : l'ordre inverse)
Angles associés : $\cos(-x)=\cos x$ ; $\sin(-x)=-\sin x$
Périodicité : $\cos(x+2\pi)=\cos x$ ; $\sin(x+2\pi)=\sin x$

⚡ Les réflexes

un angle en degrés convertir en radians ( $\times\pi/180$ )
placer $\dfrac{5\pi}{6}$ sur le cercle partir de $(1;0)$ , tourner dans le sens inverse des aiguilles
angle associé ( $\pi-x$ , $-x$ …) dessiner le cercle et lire les symétries
$\sin x$ connu, $\cos x$ cherché $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ + signe selon le quadrant

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Calculatrice restée en degrés (ou en radians) : vérifier le mode AVANT de calculer.
Confondre $\cos$ (abscisse, axe horizontal) et $\sin$ (ordonnée, axe vertical).
Oublier le signe : au quadrant 2, $\cos<0$ et $\sin>0$ .

🌺 En vrai : Les alizés qui s'enroulent autour de l'anticyclone des Mascareignes : les modèles météo comptent ces angles en radians.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Radian et conversion avec les degrés
★★★
Combien de degrés vaut $\pi$ radians ?
Voir la correction
Réponse : 180
Définition : Le radian est l'unité d'angle liée à la longueur d'arc.

Méthode : Un tour complet vaut $2\pi$ rad $= 360°$ .

Calcul / Observation : Donc $\pi$ rad $= 180°$ .

Conclusion : $\pi$ rad $= 180°$ .
Exo 2 · Enrouler la droite numérique : image d’un réel
★★★
Quel est le point image du réel $0$ sur le cercle trigonométrique ?
- A. $I(1 ; 0)$
- B. $O(0 ; 0)$
- C. $(0 ; 1)$
- D. $(-1 ; 0)$
Voir la correction
Réponse : $I(1 ; 0)$
Définition : L'enroulement part toujours du point $I(1 ; 0)$ , à droite du cercle.

Méthode : Pour $x = 0$ , l'arc à parcourir a une longueur nulle : on ne bouge pas.

Calcul / Observation : L'image de $0$ est donc $I$ lui-même. Attention à ne pas répondre $O(0 ; 0)$ : le centre n'est pas sur le cercle.

Conclusion : L'image de $0$ est le point $I(1 ; 0)$ .
Exo 3 · Valeurs remarquables de cosinus et sinus
★★★
Combien vaut $\cos(0)$ ?
Voir la correction
Réponse : 1
Définition : En $0$ , le point du cercle est $(1 ; 0)$ .

Méthode : Le cosinus est l'abscisse de ce point.

Calcul / Observation : $\cos(0) = 1$ .

Conclusion : $\cos(0) = 1$ .

☑️ Je sais…

Radian et conversion avec les degrés
Longueur d’un arc sur le cercle trigonométrique
Enrouler la droite numérique : image d’un réel
Cercle trigonométrique et placement d’un point
Cosinus et sinus d’un réel comme coordonnées
Lien avec le cosinus et le sinus du triangle rectangle
Valeurs remarquables de cosinus et sinus
Angles associés lus sur le cercle
Parité de cosinus et sinus, traduction graphique
Périodicité, traduction graphique
Courbes de cosinus et sinus, lien avec le cercle

Guide de survie · fiche 7/11

Géométrie

Produit scalaire

🎯 En 30 secondes

Le produit scalaire multiplie deux vecteurs pour donner un nombre. Trois façons de le calculer — coordonnées, normes + angle, projection — on choisit selon les données. S'il vaut 0, les vecteurs sont orthogonaux : c'est l'outil n°1 des angles droits.

🧰 Les formules qui sauvent

Coordonnées : $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$
Normes et angle : $\vec u\cdot\vec v=\lVert\vec u\rVert\,\lVert\vec v\rVert\cos(\vec u,\vec v)$
Orthogonalité : $\vec u\perp\vec v \iff \vec u\cdot\vec v=0$
Norme : $\lVert\vec u\rVert=\sqrt{x^2+y^2}$
Al-Kashi : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\hat A$

⚡ Les réflexes

coordonnées connues $xx'+yy'$ direct
longueurs et angle connus formule avec $\cos$
« montrer un angle droit » produit scalaire nul
triangle quelconque (3 longueurs, ou 2 + angle) Al-Kashi

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Le produit scalaire est un NOMBRE, pas un vecteur.
Al-Kashi : ne pas oublier le terme $-2bc\cos\hat A$ (sinon c'est Pythagore, réservé au triangle rectangle).
Coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$ : arrivée moins départ ( $x_B-x_A$ ; $y_B-y_A$ ).

🌺 En vrai : Vérifier qu'un mur est d'équerre sans rapporteur : deux vecteurs le long des cloisons, produit scalaire nul.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Produit scalaire à partir des coordonnées
★★★
Dans une base orthonormée, le produit scalaire de $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$ vaut :
- A. $xx' + yy'$
- B. $xy' + x'y$
- C. $xx' - yy'$
- D. $xy + x'y'$
Voir la correction
Réponse : $xx' + yy'$
Définition : En base orthonormée, le produit scalaire a une expression simple.

Méthode : On multiplie les abscisses, les ordonnées, et on additionne.

Calcul / Observation : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ .

Conclusion : $xx' + yy'$ .
Exo 2 · Calculer la norme d’un vecteur
★★★
La norme d'un vecteur $\vec{u}(x ; y)$ vaut :
- A. $\sqrt{x^2 + y^2}$
- B. $x^2 + y^2$
- C. $x + y$
- D. $\sqrt{x + y}$
Voir la correction
Réponse : $\sqrt{x^2 + y^2}$
Définition : La norme est la longueur du vecteur.

Méthode : Avec Pythagore : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

Calcul / Observation : C'est aussi $\sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$ .

Conclusion : $\sqrt{x^2 + y^2}$ .
Exo 3 · Produit scalaire avec normes et angle
★★★
Le produit scalaire avec l'angle $\theta$ entre les vecteurs s'écrit :
- A. $\|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \cos\theta$
- B. $\|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \sin\theta$
- C. $\|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|$
- D. $\|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \tan\theta$
Voir la correction
Réponse : $\|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \cos\theta$
Définition : Le produit scalaire relie normes et angle.

Méthode : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \cos\theta$ .

Calcul / Observation : Le cosinus apparaît, pas le sinus.

Conclusion : $\|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \cos\theta$ .

☑️ Je sais…

Produit scalaire par projection orthogonale
Produit scalaire avec normes et angle
Produit scalaire à partir des coordonnées
Calculer la norme d’un vecteur
Symétrie et bilinéarité du produit scalaire
Développer ‖u + v‖²
Caractériser l’orthogonalité de deux vecteurs
Formule d’Al-Kashi
Calculer un angle ou une longueur avec le produit scalaire
Transformer MA·MB et décrire un ensemble de points
Choisir la méthode adaptée pour un produit scalaire

Guide de survie · fiche 8/11

Géométrie

Géométrie repérée

🎯 En 30 secondes

La géométrie devient du calcul : une droite = une équation $ax+by+c=0$ dont $\vec n(a;b)$ est un vecteur normal ; un cercle = $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ avec centre $(a;b)$ et rayon $r$ . Savoir passer de l'objet à l'équation, et retour.

🧰 Les formules qui sauvent

Droite : $ax+by+c=0$ ; vecteur normal $\vec n(a;b)$ ; directeur $\vec u(-b;a)$
Cercle :centre $\Omega(a;b)$ , rayon $r$ : $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Parabole : $y=ax^2+bx+c$ : sommet en $x=-\dfrac{b}{2a}$
Appartenance :un point est sur la courbe ⟺ ses coordonnées vérifient l'équation

⚡ Les réflexes

« perpendiculaire à la droite $d$ » utiliser le vecteur normal de $d$
équation $x^2+y^2+\dots=0$ forme canonique pour lire centre et rayon
« le point est-il sur… ? » remplacer $x$ et $y$ par les coordonnées
projeté orthogonal intersection de la droite et de sa perpendiculaire passant par le point

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Les signes du centre : $(x-3)^2$ → abscisse $+3$ ; $(x+3)^2$ → abscisse $-3$ .
Oublier de compléter le carré ( $x^2-6x = (x-3)^2-9$ ) pour trouver le cercle.
Confondre vecteur normal (perpendiculaire à la droite) et vecteur directeur (le long de la droite).

🌺 En vrai : La zone couverte par une antenne relais sur la carte : un cercle — centre l'antenne, rayon la portée.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Vecteur normal à une droite
★★★
Un vecteur normal à la droite d'équation $ax + by + c = 0$ a pour coordonnées :
- A. $(a ; b)$
- B. $(-b ; a)$
- C. $(b ; a)$
- D. $(c ; 0)$
Voir la correction
Réponse : $(a ; b)$
Définition : Pour une droite $ax + by + c = 0$ , le vecteur de coordonnées $(a ; b)$ lui est normal.

Méthode : On lit directement les coefficients de $x$ et $y$ .

Calcul / Observation : $\vec{n}(a ; b)$ .

Conclusion : $(a ; b)$ .
Exo 2 · Équation d’un cercle : centre et rayon
★★★
L'équation d'un cercle de centre $\Omega(a ; b)$ et de rayon $r$ est :
- A. $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
- B. $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r$
- C. $(x + a)^2 + (y + b)^2 = r^2$
- D. $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$
Voir la correction
Réponse : $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
Définition : Un point $(x ; y)$ est sur le cercle si sa distance au centre vaut $r$ .

Méthode : Avec la distance au carré : $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ .

Calcul / Observation : Le rayon apparaît au carré.

Conclusion : $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ .
Exo 3 · Axe de symétrie et sommet d’une parabole
★★★
L'axe de symétrie de la parabole $y = ax^2 + bx + c$ a pour équation :
- A. $x = -\dfrac{b}{2a}$
- B. $x = \dfrac{b}{2a}$
- C. $y = c$
- D. $x = -\dfrac{c}{a}$
Voir la correction
Réponse : $x = -\dfrac{b}{2a}$
Définition : L'axe de symétrie est vertical et passe par le sommet.

Méthode : Son abscisse est $-\dfrac{b}{2a}$ .

Calcul / Observation : L'axe a pour équation $x = -\dfrac{b}{2a}$ .

Conclusion : $x = -\dfrac{b}{2a}$ .

☑️ Je sais…

Vecteur normal à une droite
Vecteur directeur (−b ; a) d’une droite
Équation cartésienne à partir d’un point et d’un vecteur normal
Droites parallèles ou perpendiculaires
Coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur une droite
Équation d’un cercle : centre et rayon
Reconnaître une équation de cercle
Utiliser l’équation d’un cercle (appartenance, diamètre)
Axe de symétrie et sommet d’une parabole
Utiliser un repère pour étudier une configuration

Guide de survie · fiche 9/11

Probabilités et statistiques

Probabilités conditionnelles

🎯 En 30 secondes

$P_A(B)$ = la probabilité de $B$ quand on sait que $A$ a eu lieu : on réduit l'univers à $A$ . L'arbre pondéré fait tout le travail : on multiplie le long d'une branche, on additionne les chemins. Indépendance = savoir $A$ ne change rien à $B$ .

🧰 Les formules qui sauvent

Conditionnelle : $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$
Branche d'arbre : $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$
Probabilités totales : $P(B)=P(A\cap B)+P(\bar A\cap B)$
Indépendance : $P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$ (⟺ $P_A(B)=P(B)$ )

⚡ Les réflexes

« sachant que… » probabilité conditionnelle
expérience en deux étapes arbre pondéré
$P(B)$ sans condition probabilités totales : additionner TOUS les chemins vers $B$
« indépendants ? » comparer $P(A\cap B)$ et $P(A)\,P(B)$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Confondre $P_A(B)$ et $P(A\cap B)$ : « sachant » n'est pas « et ».
Confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ : le sens du conditionnement compte.
Sur un arbre, les branches issues d'un même nœud doivent sommer à 1 — sinon l'arbre est faux.

🌺 En vrai : Un test médical : « positif sachant malade » et « malade sachant positif » ne sont PAS le même nombre — c'est tout l'enjeu du dépistage.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Calculer une probabilité conditionnelle
★★★
La probabilité conditionnelle $P_A(B)$ se calcule par :
- A. $\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$
- B. $\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
- C. $P(A) \times P(B)$
- D. $\dfrac{P(A)}{P(B)}$
Voir la correction
Réponse : $\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$
Définition : $P_A(B)$ est la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé.

Méthode : On divise la probabilité de l'intersection par celle de la condition.

Calcul / Observation : $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ .

Conclusion : $\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ .
Exo 2 · Arbre pondéré : règle du produit et de la somme
★★★
Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin (de la racine à une feuille) s'obtient en :
- A. multipliant les probabilités le long du chemin
- B. additionnant les probabilités le long du chemin
- C. prenant la plus grande probabilité
- D. soustrayant les probabilités
Voir la correction
Réponse : multipliant les probabilités le long du chemin
Définition : La probabilité d'un chemin suit la règle du produit.

Méthode : On multiplie les probabilités rencontrées le long du chemin.

Calcul / Observation : Ex. : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ .

Conclusion : On multiplie les probabilités le long du chemin.
Exo 3 · Indépendance de deux événements
★★★
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :
- A. $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
- B. $P(A \cap B) = P(A) + P(B)$
- C. $P(A \cap B) = 0$
- D. $P(A) = P(B)$
Voir la correction
Réponse : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
Définition : L'indépendance se caractérise par le produit.

Méthode : $A$ et $B$ indépendants $\Leftrightarrow P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .

Calcul / Observation : C'est équivalent à $P_A(B) = P(B)$ .

Conclusion : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .

☑️ Je sais…

Calculer une probabilité conditionnelle
Passer de la langue naturelle à l’écriture symbolique
Calculer une probabilité conditionnelle dans un tableau croisé
Construire un arbre pondéré à partir d’un énoncé
Arbre pondéré : règle du produit et de la somme
Reconnaître une partition de l’univers
Formule des probabilités totales
Distinguer P_A(B) et P_B(A) : les faux positifs
Indépendance de deux événements
Ne pas confondre indépendants et incompatibles
Succession de deux épreuves indépendantes

Guide de survie · fiche 10/11

Probabilités et statistiques

Variables aléatoires

🎯 En 30 secondes

Une variable aléatoire $X$ attache un nombre à chaque issue (un gain, un score…). Sa loi = le tableau valeurs/probabilités (somme $=1$ ). L'espérance $E(X)$ est la moyenne pondérée par les probabilités : ce qu'on obtient « en moyenne » sur un grand nombre de répétitions.

🧰 Les formules qui sauvent

Loi :tableau $x_i \mapsto p_i$ avec $\sum p_i=1$
Espérance : $E(X)=\sum x_i\,p_i$
Variance : $V(X)=\sum p_i\,(x_i-E(X))^2$
Écart-type : $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$

⚡ Les réflexes

jeu d'argent $X$ = gain ALGÉBRIQUE (mise déduite, valeurs négatives possibles)
« jeu équitable ? » $E(X)=0$
$P(X\leqslant a)$ additionner les probabilités de toutes les valeurs $\leqslant a$
loi terminée vérifier que la somme des $p_i$ fait exactement 1

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Oublier de retirer la mise : gagner 10 € après avoir misé 2 €, c'est un gain de 8 €.
$E(X)$ n'est pas forcément une valeur possible de $X$ (une moyenne de 0,5 sur des entiers, c'est normal).
Une variance négative est IMPOSSIBLE : c'est le signal d'une erreur de calcul.

🌺 En vrai : La tombola du collège : l'espérance du gain d'un billet à 2 € est négative — c'est l'organisateur qui finance le voyage.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Déterminer la loi d’une variable aléatoire
★★★
Pour une loi de probabilité, la somme de toutes les probabilités vaut :
Voir la correction
Réponse : 1
Définition : La loi d'une variable aléatoire associe une probabilité à chaque valeur.

Méthode : Toutes les valeurs possibles couvrent tout l'univers.

Calcul / Observation : La somme des probabilités vaut donc $1$ .

Conclusion : La somme vaut $1$ .
Exo 2 · Calculer une espérance
★★★
L'espérance d'une variable aléatoire $X$ se calcule par :
- A. $E(X) = \sum x_i \, p_i$
- B. $E(X) = \sum p_i$
- C. $E(X) = \sum x_i$
- D. $E(X) = \dfrac{\sum x_i}{n}$
Voir la correction
Réponse : $E(X) = \sum x_i \, p_i$
Définition : L'espérance est une moyenne pondérée des valeurs.

Méthode : Chaque valeur $x_i$ est pondérée par sa probabilité $p_i$ .

Calcul / Observation : $E(X) = \sum x_i \, p_i$ .

Conclusion : $E(X) = \sum x_i \, p_i$ .
Exo 3 · Interpréter les notations {X = a} et P(X ⩽ a)
★★★
Que désigne l'événement $\{X = 3\}$ ?
- A. « la variable $X$ prend la valeur $3$ »
- B. « $X$ est inférieur à $3$ »
- C. « $X$ vaut au moins $3$ »
- D. « la probabilité est $3$ »
Voir la correction
Réponse : « la variable $X$ prend la valeur $3$ »
Définition : $\{X = a\}$ est l'événement « $X$ prend la valeur $a$ ».

Méthode : Ici $a = 3$ .

Calcul / Observation : C'est l'ensemble des issues où $X$ vaut exactement $3$ .

Conclusion : « $X$ prend la valeur $3$ ».

☑️ Je sais…

Variable aléatoire : une fonction définie sur l’univers
Interpréter les notations {X = a} et P(X ⩽ a)
Modéliser une situation à l’aide d’une variable aléatoire
Déterminer la loi d’une variable aléatoire
Calculer une espérance
Utiliser l’espérance : mise, jeu équitable
Calculer une variance
Calculer et interpréter un écart-type
Simuler une variable aléatoire avec Python
Moyenne d’un échantillon de taille n et espérance

Guide de survie · fiche 11/11

Algorithmique et programmation

Algorithmique (Python)

🎯 En 30 secondes

Trois briques : les listes (stocker), les boucles (répéter), les fonctions (emballer un calcul). Le grand classique de Première : la recherche de seuil — une boucle while qui avance tant que la condition n'est pas atteinte.

🧰 Les formules qui sauvent

Liste des termes :[u(n) for n in range(10)] — indices 0 à 9
Boucle bornée :for i in range(n): répète $n$ fois ; range(a,b) va de $a$ à $b-1$
Seuil :while u < S: … n = n+1 — s'arrête au PREMIER dépassement
Fonction :def f(x): return 2*x+1 — une fonction RENVOIE avec return

⚡ Les réflexes

« à partir de quel rang… ? » recherche de seuil : boucle while
« que renvoie ce programme ? » tableau d'étapes : suivre chaque variable ligne à ligne
suite définie par récurrence u = f(u) répété dans la boucle
range(n) dernier indice $n-1$ (jamais $n$ )

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

range(10) s'arrête à 9 : il produit bien 10 valeurs, mais la dernière est 9.
Boucle infinie : si la condition du while ne peut jamais devenir fausse, le programme ne s'arrête pas.
Confondre print (afficher) et return (renvoyer la valeur — utilisable ensuite).

🌺 En vrai : « Dans combien d'années mon livret dépasse-t-il 1 000 € ? » : une recherche de seuil — un while, pas un for.

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Exo 1 · Manipuler les éléments d’une liste et leurs indices
★★★
En Python, quel est le premier indice d'une liste L ?
Voir la correction
Réponse : 0
Définition : En Python, les listes sont indexées à partir de $0$ .

Méthode : Le premier élément est L[0].

Calcul / Observation : Donc le premier indice est $0$ .

Conclusion : Le premier indice est $0$ .
Exo 2 · Lire et comprendre une boucle bornée
★★★
Combien de fois s'exécute le corps de la boucle for i in range(5): ?
Voir la correction
Réponse : 5
Définition : range(5) produit les entiers $0, 1, 2, 3, 4$ .

Méthode : Cela fait $5$ valeurs.

Calcul / Observation : Le corps s'exécute donc $5$ fois.

Conclusion : $5$ fois.
Exo 3 · Lire et comprendre une boucle non bornée
★★★
Quelle boucle utiliser quand on ne connaît pas à l'avance le nombre de répétitions ?
- A. la boucle while
- B. la boucle for
- C. le test if
- D. la fonction print
Voir la correction
Réponse : la boucle while
Définition : La boucle for répète un nombre connu de fois.

Méthode : La boucle while répète tant qu'une condition est vraie.

Calcul / Observation : On l'utilise quand le nombre d'itérations est inconnu (ex. recherche de seuil).

Conclusion : La boucle while.

☑️ Je sais…

Variables et affectation
Générer une liste (extension, ajouts, compréhension)
Manipuler les éléments d’une liste et leurs indices
Parcourir une liste et itérer sur ses éléments
Lire et comprendre une boucle bornée
Lire et écrire une instruction conditionnelle
Lire et comprendre une boucle non bornée
Recherche de seuil sur une suite
Lire et comprendre une fonction Python
Découper une tâche : réutiliser une fonction

Guide de survie · Spé maths Première

Les 11 chapitres — coche ce que tu maîtrises

🪜 Suites numériques

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

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☑️ Je sais…

📐 Second degré

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

📉 Dérivation

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

📈 Variations et courbes

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

🚀 Fonction exponentielle

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

🌀 Fonctions trigonométriques

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

➡️ Produit scalaire

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

🗺️ Géométrie repérée

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

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☑️ Je sais…

🎲 Probabilités conditionnelles

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

🎯 Variables aléatoires

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

💻 Algorithmique (Python)

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

Suites numériques

Second degré

Dérivation

Variations et courbes

Fonction exponentielle

Fonctions trigonométriques

Produit scalaire

Géométrie repérée

Probabilités conditionnelles

Variables aléatoires

Algorithmique (Python)