Guide de survie maths Seconde : formules, pièges, réflexes (gratuit, à imprimer)

Guide de survie · fiche 1/22

Nombres et calculs

Nombres réels et intervalles

🎯 En 30 secondes

Tous les nombres vivent sur la même droite graduée — chaque réel est un point — et les ensembles s'emboîtent comme des poupées russes : $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ . Un intervalle décrit d'un seul coup tous les réels entre deux bornes : le sens du crochet dit si la borne est prise ou exclue. Et la valeur absolue $|x-a|$ , c'est simplement la distance entre $x$ et $a$ .

🧰 Les formules qui sauvent

Ensembles emboîtés : $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ (naturels, relatifs, décimaux, rationnels, réels)
Inégalité → intervalle : $a\le x\le b\iff x\in[a\,;b]$ — large ( $\le$ ) : crochet fermé ; stricte ( $<$ ) : ouvert
Bornes infinies : $x\ge a\iff x\in[a\,;+\infty[$ — vers $\pm\infty$ , crochet TOUJOURS ouvert
Valeur absolue : $|x|$ = distance de $x$ à $0$ ; $|x-a|$ = distance entre $x$ et $a$
Distance au plus $r$ : $|x-a|\le r\iff x\in[a-r\,;a+r]$
Encadrer une racine : $1{,}4^2=1{,}96<2<2{,}25=1{,}5^2$ donc $1{,}4<\sqrt{2}<1{,}5$

⚡ Les réflexes

« le plus petit ensemble auquel appartient… ? » simplifier D'ABORD ( $\frac{6}{2}=3\in\mathbb{N}$ ), puis tester du plus petit au plus grand
traduire $x\ge 2$ ou $-1<x\le 3$ en intervalle chaque borne suit SON inégalité : $[2\,;+\infty[$ et $]-1\,;3]$
« $x$ appartient-il à $[a\,;b[$ ? » vérifier $a\le x<b$ ( $a$ pris, $b$ exclu)
$|x-a|\le r$ lire « à distance au plus $r$ de $a$ » : intervalle $[a-r\,;a+r]$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Croire que $\frac{1}{3}$ est décimal : $0{,}333\dots$ ne s'arrête jamais — $\frac{1}{3}\in\mathbb{Q}$ mais $\frac{1}{3}\notin\mathbb{D}$ .
Écrire $5\in[-2\,;5[$ : le crochet ouvert EXCLUT sa borne ( $-2$ est pris, $5$ non) — et $[2\,;+\infty]$ n'existe pas.
Oublier la solution négative de $|x|=5$ : deux nombres sont à distance $5$ de $0$ , donc $x=5$ OU $x=-5$ .

🌺 En vrai : Le bulletin météo « houle de 2 à 3 m » sur les plages de l'Ouest : un intervalle, $[2\,;3]$ — tu en lis tous les jours sans le savoir.

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Exo 1 · Distinguer les ensembles ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ
★★★
Le nombre $5$ appartient-il à l'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels ?
- A. Oui
- B. Non
- C. Seulement à $\mathbb{Z}$
- D. Seulement à $\mathbb{R}$
Voir la correction
Réponse : Oui
Définition : $\mathbb{N}$ est l'ensemble des entiers naturels : $0, 1, 2, 3, \dots$

Méthode : On regarde si $5$ est un entier positif.

Calcul / Observation : $5$ est un entier positif, donc $5 \in \mathbb{N}$ .

Conclusion : Oui, $5$ appartient à $\mathbb{N}$ .
Exo 2 · Représenter un intervalle sur une droite
★★★
L'ensemble des réels $x$ tels que $x \ge 2$ correspond à quel intervalle ?
- A. $[2\,;+\infty[$
- B. $]-\infty\,;2]$
- C. $]2\,;+\infty[$
- D. $[2\,;+\infty]$
Voir la correction
Réponse : $[2\,;+\infty[$
Définition : Un crochet fermé inclut la borne ; le crochet est toujours ouvert vers $\pm\infty$ .

Méthode : On traduit $x \ge 2$ .

Calcul / Observation : $2$ est inclus et il n'y a pas de borne supérieure finie : $[2\,;+\infty[$ .

Conclusion : L'intervalle est $[2\,;+\infty[$ .
Exo 3 · Déterminer si un nombre appartient à un intervalle
★★★
Le nombre $0$ appartient-il à l'intervalle $[-2\,;5[$ ?
- A. Oui
- B. Non
- C. Seulement si on arrondit
- D. On ne peut pas savoir
Voir la correction
Réponse : Oui
Définition : Un nombre appartient à l'intervalle s'il est entre les bornes (en respectant inclus/exclu).

Méthode : On vérifie si $-2 \le 0 < 5$ .

Calcul / Observation : $0$ est bien compris entre $-2$ inclus et $5$ exclu.

Conclusion : Oui, $0 \in [-2\,;5[$ .

☑️ Je sais…

Distinguer les ensembles ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ
Associer un réel à un point de la droite graduée
Représenter un intervalle sur une droite
Déterminer si un nombre appartient à un intervalle
Interpréter la valeur absolue comme une distance
Donner un encadrement décimal d'un réel

Guide de survie · fiche 2/22

Nombres et calculs

Multiples, diviseurs et nombres premiers

🎯 En 30 secondes

Tout le chapitre tient dans une égalité : $b = a \times k$ avec $k$ entier — alors $b$ est un multiple de $a$ , et $a$ un diviseur de $b$ : la même information, lue dans les deux sens. Un nombre premier a exactement deux diviseurs, $1$ et lui-même. De là découlent les critères de divisibilité, les fractions irréductibles et les partages « sans reste ».

🧰 Les formules qui sauvent

Multiple et diviseur : $b=a\times k$ ( $k$ entier) : $b$ est un multiple de $a$ , et $a$ un diviseur de $b$
Pair / impair :pair : $n=2k$ ; impair : $n=2k+1$
Critères de divisibilité :par $2$ : finit par $0,2,4,6,8$ ; par $5$ : finit par $0$ ou $5$ ; par $3$ (ou $9$ ) : somme des chiffres divisible par $3$ (ou $9$ )
Nombre premier :exactement deux diviseurs, $1$ et lui-même : $2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\dots$
Test de primalité :tester les diviseurs premiers jusqu'à $\sqrt{n}$ : pour $97$ , $\sqrt{97}\approx 9{,}8$ → tester $2, 3, 5, 7$ suffit
Fraction irréductible : $\dfrac{a}{b}$ irréductible ⟺ $a$ et $b$ premiers entre eux (seul diviseur commun : $1$ )

⚡ Les réflexes

« répartir en parts égales, sans reste » possible ⟺ le total est un multiple de la taille des parts (sinon, le reste dit ce qui dépasse)
« $n$ est-il premier ? » tester les diviseurs premiers $2, 3, 5, 7,\dots$ jusqu'à $\sqrt{n}$ seulement
« rendre la fraction irréductible » diviser le haut ET le bas par un diviseur commun, et recommencer tant que c'est possible
« montrer que c'est un multiple de $7$ » factoriser : $7a+7b=7(a+b)$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Croire que $1$ est premier : il n'a qu'UN diviseur, or il en faut exactement deux — et à l'inverse, oublier que $2$ est premier (le seul pair).
Déclarer un nombre premier sans tester : $51$ a l'air premier, mais $5+1=6$ donc $51=3\times 17$ . Même piège avec $91=7\times 13$ .
S'arrêter en route : $\dfrac{24}{36}=\dfrac{6}{9}$ n'est pas fini, il reste un diviseur commun ( $3$ ) — la forme irréductible est $\dfrac{2}{3}$ .

🌺 En vrai : Le cadenas de ton paiement en ligne : multiplier deux nombres premiers géants est facile, retrouver lesquels à partir du produit est quasi impossible.

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Exo 1 · Utiliser multiple, diviseur, pair et impair
★★★
Le nombre $12$ est-il un multiple de $3$ ?
- A. Oui, car $12 = 3 \times 4$
- B. Non
- C. Oui, car $12 = 3 + 4$
- D. On ne peut pas savoir
Voir la correction
Réponse : Oui, car $12 = 3 \times 4$
Définition : Un multiple de $3$ est un nombre de la forme $3 \times k$ .

Méthode : On cherche un entier $k$ tel que $12 = 3 \times k$ .

Calcul / Observation : $12 = 3 \times 4$ , donc $12$ est un multiple de $3$ .

Conclusion : Oui, $12$ est un multiple de $3$ .
Exo 2 · Reconnaitre un nombre premier
★★★
Un nombre premier est un entier qui possède exactement :
- A. deux diviseurs : $1$ et lui-même
- B. un seul diviseur
- C. trois diviseurs
- D. aucun diviseur
Voir la correction
Réponse : deux diviseurs : $1$ et lui-même
Définition : Un nombre premier a exactement deux diviseurs distincts.

Méthode : On rappelle la définition.

Calcul / Observation : Ces deux diviseurs sont $1$ et le nombre lui-même.

Conclusion : Un nombre premier a deux diviseurs : $1$ et lui-même.
Exo 3 · Rendre une fraction irréductible
★★★
Une fraction est dite irréductible lorsque :
- A. son numérateur et son dénominateur n'ont pas de diviseur commun (autre que $1$ )
- B. son numérateur est plus petit que son dénominateur
- C. son dénominateur est premier
- D. elle est égale à un entier
Voir la correction
Réponse : son numérateur et son dénominateur n'ont pas de diviseur commun (autre que $1$ )
Définition : Une fraction irréductible ne peut plus être simplifiée.

Méthode : On regarde les diviseurs communs du numérateur et du dénominateur.

Calcul / Observation : Quand le seul diviseur commun est $1$ , la fraction est irréductible.

Conclusion : Elle est irréductible quand numérateur et dénominateur n'ont que $1$ comme diviseur commun.

☑️ Je sais…

Utiliser multiple, diviseur, pair et impair
Reconnaitre un nombre premier
Rendre une fraction irréductible
Modéliser un problème avec multiples et diviseurs

Guide de survie · fiche 3/22

Nombres et calculs

Puissances

🎯 En 30 secondes

Une puissance est un produit répété : $a^n$ , c'est $n$ facteurs égaux à $a$ — jamais $a\times n$ . Trois règles font tout le chapitre : produit de même base → on additionne les exposants, quotient → on soustrait, puissance de puissance → on multiplie. Et l'exposant négatif donne l'inverse : $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ .

🧰 Les formules qui sauvent

Définition : $a^n=a\times a\times\dots\times a$ ( $n$ facteurs) ; $a^1=a$ ; $a^0=1$ (si $a\neq 0$ )
Produit (même base) : $a^m\times a^n=a^{m+n}$ (on additionne)
Quotient (même base) : $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ (on soustrait ; $a\neq 0$ )
Puissance de puissance : $(a^m)^n=a^{m\times n}$ (on multiplie)
Exposant négatif : $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ ; en particulier $a^{-1}=\dfrac{1}{a}$ (l'inverse)
Base négative :exposant pair → résultat positif, impair → négatif : $(-2)^2=4$ mais $(-2)^3=-8$

⚡ Les réflexes

produit ou quotient de puissances de même base × → additionner les exposants, ÷ → les soustraire (et $a$ seul se lit $a^1$ )
puissance de puissance $(a^m)^n$ multiplier les exposants — le bloc $a^m$ est répété $n$ fois
exposant négatif passer à l'inverse : $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ , un nombre positif
puissance de 10 $10^n$ = 1 suivi de $n$ zéros ; $10^{-n}$ = $n$ rangs après la virgule ( $10^{-2}=0{,}01$ )

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Confondre $(a^2)^3=a^6$ (on multiplie) et $a^2\times a^3=a^5$ (on additionne) : deux règles, deux résultats.
Croire qu'un exposant négatif rend le nombre négatif : $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ , pas $-8$ — l'inverse, jamais l'opposé.
Calculer $a^n$ comme $a\times n$ : $2^3=8$ , pas $6$ — l'exposant compte des facteurs, pas un multiplicateur.

🌺 En vrai : Ton forfait mobile compte en puissances de 10 : 1 Go $=10^9$ octets, un 1 suivi de neuf zéros.

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Exo 1 · Calculer une puissance à exposant entier
★★★
Combien vaut $2^3$ ?
Voir la correction
Réponse : 8
Définition : Une puissance $a^n$ est un produit de $n$ facteurs égaux à $a$ .

Méthode : On multiplie $2$ par lui-même $3$ fois.

Calcul / Observation : $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ .

Conclusion : $2^3 = 8$ .
Exo 2 · Utiliser le produit et le quotient de puissances de même base
★★★
Pour calculer $a^m \times a^n$ (même base), que fait-on des exposants ?
- A. On les additionne
- B. On les multiplie
- C. On les soustrait
- D. On garde le plus grand
Voir la correction
Réponse : On les additionne
Définition : Multiplier des puissances de même base revient à empiler les facteurs.

Méthode : $a^m \times a^n$ a en tout $m + n$ facteurs.

Calcul / Observation : Donc $a^m \times a^n = a^{m+n}$ : on additionne les exposants.

Conclusion : On additionne les exposants.
Exo 3 · Calculer une puissance d'une puissance
★★★
Pour calculer $(a^m)^n$ , que fait-on des exposants ?
- A. On les multiplie
- B. On les additionne
- C. On les soustrait
- D. On garde $m$
Voir la correction
Réponse : On les multiplie
Définition : Une puissance de puissance, c'est répéter $n$ fois le bloc $a^m$ .

Méthode : $(a^m)^n = \underbrace{a^m \times \dots \times a^m}_{n}$ , soit $m \times n$ facteurs.

Calcul / Observation : Donc $(a^m)^n = a^{m \times n}$ .

Conclusion : On multiplie les exposants.

☑️ Je sais…

Calculer une puissance à exposant entier
Utiliser le produit et le quotient de puissances de même base
Calculer une puissance d'une puissance
Utiliser un exposant négatif (a⁻ⁿ = 1/aⁿ)
Réduire une expression sous la forme aⁿ en enchaînant les règles
Écrire un nombre en notation scientifique

Guide de survie · fiche 4/22

Nombres et calculs

Racine carrée

🎯 En 30 secondes

$\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ : $\sqrt{49}=7$ car $7^2=49$ . Une racine carrée n'est jamais négative — et un nombre négatif n'a pas de racine carrée. La règle d'or : la racine se distribue sur les produits ( $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}$ ), jamais sur les sommes — c'est elle qui simplifie $\sqrt{50}$ en $5\sqrt{2}$ .

🧰 Les formules qui sauvent

Définition : $\sqrt{a}$ : le nombre positif dont le carré vaut $a$ (ex. $\sqrt{49}=7$ )
Carré et racine : $(\sqrt{a})^2=a$ (si $a\geqslant 0$ ) ; $\sqrt{a^2}=|a|$ (pour tout réel $a$ )
Produit : $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ (si $a\geqslant 0$ et $b\geqslant 0$ )
Simplification : $\sqrt{k^2\,b}=k\sqrt{b}$ — ex. $\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2}$
Encadrement : $k^2<n<(k+1)^2 \Rightarrow k<\sqrt{n}<k+1$
Carrés parfaits : $4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ 49,\ 64,\ 81,\ 100$ — à repérer sous la racine

⚡ Les réflexes

« simplifier $\sqrt{75}$ » extraire le plus grand carré parfait : $\sqrt{25\times 3}=5\sqrt{3}$
somme de racines ( $\sqrt{18}+\sqrt{2}$ ) simplifier d'abord, puis regrouper : $3\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
« entre quels entiers se trouve $\sqrt{30}$ ? » encadrer par deux carrés parfaits : $25<30<36$ donc $5<\sqrt{30}<6$
$\sqrt{a^2}$ avec $a$ de signe inconnu réponse $|a|$ — jamais $a$ tout seul

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Écrire $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ : FAUX — $\sqrt{4+4}=\sqrt{8}\approx 2{,}83$ , alors que $\sqrt{4}+\sqrt{4}=4$ . Le produit oui, la somme jamais.
Écrire $\sqrt{a^2}=a$ : pour $a=-3$ , $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$ , pas $-3$ — la bonne formule est $\sqrt{a^2}=|a|$ .
Chercher $\sqrt{-4}$ : aucun carré n'est négatif, donc un nombre négatif n'a pas de racine carrée.

🌺 En vrai : La feuille A4 de cette fiche : son grand côté vaut $\sqrt{2}$ fois le petit — pliée en deux, elle garde exactement ses proportions.

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Exo 1 · Calculer une racine carrée
★★★
Combien vaut $\sqrt{49}$ ?
Voir la correction
Réponse : 7
Définition : La racine carrée de $a$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ .

Méthode : On cherche $x \ge 0$ tel que $x^2 = 49$ .

Calcul / Observation : $7^2 = 49$ , donc $\sqrt{49} = 7$ .

Conclusion : $\sqrt{49} = 7$ .
Exo 2 · Utiliser √a² = |a|
★★★
Pour un réel $a$ quelconque, à quoi est égal $\sqrt{a^2}$ ?
- A. $|a|$
- B. $a$
- C. $a^2$
- D. $\pm a$
Voir la correction
Réponse : $|a|$
Définition : $\sqrt{a^2}$ doit être positif ou nul, même si $a$ est négatif.

Méthode : On utilise la propriété du cours.

Calcul / Observation : $\sqrt{a^2} = |a|$ (et non $a$ , qui pourrait être négatif).

Conclusion : $\sqrt{a^2} = |a|$ .
Exo 3 · Utiliser √ab = √a × √b
★★★
Pour $a \ge 0$ et $b \ge 0$ , à quoi est égal $\sqrt{ab}$ ?
- A. $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$
- B. $\sqrt{a} + \sqrt{b}$
- C. $a \times b$
- D. $\sqrt{a} - \sqrt{b}$
Voir la correction
Réponse : $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$
Définition : Pour des réels positifs, la racine se distribue sur un produit.

Méthode : On applique $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\times\sqrt{b}$ .

Calcul / Observation : Attention : ce n'est PAS vrai pour une somme.

Conclusion : $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ .

☑️ Je sais…

Calculer une racine carrée
Utiliser √a² = |a|
Utiliser √ab = √a × √b
Simplifier une racine carrée (√50 = 5√2)
Additionner des racines carrées : seulement à radical identique
Lire une image et le domaine sur la courbe de la fonction racine carrée

Guide de survie · fiche 5/22

Nombres et calculs

Développement et factorisation

🎯 En 30 secondes

Une même expression a deux visages : développée (une somme de termes) et factorisée (un produit de facteurs). Développer, c'est distribuer ; factoriser, c'est repérer un facteur commun ou une identité remarquable. Le point stratégique du chapitre : choisir la forme qui rend la question facile — factorisée pour résoudre, développée pour calculer et réduire.

🧰 Les formules qui sauvent

Distributivité : $k(a+b)=ka+kb$
Double distributivité : $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
Facteur commun : $ka+kb=k(a+b)$
Carrés (identités) : $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ; $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Différence de carrés : $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
Produit nul : $A\times B=0\iff A=0$ ou $B=0$

⚡ Les réflexes

« développe et réduis » distribuer chaque terme, puis regrouper les termes semblables
« factorise » facteur commun d'abord ; sinon, chercher une identité remarquable
la même parenthèse apparaît deux fois c'est le facteur commun — la mettre en évidence comme un simple nombre
résoudre $(x-2)(x+5)=0$ produit nul : $x-2=0$ ou $x+5=0$ — surtout ne pas développer

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Distribuer un facteur négatif à moitié : $-2(x-3)=-2x+6$ , jamais $-2x-6$ — le signe « moins » s'applique aux DEUX termes.
Écrire $(a+b)^2=a^2+b^2$ : FAUX, il manque le double produit — $(x+3)^2=x^2+6x+9$ , pas $x^2+9$ .
Oublier le $1$ en factorisant : $4x^2-2x=2x(2x-1)$ , pas $2x\cdot 2x$ — un terme sorti en entier laisse un $1$ dans la parenthèse.

🌺 En vrai : Calculer $98\times 102$ de tête au marché forain : $(100-2)(100+2)=10\,000-4=9\,996$ — la différence de carrés va plus vite que le téléphone.

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Exo 1 · Développer une expression du type k(a+b)
★★★
Quelle est la forme développée de $2(x + 3)$ ?
- A. $2x + 6$
- B. $2x + 3$
- C. $x + 6$
- D. $2x + 5$
Voir la correction
Réponse : $2x + 6$
Définition : Développer, c'est distribuer le facteur sur chaque terme : $k(a+b) = ka + kb$ .

Méthode : On multiplie $x$ puis $3$ par $2$ .

Calcul / Observation : $2 \times x + 2 \times 3 = 2x + 6$ .

Conclusion : $2(x + 3) = 2x + 6$ .
Exo 2 · Factoriser par un facteur commun
★★★
Quelle est la forme factorisée de $2x + 6$ ?
- A. $2(x + 3)$
- B. $2(x + 6)$
- C. $x(2 + 6)$
- D. $2x(1 + 3)$
Voir la correction
Réponse : $2(x + 3)$
Définition : Factoriser, c'est mettre en évidence un facteur commun.

Méthode : $2x = 2 \times x$ et $6 = 2 \times 3$ .

Calcul / Observation : On met $2$ en facteur : $2(x + 3)$ .

Conclusion : $2x + 6 = 2(x + 3)$ .
Exo 3 · Développer un produit (a+b)(c+d)
★★★
Quelle est la forme développée de $(x + 2)(x + 3)$ ?
- A. $x^2 + 5x + 6$
- B. $x^2 + 6x + 5$
- C. $x^2 + 6$
- D. $x^2 + 5x + 5$
Voir la correction
Réponse : $x^2 + 5x + 6$
Définition : On développe : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ .

Méthode : $x \times x + x \times 3 + 2 \times x + 2 \times 3$ .

Calcul / Observation : $= x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$ .

Conclusion : $(x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6$ .

☑️ Je sais…

Développer une expression du type k(a+b)
Développer un produit (a+b)(c+d)
Factoriser par un facteur commun
Factoriser à l'aide d'une identité remarquable
Choisir la forme la plus adaptée (développée ou factorisée)

Guide de survie · fiche 6/22

Nombres et calculs

Identités remarquables

🎯 En 30 secondes

Trois égalités vraies pour tous les nombres, à lire dans les deux sens : de gauche à droite on développe, de droite à gauche on factorise. La signature à repérer : le double produit $2ab$ entre les deux carrés. Bien en main, elles rendent le calcul mental rapide : $101^2=(100+1)^2=10\,201$ .

🧰 Les formules qui sauvent

Carré d'une somme : $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Carré d'une différence : $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Différence de deux carrés : $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
Avec un coefficient : $(2x+3)^2=(2x)^2+2\times 2x\times 3+3^2=4x^2+12x+9$
Avec des racines : $(\sqrt a)^2=a$ : $(\sqrt3+1)^2=3+2\sqrt3+1=4+2\sqrt3$

⚡ Les réflexes

« développe $(x+5)^2$ » trois termes : $x^2+10x+25$ — jamais deux
factoriser $x^2-49$ ou $4x^2-9$ (deux carrés, un moins) différence de carrés : $(x-7)(x+7)$ , $(2x-3)(2x+3)$
factoriser $x^2+8x+16$ (trois termes) carré parfait : vérifier $16=4^2$ ET $8x=2\times 4\times x$ → $(x+4)^2$
$101^2$ , $99^2$ ou $51\times 49$ de tête décomposer : $(100+1)^2$ , $(100-1)^2$ , $(50+1)(50-1)=2500-1$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Écrire $(a+b)^2=a^2+b^2$ : FAUX, le double produit manque. Test : $(1+2)^2=9$ mais $1^2+2^2=5$ .
Croire que le carré d'une différence finit par un moins : $(x-3)^2=x^2-6x+9$ — le dernier terme est $+9$ , jamais $-9$ .
Oublier de mettre TOUT le terme au carré : $(2x)^2=4x^2$ , pas $2x^2$ .

🌺 En vrai : Agrandir de $b$ mètres un carré de jardin de côté $a$ : la surface gagnée n'est pas $b^2$ mais $2ab+b^2$ — c'est le dessin même de $(a+b)^2$ .

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Exo 1 · Utiliser (a+b)² = a² + 2ab + b²
★★★
À quoi est égal $(a + b)^2$ ?
- A. $a^2 + 2ab + b^2$
- B. $a^2 + b^2$
- C. $a^2 + ab + b^2$
- D. $2a + 2b$
Voir la correction
Réponse : $a^2 + 2ab + b^2$
Définition : C'est la première identité remarquable.

Méthode : On développe $(a+b)(a+b)$ .

Calcul / Observation : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .

Conclusion : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .
Exo 2 · Utiliser (a-b)² = a² - 2ab + b²
★★★
À quoi est égal $(a - b)^2$ ?
- A. $a^2 - 2ab + b^2$
- B. $a^2 - b^2$
- C. $a^2 + 2ab + b^2$
- D. $a^2 - ab + b^2$
Voir la correction
Réponse : $a^2 - 2ab + b^2$
Définition : C'est la deuxième identité remarquable.

Méthode : On développe $(a-b)(a-b)$ .

Calcul / Observation : $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ .

Conclusion : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ .
Exo 3 · Utiliser a² - b² = (a-b)(a+b)
★★★
À quoi est égal $a^2 - b^2$ ?
- A. $(a - b)(a + b)$
- B. $(a - b)^2$
- C. $(a + b)^2$
- D. $(a - b)(a - b)$
Voir la correction
Réponse : $(a - b)(a + b)$
Définition : C'est la troisième identité remarquable.

Méthode : On factorise la différence de deux carrés.

Calcul / Observation : $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ .

Conclusion : $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ .

☑️ Je sais…

Utiliser (a+b)² = a² + 2ab + b²
Utiliser (a-b)² = a² - 2ab + b²
Utiliser a² - b² = (a-b)(a+b)
Calculer mentalement à l'aide d'une identité remarquable
Appliquer les identités remarquables dans les deux sens

Guide de survie · fiche 7/22

Nombres et calculs

Expressions littérales

🎯 En 30 secondes

Une lettre représente n'importe quel nombre : une expression littérale, c'est un calcul écrit une fois pour toutes les valeurs. Trois gestes font le chapitre : traduire une situation en expression, réduire puis substituer, et isoler une variable dans une formule ( $U=RI$ , $d=vt$ …) avec les opérations inverses.

🧰 Les formules qui sauvent

Écrire sans × : $2\times x=2x$ ; $x\times x=x^2$ ; $x+x=2x$
Réduire : $2x+3+x-1=3x+2$ : les $x$ ensemble, les nombres ensemble
Isoler dans un produit : $U=RI \Rightarrow I=\dfrac{U}{R}$ ; $d=vt \Rightarrow t=\dfrac{d}{v}$ ; $V=abc \Rightarrow c=\dfrac{V}{ab}$
Soustraire, puis diviser : $y=ax+b \Rightarrow x=\dfrac{y-b}{a}$ ; $ax+by=c \Rightarrow y=\dfrac{c-ax}{b}$ (si $a\neq 0$ , $b\neq 0$ )
Substituer :remplacer la lettre par sa valeur ENTRE PARENTHÈSES : $x=-2$ → $x^2=(-2)^2=4$

⚡ Les réflexes

« le double de… », « augmenté de… » (une phrase à traduire) suivre l'ordre des mots ; « la somme de » se met entre parenthèses
« exprime $t$ en fonction de… » dans une formule opérations inverses : ce qui multiplie se retire en divisant, ce qui s'ajoute en soustrayant
« calcule l'expression pour $x=-2$ » réduire d'abord, remplacer ensuite — toujours entre parenthèses
« entiers consécutifs » les nommer $n$ , $n+1$ , $n+2$ : une seule lettre suffit

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Oublier les parenthèses en traduisant : « le double de la somme de $x$ et $3$ » = $2(x+3)$ , pas $2x+3$ (sinon seul $x$ est doublé).
Tout additionner : $3x+2$ ne fait PAS $5x$ — seuls les termes semblables se regroupent ; et $x+x=2x$ , jamais $x^2$ .
Isoler dans le désordre : dans $y=2x+3$ , on obtient $x=\dfrac{y-3}{2}$ — diviser avant d'avoir soustrait donne le faux $\dfrac{y}{2}-3$ .

🌺 En vrai : Sur la route des Tamarins, $d=vt$ : la même formule, retournée en $t=\dfrac{d}{v}$ , te dit si tu seras à l'heure au lycée.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Modéliser une situation par une expression littérale
★★★
Un carré a pour côté $x$ . Quelle expression donne son périmètre ?
- A. $4x$
- B. $x^2$
- C. $2x$
- D. $x + 4$
Voir la correction
Réponse : $4x$
Définition : Le périmètre d'un carré est la somme de ses quatre côtés égaux.

Méthode : On multiplie le côté par $4$ .

Calcul / Observation : $4 \times x = 4x$ .

Conclusion : Le périmètre est $4x$ .
Exo 2 · Réduire une expression et substituer une valeur
★★★
Réduis l'expression $3x + 2x$ .
- A. $5x$
- B. $6x$
- C. $5x^2$
- D. $6x^2$
Voir la correction
Réponse : $5x$
Définition : Réduire, c'est regrouper les termes semblables.

Méthode : $3x$ et $2x$ sont semblables : on ajoute les coefficients.

Calcul / Observation : $3 + 2 = 5$ , donc $3x + 2x = 5x$ .

Conclusion : $3x + 2x = 5x$ .
Exo 3 · Exprimer une variable en fonction des autres dans une formule
★★★
Dans la formule $U = RI$ , exprime $I$ en fonction de $U$ et $R$ .
- A. $I = \dfrac{U}{R}$
- B. $I = U R$
- C. $I = \dfrac{R}{U}$
- D. $I = U - R$
Voir la correction
Réponse : $I = \dfrac{U}{R}$
Définition : Pour isoler $I$ , on divise par le facteur qui le multiplie.

Méthode : $U = RI$ , on divise les deux membres par $R$ .

Calcul / Observation : $\dfrac{U}{R} = I$ .

Conclusion : $I = \dfrac{U}{R}$ .

☑️ Je sais…

Modéliser une situation par une expression littérale
Exprimer une variable en fonction des autres dans une formule
Réduire une expression et substituer une valeur

Guide de survie · fiche 8/22

Nombres et calculs

Équations et inéquations du premier degré

🎯 En 30 secondes

Une équation est une balance : pour isoler $x$ , on applique la même opération aux deux membres. Une inéquation se résout exactement pareil, à une règle près : multiplier ou diviser par un nombre négatif retourne le sens de l'inégalité. Autre différence : ses solutions forment un intervalle, pas un nombre unique.

🧰 Les formules qui sauvent

Équation type : $ax+b=c \Rightarrow ax=c-b \Rightarrow x=\dfrac{c-b}{a}$ (si $a\neq0$ )
Inéquation, coefficient positif : $2x+1>7 \Rightarrow x>3$ (le sens ne bouge pas)
Inéquation, coefficient négatif : $-2x>6 \Rightarrow x<-3$ (le sens change !)
Traduction en intervalle : $x>3$ → $]3\,;+\infty[$ ; $x\leqslant-2$ → $]-\infty\,;-2]$
Comparer $A$ et $B$ :signe de $A-B$ ; ou, si $A,B>0$ , $\dfrac{A}{B}$ face à $1$

⚡ Les réflexes

des $x$ dans les deux membres regrouper : les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre
un énoncé en mots (« le double…, augmenté de… ») poser $x$ = le nombre cherché, puis traduire mot à mot
tu multiplies ou divises par un négatif retourner le sens de l'inégalité
« l'ensemble des solutions » répondre en intervalle : inégalité stricte → crochet ouvert, large → fermé

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Diviser par un négatif sans retourner l'inégalité : $-2x>6$ donne $x<-3$ , jamais $x>-3$ .
Faire passer un terme de l'autre côté sans changer son signe : dans $3x+4=19$ , le $+4$ devient $19-4$ , jamais $19+4$ .
Confondre les crochets : $x>3$ → $]3\,;+\infty[$ (3 exclu) mais $x\geqslant3$ → $[3\,;+\infty[$ ; et côté $+\infty$ , crochet toujours ouvert.

🌺 En vrai : Abonnement bus à 25 € ou ticket à 1,50 € : l'abonnement devient gagnant dès que $1{,}50x>25$ — au 17ᵉ trajet du mois.

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Exo 1 · Résoudre une équation du premier degré
★★★
Que signifie « résoudre une équation d'inconnue $x$ » ?
- A. Trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie
- B. Développer l'expression
- C. Calculer la valeur de l'expression
- D. Factoriser l'expression
Voir la correction
Réponse : Trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie
Définition : Résoudre une équation, c'est chercher les valeurs de l'inconnue qui vérifient l'égalité.

Méthode : On distingue résoudre (équation) de calculer ou développer.

Calcul / Observation : La bonne définition concerne les valeurs qui rendent l'égalité vraie.

Conclusion : Résoudre = trouver les valeurs de $x$ qui vérifient l'égalité.
Exo 2 · Mettre un problème en équation
★★★
Que signifie « mettre un problème en équation » ?
- A. Traduire l'énoncé par une égalité contenant une inconnue
- B. Calculer le résultat directement
- C. Faire un dessin du problème
- D. Tester toutes les réponses possibles
Voir la correction
Réponse : Traduire l'énoncé par une égalité contenant une inconnue
Définition : Mettre en équation, c'est modéliser l'énoncé par une égalité avec une inconnue.

Méthode : On choisit l'inconnue, puis on traduit les phrases en symboles.

Calcul / Observation : On obtient une équation qu'on résout ensuite.

Conclusion : Mettre en équation = traduire l'énoncé par une égalité avec une inconnue.
Exo 3 · Résoudre une inéquation du premier degré
★★★
Quand on multiplie ou divise une inéquation par un nombre NÉGATIF, que se passe-t-il ?
- A. On change le sens de l'inégalité
- B. On garde le même sens
- C. L'inéquation n'a plus de solution
- D. On change l'inconnue
Voir la correction
Réponse : On change le sens de l'inégalité
Définition : Multiplier/diviser par un négatif inverse l'ordre des nombres.

Méthode : On applique la règle du cours.

Calcul / Observation : Le symbole $<$ devient $>$ (et inversement).

Conclusion : On change le sens de l'inégalité.

☑️ Je sais…

Résoudre une équation du premier degré
Mettre un problème en équation
Résoudre une inéquation du premier degré
Traduire une inéquation en intervalle de solutions
Comparer deux quantités par leur différence ou leur quotient

Guide de survie · fiche 9/22

Géométrie

Vecteurs du plan

🎯 En 30 secondes

Un vecteur code un déplacement (une translation) : une direction, un sens, une norme — peu importe le point de départ. Dans un repère, tout devient du calcul : $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A\,;y_B-y_A)$ , « arrivée moins départ ». Deux outils font presque tout le chapitre : la relation de Chasles pour enchaîner les déplacements, le déterminant pour prouver alignements et parallélismes.

🧰 Les formules qui sauvent

Coordonnées de $\vec{AB}$ : $\vec{AB}(x_B-x_A\,;y_B-y_A)$ — « arrivée moins départ »
Égalité de vecteurs : $\vec u=\vec v\iff$ mêmes coordonnées ; $ABCD$ parallélogramme $\iff\vec{AB}=\vec{DC}$
Relation de Chasles : $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$ ; $\vec{AB}+\vec{BA}=\vec 0$
Calculs en coordonnées : $\vec u+\vec v\,(x+x'\,;y+y')$ ; $k\vec u\,(kx\,;ky)$
Norme (repère orthonormé) : $\lVert\vec u\rVert=\sqrt{x^2+y^2}$
Colinéarité (déterminant) : $\vec u(x\,;y)$ et $\vec v(x'\,;y')$ colinéaires $\iff xy'-yx'=0$

⚡ Les réflexes

« montrer que $ABCD$ est un parallélogramme » prouver $\vec{AB}=\vec{DC}$ (mêmes coordonnées)
« points alignés ? » / « droites parallèles ? » déterminant nul (alignement : $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ colinéaires)
somme du type $\vec{AB}+\vec{BC}$ Chasles : le point relais s'efface → $\vec{AC}$
« calculer la longueur $AB$ » norme : $\lVert\vec{AB}\rVert=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Inverser « arrivée moins départ » : avec $A(-2\,;3)$ et $B(1\,;-1)$ , $\vec{AB}(3\,;-4)$ — calculer $x_A-x_B$ donne le vecteur opposé $\vec{BA}$ .
« $ABCD$ parallélogramme » se traduit par $\vec{AB}=\vec{DC}$ : écrire $\vec{AB}=\vec{CD}$ décrit un quadrilatère croisé — l'ordre des lettres décide de tout.
Confondre direction et sens : $\vec{AB}$ et $\vec{BA}$ ont même direction et même norme, mais des sens opposés — $\vec{BA}=-\vec{AB}$ .

🌺 En vrai : Les flèches de vent sur la carte d'un cyclone : des vecteurs — direction, sens, et la norme pour la force des rafales.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Comprendre direction, sens et norme d'un vecteur
★★★
Par quoi un vecteur est-il caractérisé ?
- A. Une direction, un sens et une norme
- B. Seulement une longueur
- C. Seulement un point
- D. Un angle uniquement
Voir la correction
Réponse : Une direction, un sens et une norme
Définition : Un vecteur n'est pas un simple nombre : il a plusieurs caractéristiques.

Méthode : On rappelle la définition du cours.

Calcul / Observation : Un vecteur a une direction, un sens et une norme.

Conclusion : Direction, sens et norme.
Exo 2 · Reconnaitre deux vecteurs égaux
★★★
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si :
- A. Ils ont la même direction, le même sens et la même norme
- B. Ils ont la même norme seulement
- C. Ils partent du même point
- D. Ils sont perpendiculaires
Voir la correction
Réponse : Ils ont la même direction, le même sens et la même norme
Définition : L'égalité de vecteurs ne dépend pas du point de départ.

Méthode : Il faut même direction, même sens et même norme.

Calcul / Observation : De façon équivalente : mêmes coordonnées.

Conclusion : Même direction, même sens et même norme.
Exo 3 · Construire la somme de deux vecteurs (relation de Chasles)
★★★
Que vaut $\vec{AB} + \vec{BC}$ (relation de Chasles) ?
- A. $\vec{AC}$
- B. $\vec{CA}$
- C. $\vec{AB}$
- D. $\vec{0}$
Voir la correction
Réponse : $\vec{AC}$
Définition : La relation de Chasles enchaîne deux déplacements.

Méthode : Aller de $A$ à $B$ puis de $B$ à $C$ , c'est aller de $A$ à $C$ .

Calcul / Observation : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ .

Conclusion : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ .

☑️ Je sais…

Comprendre direction, sens et norme d'un vecteur
Reconnaitre deux vecteurs égaux
Construire la somme de deux vecteurs (relation de Chasles)
Calculer les coordonnées d'un vecteur
Calculer la norme d'un vecteur
Multiplier un vecteur par un nombre réel
Simplifier une expression vectorielle avec Chasles (somme, différence, réordonnancement)
Placer un point défini par une égalité vectorielle
Étudier la colinéarité avec le déterminant (alignement, parallélisme)

Guide de survie · fiche 10/22

Géométrie

Repère et coordonnées

🎯 En 30 secondes

Un repère transforme chaque point du plan en un couple de nombres : $M(x\,;y)$ , abscisse d'abord (axe horizontal), ordonnée ensuite (axe vertical). La géométrie devient alors du calcul : une moyenne donne le milieu, Pythagore caché sous une racine donne la distance.

🧰 Les formules qui sauvent

Un point = deux nombres : $M(x\,;y)$ : abscisse $x$ sur l'axe horizontal, ordonnée $y$ sur l'axe vertical
Origine : $O(0\,;0)$ : le croisement des deux axes
Milieu de $[AB]$ : $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}$ et $y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$
Distance (repère orthonormé) : $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
Segment horizontal / vertical :même ordonnée : $AB=|x_B-x_A|$ ; même abscisse : $AB=|y_B-y_A|$

⚡ Les réflexes

« lis / place le point » premier nombre = abscisse (horizontal), second = ordonnée (vertical)
« milieu de $[AB]$ » moyenne des abscisses ET moyenne des ordonnées (jamais de soustraction)
« distance $AB$ », « longueur » écarts au carré, somme, racine — et repère orthonormé obligatoire (Pythagore)
« nature du triangle $ABC$ ? » calculer les trois distances $AB$ , $AC$ , $BC$ puis comparer

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Inverser abscisse et ordonnée : pour $(2\,;5)$ , on avance de 2 puis on monte de 5 — pas l'inverse.
Dans la distance, additionner les écarts sans les élever au carré : pour des écarts de 3 et 4, $AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$ , jamais $3+4=7$ — et ne pas oublier la racine à la fin.
Perdre un signe dans le milieu : entre $-2$ et $4$ , la moyenne est $\dfrac{-2+4}{2}=1$ , pas $3$ .

🌺 En vrai : Une position GPS, c'est un couple de coordonnées — deux nombres suffisent pour désigner n'importe quel point de l'île.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Lire et placer un point dans un repère
★★★
Dans un couple de coordonnées $(x\,;y)$ , que désigne $x$ ?
- A. L'abscisse (position horizontale)
- B. L'ordonnée (position verticale)
- C. La distance à l'origine
- D. La pente
Voir la correction
Réponse : L'abscisse (position horizontale)
Définition : Un point est repéré par deux coordonnées : abscisse puis ordonnée.

Méthode : On lit d'abord la position horizontale.

Calcul / Observation : Le premier nombre $x$ est l'abscisse.

Conclusion : $x$ désigne l'abscisse (position horizontale).
Exo 2 · Calculer les coordonnées d'un milieu
★★★
Comment calcule-t-on les coordonnées du milieu de $[AB]$ ?
- A. On fait la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées
- B. On additionne les abscisses et les ordonnées
- C. On soustrait les coordonnées de $A$ à celles de $B$
- D. On multiplie les coordonnées
Voir la correction
Réponse : On fait la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées
Définition : Le milieu est équidistant de $A$ et $B$ : ses coordonnées sont des moyennes.

Méthode : $x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2}$ et $y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2}$ .

Calcul / Observation : On applique cette formule à chaque coordonnée.

Conclusion : On fait la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées.
Exo 3 · Calculer une distance dans un repère orthonormé
★★★
Soit $A(0\,;0)$ et $B(3\,;4)$ . Combien vaut la distance $AB$ ?
Voir la correction
Réponse : 5
Définition : On applique la formule de la distance.

Méthode : $AB = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16}$ .

Calcul / Observation : $= \sqrt{25} = 5$ .

Conclusion : $AB = 5$ .

☑️ Je sais…

Lire et placer un point dans un repère
Calculer les coordonnées d'un milieu
Prouver une configuration à partir des coordonnées (parallélogramme, nature d'un triangle)
Calculer une distance dans un repère orthonormé

Guide de survie · fiche 11/22

Géométrie

Droites du plan

🎯 En 30 secondes

Une droite non verticale, c'est une équation $y=ax+b$ : $a$ est le coefficient directeur (la pente — de combien $y$ monte quand $x$ avance de 1), $b$ l'ordonnée à l'origine (là où la droite coupe l'axe des $y$ ). La forme cartésienne $ax+by+c=0$ décrit toutes les droites, même les verticales $x=k$ . Pentes égales → parallèles ; pentes différentes → un unique point d'intersection : résoudre le système.

🧰 Les formules qui sauvent

Équation réduite : $y=ax+b$ : $a$ = coefficient directeur (pente), $b$ = ordonnée à l'origine
Pente par deux points : $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ (avec $x_A\neq x_B$ )
Vecteur directeur : $\vec{u}(1\,;a)$ pour $y=ax+b$ ; $\vec{u}(-b\,;a)$ pour $ax+by+c=0$
Verticale / horizontale : $x=k$ (verticale — pas de forme réduite) ; $y=k$ (horizontale, pente nulle)
Parallélisme : $d\parallel d'\iff$ même coefficient directeur (vecteurs directeurs colinéaires)
Intersection (système) : $ax+b=a'x+b'$ → $x$ , puis reporter dans une équation → $y$

⚡ Les réflexes

« le point est-il sur la droite ? » remplacer $x$ et $y$ par ses coordonnées : équation vérifiée = il y est
équation de droite par deux points calculer la pente $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ , puis trouver $b$ avec l'un des points
« parallèles, confondues ou sécantes ? » comparer les pentes : égales → parallèles (et mêmes $b$ : confondues) ; différentes → sécantes
« point d'intersection » / système 2×2 égaler les deux expressions de $y$ (substitution), trouver $x$ , reporter pour $y$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Inverser la formule de la pente : $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ , les écarts d'ordonnées AU-DESSUS — de $A(1\,;2)$ à $B(3\,;8)$ , $a=3$ et non $\frac{1}{3}$ .
Chercher $y=ax+b$ pour une droite verticale : elle n'en a pas — une verticale s'écrit $x=k$ (seule la forme cartésienne la couvre).
Résoudre le système, trouver $x$ … et s'arrêter : la solution est un COUPLE $(x\,;y)$ — reporter $x$ dans une équation pour calculer $y$ .

🌺 En vrai : Le panneau « 10 % » dans la montée du Maïdo : une pente de 0,10 — on s'élève de 10 m tous les 100 m horizontaux, le coefficient directeur de la route.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Lire pente et ordonnée à l'origine
★★★
Dans l'équation $y = ax + b$ , que représente $a$ ?
- A. Le coefficient directeur (la pente)
- B. L'ordonnée à l'origine
- C. L'abscisse à l'origine
- D. La longueur de la droite
Voir la correction
Réponse : Le coefficient directeur (la pente)
Définition : L'équation réduite $y = ax + b$ a deux paramètres.

Méthode : $a$ mesure l'inclinaison de la droite.

Calcul / Observation : C'est le coefficient directeur (la pente).

Conclusion : $a$ est le coefficient directeur.
Exo 2 · Déterminer une équation réduite de droite
★★★
Quelle est la forme générale d'une équation réduite de droite (non verticale) ?
- A. $y = ax + b$
- B. $ax + by + c = 0$
- C. $x = ay + b$
- D. $y = ax^2 + b$
Voir la correction
Réponse : $y = ax + b$
Définition : L'équation réduite exprime $y$ en fonction de $x$ .

Méthode : Elle fait apparaître pente et ordonnée à l'origine.

Calcul / Observation : C'est $y = ax + b$ .

Conclusion : La forme réduite est $y = ax + b$ .
Exo 3 · Déterminer un vecteur directeur d'une droite
★★★
Qu'est-ce qu'un vecteur directeur d'une droite ?
- A. Un vecteur non nul qui donne la direction de la droite
- B. Un vecteur perpendiculaire à la droite
- C. Un vecteur de longueur $1$
- D. Le vecteur qui relie l'origine à la droite
Voir la correction
Réponse : Un vecteur non nul qui donne la direction de la droite
Définition : Un vecteur directeur indique la direction de la droite.

Méthode : Il doit être non nul et parallèle à la droite.

Calcul / Observation : Tous les vecteurs directeurs d'une droite sont colinéaires.

Conclusion : C'est un vecteur non nul qui donne la direction de la droite.

☑️ Je sais…

Lire pente et ordonnée à l'origine
Déterminer un vecteur directeur d'une droite
Déterminer une équation réduite de droite
Déterminer et utiliser une équation cartésienne
Exploiter le coefficient directeur pour le parallélisme
Trouver l'intersection de deux droites
Résoudre un système de deux équations à deux inconnues

Guide de survie · fiche 12/22

Géométrie

Problèmes de géométrie plane

🎯 En 30 secondes

La géométrie du collège devient une boîte à outils pour résoudre de vrais problèmes : Pythagore pour les longueurs, SOH-CAH-TOA pour les angles, les formules d'aires pour les surfaces. La nouveauté : le projeté orthogonal de $M$ sur une droite $d$ est le point de $d$ le plus proche de $M$ — c'est lui qui donne la distance d'un point à une droite. Et quand l'énoncé veut « le plus grand possible », on modélise par une fonction : c'est l'optimisation.

🧰 Les formules qui sauvent

Projeté orthogonal : $H$ = pied de la perpendiculaire à $d$ passant par $M$ ; distance de $M$ à $d$ : $MH$
SOH-CAH-TOA : $\sin\hat A=\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ ; $\cos\hat A=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ ; $\tan\hat A=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$
Identité fondamentale : $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$ (elle découle de Pythagore)
Pythagore :triangle rectangle en $B$ : $AC^2=AB^2+BC^2$
Aires :triangle : $\dfrac{b\times h}{2}$ ; rectangle : $L\times\ell$ ; carré : $c^2$ ; disque : $\pi r^2$

⚡ Les réflexes

« distance d'un point à une droite » la perpendiculaire : c'est $MH$ , où $H$ est le projeté orthogonal de $M$
triangle rectangle, un angle et un côté connus SOH-CAH-TOA — repérer hypoténuse, opposé, adjacent AVANT de choisir sin, cos ou tan
$\cos\alpha$ connu, $\sin\alpha$ cherché $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$ , puis racine (angle aigu → résultat positif)
« le plus grand / le plus petit possible » exprimer la grandeur comme fonction d'UNE variable, puis tableau de variations (à périmètre fixé, le carré a l'aire maximale)

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Confondre opposé et adjacent : ils dépendent de l'angle choisi — pour $\hat A$ , l'opposé est le côté qui ne touche pas $A$ ; seule l'hypoténuse ne change jamais.
Projeter $M(3\,;2)$ sur l'axe des abscisses et répondre $(0\,;2)$ : FAUX — on garde l'abscisse, l'ordonnée devient $0$ : le projeté est $(3\,;0)$ .
Écrire $\cos\alpha+\sin\alpha=1$ : FAUX — la relation porte sur les CARRÉS : $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$ .

🌺 En vrai : Estimer la hauteur d'une cascade sans y grimper : une distance au sol, un angle de visée, et la tangente fait le reste.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Utiliser sinus, cosinus et tangente dans le triangle rectangle
★★★
Le moyen mnémotechnique pour la trigonométrie du triangle rectangle est :
- A. SOH-CAH-TOA
- B. PEMDAS
- C. FOIL
- D. GPS
Voir la correction
Réponse : SOH-CAH-TOA
Définition : Un moyen mnémotechnique résume les trois rapports.

Méthode : SOH (sin=O/H), CAH (cos=A/H), TOA (tan=O/A).

Calcul / Observation : C'est SOH-CAH-TOA.

Conclusion : SOH-CAH-TOA.
Exo 2 · Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droite
★★★
Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur une droite $d$ est :
- A. Le point de $d$ le plus proche de $M$
- B. Le milieu de $d$
- C. Le point de $d$ le plus éloigné de $M$
- D. Un point en dehors de $d$
Voir la correction
Réponse : Le point de $d$ le plus proche de $M$
Définition : Le projeté orthogonal est le pied de la perpendiculaire abaissée de $M$ sur $d$ .

Méthode : C'est l'intersection de $d$ avec la perpendiculaire à $d$ passant par $M$ .

Calcul / Observation : C'est le point de $d$ le plus proche de $M$ .

Conclusion : C'est le point de $d$ le plus proche de $M$ .
Exo 3 · Utiliser la relation cos² x + sin² x = 1
★★★
Pour un angle aigu $\alpha$ , combien vaut $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)$ ?
Voir la correction
Réponse : 1
Définition : Il existe une relation fondamentale entre cosinus et sinus.

Méthode : Elle découle du théorème de Pythagore.

Calcul / Observation : $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$ .

Conclusion : Cela vaut $1$ .

☑️ Je sais…

Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droite
Utiliser sinus, cosinus et tangente dans le triangle rectangle
Utiliser la relation cos² x + sin² x = 1
Calculer longueurs, angles et aires dans une configuration
Traiter un problème d'optimisation géométrique

Guide de survie · fiche 13/22

Fonctions

Fonctions : vocabulaire et représentations

🎯 En 30 secondes

Une fonction $f$ , c'est une machine : tu entres un nombre $x$ , il ressort un seul nombre $f(x)$ . Tout le chapitre est un aller-retour : image de $a$ → calculer $f(a)$ ; antécédent de $k$ → résoudre $f(x)=k$ . La courbe rassemble tous les points $(x\,;f(x))$ : chaque question a sa version graphique.

🧰 Les formules qui sauvent

Image de $a$ :calculer $f(a)$ : remplacer $x$ par $a$ dans la formule — l'image est toujours unique
Antécédent de $k$ :résoudre l'équation $f(x)=k$ — il peut y en avoir $0$ , $1$ ou plusieurs
Courbe représentative : $M(x\,;y)$ est sur la courbe ⟺ $y=f(x)$ : c'est l'ensemble des points $(x\,;f(x))$
Résolution graphique : $f(x)=k$ : droite horizontale $y=k$ → abscisses des intersections ; $f(x)<0$ : courbe sous l'axe des abscisses
Produit nul & signes : $A\times B=0 \iff A=0$ ou $B=0$ ; inéquation produit/quotient → tableau de signes (dénominateur jamais nul)
Parité :paire : $f(-x)=f(x)$ (symétrie axe des ordonnées) ; impaire : $f(-x)=-f(x)$ (symétrie origine)

⚡ Les réflexes

« calculer l'image de $a$ » / « $f(a)$ » remplacer $x$ par $a$ partout — parenthèses obligatoires si $a$ est négatif
« antécédent(s) de $k$ » résoudre l'équation $f(x)=k$ (surtout pas calculer $f(k)$ )
« résoudre graphiquement $f(x)=k$ » tracer $y=k$ et lire les abscisses des points d'intersection
« $(x-3)(x+2)=0$ » ou « $>0$ » équation : un facteur nul suffit ; inéquation : tableau de signes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Confondre image et antécédent : si $f(3)=7$ , alors $7$ est l'image de $3$ et $3$ est un antécédent de $7$ — jamais l'inverse.
Oublier les parenthèses : pour $f(x)=x^2+1$ , $f(-2)=(-2)^2+1=5$ , pas $-2^2+1=-3$ .
Répondre les ordonnées en résolvant $f(x)=k$ graphiquement : les solutions sont les ABSCISSES des points d'intersection ( $9$ a d'ailleurs deux antécédents par la fonction carré : $3$ et $-3$ ).

🌺 En vrai : Le graphique de la houle à Saint-Pierre : « quelle hauteur à 14 h ? », c'est une image ; « à quelle heure 2 m ? », c'est un antécédent.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Utiliser image, antécédent et courbe représentative
★★★
Si $f(3) = 7$ , comment appelle-t-on le nombre $7$ ?
- A. L'image de $3$ par $f$
- B. Un antécédent de $3$
- C. La pente de $f$
- D. L'ordonnée à l'origine
Voir la correction
Réponse : L'image de $3$ par $f$
Définition : $f(x)$ est l'image de $x$ par la fonction $f$ .

Méthode : Ici on calcule $f(3) = 7$ .

Calcul / Observation : $7$ est donc l'image de $3$ .

Conclusion : $7$ est l'image de $3$ par $f$ .
Exo 2 · Calculer une image avec une formule
★★★
Soit $f(x) = 2x - 3$ . Combien vaut $f(4)$ ?
Voir la correction
Réponse : 5
Définition : Calculer une image, c'est remplacer $x$ par la valeur donnée.

Méthode : $f(4) = 2 \times 4 - 3$ .

Calcul / Observation : $= 8 - 3 = 5$ .

Conclusion : $f(4) = 5$ .
Exo 3 · Déterminer le domaine de définition d'une fonction
★★★
Le domaine de définition d'une fonction, c'est :
- A. l'ensemble des $x$ pour lesquels $f(x)$ existe
- B. l'intervalle où $f$ est croissante
- C. l'ensemble des valeurs prises par $f$
- D. l'ensemble des solutions de $f(x) = 0$
Voir la correction
Réponse : l'ensemble des $x$ pour lesquels $f(x)$ existe
Définition : Le domaine de définition rassemble les nombres qu'on peut donner à la fonction.

Méthode : On écarte ce qui rendrait le calcul impossible.

Calcul / Observation : Les valeurs prises par $f$ , elles, forment l'ensemble des images — c'est autre chose.

Conclusion : C'est l'ensemble des $x$ pour lesquels $f(x)$ existe.

☑️ Je sais…

Utiliser image, antécédent et courbe représentative
Calculer une image avec une formule
Rechercher un antécédent
Passer d'un tableau à un graphique
Résoudre graphiquement f(x) = k ou f(x) < k
Résoudre graphiquement f(x) = g(x) ou f(x) > g(x)
Déterminer le domaine de définition d'une fonction

Guide de survie · fiche 14/22

Fonctions

Variations et extremums

🎯 En 30 secondes

Décrire une fonction, c'est dire où elle monte et où elle descend : croissante = quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente ; décroissante = $f(x)$ diminue. Le tableau de variations résume tout : une flèche par intervalle, les valeurs aux bornes. Tout en haut le maximum, tout en bas le minimum — des valeurs de $f(x)$ , jamais de $x$ .

🧰 Les formules qui sauvent

Croissante sur $I$ : $u\leqslant v \Rightarrow f(u)\leqslant f(v)$ : l'ordre est conservé
Décroissante sur $I$ : $u\leqslant v \Rightarrow f(u)\geqslant f(v)$ : l'ordre est renversé
Maximum en $x_0$ : $f(x)\leqslant f(x_0)$ pour tout $x$ de $I$ — le max est la valeur $f(x_0)$ (minimum : idem avec $\geqslant$ )
Tableau de variations : $\nearrow$ = croissante, $\searrow$ = décroissante ; les extremums sont aux pointes des flèches
Affine $f(x)=ax+b$ :croissante si $a>0$ , décroissante si $a<0$ : le signe de $a$ décide
Carré $f(x)=x^2$ : $\searrow$ sur $]-\infty\,;0]$ , $\nearrow$ sur $[0\,;+\infty[$ ; minimum $0$ atteint en $x=0$

⚡ Les réflexes

« croissante ou décroissante sur $[a\,;b]$ ? » suivre la courbe de gauche à droite : ça monte → croissante, ça descend → décroissante
la fonction monte puis descend maximum au sommet (descend puis monte : minimum au creux)
« quel est le maximum ? » / « en quelle valeur est-il atteint ? » deux réponses différentes : la valeur $f(x_0)$ , puis l'abscisse $x_0$ — lire la question
un carré du type $(x-3)^2$ toujours $\geqslant 0$ , minimal quand la parenthèse s'annule : minimum en $x=3$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Confondre le minimum (une valeur de $f(x)$ ) et l'endroit où il est atteint (une valeur de $x$ ) : pour $f(x)=(x-2)^2$ , le minimum est $0$ , atteint en $x=2$ .
Confondre « croissante » et « positive » : une fonction peut monter en restant négative. Le tableau de variations (flèches) n'est pas le tableau de signes (+/−).
Annoncer « $x^2$ est croissante » sans intervalle : elle décroît sur $]-\infty\,;0]$ et croît sur $[0\,;+\infty[$ — un sens de variation se donne toujours sur un intervalle.

🌺 En vrai : La hauteur d'eau au port de Saint-Pierre : elle monte, atteint son maximum à marée haute, puis redescend — un tableau de variations grandeur nature.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Lire un tableau de variations
★★★
Dans un tableau de variations, une flèche qui monte signifie que la fonction est :
- A. croissante
- B. décroissante
- C. constante
- D. nulle
Voir la correction
Réponse : croissante
Définition : Le tableau de variations résume le sens de variation avec des flèches.

Méthode : Une flèche montante indique que $f(x)$ augmente quand $x$ augmente.

Calcul / Observation : C'est la définition d'une fonction croissante.

Conclusion : La fonction est croissante.
Exo 2 · Décrire croissance et décroissance sur un intervalle
★★★
Une fonction est croissante sur un intervalle si, quand $x$ augmente :
- A. $f(x)$ augmente
- B. $f(x)$ diminue
- C. $f(x)$ reste constant
- D. $f(x)$ devient nul
Voir la correction
Réponse : $f(x)$ augmente
Définition : La croissance décrit le lien entre $x$ et $f(x)$ .

Méthode : Croissante : à $x$ plus grand correspond $f(x)$ plus grand.

Calcul / Observation : Donc $f(x)$ augmente avec $x$ .

Conclusion : $f(x)$ augmente.
Exo 3 · Identifier minimum et maximum
★★★
Le minimum d'une fonction sur un intervalle est :
- A. la plus petite valeur prise par $f(x)$
- B. la plus petite valeur de $x$
- C. le point d'intersection avec l'axe des abscisses
- D. la pente la plus faible
Voir la correction
Réponse : la plus petite valeur prise par $f(x)$
Définition : Un extremum est une valeur prise par la fonction.

Méthode : Le minimum est la plus petite ordonnée atteinte.

Calcul / Observation : C'est une valeur de $f(x)$ , pas de $x$ .

Conclusion : C'est la plus petite valeur prise par $f(x)$ .

☑️ Je sais…

Lire un tableau de variations
Décrire croissance et décroissance sur un intervalle
Identifier minimum et maximum

Guide de survie · fiche 15/22

Fonctions

Fonctions affines

🎯 En 30 secondes

Une fonction affine s'écrit $f(x)=ax+b$ : sa courbe est une droite. Deux nombres commandent tout : $a$ , le coefficient directeur (la pente — ce que gagne $f$ quand $x$ augmente de 1), et $b$ , l'ordonnée à l'origine (la droite coupe l'axe vertical en $b$ , car $f(0)=b$ ). Les lire, les calculer, en déduire variations et signe : c'est tout le chapitre.

🧰 Les formules qui sauvent

Forme : $f(x)=ax+b$ ; linéaire si $b=0$ , constante si $a=0$ (les deux restent affines)
Coefficient directeur : $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ (deux points connus)
Ordonnée à l'origine : $b=f(0)$
Sens de variation : $a>0$ → croissante ; $a<0$ → décroissante ; $a=0$ → constante
Zéro : $ax+b=0 \iff x=-\dfrac{b}{a}$ (si $a\neq 0$ )
Signe :signe de $a$ après $-\dfrac{b}{a}$ , signe de $-a$ avant

⚡ Les réflexes

« calculer l'image de 3 » remplacer $x$ par 3 dans la formule : $f(3)$
« antécédent de 9 » résoudre l'équation $ax+b=9$
deux points ou deux images connus $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ , puis $b$ avec $f(0)$ ou un point
« signe de $f$ » / inéquation $ax+b>0$ chercher le zéro, puis tableau de signes selon le signe de $a$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Confondre image et antécédent : l'antécédent de 9 s'obtient en résolvant $f(x)=9$ , jamais en calculant $f(9)$ .
Inverser le taux d'accroissement : les $y$ en haut, les $x$ en bas — $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ — et dans le même ordre en haut et en bas.
Oublier de retourner l'inégalité en divisant par un nombre négatif : $-2x+4\geqslant 0$ donne $x\leqslant 2$ , pas $x\geqslant 2$ .

🌺 En vrai : Une course en taxi : prise en charge fixe + prix au kilomètre — le total $ax+b$ est affine ; la prise en charge, c'est $b=f(0)$ .

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Exo 1 · Reconnaitre une fonction affine f(x) = ax + b
★★★
Une fonction affine s'écrit sous la forme :
- A. $f(x) = ax + b$
- B. $f(x) = ax^2 + b$
- C. $f(x) = \dfrac{a}{x}$
- D. $f(x) = \sqrt{x}$
Voir la correction
Réponse : $f(x) = ax + b$
Définition : Une fonction affine est de degré $1$ .

Méthode : Elle s'écrit $f(x) = ax + b$ .

Calcul / Observation : $a$ est le coefficient directeur, $b$ l'ordonnée à l'origine.

Conclusion : $f(x) = ax + b$ .
Exo 2 · Calculer images et antécédents d'une fonction affine
★★★
Soit $f(x) = 2x + 1$ . Combien vaut $f(3)$ ?
Voir la correction
Réponse : 7
Définition : On calcule l'image en remplaçant $x$ .

Méthode : $f(3) = 2 \times 3 + 1 = 6 + 1$ .

Calcul / Observation : $= 7$ .

Conclusion : $f(3) = 7$ .
Exo 3 · Déterminer une fonction affine à partir de données
★★★
Une fonction affine a pour coefficient directeur $2$ et ordonnée à l'origine $3$ . Quelle est son expression ?
- A. $f(x) = 2x + 3$
- B. $f(x) = 3x + 2$
- C. $f(x) = 2x - 3$
- D. $f(x) = 2 + 3x$
Voir la correction
Réponse : $f(x) = 2x + 3$
Définition : On remplace $a$ et $b$ dans $f(x) = ax + b$ .

Méthode : $a = 2$ , $b = 3$ .

Calcul / Observation : $f(x) = 2x + 3$ .

Conclusion : $f(x) = 2x + 3$ .

☑️ Je sais…

Reconnaitre une fonction affine f(x) = ax + b
Calculer images et antécédents d'une fonction affine
Déterminer une fonction affine à partir de données
Étudier le signe d'une fonction affine

Guide de survie · fiche 16/22

Fonctions

Fonctions de référence

🎯 En 30 secondes

Quatre courbes à connaître par cœur : le carré $x^2$ (parabole), l'inverse $\frac{1}{x}$ (hyperbole), la racine carrée $\sqrt{x}$ et le cube $x^3$ . Pour chacune, trois questions : où est-elle définie ? à quoi ressemble sa courbe ? dans quel sens varie-t-elle ? Le sens de variation fait tout le reste : comparer des images sans calculer et compter les solutions de $f(x)=k$ .

🧰 Les formules qui sauvent

Carré (parabole) : $f(x)=x^2$ : décroît sur $]-\infty\,;0]$ , croît sur $[0\,;+\infty[$ ; minimum $0$ en $x=0$
Inverse (hyperbole) : $f(x)=\dfrac{1}{x}$ , définie pour $x\neq 0$ : décroissante sur $]-\infty\,;0[$ ET sur $]0\,;+\infty[$ (séparément)
Racine carrée : $f(x)=\sqrt{x}$ , définie pour $x\geqslant 0$ : croissante sur $[0\,;+\infty[$
Cube : $f(x)=x^3$ , définie sur $\mathbb{R}$ : croissante ; $x^3$ a le signe de $x$
Parité :carré : paire ( $f(-x)=f(x)$ ) ; inverse et cube : impaires ( $f(-x)=-f(x)$ )
Solutions de $x^2=k$ : $k>0$ : $\sqrt{k}$ et $-\sqrt{k}$ ; $k=0$ : $0$ seul ; $k<0$ : aucune

⚡ Les réflexes

« comparer $f(a)$ et $f(b)$ » sans calculer sens de variation : croissante conserve l'ordre, décroissante l'inverse
équation $x^2=k$ regarder le signe de $k$ : 2, 1 ou 0 solutions — ne jamais oublier $-\sqrt{k}$
$\sqrt{x}=k$ ( $k\geqslant 0$ ) ou $\dfrac{1}{x}=k$ ( $k\neq 0$ ) une seule solution : $x=k^2$ ; $x=\dfrac{1}{k}$
équation $x^3=k$ une seule solution, du signe de $k$ (le cube est strictement croissant)

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Résoudre $x^2=9$ en ne donnant que $x=3$ : il y a DEUX solutions, $3$ et $-3$ .
Ranger les carrés comme les nombres : $-5<2$ , pourtant $(-5)^2=25>4=2^2$ — avec des négatifs, calcule les images.
Confondre l'inverse et l'opposé : l'inverse de $4$ est $\dfrac{1}{4}$ , pas $-4$ .

🌺 En vrai : La distance de freinage grandit comme le carré de la vitesse : rouler deux fois plus vite sur la route des Tamarins, c'est freiner quatre fois plus loin.

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Exo 1 · Connaitre la fonction carré
★★★
Quelle est l'expression de la fonction carré ?
- A. $f(x) = x^2$
- B. $f(x) = 2x$
- C. $f(x) = \sqrt{x}$
- D. $f(x) = \dfrac{1}{x}$
Voir la correction
Réponse : $f(x) = x^2$
Définition : La fonction carré élève au carré.

Méthode : Son expression est $f(x) = x^2$ .

Calcul / Observation : Sa courbe est une parabole.

Conclusion : $f(x) = x^2$ .
Exo 2 · Connaitre la fonction inverse
★★★
Quelle est l'expression de la fonction inverse ?
- A. $f(x) = \dfrac{1}{x}$
- B. $f(x) = -x$
- C. $f(x) = x^2$
- D. $f(x) = \sqrt{x}$
Voir la correction
Réponse : $f(x) = \dfrac{1}{x}$
Définition : La fonction inverse associe à $x$ son inverse.

Méthode : Son expression est $f(x) = \dfrac{1}{x}$ .

Calcul / Observation : Attention : ne pas confondre inverse ( $\dfrac{1}{x}$ ) et opposé ( $-x$ ).

Conclusion : $f(x) = \dfrac{1}{x}$ .
Exo 3 · Connaitre la fonction racine carrée
★★★
Quelle est l'expression de la fonction racine carrée ?
- A. $f(x) = \sqrt{x}$
- B. $f(x) = x^2$
- C. $f(x) = \dfrac{1}{x}$
- D. $f(x) = 2x$
Voir la correction
Réponse : $f(x) = \sqrt{x}$
Définition : La fonction racine carrée associe à $x$ sa racine carrée.

Méthode : Son expression est $f(x) = \sqrt{x}$ .

Calcul / Observation : Elle est définie pour $x \ge 0$ .

Conclusion : $f(x) = \sqrt{x}$ .

☑️ Je sais…

Connaitre la fonction carré
Connaitre la fonction inverse
Connaitre la fonction racine carrée
Connaitre la fonction cube
Connaitre la fonction valeur absolue (calcul et courbe)
Comparer deux images avec une fonction de référence
Résoudre f(x) = k pour une fonction de référence

Guide de survie · fiche 17/22

Statistiques et probabilités

Information chiffrée : proportions et évolutions

🎯 En 30 secondes

Une proportion compare une partie à un total : $\dfrac{\text{partie}}{\text{total}}$ . Une évolution de $t\,\%$ tient tout entière dans son coefficient multiplicateur ( $1{,}2$ pour $+20\,\%$ , $0{,}8$ pour $-20\,\%$ ) : c'est lui qui permet d'enchaîner les évolutions et de revenir en arrière. Règle d'or : des évolutions successives se multiplient (coefficient par coefficient), leurs taux ne s'additionnent jamais.

🧰 Les formules qui sauvent

Proportion : $p=\dfrac{\text{effectif de la partie}}{\text{effectif total}}$ ; en % : $\times\,100$
Pourcentage de pourcentage :on multiplie les décimaux : $30\,\%$ de $50\,\%$ = $0{,}3\times0{,}5=0{,}15$ , soit $15\,\%$
Variation absolue / relative :absolue : $V_f-V_i$ (en unités) ; relative : $\dfrac{V_f-V_i}{V_i}\times100$ (en %)
Taux ↔ coefficient :hausse : $CM=1+\dfrac{t}{100}$ ; baisse : $CM=1-\dfrac{t}{100}$ ; retour au taux : $t=(CM-1)\times100$
Évolutions successives : $CM_{\text{global}}=CM_1\times CM_2$ (ex. $+10\,\%$ puis $+20\,\%$ : $1{,}1\times1{,}2=1{,}32$ )
Évolution réciproque : $CM_{\text{réciproque}}=\dfrac{1}{CM}$ (annuler $+25\,\%$ : $\dfrac{1}{1{,}25}=0{,}8$ , soit $-20\,\%$ )

⚡ Les réflexes

« quelle proportion / quel pourcentage ? » $\dfrac{\text{partie}}{\text{total}}\times100$ — bien identifier le total
« $20\,\%$ des élèves… et $30\,\%$ d'entre eux » pourcentage de pourcentage : multiplier les décimaux ( $0{,}2\times0{,}3$ , soit $6\,\%$ )
« augmente / diminue de $t\,\%$ » coefficient multiplicateur : $\times\,1{,}08$ pour $+8\,\%$ , $\times\,0{,}92$ pour $-8\,\%$
des évolutions qui s'enchaînent multiplier les coefficients — jamais additionner les taux

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Additionner des taux successifs : $+10\,\%$ puis $+10\,\%$ , c'est $\times\,1{,}1\times1{,}1=\times\,1{,}21$ , donc $+21\,\%$ — pas $+20\,\%$ .
Croire qu'une hausse de $20\,\%$ s'annule par une baisse de $20\,\%$ : $1{,}2\times0{,}8=0{,}96$ , il reste une baisse de $4\,\%$ .
Mettre la valeur finale au dénominateur du taux : de $80$ à $100$ , c'est $\dfrac{20}{80}=25\,\%$ de hausse (pas $\dfrac{20}{100}=20\,\%$ ).

🌺 En vrai : Le billet d'avion Réunion–métropole prend $25\,\%$ pour les fêtes : pour retrouver son prix d'avant, il devra baisser de $20\,\%$ — pas de $25$ .

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Exo 1 · Calculer une proportion et un pourcentage d'une sous-population
★★★
Comment calcule-t-on la proportion (en %) d'une sous-population dans une population ?
- A. $\dfrac{\text{effectif de la partie}}{\text{effectif total}} \times 100$
- B. $\text{partie} \times \text{total}$
- C. $\text{total} - \text{partie}$
- D. $\dfrac{\text{total}}{\text{partie}} \times 100$
Voir la correction
Réponse : $\dfrac{\text{effectif de la partie}}{\text{effectif total}} \times 100$
Définition : Une proportion compare une partie au total.

Méthode : On divise l'effectif de la partie par l'effectif total.

Calcul / Observation : On multiplie par $100$ pour l'exprimer en pourcentage.

Conclusion : $\dfrac{\text{partie}}{\text{total}} \times 100$ .
Exo 2 · Calculer un pourcentage de pourcentage
★★★
$50\,\%$ de $50\,\%$ font-ils $100\,\%$ ?
- A. Non, cela fait $25\,\%$
- B. Oui, $100\,\%$
- C. Non, $0\,\%$
- D. Oui, presque
Voir la correction
Réponse : Non, cela fait $25\,\%$
Définition : On ne doit pas additionner les pourcentages ici.

Méthode : $0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25$ .

Calcul / Observation : $0{,}25 = 25\,\%$ .

Conclusion : Non, cela fait $25\,\%$ .
Exo 3 · Calculer un taux d'évolution et le coefficient multiplicateur
★★★
Augmenter une quantité de $10\,\%$ revient à la multiplier par quel coefficient ?
Voir la correction
Réponse : 1,1
Définition : Le coefficient multiplicateur d'une hausse de $t\,\%$ est $1 + \dfrac{t}{100}$ .

Méthode : $1 + \dfrac{10}{100} = 1 + 0{,}1$ .

Calcul / Observation : $= 1{,}1$ .

Conclusion : On multiplie par $1{,}1$ .

☑️ Je sais…

Calculer une proportion et un pourcentage d'une sous-population
Calculer un pourcentage de pourcentage
Distinguer variation absolue et variation relative
Calculer un taux d'évolution et le coefficient multiplicateur
Composer des évolutions successives
Déterminer une évolution réciproque

Guide de survie · fiche 18/22

Statistiques et probabilités

Statistiques descriptives

🎯 En 30 secondes

Résumer une série de données, c'est donner deux nombres : un indicateur de position (moyenne, médiane) pour situer le centre, et un indicateur de dispersion (étendue, écart interquartile, écart type) pour dire si les valeurs sont regroupées ou étalées. Deux séries peuvent avoir la même moyenne et des profils opposés — sans la dispersion, on ne voit rien.

🧰 Les formules qui sauvent

Moyenne : $\bar{x}=\dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{effectif total}}$ ; à l'envers : somme $=\bar{x}\times$ effectif
Moyenne pondérée : $\bar{x}=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\dots}{n_1+n_2+\dots}$ (diviser par la somme des effectifs ou coefficients)
Fréquence : $f=\dfrac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}$ ; toujours entre $0$ et $1$ , la somme des fréquences fait $1$ (soit $100\,\%$ )
Médiane :série ORDONNÉE coupée en deux moitiés — effectif impair : valeur du milieu ; effectif pair : moyenne des deux valeurs centrales
Quartiles : $Q_1$ : au moins $25\,\%$ des valeurs $\leqslant Q_1$ ; $Q_3$ : au moins $75\,\%$ ; écart interquartile $=Q_3-Q_1$ (les $50\,\%$ centraux)
Dispersion :étendue $=\max-\min$ ; écart type $\sigma\geqslant 0$ : étalement autour de $\bar{x}$ , nul si toutes les valeurs sont égales (calculatrice ou Python)

⚡ Les réflexes

« quelle est la médiane ? » ordonner la série D'ABORD, puis prendre le milieu (effectif pair : moyenne des deux centrales)
notes à coefficients, valeurs avec effectifs moyenne pondérée : $\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\dots}{n_1+n_2+\dots}$
« comparer deux séries » un indicateur de position ET un de dispersion (moyenne + écart type, ou médiane + $Q_3-Q_1$ )
« plus régulier / plus stable ? » regarder la dispersion : écart type le plus petit = plus régulier (à moyennes proches)

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Chercher la médiane sans ordonner la série : pour $9$ , $2$ , $5$ , la médiane est $5$ (série ordonnée : $2$ , $5$ , $9$ ), pas $2$ .
Moyenne pondérée : diviser par le nombre de valeurs au lieu de la somme des coefficients — $12$ (coef $1$ ) et $8$ (coef $3$ ) donnent $\dfrac{12+24}{4}=9$ , pas $10$ .
Croire la moyenne toujours « représentative » : une seule valeur extrême la fait bondir, alors que la médiane ne bouge pas — d'où étendue sensible aux extrêmes, mais $Q_3-Q_1$ robuste.

🌺 En vrai : Salaire « moyen » contre salaire « médian » : quelques très hauts salaires gonflent la moyenne — la médiane, elle, dit ce que gagne la moitié des gens.

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Exo 1 · Calculer une moyenne
★★★
La moyenne d'une série se calcule par :
- A. somme des valeurs $\div$ nombre de valeurs
- B. max $-$ min
- C. valeur du milieu
- D. valeur la plus fréquente
Voir la correction
Réponse : somme des valeurs $\div$ nombre de valeurs
Définition : La moyenne répartit le total également entre les valeurs.

Méthode : On divise la somme par l'effectif.

Calcul / Observation : Moyenne $= \dfrac{\text{somme}}{\text{effectif}}$ .

Conclusion : Somme $\div$ nombre de valeurs.
Exo 2 · Utiliser la linéarité de la moyenne
★★★
On ajoute $3$ à TOUTES les valeurs d'une série. Que devient la moyenne ?
- A. elle augmente de $3$
- B. elle ne change pas
- C. elle est multipliée par $3$
- D. elle augmente de $3$ divisé par l'effectif
Voir la correction
Réponse : elle augmente de $3$
Définition : Ajouter un même nombre à toutes les valeurs décale toute la série.

Méthode : Chaque valeur gagne $3$ , donc la somme gagne $3$ autant de fois qu'il y a de valeurs.

Calcul / Observation : En divisant par l'effectif, ce gain redevient $3$ .

Conclusion : La moyenne augmente de $3$ : elle suit le décalage.
Exo 3 · Lire une série statistique
★★★
L'effectif total d'une série statistique correspond :
- A. à la somme de tous les effectifs
- B. à la plus grande valeur
- C. à la moyenne
- D. au nombre de catégories
Voir la correction
Réponse : à la somme de tous les effectifs
Définition : L'effectif total compte tous les individus de la série.

Méthode : On additionne tous les effectifs.

Calcul / Observation : C'est la somme des effectifs.

Conclusion : L'effectif total est la somme des effectifs.

☑️ Je sais…

Lire une série statistique
Calculer une moyenne
Calculer une moyenne pondérée
Déterminer médiane et quartiles
Calculer une fréquence
Déterminer l'écart interquartile
Utiliser la linéarité de la moyenne
Calculer et interpréter l'écart type
Interpréter des indicateurs statistiques

Guide de survie · fiche 19/22

Statistiques et probabilités

Probabilités sur un ensemble fini

🎯 En 30 secondes

Le hasard se modélise : l'univers liste toutes les issues possibles, et chacune reçoit une probabilité — le total fait toujours 1. Un événement est un paquet d'issues, et sa probabilité est la somme des probabilités de ses issues. Cas roi, l'équiprobabilité (dé équilibré, tirage au hasard) : compter les cas favorables, diviser par le total.

🧰 Les formules qui sauvent

Loi de probabilité :chaque $p_i \in [0\,;1]$ et $p_1+p_2+\dots+p_n=1$
Équiprobabilité : $P(A)=\dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$
Événement contraire : $P(\overline{A})=1-P(A)$
Réunion (formule du crible) : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
Incompatibles : $A\cap B=\varnothing$ : $P(A\cap B)=0$ et $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
Arbre / tableau (2 étapes) :le long d'un chemin on multiplie ; entre plusieurs chemins on additionne

⚡ Les réflexes

« équilibré », « au hasard », « indiscernables » équiprobabilité : $P=\dfrac{\text{favorables}}{\text{total}}$
« au moins un… » passer par le contraire « aucun » : $P=1-P(\text{aucun})$
« $A$ ou $B$ » / « $A$ et $B$ » réunion $A\cup B$ / intersection $A\cap B$ , puis formule du crible
expérience à deux étapes (deux lancers, deux tirages) arbre ou tableau à double entrée pour lister TOUTES les issues

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Écrire $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ quand $A$ et $B$ ont des issues communes : l'intersection est comptée deux fois — il faut retirer $P(A\cap B)$ .
Utiliser « favorables sur total » avec un dé truqué : cette formule ne vaut QUE si toutes les issues sont équiprobables.
Confondre incompatibles et contraires : incompatibles = jamais ensemble ( $P(A\cap B)=0$ ) ; contraires = en plus, l'un des deux se réalise forcément.

🌺 En vrai : La roue de la kermesse du collège : 8 secteurs identiques dont 2 gagnants — $P(\text{gagner})=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$ , l'équiprobabilité en vrai.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Utiliser issue, évènement et univers
★★★
Lors d'une expérience aléatoire, une « issue » est :
- A. un résultat possible de l'expérience
- B. l'ensemble de tous les résultats
- C. la probabilité d'un événement
- D. le nombre d'expériences
Voir la correction
Réponse : un résultat possible de l'expérience
Définition : Une issue est un résultat élémentaire possible.

Méthode : Ex. pour un dé, « obtenir 4 » est une issue.

Calcul / Observation : L'ensemble des issues forme l'univers.

Conclusion : Une issue est un résultat possible.
Exo 2 · Construire une loi de probabilité sur un univers fini
★★★
Dans une loi de probabilité, la somme des probabilités de toutes les issues vaut :
Voir la correction
Réponse : 1
Définition : Une loi de probabilité répartit la « certitude » entre les issues.

Méthode : La somme de toutes les probabilités couvre tous les cas.

Calcul / Observation : Elle vaut donc $1$ .

Conclusion : La somme vaut $1$ .
Exo 3 · Calculer une probabilité par somme des issues
★★★
En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement se calcule par :
- A. $\dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$
- B. favorables $\times$ total
- C. total $-$ favorables
- D. $\dfrac{\text{total}}{\text{favorables}}$
Voir la correction
Réponse : $\dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$
Définition : En équiprobabilité, on compte les cas favorables et le total.

Méthode : $P = \dfrac{\text{favorables}}{\text{total}}$ .

Calcul / Observation : C'est la formule de base.

Conclusion : $\dfrac{\text{favorables}}{\text{total}}$ .

☑️ Je sais…

Utiliser issue, évènement et univers
Construire une loi de probabilité sur un univers fini
Calculer une probabilité par somme des issues
Utiliser l'évènement contraire (complémentaire)
Utiliser réunion et intersection d'évènements
Utiliser P(A ∪ B) + P(A ∩ B) = P(A) + P(B)
Organiser une expérience avec tableau ou arbre

Guide de survie · fiche 20/22

Statistiques et probabilités

Échantillonnage et simulation

🎯 En 30 secondes

Refais la même expérience avec deux échantillons : les résultats diffèrent — c'est la fluctuation d'échantillonnage. Quand la taille $n$ grandit, la fréquence observée $f$ se stabilise près de la probabilité $p$ : c'est la loi des grands nombres. La simulation (Python, tableur) répète l'expérience des milliers de fois en une seconde — parfait pour voir tout ça sans lancer une seule pièce.

🧰 Les formules qui sauvent

Fréquence observée : $f=\dfrac{\text{nombre de succès}}{n}$
Loi des grands nombres :quand $n$ est grand, $f$ est proche de $p$ (sauf exception)
Estimation : $p$ inconnue $\approx f$ mesurée sur un GRAND échantillon
Repère d'ordre de grandeur :l'écart $|f-p|$ est le plus souvent de l'ordre de $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ ( $n=100$ → $\approx 0{,}1$ )
Simuler pile ou face :randint(0,1) (module random), répété avec une boucle for

⚡ Les réflexes

« un autre échantillon donnera-t-il pareil ? » non : fluctuation d'échantillonnage — d'autant plus faible que $n$ est grand
probabilité inconnue à estimer fréquence observée sur un GRAND échantillon (loi des grands nombres)
« pièce ou dé truqués ? » comparer $|f-p|$ à $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ : écart au-delà = suspect
« la fréquence vaudra-t-elle exactement $p$ ? » non — mais l'écart se réduit quand $n$ grandit : refais la simulation avec $n$ plus grand

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Attendre le compte théorique exact : sur $50$ lancers d'une pièce équilibrée, le nombre de piles est PROCHE de $25$ , pas forcément égal à $25$ .
Conclure au truquage sur un petit échantillon : $4$ piles sur $5$ lancers ( $f=0{,}8$ ) n'a rien d'anormal — un écart n'est suspect que s'il dépasse $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ sur un grand échantillon.
S'étonner que deux simulations du même programme diffèrent : le hasard change à chaque exécution — fréquences proches, jamais garanties identiques.

🌺 En vrai : La marge « ± 3 points » des sondages vient de là : pour 1 000 personnes interrogées, $\dfrac{1}{\sqrt{1000}}\approx 0{,}03$ .

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Comprendre la fluctuation d'échantillonnage
★★★
La « fluctuation d'échantillonnage » désigne :
- A. le fait que les résultats varient d'un échantillon à l'autre
- B. une erreur de calcul
- C. le fait que la moyenne est toujours la même
- D. le nombre d'échantillons
Voir la correction
Réponse : le fait que les résultats varient d'un échantillon à l'autre
Définition : Chaque échantillon est tiré au hasard, ses résultats varient.

Méthode : D'un échantillon à l'autre, la fréquence (ou la moyenne) change un peu.

Calcul / Observation : C'est la fluctuation d'échantillonnage.

Conclusion : Les résultats varient d'un échantillon à l'autre.
Exo 2 · Mobiliser la loi des grands nombres (estimation par fréquence)
★★★
D'après la loi des grands nombres, quand $n$ est grand, la fréquence observée est proche de :
- A. la probabilité de l'événement
- B. zéro
- C. la taille de l'échantillon
- D. l'effectif total
Voir la correction
Réponse : la probabilité de l'événement
Définition : La loi des grands nombres relie fréquence et probabilité.

Méthode : Quand $n$ est grand, la fréquence observée se rapproche de la probabilité.

Calcul / Observation : Sauf exception, $f \approx p$ .

Conclusion : Proche de la probabilité.
Exo 3 · Simuler une expérience aléatoire et observer les fréquences
★★★
Simuler une expérience aléatoire (avec Python ou un tableur) permet :
- A. d'observer des fréquences sans réaliser l'expérience en vrai
- B. de changer la probabilité réelle
- C. de supprimer le hasard
- D. de calculer une aire
Voir la correction
Réponse : d'observer des fréquences sans réaliser l'expérience en vrai
Définition : Une simulation reproduit l'expérience avec un générateur aléatoire.

Méthode : On peut répéter des milliers d'essais rapidement.

Calcul / Observation : On observe alors les fréquences obtenues.

Conclusion : On observe des fréquences sans faire l'expérience réelle.

☑️ Je sais…

Comprendre la fluctuation d'échantillonnage
Mobiliser la loi des grands nombres (estimation par fréquence)
Simuler une expérience aléatoire et observer les fréquences
Interpréter un résultat de simulation

Guide de survie · fiche 21/22

Algorithmique et programmation

Algorithmique et Python

🎯 En 30 secondes

Un programme s'exécute ligne à ligne, dans l'ordre. Quatre briques suffisent : les variables (mémoriser une valeur), les conditions if (choisir), les boucles for/while (répéter), les fonctions def (emballer un calcul). Pour prédire ce qu'un code affiche : dérouler les instructions une à une, en suivant chaque variable.

🧰 Les formules qui sauvent

Affectation :x = 5 range 5 dans x ; dans x = x + 2, la droite se calcule avec l'ANCIENNE valeur de x
Types :7 entier (int) ; 2.5 flottant (float) ; "7" chaîne (str) ; True booléen (bool) — et "2" + "3" donne "23"
Condition :if … elif … else ; un test (x > 3, x == 5) renvoie True ou False
Boucle bornée :for i in range(n): répète $n$ fois, $i$ allant de $0$ à $n-1$ ; range(a,b) va de $a$ à $b-1$
Boucle non bornée :while condition: répète tant que la condition est vraie — le bloc doit la faire évoluer (sinon boucle infinie)
Fonction :def f(x): return 2*x + 1 — une fonction RENVOIE avec return ; f(3) vaut alors 7

⚡ Les réflexes

« que vaut x à la fin ? » dérouler le code ligne à ligne, un tableau de valeurs par variable
nombre de tours connu d'avance for ; « tant que… » sans nombre connu → while
« simuler » un dé, une pièce random.randint(1,6) dans un for, un if qui compte ; fréquence = succès ÷ essais
deux codes donnent le même résultat choisir celui qui fait le moins d'opérations (plus rapide, moins d'énergie)

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Écrire if x = 5 : FAUX — = affecte, == teste. Un seul signe égal n'est jamais une comparaison.
range(5) produit 5 valeurs mais s'arrête à 4 : c'est 0, 1, 2, 3, 4 — jamais 5.
Confondre print (afficher à l'écran) et return (renvoyer une valeur réutilisable) : sans return, la fonction ne renvoie rien.

🌺 En vrai : La trajectoire d'un cyclone se prévoit en répétant des milliers de simulations : le principe de ta boucle for qui lance 1 000 dés.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Utiliser variables et affectations en Python
★★★
En Python, que fait l'instruction x = 5 ?
- A. Elle affecte la valeur 5 à la variable x
- B. Elle teste si x vaut 5
- C. Elle affiche 5
- D. Elle compare x et 5
Voir la correction
Réponse : Elle affecte la valeur 5 à la variable x
Définition : En Python, = est le symbole d'affectation.

Méthode : x = 5 range la valeur 5 dans la variable x.

Calcul / Observation : (Le test d'égalité, lui, s'écrit ==.)

Conclusion : Elle affecte 5 à x.
Exo 2 · Choisir le type d'une variable (entier, flottant, booléen, chaine)
★★★
Quel est le type de la valeur 5 en Python ?
- A. un entier (int)
- B. un flottant (float)
- C. une chaîne (str)
- D. un booléen (bool)
Voir la correction
Réponse : un entier (int)
Définition : Le type dépend de l'écriture de la valeur.

Méthode : 5 est un nombre sans virgule.

Calcul / Observation : C'est un entier (int).

Conclusion : Un entier (int).
Exo 3 · Écrire une instruction conditionnelle
★★★
Quel mot-clé Python introduit une condition ?
- A. if
- B. for
- C. def
- D. return
Voir la correction
Réponse : if
Définition : Une instruction conditionnelle teste une expression.

Méthode : Le mot-clé est if (« si »).

Calcul / Observation : Il est suivi d'une condition puis de deux-points.

Conclusion : if.

☑️ Je sais…

Utiliser variables et affectations en Python
Choisir le type d'une variable (entier, flottant, booléen, chaine)
Écrire une instruction conditionnelle
Utiliser une boucle bornée (for)
Utiliser une boucle non bornée (while)
Écrire une fonction Python simple
Programmer une simulation simple

Guide de survie · fiche 22/22

Vocabulaire ensembliste et logique

Ensembles et logique

🎯 En 30 secondes

Deux symboles à ne pas confondre : $\in$ relie un élément à un ensemble, $\subset$ relie deux ensembles. Ensuite tout se traduit : « et » = intersection $\cap$ , « ou » (toujours inclusif) = réunion $\cup$ . Pour raisonner : une implication a un sens, la réciproque l'échange — et un seul contre-exemple suffit à prouver qu'une affirmation est fausse.

🧰 Les formules qui sauvent

Appartenance / inclusion : $3\in\{1,2,3\}$ (élément) ; $\{1,2\}\subset\{1,2,3\}$ (ensemble)
Emboîtement des nombres : $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$
« et » = intersection : $x\in A\cap B$ ⟺ $x\in A$ ET $x\in B$ (les deux vraies)
« ou » = réunion : $x\in A\cup B$ ⟺ $x\in A$ OU $x\in B$ (au moins l'un)
Complémentaire : $\overline{A}$ = les éléments de $E$ qui ne sont PAS dans $A$
Implication, équivalence : $P\Rightarrow Q$ : « si $P$ alors $Q$ » ; $P\Leftrightarrow Q$ : les deux sens (« si et seulement si »)

⚡ Les réflexes

un élément face à un ensemble $\in$ ; entre deux ensembles : $\subset$
« les deux à la fois » / « au moins l'un des deux » intersection $A\cap B$ / réunion $A\cup B$
« montrer que l'affirmation est fausse » un seul contre-exemple suffit (ex. $2$ pour « tous les premiers sont impairs »)
« énoncer la réciproque » échanger hypothèse et conclusion — puis la tester : elle peut être fausse

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Confondre $\in$ et $\subset$ : $2\in\{1,2\}$ mais $\{2\}\subset\{1,2\}$ — l'élément appartient, l'ensemble est inclus.
Nier « $x>0$ » par « $x<0$ » : FAUX, la négation est $x\leqslant 0$ — le cas $x=0$ doit être couvert.
Croire qu'une implication vraie rend sa réciproque vraie : « $x=2\Rightarrow x^2=4$ » est vraie, « $x^2=4\Rightarrow x=2$ » est fausse ( $x=-2$ convient aussi).

🌺 En vrai : Filtrer les annonces de location « meublé ET moins de 600 € » : une intersection ; élargir à « Saint-Pierre OU Le Tampon » : une réunion.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Utiliser l'appartenance et l'inclusion (élément, sous-ensemble)
★★★
Le symbole $\in$ signifie :
- A. appartient à
- B. est inclus dans
- C. est égal à
- D. est différent de
Voir la correction
Réponse : appartient à
Définition : $\in$ relie un élément à un ensemble.

Méthode : Ex. $3 \in \{1, 2, 3\}$ .

Calcul / Observation : Il se lit « appartient à ».

Conclusion : $\in$ signifie « appartient à ».
Exo 2 · Utiliser réunion, intersection et complémentaire d'ensembles
★★★
L'intersection $A \cap B$ est l'ensemble des éléments :
- A. qui sont dans $A$ ET dans $B$
- B. qui sont dans $A$ OU dans $B$
- C. qui ne sont ni dans $A$ ni dans $B$
- D. de $A$ seulement
Voir la correction
Réponse : qui sont dans $A$ ET dans $B$
Définition : L'intersection regroupe les éléments communs.

Méthode : $A \cap B$ : à la fois dans $A$ et dans $B$ .

Calcul / Observation : C'est le « et » ensembliste.

Conclusion : Dans $A$ ET dans $B$ .
Exo 3 · Utiliser les connecteurs « et » et « ou »
★★★
Une proposition « $P$ ET $Q$ » est vraie lorsque :
- A. $P$ et $Q$ sont toutes les deux vraies
- B. au moins l'une est vraie
- C. l'une est fausse
- D. les deux sont fausses
Voir la correction
Réponse : $P$ et $Q$ sont toutes les deux vraies
Définition : Le connecteur « et » est exigeant.

Méthode : « $P$ et $Q$ » n'est vraie que si les deux le sont.

Calcul / Observation : Si l'une est fausse, le « et » est faux.

Conclusion : Les deux doivent être vraies.

☑️ Je sais…

Utiliser l'appartenance et l'inclusion (élément, sous-ensemble)
Utiliser réunion, intersection et complémentaire d'ensembles
Utiliser les connecteurs « et » et « ou »
Formuler une négation, utiliser un contre-exemple
Formuler une implication, une équivalence et une réciproque

Guide de survie · Maths Seconde

Les 22 chapitres — coche ce que tu maîtrises

📏 Nombres réels et intervalles

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

🔢 Multiples, diviseurs et nombres premiers

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

⚡ Puissances

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

🌱 Racine carrée

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

↔️ Développement et factorisation

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

🧩 Identités remarquables

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

🔤 Expressions littérales

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

⚖️ Équations et inéquations du premier degré

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

🧭 Vecteurs du plan

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

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☑️ Je sais…

📍 Repère et coordonnées

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

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☑️ Je sais…

📏 Droites du plan

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

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☑️ Je sais…

📐 Problèmes de géométrie plane

Nombres réels et intervalles

Multiples, diviseurs et nombres premiers

Puissances

Racine carrée

Développement et factorisation

Identités remarquables

Expressions littérales

Équations et inéquations du premier degré

Vecteurs du plan

Repère et coordonnées

Droites du plan

Problèmes de géométrie plane

Fonctions : vocabulaire et représentations

Variations et extremums

Fonctions affines

Fonctions de référence

Information chiffrée : proportions et évolutions

Statistiques descriptives

Probabilités sur un ensemble fini

Échantillonnage et simulation

Algorithmique et Python

Ensembles et logique