Guide de survie spé maths Terminale : formules, pièges, réflexes (gratuit, à imprimer)

Guide de survie · fiche 1/18

Analyse

Suites numériques

🎯 En 30 secondes

Une suite, c'est une fonction de l'entier $n$ . Deux façons de la définir : explicite ( $u_n$ en fonction de $n$ , calcul direct) ou récurrente ( $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ , terme par terme). Les deux modèles clés : arithmétique (on ajoute toujours $r$ ) et géométrique (on multiplie toujours par $q$ ). On étudie ensuite le sens de variation (signe de $u_{n+1}-u_n$ ), on prouve les propriétés par récurrence, et monotone + bornée $\Rightarrow$ converge.

🧰 Les formules qui sauvent

Arithmétique (raison $r$ ) : $u_{n+1}=u_n+r$ ; $u_n=u_0+nr$
Géométrique (raison $q$ ) : $u_{n+1}=q\,u_n$ ; $u_n=u_0\,q^{\,n}$
Variations : $u_{n+1}-u_n\ge 0\Rightarrow$ croissante ; $\le 0\Rightarrow$ décroissante
Récurrence (3 étapes) :Initialisation $P(0)$ ; Hérédité $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ ; Conclusion
Convergence + limite :croissante+majorée $\Rightarrow$ converge ; limite : $\ell=a\ell+b$

⚡ Les réflexes

« on ajoute toujours $r$ », $u_{n+1}=u_n+r$ arithmétique : $u_n=u_0+nr$
« on multiplie toujours par $q$ », $u_{n+1}=q\,u_n$ géométrique : $u_n=u_0\,q^{\,n}$
« pour tout entier $n$ », propriété à prouver ( $u_n\ge 0$ , $u_n\le 2$ …) récurrence : initialisation PUIS hérédité
« croissante et majorée » (ou décroissante et minorée) elle converge, puis limite $\ell=a\ell+b$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Confondre arithmétique (on AJOUTE $r$ ) et géométrique (on MULTIPLIE par $q$ ) : les formules $u_0+nr$ et $u_0 q^n$ n'ont rien à voir.
Oublier l'initialisation dans une récurrence : l'hérédité seule ne prouve RIEN (pas de premier maillon, pas de chaîne).
Résoudre $\ell=a\ell+b$ et annoncer « la limite est $\ell$ » SANS avoir prouvé que la suite converge : c'est une limite candidate, pas une limite.

🌺 En vrai : Ton livret d'épargne : verser $50$ € chaque mois, c'est une suite arithmétique ( $+50$ ) ; laisser courir $3\%$ d'intérêts, c'est une suite géométrique ( $\times 1{,}03$ ). Sur le long terme, la géométrique finit toujours par écraser l'arithmétique.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Reconnaître le type d’une suite
★★★
La suite définie par uₙ = 4n + 1 est-elle définie explicitement ou par récurrence ?
- A. explicitement
- B. par récurrence
Voir la correction
Réponse : explicitement
Définition : Une suite peut être définie par une formule explicite ou par une relation de récurrence.

Méthode : On regarde si la formule donne directement uₙ ou si elle utilise un terme précédent.

Calcul / Observation : Ici, uₙ = 4n + 1 dépend directement de n.

Conclusion : La suite est définie explicitement.
Exo 2 · Calculer les premiers termes d’une suite
★★★
Soit uₙ = 3n + 2. Calculer u₄.
Voir la correction
Réponse : 14
Définition : Pour calculer un terme d’une suite explicite, on remplace n par le rang demandé.

Méthode : On utilise directement la formule de uₙ.

Calcul / Observation : u₄ = 3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14.

Conclusion : Donc u₄ = 14.
Exo 3 · Distinguer forme explicite et forme récurrente
★★★
Quelle formule permet de calculer directement u₁₀ sans calculer u₀, u₁, ..., u₉ ?
- A. uₙ = 5n - 2
- B. u₀ = 1 et uₙ₊₁ = uₙ + 3
- C. u₀ = 4 et uₙ₊₁ = 2uₙ
- D. u₀ = 7
Voir la correction
Réponse : uₙ = 5n - 2
Définition : Une formule explicite donne directement uₙ en fonction de n.

Méthode : On cherche la formule qui contient n et qui ne dépend pas du terme précédent.

Calcul / Observation : uₙ = 5n - 2 permet de calculer directement u₁₀.

Conclusion : C’est la formule explicite.

☑️ Je sais…

Reconnaître le type d’une suite
Calculer les premiers termes d’une suite
Distinguer forme explicite et forme récurrente
Démontrer une propriété par récurrence
Étudier les variations d’une suite
Montrer qu’une suite est majorée, minorée ou bornée
Résoudre un exercice type bac sur les suites

Guide de survie · fiche 2/18

Analyse

Limites de suites

🎯 En 30 secondes

Une suite converge quand elle admet une limite finie ; sinon elle diverge (vers $\pm\infty$ , ou sans limite comme $(-1)^n$ ). On calcule à partir des limites de référence ( $1/n$ , $n^p$ , $q^n$ ) et des opérations, en levant les formes indéterminées. Deux théorèmes débloquent le reste : gendarmes (encadrement) et convergence monotone.

🧰 Les formules qui sauvent

Limites de référence : $\lim\tfrac1n=0$ ; $\lim n^p=+\infty$ ( $p>0$ ) ; $\lim q^n=0$ si $-1<q<1$ , $+\infty$ si $q>1$
Opérations & formes indéterminées : $\lim(u_n+v_n)=\lim u_n+\lim v_n$ ; à surveiller : $\infty-\infty$ , $\dfrac{\infty}{\infty}$ , $0\times\infty$
Comparaison & gendarmes : $u_n\ge v_n\to+\infty\Rightarrow u_n\to+\infty$ ; $v_n\le u_n\le w_n\to\ell\Rightarrow u_n\to\ell$
Convergence monotone :croissante et majorée $\Rightarrow$ converge ; décroissante et minorée $\Rightarrow$ converge
Récurrence : limite candidate :si $u_{n+1}=a\,u_n+b$ converge vers $\ell$ , alors $\ell=a\ell+b$

⚡ Les réflexes

quotient/somme donnant $\dfrac{\infty}{\infty}$ ou $\infty-\infty$ factoriser par le terme dominant (souvent $n$ ) pour lever l'indétermination
$\sin n$ , $\cos n$ ou $(-1)^n$ au numérateur encadrer entre $-1$ et $1$ , puis gendarmes
suite récurrente $u_{n+1}=a\,u_n+b$ prouver la convergence D'ABORD (monotone + bornée), PUIS résoudre $\ell=a\ell+b$
« croissante et majorée » dans l'énoncé conclure convergente — le théorème donne l'existence, pas la valeur

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Écrire $\ell=a\ell+b$ sans avoir d'abord justifié la convergence : l'équation donne une limite candidate, jamais une preuve.
Croire que « bornée » suffit pour converger : il faut monotone ET bornée ( $(-1)^n$ est bornée mais diverge).
Conclure sur $\infty-\infty$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$ sans lever l'indétermination : ces formes ne valent NI $0$ NI $\infty$ a priori.

🌺 En vrai : Un médicament éliminé de moitié chaque jour puis redosé : $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+2$ . La concentration se stabilise vers $\ell=4$ , le palier que vise le traitement.

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Exo 1 · Interpréter la limite d’une suite
★★★
Si une suite uₙ tend vers 5, que signifie cela ?
- A. Les termes de la suite se rapprochent de 5
- B. Tous les termes valent 5
- C. La suite est forcément croissante
- D. La suite est forcément arithmétique
Voir la correction
Réponse : Les termes de la suite se rapprochent de 5
Définition : Dire que uₙ tend vers 5 signifie que les termes de la suite se rapprochent de 5 lorsque n devient très grand.

Méthode : On ne regarde pas seulement les premiers termes, mais le comportement à long terme.

Calcul / Observation : La suite peut se rapprocher de 5 sans jamais valoir exactement 5.

Conclusion : La bonne interprétation est : les termes de la suite se rapprochent de 5.
Exo 2 · Calculer une limite de suite simple
★★★
Quelle est la limite de la suite uₙ = 1/n ?
Voir la correction
Réponse : 0
Définition : La suite 1/n est une suite de référence.

Méthode : On utilise le résultat classique : lorsque n tend vers +∞, 1/n tend vers 0.

Calcul / Observation : Plus n est grand, plus 1/n est proche de 0.

Conclusion : La limite est 0.
Exo 3 · Utiliser les opérations sur les limites de suites
★★★
Si uₙ tend vers 2 et vₙ tend vers 5, quelle est la limite de uₙ + vₙ ?
Voir la correction
Réponse : 7
Définition : Lorsque deux suites ont des limites finies, la limite de leur somme est la somme des limites.

Méthode : On additionne les deux limites.

Calcul / Observation : 2 + 5 = 7.

Conclusion : La limite de uₙ + vₙ est 7.

☑️ Je sais…

Interpréter la limite d’une suite
Calculer une limite de suite simple
Utiliser les opérations sur les limites de suites
Utiliser un théorème de comparaison ou d’encadrement
Utiliser le théorème de convergence monotone
Résoudre un exercice type bac sur les limites de suites

Guide de survie · fiche 3/18

Analyse

Limites de fonctions

🎯 En 30 secondes

Une limite décrit où va $f(x)$ quand $x$ file vers $\pm\infty$ ou s'approche d'une valeur. On récite les limites de référence, on combine par les opérations, et devant une forme indéterminée ( $\tfrac{\infty}{\infty}$ , $\infty-\infty$ , $\tfrac00$ ) on factorise par le terme de plus haut degré avant de conclure.

🧰 Les formules qui sauvent

Références en $+\infty$ : $\lim x^n=+\infty$ ; $\lim\dfrac1{x^n}=0$ ; $\lim\sqrt x=+\infty$
Inverse en $0$ : $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac1x=+\infty$ ; $\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac1x=-\infty$
Formes indéterminées : $\dfrac{\infty}{\infty}$ ; $\infty-\infty$ ; $0\times\infty$ ; $\dfrac00$
En $\pm\infty$ (polynôme, quotient) :terme dominant : $\dfrac{ax^2+\dots}{bx^2+\dots}\to\dfrac ab$
Asymptotes : $\lim\limits_{\pm\infty}f=\ell\Rightarrow y=\ell$ ; $\lim\limits_{a}f=\pm\infty\Rightarrow x=a$

⚡ Les réflexes

fonction usuelle ( $x^n$ , $\tfrac1x$ , $\sqrt x$ ) limite de référence à réciter, sans calcul
polynôme ou quotient en $\pm\infty$ garder le(s) terme(s) de plus haut degré
$f$ continue et $x\to a$ (valeur autorisée) on remplace : $\lim f=f(a)$
$\tfrac00$ ou $\infty-\infty$ (indéterminée) factoriser, simplifier, PUIS conclure

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Remplacer $x$ par une valeur interdite (dénominateur nul) : il faut étudier à gauche ET à droite.
Conclure « $0$ » ou « $\infty$ » sur une forme indéterminée ( $\tfrac{\infty}{\infty}$ , $\infty-\infty$ ) sans l'avoir levée.
Oublier le signe : $\lim\limits_{x\to0^+}\tfrac1x=+\infty$ mais $\lim\limits_{x\to0^-}\tfrac1x=-\infty$ — les deux limites latérales diffèrent.

🌺 En vrai : Un cari qui refroidit sur la table : sa température file vers celle de la pièce sans jamais descendre en dessous — la température ambiante est son asymptote horizontale.

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Exo 1 · Connaître les limites des fonctions de référence
★★★
Quelle est la limite de 1/x quand x tend vers +∞ ?
Voir la correction
Réponse : 0
Définition : La fonction 1/x est une fonction de référence.

Méthode : On utilise la limite classique de 1/x en +∞.

Calcul / Observation : Lorsque x devient très grand, 1/x se rapproche de 0.

Conclusion : La limite est 0.
Exo 2 · Utiliser les opérations sur les limites
★★★
Si f(x) tend vers 2 et g(x) tend vers 5, quelle est la limite de f(x) + g(x) ?
Voir la correction
Réponse : 7
Définition : Quand deux fonctions ont des limites finies, la limite de la somme est la somme des limites.

Méthode : On additionne les deux limites.

Calcul / Observation : 2 + 5 = 7.

Conclusion : La limite de f(x) + g(x) est 7.
Exo 3 · Calculer une limite en l’infini
★★★
Quelle est la limite de f(x) = 2x + 3 quand x tend vers +∞ ?
- A. 0
- B. 3
- C. +∞
- D. -∞
Voir la correction
Réponse : +∞
Définition : Pour une fonction affine ax + b, le comportement en l’infini dépend du terme ax.

Méthode : On regarde le terme dominant lorsque x devient très grand.

Calcul / Observation : 2x tend vers +∞ quand x tend vers +∞.

Conclusion : La limite est +∞.

☑️ Je sais…

Connaître les limites des fonctions de référence
Utiliser les opérations sur les limites
Calculer une limite en l’infini
Calculer une limite en un point
Identifier une asymptote à partir d’une limite
Résoudre un exercice type bac sur les limites de fonctions

Guide de survie · fiche 4/18

Analyse

Continuité et TVI

🎯 En 30 secondes

Une fonction est continue si on peut tracer sa courbe sans lever le crayon (polynômes, $\exp$ , $\ln$ , racine, inverse le sont sur leur domaine). Le TVI : si $f$ est continue sur $[a\,;b]$ , elle prend toute valeur $k$ comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ , donc $f(x)=k$ a au moins une solution. Ajoute la stricte monotonie et cette solution devient unique.

🧰 Les formules qui sauvent

TVI (existence) : $f$ continue sur $[a\,;b]$ et $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ $\Rightarrow$ il existe $c\in[a\,;b]$ , $f(c)=k$
Cas $f(x)=0$ : $f(a)\times f(b)<0 \Rightarrow 0$ est encadré, donc une solution
Corollaire (unicité) :continue $+$ strictement monotone $\Rightarrow$ solution unique
Monotonie via $f'$ : $f'>0$ sur $I \Rightarrow f$ strictement croissante sur $I$
Fonctions continues :polynômes sur $\mathbb{R}$ ; $\exp$ sur $\mathbb{R}$ ; $\ln$ sur $]0\,;+\infty[$ ; dérivable $\Rightarrow$ continue

⚡ Les réflexes

« il existe une solution », « au moins une » TVI : citer la continuité $+$ $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$
« unique solution », « exactement une » TVI $+$ stricte monotonie (signe de $f'$ )
$f(a)$ et $f(b)$ de signes contraires $0$ est encadré $\Rightarrow$ solution de $f(x)=0$
on demande une valeur approchée balayage / dichotomie à la calculatrice (le TVI ne donne pas $c$ )

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Oublier de citer la continuité : sans elle le TVI ne s'applique pas. C'est la première ligne de la rédaction (souvent « $f$ polynôme donc continue sur $\mathbb{R}$ »).
Croire que le TVI donne l'unicité : il donne seulement l'existence. L'unicité vient de la stricte monotonie, justifiée par le signe de $f'$ .
Conclure « pas de solution » quand $k$ n'est pas entre $f(a)$ et $f(b)$ : le TVI ne permet pas de conclure, mais une solution peut exister quand même.

🌺 En vrai : La température à Cilaos passe de 14 °C à l’aube à 26 °C à midi : continûment, elle est forcément passée par 20 °C à un instant précis. C’est exactement le TVI.

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Exo 1 · Reconnaître une fonction continue sur un intervalle
★★★
Une fonction polynôme est-elle continue sur R ?
- A. oui
- B. non
Voir la correction
Réponse : oui
Définition : Une fonction polynôme est une fonction construite avec des puissances entières positives de x.

Méthode : On utilise la propriété de cours : toute fonction polynôme est continue sur R.

Calcul : Ici, on ne cherche pas une valeur précise : on reconnaît seulement la nature de la fonction.

Résultat : Oui, une fonction polynôme est continue sur R.
Exo 2 · Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires
★★★
Soit f continue sur [1 ; 3], avec f(1) = -2 et f(3) = 4. Peut-on affirmer qu’il existe une solution à f(x) = 0 sur [1 ; 3] ?
- A. oui
- B. non
Voir la correction
Réponse : oui
Définition : Le TVI affirme qu’une fonction continue prend toutes les valeurs intermédiaires entre f(a) et f(b).

Méthode : On vérifie que la valeur cherchée, ici 0, est comprise entre les deux images.

Calcul : f(1) = -2 et f(3) = 4. Or 0 est compris entre -2 et 4.

Résultat : Oui, il existe au moins une solution à f(x) = 0 sur [1 ; 3].
Exo 3 · Justifier l’unicité d’une solution
★★★
Pour prouver l’unicité d’une solution avec le TVI, quelle information supplémentaire est souvent utilisée ?
- A. La stricte monotonie de la fonction
- B. Le fait que la fonction soit paire
- C. Le fait que la fonction soit positive
- D. Le fait que la fonction soit définie sur R
Voir la correction
Réponse : La stricte monotonie de la fonction
Définition : Le TVI donne l’existence d’une solution, mais pas toujours son unicité.

Méthode : Pour obtenir l’unicité, on ajoute souvent une information de stricte monotonie.

Calcul : Une fonction strictement monotone ne peut pas prendre deux fois la même valeur.

Résultat : La stricte monotonie permet de prouver l’unicité.

☑️ Je sais…

Reconnaître une fonction continue sur un intervalle
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires
Justifier l’unicité d’une solution
Rédiger une justification conforme au bac avec le TVI
Résoudre un exercice type bac avec continuité et TVI

Guide de survie · fiche 5/18

Analyse

Dérivation et variations

🎯 En 30 secondes

Dériver, c'est lire les variations dans le signe de $f'$ : $f'>0$ la courbe monte, $f'<0$ elle descend, et là où $f'$ s'annule en changeant de signe se cache un extremum. Tout le reste, c'est appliquer les dérivées usuelles, les règles produit/quotient et la composée $(u^n)'=n\,u'\,u^{n-1}$ .

🧰 Les formules qui sauvent

Usuelles : $(x^n)'=n\,x^{n-1}$ ; $(\sqrt x)'=\dfrac{1}{2\sqrt x}$ ; $\left(\dfrac1x\right)'=-\dfrac1{x^2}$
Produit et quotient : $(uv)'=u'v+uv'$ ; $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
Composée : $(u^n)'=n\,u'\,u^{n-1}$ ; $(\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}$
Tangente en $a$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
Variations et extremum : $f'>0\Rightarrow f\nearrow$ ; $f'<0\Rightarrow f\searrow$ ; $f'(a)=0$ + changement de signe $\Rightarrow$ extremum en $a$

⚡ Les réflexes

« tangente », « pente », « coefficient directeur » calculer $f'(a)$ , puis $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
« sens de variation », tableau de variations étudier le signe de $f'$ : $+$ ça monte, $-$ ça descend
« maximum », « minimum », « optimiser » résoudre $f'(x)=0$ , puis regarder le changement de signe
une puissance $(\ldots)^n$ ou une $\sqrt{\ldots}$ composée : ne pas oublier de multiplier par $u'$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Écrire $(uv)'=u'v'$ : FAUX — c'est $u'v+uv'$ ; et le quotient garde un signe moins : $u'v-uv'$ .
Dériver $(2x+1)^3$ en $3(2x+1)^2$ : il manque le facteur $u'=2$ , la vraie dérivée est $6(2x+1)^2$ .
Croire que $f'(a)=0$ suffit pour un extremum : il faut que $f'$ change de signe (sinon simple palier, comme $x^3$ en $0$ ).

🌺 En vrai : Un caillou lancé au-dessus du lagon de l'Ermitage : au point le plus haut, sa vitesse verticale s'annule — la dérivée de la hauteur passe du $+$ au $-$ . Ce sommet, c'est l'optimum que traque tout problème d'optimisation.

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Exo 1 · Connaître les formules de dérivation
★★★
Quelle est la dérivée de $f(x) = x^2$ ?
- A. $2x$
- B. $x$
- C. $2$
- D. $x^2$
Voir la correction
Réponse : $2x$
Définition : La dérivée d'une puissance suit la règle $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ .

Méthode : On applique la formule avec $n = 2$ .

Calcul / Observation : $(x^2)' = 2\,x^{2-1} = 2x$ .

Conclusion : La dérivée est $f'(x) = 2x$ .
Exo 2 · Dériver une somme, un produit ou un quotient
★★★
Quelle est la dérivée de $f(x) = 3x^2 + 2x$ ?
- A. $6x + 2$
- B. $6x$
- C. $3x + 2$
- D. $6x^2 + 2$
Voir la correction
Réponse : $6x + 2$
Définition : La dérivée d'une somme est la somme des dérivées.

Méthode : On dérive $3x^2$ puis $2x$ .

Calcul / Observation : $(3x^2)' = 6x$ et $(2x)' = 2$ , donc $f'(x) = 6x + 2$ .

Conclusion : La dérivée est $f'(x) = 6x + 2$ .
Exo 3 · Étudier les variations avec le signe de la dérivée
★★★
Sur un intervalle où $f'(x) > 0$ , que peut-on dire de $f$ ?
- A. $f$ est croissante
- B. $f$ est décroissante
- C. $f$ est constante
- D. $f$ est négative
Voir la correction
Réponse : $f$ est croissante
Définition : Le signe de $f'$ détermine les variations de $f$ .

Méthode : On lit le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle.

Calcul / Observation : Si $f'(x) > 0$ , alors $f$ est croissante.

Conclusion : La fonction $f$ est croissante.

☑️ Je sais…

Connaître les formules de dérivation
Dériver une somme, un produit ou un quotient
Dériver une fonction composée
Étudier les variations avec le signe de la dérivée
Déterminer l’équation d’une tangente
Résoudre un problème d’optimisation
Résoudre un exercice type bac sur dérivation et variations

Guide de survie · fiche 6/18

Analyse

Convexité

🎯 En 30 secondes

La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde : $f$ est convexe (courbe en vallée) quand $f''\ge 0$ , concave (colline) quand $f''\le 0$ . Une courbe convexe est au-dessus de ses tangentes, une concave au-dessous. Là où $f''$ s'annule en changeant de signe, la courbe change de convexité : c'est un point d'inflexion.

🧰 Les formules qui sauvent

Critère du signe : $f$ convexe $\iff f''\ge 0$ ; $f$ concave $\iff f''\le 0$
Lien avec $f'$ :convexe $\iff f'$ croissante ; concave $\iff f'$ décroissante
Position / tangentes : $\mathcal C_f$ au-dessus de ses tangentes $\iff$ convexe ; au-dessous $\iff$ concave
Point d'inflexion :en $a$ : $f''(a)=0$ ET $f''$ change de signe en $a$
Inégalités clés : $e^x\ge x+1$ ; $\ln x\le x-1$

⚡ Les réflexes

« étudier la convexité » calculer $f''$ et dresser son tableau de signe
« point d'inflexion » résoudre $f''(x)=0$ PUIS vérifier le changement de signe
courbe « au-dessus » / « au-dessous » de ses tangentes convexe (au-dessus) / concave (au-dessous)
montrer $e^x\ge x+1$ ou $\ln x\le x-1$ convexité : $\mathcal C_f$ du bon côté de la tangente (en $0$ , en $1$ )

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Confondre $f'$ (sens de variation) et $f''$ (convexité) : $f''>0$ ne dit RIEN sur la croissance de $f$ .
Croire que $f''(a)=0$ suffit pour un point d'inflexion : il faut le CHANGEMENT DE SIGNE (contre-exemple $x^4$ en $0$ : $f''(0)=0$ sans inflexion).
Inverser la position : une fonction CONVEXE est au-DESSUS de ses tangentes, pas au-dessous.

🌺 En vrai : Une mangue qui tombe de l'arbre : sa courbe distance–temps se creuse vers le haut, donc convexe. Sa dérivée seconde, c'est l'accélération $g\approx 9{,}8$ — constante et positive, convexe partout.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Reconnaître une fonction convexe ou concave
★★★
Une fonction est dite convexe lorsque sa courbe est :
- A. tournée vers le haut (en forme de vallée)
- B. tournée vers le bas (en forme de colline)
- C. une droite
- D. toujours croissante
Voir la correction
Réponse : tournée vers le haut (en forme de vallée)
Définition : La convexité décrit la façon dont une courbe se « creuse ».

Méthode : On retient l'image visuelle de la convexité.

Calcul / Observation : Une fonction convexe a une courbe tournée vers le haut, en forme de vallée.

Conclusion : Une fonction convexe a une courbe tournée vers le haut.
Exo 2 · Utiliser le signe de la dérivée seconde
★★★
Une fonction $f$ est convexe sur un intervalle si et seulement si :
- A. $f'' \ge 0$
- B. $f'' \le 0$
- C. $f' \ge 0$
- D. $f \ge 0$
Voir la correction
Réponse : $f'' \ge 0$
Définition : La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde.

Méthode : On utilise le critère du cours.

Calcul / Observation : $f$ est convexe $\iff f'' \ge 0$ .

Conclusion : La bonne réponse est $f'' \ge 0$ .
Exo 3 · Identifier un point d’inflexion
★★★
Un point d'inflexion est un point où la courbe :
- A. change de convexité
- B. atteint un maximum
- C. coupe l'axe des abscisses
- D. a une tangente horizontale
Voir la correction
Réponse : change de convexité
Définition : Le point d'inflexion marque un changement de convexité.

Méthode : On utilise la définition du cours.

Calcul / Observation : En ce point, la courbe passe de convexe à concave (ou inversement).

Conclusion : Un point d'inflexion est un point où la courbe change de convexité.

☑️ Je sais…

Reconnaître une fonction convexe ou concave
Utiliser le signe de la dérivée seconde
Identifier un point d’inflexion
Utiliser la position d’une courbe par rapport à ses tangentes
Résoudre un exercice type bac sur la convexité

Guide de survie · fiche 7/18

Analyse

Fonction exponentielle

🎯 En 30 secondes

$\exp$ est LA fonction égale à sa propre dérivée : $(e^x)'=e^x$ . Toujours strictement positive et strictement croissante, elle transforme les sommes en produits ( $e^{a+b}=e^a e^b$ ). En Terminale, deux réflexes s'ajoutent : dériver une composée avec $(e^u)'=u'e^u$ , et lever les indéterminations par croissances comparées — l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$ .

🧰 Les formules qui sauvent

Propriétés algébriques : $e^{a+b}=e^a e^b$ ; $e^{-a}=\dfrac{1}{e^a}$ ; $\dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$
Dérivées : $(e^x)'=e^x$ ; $(e^{u})'=u'\,e^{u}$
Signe et équation : $e^x>0$ ; $\exp$ strictement croissante ; $e^A=e^B\iff A=B$
Limites aux bornes : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0$
Croissances comparées : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^x=0$

⚡ Les réflexes

équation ou inéquation $e^u=e^v$ $u=v$ (l'inégalité garde son sens : $\exp$ est croissante)
signe ou variations d'un produit avec $e^x$ seul l'autre facteur compte, car $e^x>0$
dériver $e^u$ $(e^u)'=u'e^u$ — ex. $(e^{3x})'=3e^{3x}$
indétermination $\dfrac{e^x}{x}$ , $x\,e^x$ … en $\pm\infty$ croissances comparées : l'exponentielle l'emporte

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Écrire $e^{a+b}=e^a+e^b$ : FAUX — la somme devient un PRODUIT $e^a e^b$ .
Dériver $e^{3x}$ en $e^{3x}$ : il manque le facteur $u'$ , c'est $3e^{3x}$ .
Croire que $\dfrac{e^x}{x}$ reste indéterminée en $+\infty$ : par croissances comparées la limite est $+\infty$ .

🌺 En vrai : Un plat sorti du four à Saint-Denis refroidit en $e^{-kt}$ : sa température retombe vers l'ambiance sans jamais tout à fait l'atteindre, car $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}e^{-kt}=0$ .

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Comprendre la fonction exponentielle
★★★
Que vaut $e^0$ ?
Voir la correction
Réponse : 1
Définition : La fonction exponentielle vérifie $e^0 = 1$ .

Méthode : On utilise la valeur de référence de l'exponentielle en $0$ .

Calcul / Observation : $e^0 = 1$ .

Conclusion : Donc $e^0 = 1$ .
Exo 2 · Utiliser les propriétés algébriques de l’exponentielle
★★★
Simplifie $e^a \times e^b$ .
- A. $e^{a+b}$
- B. $e^{a \times b}$
- C. $e^{a} + e^{b}$
- D. $e^{ab}$
Voir la correction
Réponse : $e^{a+b}$
Définition : L'exponentielle transforme les produits en sommes d'exposants.

Méthode : On applique la propriété $e^a \times e^b = e^{a+b}$ .

Calcul / Observation : $e^a \times e^b = e^{a+b}$ .

Conclusion : Donc $e^a \times e^b = e^{a+b}$ .
Exo 3 · Dériver une expression contenant une exponentielle
★★★
Quelle est la dérivée de $f(x) = e^x$ ?
- A. $e^x$
- B. $x\,e^{x-1}$
- C. $1$
- D. $e^{x-1}$
Voir la correction
Réponse : $e^x$
Définition : L'exponentielle est égale à sa dérivée.

Méthode : On applique $(e^x)' = e^x$ .

Calcul / Observation : $f'(x) = e^x$ .

Conclusion : La dérivée est $f'(x) = e^x$ .

☑️ Je sais…

Comprendre la fonction exponentielle
Utiliser les propriétés algébriques de l’exponentielle
Dériver une expression contenant une exponentielle
Résoudre une équation ou inéquation avec exponentielle
Étudier une limite avec exponentielle
Résoudre un exercice type bac avec exponentielle

Guide de survie · fiche 8/18

Analyse

Fonction logarithme népérien

🎯 En 30 secondes

$\ln$ est la fonction réciproque de l'exponentielle : $\ln(e^x)=x$ et $e^{\ln x}=x$ . Définie seulement pour $x>0$ , elle est strictement croissante et transforme les produits en sommes : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ . Repères à connaître : $\ln 1=0$ et $\ln e=1$ .

🧰 Les formules qui sauvent

Propriétés algébriques : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ ; $\ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b$ ; $\ln(a^n)=n\ln a$
Réciprocité et repères : $\ln(e^x)=x$ ; $e^{\ln x}=x$ ; $\ln 1=0$ ; $\ln e=1$
Dérivées : $(\ln x)'=\dfrac1x$ ; $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$
Limites aux bornes : $\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$ ; $\lim\limits_{x\to +\infty}\ln x=+\infty$
Croissances comparées : $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$ ; $\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln x=0$

⚡ Les réflexes

équation $\ln A=\ln B$ $A=B$ — après avoir vérifié $A>0$ et $B>0$
résoudre $\ln x=k$ $x=e^k$ (on applique $\exp$ des deux côtés)
dériver un $\ln(u)$ $\dfrac{u'}{u}$ : dérivée de l'intérieur SUR l'intérieur
forme $\dfrac{\ln x}{x}$ ou $x\ln x$ en $+\infty$ ou $0^+$ croissances comparées → la limite vaut $0$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Écrire $\ln(a+b)=\ln a+\ln b$ : FAUX — seul le PRODUIT devient une somme, jamais l'addition.
Oublier le domaine : $\ln x$ n'existe que pour $x>0$ , donc on vérifie les conditions AVANT de résoudre une équation ou inéquation.
Dériver $\ln(3x+1)$ en $\dfrac{1}{3x+1}$ : il manque $u'=3$ au numérateur — la dérivée est $\dfrac{3}{3x+1}$ .

🌺 En vrai : L'échelle de Richter des séismes du Piton de la Fournaise est logarithmique : chaque cran de magnitude, c'est dix fois plus d'amplitude — un séisme de $5$ secoue dix fois plus fort qu'un séisme de $4$ .

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Comprendre la fonction logarithme népérien
★★★
Que vaut $\ln(1)$ ?
Voir la correction
Réponse : 0
Définition : Le logarithme népérien vérifie $\ln(1) = 0$ .

Méthode : On utilise la valeur de référence du logarithme en $1$ .

Calcul / Observation : $\ln(1) = 0$ .

Conclusion : Donc $\ln(1) = 0$ .
Exo 2 · Utiliser les propriétés algébriques du logarithme
★★★
À quoi est égal $\ln(a \times b)$ (avec $a, b > 0$ ) ?
- A. $\ln(a) + \ln(b)$
- B. $\ln(a) \times \ln(b)$
- C. $\ln(a) - \ln(b)$
- D. $\ln(a + b)$
Voir la correction
Réponse : $\ln(a) + \ln(b)$
Définition : Le logarithme transforme les produits en sommes.

Méthode : On applique la propriété $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ .

Calcul / Observation : $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$ .

Conclusion : Donc $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ .
Exo 3 · Dériver une expression contenant un logarithme
★★★
Quelle est la dérivée de $f(x) = \ln(x)$ ?
- A. $\dfrac{1}{x}$
- B. $\ln(x)$
- C. $-\dfrac{1}{x^2}$
- D. $x$
Voir la correction
Réponse : $\dfrac{1}{x}$
Définition : Le logarithme a une dérivée de référence.

Méthode : On applique $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ .

Calcul / Observation : $f'(x) = \dfrac{1}{x}$ .

Conclusion : La dérivée est $f'(x) = \dfrac{1}{x}$ .

☑️ Je sais…

Comprendre la fonction logarithme népérien
Utiliser les propriétés algébriques du logarithme
Dériver une expression contenant un logarithme
Résoudre une équation ou inéquation avec logarithme
Étudier une limite avec logarithme
Résoudre un exercice type bac avec logarithme

Guide de survie · fiche 9/18

Analyse

Primitives et intégrales

🎯 En 30 secondes

Une primitive $F$ de $f$ vérifie $F'=f$ : c'est l'opération inverse de la dérivation, et il en existe une infinité, toutes à une constante près. L'intégrale $\displaystyle\int_a^b f$ se calcule avec n'importe quelle primitive : $F(b)-F(a)$ . Quand $f\ge 0$ , elle mesure l'aire sous la courbe.

🧰 Les formules qui sauvent

Primitives usuelles : $x^n\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ( $n\ne -1$ ) ; $k\to kx$
Exponentielle et inverse : $e^{ax}\to\dfrac1a\,e^{ax}$ ; $\dfrac1x\to\ln x$ (sur $]0;+\infty[$ )
Théorème fondamental : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$
Aire entre deux courbes :si $f\ge g$ : aire $=\displaystyle\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx$
Valeur moyenne : $m=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$

⚡ Les réflexes

« une primitive de $x^n$ » augmenter l'exposant, diviser par le nouveau : $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
« calculer $\displaystyle\int_a^b f$ » trouver UNE primitive $F$ , puis $F(b)-F(a)$
« aire », « unités d'aire » intégrale de la courbe du haut moins celle du bas
« valeur moyenne » diviser l'intégrale par la longueur $b-a$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Oublier de diviser par le nouvel exposant : une primitive de $x^2$ est $\dfrac{x^3}{3}$ , PAS $x^3$ (vérifie en dérivant).
Confondre intégrale et aire : si $f\le 0$ , l'intégrale est négative et l'aire vaut $-\displaystyle\int_a^b f$ .
Rendre l'intégrale brute pour la valeur moyenne : il faut encore diviser par $b-a$ .

🌺 En vrai : Sur ton compteur, la distance parcourue est l'aire sous la courbe de vitesse ; ta vitesse moyenne, c'est cette aire divisée par la durée du trajet.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Reconnaître une primitive
★★★
$F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle si :
- A. $F' = f$
- B. $f' = F$
- C. $F = f$
- D. $F' = f'$
Voir la correction
Réponse : $F' = f$
Définition : Une primitive est une fonction dont la dérivée redonne $f$ .

Méthode : On utilise la définition du cours.

Calcul / Observation : $F$ est une primitive de $f$ signifie $F' = f$ .

Conclusion : La bonne relation est $F' = f$ .
Exo 2 · Calculer une primitive simple
★★★
Quelle est une primitive de $f(x) = 2x$ ?
- A. $x^2$
- B. $2$
- C. $x^2 + x$
- D. $\dfrac{x^2}{2}$
Voir la correction
Réponse : $x^2$
Définition : On cherche $F$ dont la dérivée est $f$ .

Méthode : Une primitive de $2x$ s'obtient en « remontant » la dérivation.

Calcul / Observation : $(x^2)' = 2x$ , donc une primitive est $x^2$ .

Conclusion : Une primitive de $f$ est $F(x) = x^2$ .
Exo 3 · Calculer une intégrale à l’aide d’une primitive
★★★
Si $F$ est une primitive de $f$ , à quoi est égal $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ ?
- A. $F(b) - F(a)$
- B. $F(a) - F(b)$
- C. $F(b) + F(a)$
- D. $f(b) - f(a)$
Voir la correction
Réponse : $F(b) - F(a)$
Définition : L'intégrale se calcule à l'aide d'une primitive.

Méthode : On utilise $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ .

Calcul / Observation : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ .

Conclusion : La bonne formule est $F(b) - F(a)$ .

☑️ Je sais…

Reconnaître une primitive
Calculer une primitive simple
Calculer une intégrale à l’aide d’une primitive
Interpréter une intégrale comme une aire
Calculer la valeur moyenne d’une fonction
Résoudre un exercice type bac sur primitives et intégrales

Guide de survie · fiche 10/18

Analyse

Équations différentielles

🎯 En 30 secondes

Une équation différentielle relie une fonction inconnue $y$ et sa dérivée $y'$ . Le programme se limite à deux modèles : $y'=ay$ , dont les solutions sont $y=Ce^{ax}$ , et $y'=ay+b$ , dont les solutions ajoutent la solution constante $-\dfrac{b}{a}$ . Une condition initiale $y(0)$ fixe la constante $C$ et rend la solution unique.

🧰 Les formules qui sauvent

Modèle $y'=ay$ : $y=C\,e^{ax}$ , avec $C\in\mathbb{R}$
Modèle $y'=ay+b$ : $y=C\,e^{ax}-\dfrac{b}{a}$
Solution constante : $y'=0\Rightarrow 0=ay+b\Rightarrow y=-\dfrac{b}{a}$
Constante $C$ (ex. $y'=ay$ ) : $y(0)=C\,e^{0}=C$ , donc $C=y(0)$
Comportement : $a>0$ : explose ; $a<0$ : tend vers $-\tfrac{b}{a}$

⚡ Les réflexes

l'énoncé montre $y'=ay$ $y=C\,e^{ax}$ — le $a$ passe dans l'exposant, pas devant
l'énoncé montre $y'=ay+b$ $y=C\,e^{ax}-\dfrac{b}{a}$ : ne jamais oublier la constante
« vérifier que $f$ est solution » calculer $f'$ et remplacer dans l'équation, jamais tracer
condition initiale $y(0)=y_0$ poser $x=0$ (avec $e^{0}=1$ ) puis isoler $C$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Oublier la solution constante et écrire $y=Ce^{ax}+b$ au lieu de $y=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}$ .
Placer le coefficient au mauvais endroit : $y'=3y$ donne $Ce^{3x}$ , surtout pas $3e^{x}$ .
Chercher $C$ avant d'avoir écrit la forme générale, ou oublier que $e^{0}=1$ en appliquant $y(0)$ .

🌺 En vrai : La désintégration d'un noyau radioactif suit $y'=ay$ avec $a<0$ . Le refroidissement d'un cari sorti du feu suit $y'=a(y-T_{amb})$ , donc $y'=ay+b$ , et $y$ tend vers la température de la cuisine.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Reconnaître une équation différentielle
★★★
Dans une équation différentielle, quelle est l'inconnue ?
- A. une fonction
- B. un nombre
- C. un vecteur
- D. une probabilité
Voir la correction
Réponse : une fonction
Définition : Une équation différentielle relie une fonction et ses dérivées.

Méthode : On cherche la (ou les) fonction(s) $y$ qui vérifie(nt) la relation.

Calcul / Observation : L'inconnue n'est pas un nombre mais une fonction.

Conclusion : L'inconnue est une fonction.
Exo 2 · Résoudre y' = ay
★★★
Quelles sont les solutions de l'équation différentielle $y' = ay$ ?
- A. $y = C e^{ax}$
- B. $y = C e^{x}$
- C. $y = a e^{Cx}$
- D. $y = ax + C$
Voir la correction
Réponse : $y = C e^{ax}$
Définition : Les solutions de $y' = ay$ sont exponentielles.

Méthode : On applique le résultat du cours.

Calcul / Observation : $y = C e^{ax}$ avec $C \in \mathbb{R}$ .

Conclusion : Les solutions sont $y = C e^{ax}$ .
Exo 3 · Vérifier une solution particulière
★★★
Pour vérifier qu'une fonction $f$ est solution d'une équation différentielle, on :
- A. calcule $f'$ et on remplace dans l'équation
- B. calcule $f(0)$
- C. trace la courbe de $f$
- D. calcule une primitive de $f$
Voir la correction
Réponse : calcule $f'$ et on remplace dans l'équation
Définition : Vérifier une solution, c'est tester l'équation.

Méthode : On calcule $f'$ , puis on remplace $y$ et $y'$ dans l'équation.

Calcul / Observation : Si l'égalité est vraie pour tout $x$ , $f$ est solution.

Conclusion : On calcule $f'$ et on remplace dans l'équation.

☑️ Je sais…

Reconnaître une équation différentielle
Résoudre y' = ay
Résoudre y' = ay + b
Vérifier une solution particulière
Déterminer la solution vérifiant une condition initiale
Résoudre un exercice type bac sur les équations différentielles

Guide de survie · fiche 11/18

Algèbre et géométrie

Dénombrement et combinatoire

🎯 En 30 secondes

Dénombrer, c'est compter les possibilités. Deux réflexes de base : on multiplie des choix successifs (« puis »), on additionne des cas disjoints (« ou »). Ensuite une seule question tranche tout : l'ordre compte-t-il ? Oui $\rightarrow$ arrangement ; non $\rightarrow$ combinaison $\binom{n}{k}$ .

🧰 Les formules qui sauvent

Deux principes : $n_1\times n_2$ (choix successifs, « puis ») ; $n_1+n_2$ (cas disjoints, « ou »)
Factorielle et permutations : $n!=n\times(n-1)\times\cdots\times1$ ; $0!=1$ ; ranger $n$ objets $=n!$
Coefficient binomial : $\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$
Symétrie et Pascal : $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ ; $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$
Valeurs à connaître : $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ ; $\binom{n}{1}=n$

⚡ Les réflexes

« puis » / plusieurs étapes vs « ou » / cas séparés on multiplie ( $\times$ ) vs on additionne ( $+$ )
podium, code, mot de passe, tiercé « dans l'ordre » l'ordre compte $\rightarrow$ arrangement
comité, main de cartes, équipe, salade de fruits l'ordre est ignoré $\rightarrow$ combinaison $\binom{n}{k}$
calculer $\binom{n}{k}$ à la main $\dfrac{n(n-1)\cdots}{k!}$ ( $k$ facteurs en haut) ou on lit le triangle de Pascal

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Confondre arrangement (l'ordre compte) et combinaison (l'ordre est ignoré) : le « code » d'un cadenas n'est pas une « main » de cartes.
Additionner des choix successifs au lieu de les multiplier : « étape 1 PUIS étape 2 » se multiplie.
Oublier le $(n-k)!$ : $\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ , surtout pas $\dfrac{n!}{k!}$ .

🌺 En vrai : Au Loto, ta grille de 5 numéros parmi 49 est une combinaison : l'ordre de sortie des boules ne change rien à ta grille — d'où les $\binom{49}{5}$ grilles possibles.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Reconnaître une situation de dénombrement
★★★
Dénombrer, c'est :
- A. compter le nombre de possibilités d'une situation
- B. calculer une probabilité
- C. résoudre une équation
- D. dériver une fonction
Voir la correction
Réponse : compter le nombre de possibilités d'une situation
Définition : Le dénombrement consiste à compter des possibilités.

Méthode : On retient le sens du mot.

Calcul / Observation : On compte le nombre de façons de réaliser une situation.

Conclusion : Dénombrer, c'est compter le nombre de possibilités.
Exo 2 · Utiliser les principes additif et multiplicatif
★★★
Pour des choix successifs (étape 1 PUIS étape 2), on utilise le principe :
- A. multiplicatif (on multiplie)
- B. additif (on additionne)
- C. soustractif
- D. de Pascal
Voir la correction
Réponse : multiplicatif (on multiplie)
Définition : Des choix successifs se combinent par multiplication.

Méthode : À chaque étape, on multiplie par le nombre de possibilités.

Calcul / Observation : Étape 1 « puis » étape 2 : on multiplie.

Conclusion : On utilise le principe multiplicatif.
Exo 3 · Distinguer arrangement, combinaison et ordre des choix
★★★
Quelle est la différence entre un arrangement et une combinaison ?
- A. dans un arrangement l'ordre compte, dans une combinaison non
- B. dans une combinaison l'ordre compte, dans un arrangement non
- C. il n'y a aucune différence
- D. l'arrangement concerne les probabilités
Voir la correction
Réponse : dans un arrangement l'ordre compte, dans une combinaison non
Définition : La distinction repose sur la prise en compte de l'ordre.

Méthode : On compare les deux notions.

Calcul / Observation : Arrangement : l'ordre compte ; combinaison : l'ordre ne compte pas.

Conclusion : Dans un arrangement l'ordre compte, dans une combinaison non.

☑️ Je sais…

Reconnaître une situation de dénombrement
Utiliser les principes additif et multiplicatif
Distinguer arrangement, combinaison et ordre des choix
Utiliser les coefficients binomiaux
Utiliser le triangle de Pascal
Résoudre un exercice type bac de dénombrement

Guide de survie · fiche 12/18

Algèbre et géométrie

Géométrie dans l’espace

🎯 En 30 secondes

Dans l'espace, tout se joue avec trois coordonnées. Un vecteur se lit « arrivée − départ » : $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\,;y_B-y_A\,;z_B-z_A)$ . Une droite se décrit par un point et un vecteur directeur ( $M=A+t\vec{u}$ ), un plan par une équation $ax+by+cz+d=0$ et son vecteur normal $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ . Toutes les positions relatives se lisent en comparant ces vecteurs (colinéaires ? produit scalaire nul ?).

🧰 Les formules qui sauvent

Vecteur & distance : $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\,;y_B-y_A\,;z_B-z_A)$ ; $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
Milieu de $[AB]$ : $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\dfrac{y_A+y_B}{2}\,;\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$
Droite : point $A$ + directeur $\vec{u}(a\,;b\,;c)$ : $\begin{cases}x=x_A+a\,t\\ y=y_A+b\,t\\ z=z_A+c\,t\end{cases}\ (t\in\mathbb{R})$
Plan & normale $\vec{n}$ : $ax+by+cz+d=0$ de normale $\vec{n}(a\,;b\,;c)$
Droite / plan : $\vec{u}\cdot\vec{n}=0\Rightarrow$ droite $\parallel$ plan ; $\vec{u},\vec{n}$ colinéaires $\Rightarrow$ droite $\perp$ plan

⚡ Les réflexes

« coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ » arrivée − départ : $x_B-x_A$ , $y_B-y_A$ , $z_B-z_A$
« représentation paramétrique », « vecteur directeur » $\vec{u}$ = les coefficients de $t$ ; le point $A$ s'obtient pour $t=0$
équation de plan, « vecteur normal » $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ = les coefficients de $x,y,z$
position relative droite / plan produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{n}$ : nul $\to$ parallèle, colinéaires $\to$ perpendiculaire

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Calculer $\overrightarrow{AB}$ en faisant $A-B$ : c'est $B-A$ (arrivée moins départ).
Confondre vecteur directeur d'une droite et vecteur normal d'un plan : le directeur se lit sur les coefficients de $t$ , le normal sur les coefficients de $x,y,z$ .
Croire que $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$ rend la droite perpendiculaire au plan : c'est l'inverse — nul $\to$ parallèle, colinéaires $\to$ perpendiculaire.

🌺 En vrai : Un drone qui filme le cirque de Mafate se repère par trois nombres : longitude, latitude et altitude — exactement les coordonnées $(x\,;y\,;z)$ d'un point de l'espace.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Manipuler des vecteurs dans l’espace
★★★
Dans l'espace, un vecteur est repéré par combien de coordonnées ?
Voir la correction
Réponse : 3
Définition : L'espace est de dimension 3.

Méthode : Un vecteur de l'espace a donc trois coordonnées.

Calcul / Observation : On note $\vec{u}(x\,;y\,;z)$ .

Conclusion : Un vecteur de l'espace a $3$ coordonnées.
Exo 2 · Travailler avec des coordonnées dans l’espace
★★★
Quelle est la formule des coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ?
- A. $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\dfrac{y_A+y_B}{2}\,;\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$
- B. $(x_B-x_A\,;y_B-y_A\,;z_B-z_A)$
- C. $(x_A x_B\,;y_A y_B\,;z_A z_B)$
- D. $(x_A+x_B\,;y_A+y_B\,;z_A+z_B)$
Voir la correction
Réponse : $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\dfrac{y_A+y_B}{2}\,;\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$
Définition : Le milieu a pour coordonnées la moyenne de celles de $A$ et $B$ .

Méthode : On applique la formule sur chaque coordonnée.

Calcul / Observation : $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\dfrac{y_A+y_B}{2}\,;\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$ .

Conclusion : C'est la moyenne des coordonnées.
Exo 3 · Utiliser une représentation paramétrique de droite
★★★
Une représentation paramétrique d'une droite décrit ses points sous la forme :
- A. $M = A + t\,\vec{u}$ (avec $t$ réel)
- B. $ax + by + cz + d = 0$
- C. $M = A \times t$
- D. $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$
Voir la correction
Réponse : $M = A + t\,\vec{u}$ (avec $t$ réel)
Définition : Une droite est décrite par un point et un vecteur directeur.

Méthode : On parcourt la droite en faisant varier le paramètre $t$ .

Calcul / Observation : $M = A + t\,\vec{u}$ .

Conclusion : La représentation paramétrique est $M = A + t\,\vec{u}$ .

☑️ Je sais…

Manipuler des vecteurs dans l’espace
Travailler avec des coordonnées dans l’espace
Utiliser une représentation paramétrique de droite
Utiliser une équation cartésienne de plan
Étudier la position relative de droites et de plans
Résoudre un exercice type bac de géométrie dans l’espace

Guide de survie · fiche 13/18

Algèbre et géométrie

Produit scalaire dans l’espace

🎯 En 30 secondes

Dans l'espace, le produit scalaire garde sa formule analytique : on multiplie les coordonnées deux à deux et on additionne. Il vaut aussi $\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta$ , d'où deux usages massifs : prouver une orthogonalité ( $\vec u\cdot\vec v=0$ ) et calculer un angle. Enfin, un plan est décrit par un vecteur normal dont les coordonnées sont exactement les coefficients de son équation.

🧰 Les formules qui sauvent

Analytique et carré : $\vec u\cdot\vec v = xx'+yy'+zz'$ ; $\vec u\cdot\vec u = \|\vec u\|^2$
Norme et distance : $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ; $AB=\|\overrightarrow{AB}\|$
Orthogonalité : $\vec u\perp\vec v \iff \vec u\cdot\vec v = 0$
Angle : $\cos\theta = \dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}$
Plan et normale : $ax+by+cz+d=0 \Rightarrow \vec n(a\,;b\,;c)$

⚡ Les réflexes

« orthogonaux », « angle droit », « rectangle en $A$ » calculer $\vec u\cdot\vec v$ et vérifier que ça fait $0$
trouver l'équation d'un plan coefficients $=$ coordonnées de la normale $\vec n$ , puis un point fixe $d$
lire la normale d'un plan $ax+by+cz+d=0$ prendre $\vec n(a\,;b\,;c)$ (les coefficients de $x,y,z$ )
calculer un angle $\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}$ — jamais sans les deux normes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Croire que $\vec u\cdot\vec v$ est un vecteur : c'est un NOMBRE (scalaire).
Oublier de diviser par les normes : $\vec u\cdot\vec v$ tout seul n'est PAS le cosinus de l'angle.
Droite $\perp$ plan : le vecteur directeur est COLINÉAIRE à la normale — surtout pas orthogonal.

🌺 En vrai : Le fil à plomb du maçon et l'horizontale d'un mur à Saint-Denis : produit scalaire nul, angle droit garanti — exactement la vérification qu'on fait dans l'espace.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Calculer un produit scalaire dans l’espace
★★★
Quelle est l'expression analytique du produit scalaire $\vec{u}(x\,;y\,;z) \cdot \vec{v}(x'\,;y'\,;z')$ ?
- A. $xx' + yy' + zz'$
- B. $x + y + z$
- C. $xx' \times yy' \times zz'$
- D. $(x+x')(y+y')(z+z')$
Voir la correction
Réponse : $xx' + yy' + zz'$
Définition : Le produit scalaire analytique combine les coordonnées.

Méthode : On multiplie les coordonnées de même rang et on additionne.

Calcul / Observation : $\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy' + zz'$ .

Conclusion : C'est $xx' + yy' + zz'$ .
Exo 2 · Démontrer une orthogonalité
★★★
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si :
- A. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
- B. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1$
- C. $\vec{u} = \vec{v}$
- D. $\|\vec{u}\| = \|\vec{v}\|$
Voir la correction
Réponse : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
Définition : L'orthogonalité se caractérise par le produit scalaire.

Méthode : Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul.

Calcul / Observation : $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ .

Conclusion : Ils sont orthogonaux ssi $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ .
Exo 3 · Calculer une norme ou une distance
★★★
Quelle est la formule de la norme $\|\vec{u}\|$ d'un vecteur $\vec{u}(x\,;y\,;z)$ ?
- A. $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
- B. $x + y + z$
- C. $x^2 + y^2 + z^2$
- D. $|x| + |y| + |z|$
Voir la correction
Réponse : $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
Définition : La norme est la longueur du vecteur.

Méthode : On prend la racine de la somme des carrés des coordonnées.

Calcul / Observation : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ .

Conclusion : C'est $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ .

☑️ Je sais…

Calculer un produit scalaire dans l’espace
Démontrer une orthogonalité
Calculer une norme ou une distance
Calculer un angle dans l’espace
Utiliser un vecteur normal à un plan
Résoudre un exercice type bac avec produit scalaire dans l’espace

Guide de survie · fiche 14/18

Probabilités

Probabilités conditionnelles

🎯 En 30 secondes

Conditionner, c'est réduire l'univers : $P_A(B)$ se lit « probabilité de $B$ sachant $A$ », donc on divise par $P(A)$ . Sur un arbre pondéré, on multiplie le long d'un chemin et on additionne les chemins qui mènent au même événement (probabilités totales). Attention, le conditionnement n'est pas symétrique : $P_A(B)\neq P_B(A)$ .

🧰 Les formules qui sauvent

Conditionnelle : $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ (avec $P(A)\neq 0$ )
Le long d'un chemin (produit) : $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$
Probabilités totales : $P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B)$
Inverser (sachant $B$ ) : $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
Branches d'un même nœud : $P_A(B)+P_A(\overline{B})=1$

⚡ Les réflexes

le mot « sachant » (ou « parmi les… ») conditionnelle $P_A(B)$ : on divise par la proba de ce qui est connu, $P(A)$
on descend un chemin de l'arbre on multiplie les branches : $P(A\cap B)=P(A)\,P_A(B)$
un événement $B$ est atteint par plusieurs branches probabilités totales : on additionne tous les chemins vers $B$
on donne $P_A(B)$ mais on demande $P_B(A)$ on inverse en repassant par $P(A\cap B)$ puis $P(B)$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ : le conditionnement n'est PAS symétrique (« malade sachant test positif » $\neq$ « test positif sachant malade »).
Additionner le long d'un chemin (au lieu de multiplier) ou multiplier les chemins (au lieu d'additionner) pour $P(B)$ .
Dans $P_A(B)$ , diviser par $P(B)$ au lieu de $P(A)$ : on divise TOUJOURS par la proba de l'événement placé en indice.

🌺 En vrai : Un test de dépistage de la dengue à La Réunion : « positif sachant malade » (fiabilité du test) et « malade sachant positif » (ce qui t'inquiète vraiment) sont deux nombres différents — les inverser, c'est tout l'enjeu.

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Exo 1 · Construire ou lire un arbre pondéré
★★★
Sur un arbre pondéré, que vaut la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud ?
- A. $1$
- B. $0$
- C. $0{,}5$
- D. Cela dépend
Voir la correction
Réponse : $1$
Définition : Les branches issues d'un même nœud représentent une partition des cas possibles.

Méthode : On somme les probabilités de toutes ces branches.

Calcul / Observation : Cette somme couvre tous les cas, elle vaut donc $1$ .

Conclusion : La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$ .
Exo 2 · Calculer une probabilité conditionnelle
★★★
Quelle est la formule de la probabilité conditionnelle $P_A(B)$ (avec $P(A) \ne 0$ ) ?
- A. $\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$
- B. $\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
- C. $P(A) \times P(B)$
- D. $\dfrac{P(A)}{P(B)}$
Voir la correction
Réponse : $\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$
Définition : La probabilité conditionnelle se définit par un quotient.

Méthode : On divise $P(A \cap B)$ par $P(A)$ .

Calcul / Observation : $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ .

Conclusion : La formule est $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ .
Exo 3 · Utiliser la formule des probabilités totales
★★★
Avec la partition $\{A\,;\overline{A}\}$ , quelle est la formule des probabilités totales pour $P(B)$ ?
- A. $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$
- B. $P(B) = P(A \cap B) \times P(\overline{A} \cap B)$
- C. $P(B) = P(A) + P(B)$
- D. $P(B) = P(A \cap B) - P(\overline{A} \cap B)$
Voir la correction
Réponse : $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$
Définition : $B$ se réalise soit avec $A$ , soit avec $\overline{A}$ .

Méthode : On additionne les probabilités des deux chemins menant à $B$ .

Calcul / Observation : $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$ .

Conclusion : La formule est $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$ .

☑️ Je sais…

Construire ou lire un arbre pondéré
Calculer une probabilité conditionnelle
Utiliser la formule des probabilités totales
Inverser une probabilité conditionnelle
Résoudre un exercice type bac de probabilités conditionnelles

Guide de survie · fiche 15/18

Probabilités

Variables aléatoires

🎯 En 30 secondes

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre à chaque issue d'une expérience. Donner sa loi, c'est lister ses valeurs $x_i$ et leurs probabilités $P(X=x_i)$ (leur somme fait toujours $1$ ). L'espérance $E(X)$ est la moyenne sur le long terme ; la variance et l'écart-type mesurent la dispersion autour de cette moyenne.

🧰 Les formules qui sauvent

Loi valide : $\sum P(X=x_i)=1$ ; $\;0\le P(X=x_i)\le 1$
Espérance : $E(X)=\sum x_i\,P(X=x_i)$
Variance (König-Huygens) : $V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2$
$E(X^2)$ et écart-type : $E(X^2)=\sum x_i^{\,2}\,P(X=x_i)$ ; $\;\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$

⚡ Les réflexes

« en moyenne », « gain moyen », « sur un grand nombre » espérance $E(X)=\sum x_i\,P(X=x_i)$
calculer $V(X)$ d'abord $E(X)$ ET $E(X^2)$ , puis $E(X^2)-\big(E(X)\big)^2$
« dispersion », « régularité », « risque » écart-type $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
« jeu équitable » espérance du gain $=0$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Écrire $V(X)=E(X^2)-E(X)$ : FAUX, on retranche le CARRÉ de l'espérance, $\big(E(X)\big)^2$ .
Confondre $E(X^2)$ (moyenne des carrés) et $\big(E(X)\big)^2$ (carré de la moyenne) : ce sont deux nombres différents.
Rendre la variance comme écart-type (oublier la racine), ou l'annoncer négative : $V(X)\ge 0$ toujours et $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ .

🌺 En vrai : Deux rivières de La Réunion peuvent avoir le même niveau moyen : celle au plus grand écart-type est la plus dangereuse. L'espérance dit le niveau habituel, l'écart-type dit le risque de crue.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Comprendre une variable aléatoire
★★★
Qu'est-ce qu'une variable aléatoire $X$ ?
- A. Une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience
- B. Une probabilité
- C. Un nombre fixé à l'avance
- D. Une équation
Voir la correction
Réponse : Une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience
Définition : Une variable aléatoire relie les issues d'une expérience à des nombres.

Méthode : On retient la définition du cours.

Calcul / Observation : $X$ associe à chaque issue de l'univers un nombre réel.

Conclusion : Une variable aléatoire est une fonction qui associe un réel à chaque issue.
Exo 2 · Calculer une espérance
★★★
Quelle est la formule de l'espérance $E(X)$ ?
- A. $E(X) = \sum x_i \, P(X = x_i)$
- B. $E(X) = \sum P(X = x_i)$
- C. $E(X) = \sum x_i$
- D. $E(X) = \sum x_i^2 \, P(X = x_i)$
Voir la correction
Réponse : $E(X) = \sum x_i \, P(X = x_i)$
Définition : L'espérance est une moyenne pondérée des valeurs de $X$ .

Méthode : On multiplie chaque valeur $x_i$ par sa probabilité, puis on somme.

Calcul / Observation : $E(X) = \sum x_i \, P(X = x_i)$ .

Conclusion : La formule est $E(X) = \sum x_i \, P(X = x_i)$ .
Exo 3 · Calculer une variance et un écart-type
★★★
Quelle est une formule de la variance $V(X)$ ?
- A. $V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$
- B. $V(X) = E(X) - E(X^2)$
- C. $V(X) = \big(E(X)\big)^2$
- D. $V(X) = \sqrt{E(X)}$
Voir la correction
Réponse : $V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$
Définition : La variance mesure la dispersion de $X$ autour de son espérance.

Méthode : On utilise la formule de König-Huygens.

Calcul / Observation : $V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$ .

Conclusion : La formule est $V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$ .

☑️ Je sais…

Comprendre une variable aléatoire
Déterminer la loi d’une variable aléatoire
Calculer une espérance
Calculer une variance et un écart-type
Interpréter espérance, variance ou écart-type
Résoudre un exercice type bac sur les variables aléatoires

Guide de survie · fiche 16/18

Probabilités

Loi binomiale

🎯 En 30 secondes

Quand on répète $n$ fois la même épreuve à deux issues (succès/échec), de façon indépendante avec une probabilité de succès $p$ constante, le nombre de succès $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ . Tout se calcule avec une seule formule : $\binom{n}{k}$ compte les chemins, $p^k(1-p)^{n-k}$ pèse chacun d'eux.

🧰 Les formules qui sauvent

Reconnaître : $n$ épreuves identiques, indépendantes, 2 issues, $p$ constant $\Rightarrow X\sim\mathcal{B}(n\,;p)$
Probabilité : $P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k(1-p)^{n-k}$ , pour $k\in\{0,\dots,n\}$
Espérance, variance, écart-type : $E(X)=np$ ; $V(X)=np(1-p)$ ; $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$
Au moins un succès : $P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^n$
Intervalle : $P(a\le X\le b)=\displaystyle\sum_{k=a}^{b}P(X=k)$ (ou calculatrice)

⚡ Les réflexes

« $n$ fois », « avec remise », « indépendantes », deux issues loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ , où $X$ compte les succès
« au moins un » événement contraire : $1-P(X=0)=1-(1-p)^n$
« espérance / moyenne / variance » $E(X)=np$ ; $V(X)=np(1-p)$ — appliquer la formule, pas de somme
« au plus $k$ », « entre $a$ et $b$ » sommer les $P(X=i)$ (ou la loi cumulée à la calculatrice)

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Tirages sans remise : les épreuves ne sont plus indépendantes, ce n'est PLUS binomial.
Oublier le coefficient $\binom{n}{k}$ et n'écrire que $p^k(1-p)^{n-k}$ : on compte alors un seul chemin au lieu de tous.
Confondre $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$ , ou prendre $\sigma=V$ au lieu de $\sigma=\sqrt{V}$ .

🌺 En vrai : Sur une barquette de 30 letchis, chacun abîmé avec la même probabilité indépendamment : le nombre d'abîmés suit une binomiale — c'est ce contrôle qualité qui décide si le lot part à l'expédition.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Reconnaître un schéma de Bernoulli
★★★
Combien d'issues possède une épreuve de Bernoulli ?
- A. $2$
- B. $1$
- C. $3$
- D. une infinité
Voir la correction
Réponse : $2$
Définition : Une épreuve de Bernoulli n'a que deux résultats possibles.

Méthode : On retient la définition.

Calcul / Observation : Les deux issues sont le succès et l'échec.

Conclusion : Une épreuve de Bernoulli a $2$ issues.
Exo 2 · Reconnaître une loi binomiale
★★★
Si $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ , que compte la variable $X$ ?
- A. le nombre de succès
- B. le nombre d'épreuves
- C. la probabilité de succès
- D. le nombre d'échecs uniquement
Voir la correction
Réponse : le nombre de succès
Définition : La loi binomiale modélise le nombre de succès d'un schéma de Bernoulli.

Méthode : On identifie ce que représente $X$ .

Calcul / Observation : $X$ est le nombre de succès obtenus sur les $n$ répétitions.

Conclusion : $X$ compte le nombre de succès.
Exo 3 · Calculer espérance, variance et écart-type d’une loi binomiale
★★★
Si $X \sim \mathcal{B}(n\,;p)$ , quelle est l'espérance $E(X)$ ?
- A. $np$
- B. $n + p$
- C. $np(1-p)$
- D. $\dfrac{n}{p}$
Voir la correction
Réponse : $np$
Définition : L'espérance d'une loi binomiale a une formule simple.

Méthode : On utilise le résultat du cours.

Calcul / Observation : $E(X) = np$ .

Conclusion : L'espérance est $E(X) = np$ .

☑️ Je sais…

Reconnaître un schéma de Bernoulli
Reconnaître une loi binomiale
Calculer une probabilité avec la loi binomiale
Calculer espérance, variance et écart-type d’une loi binomiale
Calculer une probabilité d’intervalle
Résoudre un exercice type bac avec loi binomiale

Guide de survie · fiche 17/18

Probabilités

Concentration et loi des grands nombres

🎯 En 30 secondes

Plus l'échantillon est grand, plus sa moyenne $M_n$ se colle à l'espérance $\mu$ . La clé : $E(M_n)=\mu$ ne bouge pas, mais $V(M_n)=\dfrac{\sigma^2}{n}$ rétrécit quand $n$ grandit. L'inégalité de concentration chiffre ce resserrement : $P(|M_n-\mu|\ge\delta)\le\dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}$ , et ce majorant tend vers $0$ — c'est la loi des grands nombres.

🧰 Les formules qui sauvent

Moyenne d'échantillon : $E(M_n)=\mu$ ; $V(M_n)=\dfrac{\sigma^2}{n}$ ; $\sigma(M_n)=\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$
Bienaymé-Tchebychev : $P(|X-\mu|\ge\delta)\le\dfrac{V(X)}{\delta^2}$
Inégalité de concentration : $P(|M_n-\mu|\ge\delta)\le\dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}$
Fréquence : $E(F_n)=p$ ; $V(F_n)=\dfrac{p(1-p)}{n}$
Loi des grands nombres : $P(|M_n-\mu|\ge\delta)\to 0$ quand $n\to+\infty$

⚡ Les réflexes

« moyenne d'un échantillon » $M_n$ $E(M_n)=\mu$ et $V(M_n)=\dfrac{\sigma^2}{n}$ (on DIVISE par $n$ )
« majorer » $P(|X-\mu|\ge\delta)$ pour UNE variable Bienaymé : $\dfrac{V(X)}{\delta^2}$
l'écart porte sur la moyenne $M_n$ concentration $\dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}$ (Bienaymé appliqué à $M_n$ )
« $n$ grand », « estimer une proba par une fréquence » loi des grands nombres : la proba d'écart tend vers $0$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Écrire $V(M_n)=\sigma^2$ : on oublie le $\div n$ . C'est justement ce $\dfrac{\sigma^2}{n}$ qui fait la concentration.
Prendre le majorant de Bienaymé pour la vraie probabilité : c'est une BORNE ( $\le$ ), qui peut valoir $1$ et donc ne rien dire.
Confondre la fréquence $F_n$ (variance $\dfrac{p(1-p)}{n}$ ) et le nombre de succès $X\sim\mathcal{B}(n,p)$ (variance $np(1-p)$ ).

🌺 En vrai : Un sondage sur $1000$ personnes serre bien plus près la vraie intention de vote qu'un sondage sur $10$ : c'est le $\dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}$ qui fond quand $n$ grandit.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Espérance et variance d'une moyenne d'échantillon
★★★
Soit $M_n$ la moyenne d'un échantillon de $n$ variables identiques d'espérance $\mu$ . Que vaut $E(M_n)$ ?
- A. $\mu$
- B. $\dfrac{\mu}{n}$
- C. $n\mu$
- D. $\mu^2$
Voir la correction
Réponse : $\mu$
Définition : L'espérance de la moyenne d'échantillon se conserve.

Méthode : On utilise $E(M_n) = \mu$ .

Calcul / Observation : $E(M_n) = \mu$ , l'espérance commune.

Conclusion : $E(M_n) = \mu$ .
Exo 2 · Utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
★★★
Quelle est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable $X$ ?
- A. $P(|X - \mu| \ge \delta) \le \dfrac{V(X)}{\delta^2}$
- B. $P(|X - \mu| \ge \delta) \le \dfrac{V(X)}{\delta}$
- C. $P(|X - \mu| \ge \delta) \ge \dfrac{V(X)}{\delta^2}$
- D. $P(|X - \mu| \ge \delta) = V(X)\delta^2$
Voir la correction
Réponse : $P(|X - \mu| \ge \delta) \le \dfrac{V(X)}{\delta^2}$
Définition : L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore une probabilité d'écart.

Méthode : On retient la formule du cours.

Calcul / Observation : $P(|X - \mu| \ge \delta) \le \dfrac{V(X)}{\delta^2}$ .

Conclusion : C'est $P(|X - \mu| \ge \delta) \le \dfrac{V(X)}{\delta^2}$ .
Exo 3 · Comprendre la loi des grands nombres
★★★
Que dit la loi des grands nombres pour la moyenne $M_n$ d'un échantillon ?
- A. $M_n$ se rapproche de $\mu$ quand $n$ devient grand
- B. $M_n$ s'éloigne de $\mu$
- C. $M_n$ est toujours égale à $\mu$
- D. $M_n$ devient nulle
Voir la correction
Réponse : $M_n$ se rapproche de $\mu$ quand $n$ devient grand
Définition : La loi des grands nombres relie moyenne observée et espérance.

Méthode : Quand $n$ grandit, $M_n$ se concentre autour de $\mu$ .

Calcul / Observation : $M_n$ se rapproche de $\mu$ .

Conclusion : $M_n$ se rapproche de $\mu$ quand $n$ devient grand.

☑️ Je sais…

Espérance et variance d'une moyenne d'échantillon
Utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Utiliser l'inégalité de concentration
Comprendre la loi des grands nombres
Étudier la fluctuation d'une fréquence
Résoudre un exercice type bac sur la concentration

Guide de survie · fiche 18/18

Algorithmique et programmation

Algorithmique (Python)

🎯 En 30 secondes

En Terminale, Python exécute ce qu'on sait calculer à la main : on lit le code ligne par ligne en suivant chaque variable. Deux boucles suffisent — for quand le nombre de tours est connu, while quand on cherche un seuil — et le module random simule le hasard.

🧰 Les formules qui sauvent

Boucle bornée : $\texttt{for i in range(n)}$ : $n$ tours, $i=0,1,\dots,n-1$
Terme d'une suite : $\texttt{u=u0}$ ; $\texttt{for i in range(n): u=f(u)}$ donne $u_n$
Recherche de seuil : $\texttt{while u<S: u=f(u); n=n+1}$ $\Rightarrow$ rang $n$
Simuler le hasard : $\texttt{randint(1,6)}$ (dé) ; $\texttt{random()}\in[0\,;1[$
Estimer une proba : $\texttt{freq = succes/N}\to P$ (grands nombres)

⚡ Les réflexes

« combien de fois », $\texttt{range(n)}$ $n$ tours, $i$ va de $0$ à $n-1$
$u_{n+1}=f(u_n)$ , calculer $u_n$ boucle $\texttt{for}$ : partir de $u_0$ , appliquer $n$ fois $\texttt{u=f(u)}$
« plus petit $n$ tel que … dépasse un seuil » boucle $\texttt{while}$ (nombre de tours inconnu)
« simuler », « estimer une probabilité » $\texttt{random}$ + fréquence $\texttt{succes/N}$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

$\texttt{range(n)}$ s'arrête à $n-1$ : la borne haute est EXCLUE ( $\texttt{range(2,6)}$ donne $2,3,4,5$ ).
Confondre $\texttt{=}$ (affecter une valeur à une variable) et $\texttt{==}$ (tester une égalité).
Prendre un $\texttt{for}$ pour un problème de seuil alors que le nombre de tours est inconnu : c'est $\texttt{while}$ .

🌺 En vrai : « Après combien d'années la population de Saint-Pierre dépasse-t-elle $100\,000$ habitants ? » On ne devine pas le nombre de tours : une boucle while s'arrête toute seule au bon moment.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Lire et comprendre un algorithme Python
★★★
Que vaut $x$ après l'exécution de ce programme ?
```
x = 3
x = x + 2
```
Voir la correction
Réponse : 5
Définition : On suit l'exécution ligne par ligne.

Méthode : $x$ vaut d'abord $3$ , puis on lui ajoute $2$ .

Calcul / Observation : $x = 3 + 2 = 5$ .

Conclusion : $x = 5$ .
Exo 2 · Utiliser variables, conditions et boucles
★★★
Combien de fois la boucle for i in range(5): répète-t-elle son bloc ?
Voir la correction
Réponse : 5
Définition : range(n) parcourt les entiers de $0$ à $n-1$ .

Méthode : range(5) donne $0, 1, 2, 3, 4$ .

Calcul / Observation : Cela fait $5$ valeurs, donc $5$ répétitions.

Conclusion : La boucle répète $5$ fois.
Exo 3 · Programmer les termes d’une suite
★★★
La suite $u_0 = 2$ , $u_{n+1} = 2u_n + 1$ . Que vaut $u$ après ce programme ?
```
u = 2
for i in range(3):
    u = 2 * u + 1
```
Voir la correction
Réponse : 23
Définition : La boucle applique la relation de récurrence 3 fois.

Méthode : $u_1 = 2\times2+1 = 5$ , $u_2 = 2\times5+1 = 11$ , $u_3 = 2\times11+1 = 23$ .

Calcul / Observation : Après 3 tours, $u = 23$ .

Conclusion : $u = 23$ (c'est $u_3$ ).

☑️ Je sais…

Lire et comprendre un algorithme Python
Utiliser variables, conditions et boucles
Programmer les termes d’une suite
Déterminer un seuil avec Python
Simuler une expérience aléatoire
Résoudre un exercice type bac avec algorithmique et Python

Guide de survie · Spé maths Terminale

Les 18 chapitres — coche ce que tu maîtrises

🪜 Suites numériques

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

♾️ Limites de suites

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

📉 Limites de fonctions

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

🎯 Continuité et TVI

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

📈 Dérivation et variations

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

🥣 Convexité

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

🚀 Fonction exponentielle

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

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☑️ Je sais…

🌱 Fonction logarithme népérien

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⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

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☑️ Je sais…

🟦 Primitives et intégrales

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⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

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☑️ Je sais…

🌡️ Équations différentielles

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⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

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🔢 Dénombrement et combinatoire

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🧊 Géométrie dans l’espace

Suites numériques

Limites de suites

Limites de fonctions

Continuité et TVI

Dérivation et variations

Convexité

Fonction exponentielle

Fonction logarithme népérien

Primitives et intégrales

Équations différentielles

Dénombrement et combinatoire

Géométrie dans l’espace

Produit scalaire dans l’espace

Probabilités conditionnelles

Variables aléatoires

Loi binomiale

Concentration et loi des grands nombres

Algorithmique (Python)