Guide de survie maths 3e : formules, pièges, réflexes pour le brevet (gratuit, à imprimer)

Guide de survie · fiche 1/22

Nombres et calculs

Nombres rationnels

🎯 En 30 secondes

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous forme de fraction $\dfrac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers et $b\neq 0$ : les entiers, les décimaux et les fractions sont tous rationnels. Pour additionner ou soustraire, on met au même dénominateur ; pour multiplier, on multiplie en ligne ; pour diviser, on multiplie par l'inverse.

🧰 Les formules qui sauvent

Un rationnel : $\dfrac{a}{b}$ avec $a$ , $b$ entiers et $b\neq 0$ (ex. $0{,}25=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}$ )
Additionner (même dénominateur) : $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}$ (ex. $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}$ )
Multiplier : $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}$ (ex. $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$ )
Diviser (= multiplier par l'inverse) : $\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}$
Comparer (produits en croix) : $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ : comparer $a\times d$ et $b\times c$

⚡ Les réflexes

« additionner / soustraire » des fractions même dénominateur d'abord, puis on ajoute les numérateurs SEULEMENT
« multiplier » des fractions numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux (pas besoin du même dénominateur)
« diviser » par une fraction multiplier par l'inverse : $\div\dfrac{c}{d}$ devient $\times\dfrac{d}{c}$
« comparer » deux fractions produits en croix, ou passer à l'écriture décimale ( $\dfrac{3}{4}=0{,}75$ )

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Additionner les dénominateurs : $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\neq\dfrac{2}{5}$ . On met au même dénominateur : $\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}$ .
Croire qu'il faut le même dénominateur pour MULTIPLIER : faux, on multiplie directement ( $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{20}$ ).
Comparer les négatifs à l'envers : $-\dfrac{3}{4}=-0{,}75$ est plus PETIT que $-\dfrac{1}{2}=-0{,}5$ .

🌺 En vrai : Une recette de gâteau patate à Saint-Pierre demande $\dfrac{3}{4}$ de tasse de sucre ; pour une demi-recette on calcule $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{8}$ de tasse.

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Exo 1 · Reconnaître un nombre rationnel
★★★
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme…
- A. a + b
- B. a/b avec b non nul
- C. a × b
- D. a²
Voir la correction
Réponse : a/b avec b non nul
Définition : un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme a/b, avec a et b entiers et b non nul.

Méthode : on écrit les nombres sous une forme adaptée : fraction, décimal ou même dénominateur, puis on calcule ou on compare.

Calcul : on effectue les transformations ou les opérations nécessaires étape par étape. Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme a/b, où a et b sont des entiers et b est non nul.

Conclusion : le résultat obtenu donne la réponse attendue sous forme exacte ou simplifiée.
Exo 2 · Passer d’une écriture fractionnaire à une écriture décimale
★★★
Quelle est l’écriture décimale de 1/2 ?
- A. 0,2
- B. 0,5
- C. 1,2
- D. 2
Voir la correction
Réponse : 0,5
Définition : un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme a/b, avec a et b entiers et b non nul.

Méthode : on écrit les nombres sous une forme adaptée : fraction, décimal ou même dénominateur, puis on calcule ou on compare.

Calcul : on effectue les transformations ou les opérations nécessaires étape par étape. 1/2 = 1 ÷ 2 = 0,5.

Conclusion : le résultat obtenu donne la réponse attendue sous forme exacte ou simplifiée.
Exo 3 · Comparer des nombres rationnels
★★★
Quel nombre est le plus grand : 2/3 ou 1/3 ?
- A. 2/3
- B. 1/3
- C. ils sont égaux
Voir la correction
Réponse : 2/3
Définition : un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme a/b, avec a et b entiers et b non nul.

Méthode : on écrit les nombres sous une forme adaptée : fraction, décimal ou même dénominateur, puis on calcule ou on compare.

Calcul : on effectue les transformations ou les opérations nécessaires étape par étape. Les deux fractions ont le même dénominateur. On compare donc les numérateurs : 2 > 1, donc 2/3 est plus grand.

Conclusion : le résultat obtenu donne la réponse attendue sous forme exacte ou simplifiée.

☑️ Je sais…

Reconnaître un nombre rationnel
Passer d’une écriture fractionnaire à une écriture décimale
Comparer des nombres rationnels
Calculer avec des nombres rationnels
Défis sur les nombres rationnels

Guide de survie · fiche 2/22

Nombres et calculs

Puissances

🎯 En 30 secondes

Une puissance $a^n$ est une multiplication répétée : on multiplie la base $a$ par elle-même autant de fois que l'indique l'exposant $n$ . Les puissances de $10$ servent à écrire très grands et très petits nombres, ce qui donne l'écriture scientifique $a\times 10^n$ (avec $1\le a<10$ ), très utile au brevet.

🧰 Les formules qui sauvent

Définition : $a^n = a\times a\times\cdots\times a$ ( $n$ facteurs) ; $a^1=a$
Puissances de $10$ : $10^n = 1$ suivi de $n$ zéros ; $10^{-n}=\dfrac{1}{10^n}$ (ex. $10^{-2}=0{,}01$ )
Règles (même base) : $a^m\times a^n=a^{m+n}$ ; $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ ; $(a^m)^n=a^{m\times n}$
Exposant négatif : $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$
Écriture scientifique : $a\times 10^n$ avec $1\le a<10$ (ex. $5\,600=5{,}6\times 10^3$ )

⚡ Les réflexes

on voit $3^2$ c'est $3\times 3=9$ , pas $3\times 2$
même base, on multiplie ou on divise on additionne ou on soustrait les exposants
un très grand ou très petit nombre à écrire écriture scientifique $a\times 10^n$ , virgule après le 1ᵉʳ chiffre non nul ( $1\le a<10$ )
un exposant négatif comme $10^{-3}$ on passe à l'inverse : $\dfrac{1}{10^3}$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

$3^2=9$ (c'est $3\times 3$ ), surtout pas $6$ ( $3\times 2$ ) : l'exposant n'est pas un facteur.
Les règles sur les exposants marchent pour un produit ou un quotient, jamais une somme : $10^3+10^2=1\,100$ , pas $10^5$ .
En écriture scientifique, le nombre devant doit être entre $1$ et $10$ : $42\times 10^3$ n'est pas correct (on écrit $4{,}2\times 10^4$ ).

🌺 En vrai : La population de La Réunion, environ $870\,000$ habitants, s'écrit $8{,}7\times 10^5$ en écriture scientifique.

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Exo 1 · Comprendre l’écriture d’une puissance
★★★
Que signifie 3² ?
- A. 3 × 2
- B. 3 + 2
- C. 3 × 3
- D. 2 × 2 × 2
Voir la correction
Réponse : 3 × 3
Définition : une puissance est une écriture qui résume des multiplications répétées d’un même nombre.

Méthode : on utilise la définition d’une puissance ou les règles sur les puissances de même base et les puissances de 10.

Calcul : on applique la règle choisie, puis on simplifie l’écriture si nécessaire. 3² = 3 × 3.

Conclusion : l’écriture obtenue est la réponse attendue.
Exo 2 · Calculer une puissance simple
★★★
Calculer 2³
- A. 6
- B. 8
- C. 9
- D. 12
Voir la correction
Réponse : 8
Définition : une puissance est une écriture qui résume des multiplications répétées d’un même nombre.

Méthode : on utilise la définition d’une puissance ou les règles sur les puissances de même base et les puissances de 10.

Calcul : on applique la règle choisie, puis on simplifie l’écriture si nécessaire. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.

Conclusion : l’écriture obtenue est la réponse attendue.
Exo 3 · Utiliser les puissances de 10
★★★
Calculer 10³.
- A. 30
- B. 100
- C. 1 000
- D. 10 000
Voir la correction
Réponse : 1 000
Définition : une puissance est une écriture qui résume des multiplications répétées d’un même nombre.

Méthode : on utilise la définition d’une puissance ou les règles sur les puissances de même base et les puissances de 10.

Calcul : on applique la règle choisie, puis on simplifie l’écriture si nécessaire. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000.

Conclusion : l’écriture obtenue est la réponse attendue.

☑️ Je sais…

Comprendre l’écriture d’une puissance
Calculer une puissance simple
Utiliser les puissances de 10
Utiliser l’écriture scientifique
Effectuer des calculs avec les puissances
Défis sur les puissances

Guide de survie · fiche 3/22

Nombres et calculs

Racine carrée

🎯 En 30 secondes

La racine carrée de $a$ (avec $a\ge 0$ ), notée $\sqrt{a}$ , est le nombre positif dont le carré vaut $a$ . Elle « défait » le carré : $(\sqrt{a})^2=a$ et $\sqrt{a^2}=a$ . Un carré parfait est le carré d'un entier ( $1,4,9,16,25,\dots$ ) : sa racine est un entier ; sinon on encadre $\sqrt{a}$ entre deux entiers.

🧰 Les formules qui sauvent

Définition : $\sqrt{a}=b$ signifie $b\ge 0$ et $b^2=a$
Carré et racine s'annulent : $(\sqrt{a})^2=a$ et $\sqrt{a^2}=a$ (pour $a\ge 0$ )
Carrés parfaits à connaître : $1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169$
Encadrement :si $k^2<a<(k+1)^2$ alors $k<\sqrt{a}<k+1$

⚡ Les réflexes

on demande $\sqrt{a}$ avec $a$ carré parfait chercher l'entier dont le carré vaut $a$ ( $\sqrt{49}=7$ )
« entre quels entiers se trouve $\sqrt{a}$ ? » encadrer $a$ par les deux carrés parfaits voisins
aire d'un carré $=A$ , on cherche le côté côté $=\sqrt{A}$
on voit $\sqrt{a+b}$ calculer d'abord $a+b$ SOUS la racine, sans séparer

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Croire que $\sqrt{a}=a\div 2$ : c'est faux, $\sqrt{16}=4$ (car $4^2=16$ ), pas $8$ .
Séparer la racine d'une somme : $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ , alors que $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$ .
Confondre carré et racine : $\sqrt{5}\approx 2{,}2$ n'est pas un entier, mais $5^2=25$ .

🌺 En vrai : Un carreleur à Saint-Pierre pose une terrasse carrée de $36\ \text{m}^2$ : le côté mesure $\sqrt{36}=6$ m.

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Exo 1 · Comprendre la notion de racine carrée
★★★
Que représente √9 ?
- A. 3
- B. 9
- C. 81
- D. 6
Voir la correction
Réponse : 3
Définition : la racine carrée d’un nombre positif est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre.

Méthode : pour trouver √9, on cherche le nombre positif dont le carré vaut 9.

Calcul : 3² = 9.

Conclusion : √9 = 3.
Exo 2 · Reconnaître les carrés parfaits
★★★
Quel est un carré parfait ?
- A. 15
- B. 20
- C. 36
- D. 18
Voir la correction
Réponse : 36
Définition : un carré parfait est un nombre qui peut s’écrire comme le carré d’un entier.

Méthode : on cherche parmi les réponses un nombre de la forme n².

Calcul : 36 = 6².

Conclusion : 36 est un carré parfait.
Exo 3 · Calculer une racine carrée simple
★★★
Calculer √64.
Voir la correction
Réponse : 8
Définition : la racine carrée d’un nombre positif est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre.

Méthode : pour calculer √64, on cherche le nombre positif dont le carré vaut 64.

Calcul : 8² = 64.

Conclusion : √64 = 8.

☑️ Je sais…

Comprendre la notion de racine carrée
Reconnaître les carrés parfaits
Calculer une racine carrée simple
Encadrer une racine carrée
Défis sur les racines carrées

Guide de survie · fiche 4/22

Nombres et calculs

Multiples et diviseurs

🎯 En 30 secondes

$b$ divise $a$ (ou : $a$ est un multiple de $b$ ) quand la division $a\div b$ tombe juste, sans reste : $a=b\times k$ . Un nombre premier a exactement deux diviseurs, $1$ et lui-même. Décomposer un entier en produit de facteurs premiers, c'est sa carte d'identité : ça sert à simplifier une fraction ou à repérer tous ses diviseurs.

🧰 Les formules qui sauvent

Multiple / diviseur : $a=b\times k$ ( $k$ entier) : $a$ est un multiple de $b$ , $b$ un diviseur de $a$
Critères de divisibilité :par $2$ (finit par $0,2,4,6,8$ ), $5$ ( $0$ ou $5$ ), $10$ ( $0$ ) ; par $3$ ou $9$ : somme des chiffres divisible par $3$ ou $9$
Nombre premier :exactement $2$ diviseurs : $1$ et lui-même ( $1$ n'est pas premier ; $2$ est le seul pair premier)
Décomposition en facteurs premiers : $12=2^2\times 3$ , $\;60=2^2\times 3\times 5$
Simplifier une fraction : $\dfrac{60}{36}=\dfrac{2^2\times 3\times 5}{2^2\times 3^2}=\dfrac{5}{3}$

⚡ Les réflexes

« $a$ est-il un multiple / un diviseur de… ? » poser la division : reste $0$ $\Rightarrow$ oui
« divisible par $3$ ou $9$ ? » additionner les chiffres ; par $2$ , $5$ , $10$ : regarder le dernier chiffre
« $n$ est-il premier ? » tester $2,3,5,7,\dots$ tant que (diviseur) $^2\le n$
une fraction ne se simplifie pas à l'œil décomposer le haut et le bas en facteurs premiers, puis barrer les communs

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Croire que $1$ est premier : faux, il n'a qu'un seul diviseur. En revanche $2$ est bien premier (le seul pair).
Confondre multiple et diviseur : $12$ est un multiple de $3$ , tandis que $3$ est un diviseur de $12$ .
Décomposition non terminée : $30=2\times 15$ ne suffit pas car $15$ n'est pas premier ; il faut aller jusqu'à $30=2\times 3\times 5$ .

🌺 En vrai : Ranger $48$ letchis en paquets tous identiques sans reste : chaque taille de paquet possible est un diviseur de $48=2^4\times 3$ ( $2$ , $3$ , $4$ , $6$ , $8$ , $12$ , $16$ , $24$ …).

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Exo 1 · Reconnaître un multiple et un diviseur
★★★
12 est-il un multiple de 3 ?
- A. oui
- B. non
Voir la correction
Réponse : oui
Définition : l’arithmétique étudie les diviseurs, les multiples, les critères de divisibilité, les nombres premiers et les diviseurs communs.

Méthode : on repère la propriété utile, puis on vérifie avec une égalité, un critère ou une décomposition.

Calcul : on utilise les données de la question pour justifier la réponse. Oui, car 12 = 3 × 4.

Conclusion : la réponse est donc celle indiquée, avec une justification arithmétique.
Exo 2 · Utiliser les critères de divisibilité
★★★
Un nombre divisible par 2 est…
- A. un nombre pair
- B. un nombre impair
- C. un nombre qui finit par 5
- D. un nombre premier
Voir la correction
Réponse : un nombre pair
Définition : l’arithmétique étudie les diviseurs, les multiples, les critères de divisibilité, les nombres premiers et les diviseurs communs.

Méthode : on repère la propriété utile, puis on vérifie avec une égalité, un critère ou une décomposition.

Calcul : on utilise les données de la question pour justifier la réponse. Un nombre divisible par 2 est un nombre pair.

Conclusion : la réponse est donc celle indiquée, avec une justification arithmétique.
Exo 3 · Reconnaître un nombre premier
★★★
Un nombre premier possède exactement…
- A. un seul diviseur
- B. deux diviseurs : 1 et lui-même
- C. trois diviseurs
- D. aucun diviseur
Voir la correction
Réponse : deux diviseurs : 1 et lui-même
Définition : l’arithmétique étudie les diviseurs, les multiples, les critères de divisibilité, les nombres premiers et les diviseurs communs.

Méthode : on repère la propriété utile, puis on vérifie avec une égalité, un critère ou une décomposition.

Calcul : on utilise les données de la question pour justifier la réponse. Un nombre premier possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Conclusion : la réponse est donc celle indiquée, avec une justification arithmétique.

☑️ Je sais…

Reconnaître un multiple et un diviseur
Utiliser les critères de divisibilité
Reconnaître un nombre premier
Décomposer un entier en produit de facteurs premiers
Utiliser une décomposition pour résoudre un problème de divisibilité
Défis sur l’arithmétique

Guide de survie · fiche 5/22

Nombres et calculs

Calcul littéral

🎯 En 30 secondes

Le calcul littéral, c'est calculer avec des lettres qui représentent des nombres (attention : $4x$ veut dire $4\times x$ ). Développer, c'est enlever les parenthèses en distribuant la multiplication ; factoriser, c'est l'inverse, transformer une somme en produit grâce à un facteur commun. Réduire = regrouper les termes semblables (même lettre, même puissance).

🧰 Les formules qui sauvent

Développer (simple distributivité) : $k(a+b)=ka+kb$
Double distributivité : $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
Carré d'une somme / d'une différence : $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ; $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Différence de deux carrés : $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
Factoriser (facteur commun) : $ka+kb=k(a+b)$

⚡ Les réflexes

des parenthèses à faire disparaître développer en distribuant à CHAQUE terme
un facteur commun ou « écris sous forme d'un produit » factoriser : $ka+kb=k(a+b)$
on voit $(a\pm b)^2$ ou $a^2-b^2$ appliquer une identité remarquable (plus rapide que la double distributivité)
« calculer la valeur pour $x=\dots$ » remplacer $x$ , le nombre négatif entre parenthèses : $2\times(-3)$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Oublier le double produit : $(x+3)^2 = x^2+6x+9$ , et surtout PAS $x^2+9$ .
Ne distribuer qu'à moitié : $4(x+3)=4x+12$ (le $4$ multiplie AUSSI le $3$ ), pas $4x+3$ .
Réduire des termes non semblables : $3x+2\neq 5x$ et $2x+3x^2\neq 5x^2$ ( $x$ et $x^2$ ne se regroupent pas).

🌺 En vrai : Un terrain carré de côté $(x+5)$ m à Saint-Pierre : son aire est $(x+5)^2 = x^2+10x+25$ m $^2$ .

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Exo 1 · Comprendre une expression littérale
★★★
Dans l’expression 3x + 5, que représente la lettre x ?
- A. un nombre inconnu ou variable
- B. toujours le nombre 3
- C. toujours le nombre 5
- D. un signe de multiplication uniquement
Voir la correction
Réponse : un nombre inconnu ou variable
Définition : en calcul littéral, une lettre représente un nombre inconnu ou variable.

Méthode : on lit l’expression en repérant les nombres et les lettres.

Calcul : dans 3x + 5, la lettre x représente un nombre, et 3x signifie 3 × x.

Conclusion : x représente un nombre inconnu ou variable.
Exo 2 · Calculer la valeur d’une expression littérale
★★★
Calculer 3x + 2 pour x = 4.
- A. 14
- B. 20
- C. 10
- D. 6
Voir la correction
Réponse : 14
Définition : substituer signifie remplacer une lettre par une valeur.

Méthode : on remplace x par 4 dans l’expression.

Calcul : 3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14.

Conclusion : la valeur de l’expression est 14.
Exo 3 · Réduire une expression littérale
★★★
Réduire : 3x + 2x
- A. 5x
- B. 6x
- C. 5x²
- D. x
Voir la correction
Réponse : 5x
Définition : réduire une expression consiste à regrouper les termes semblables.

Méthode : 3x et 2x sont des termes en x.

Calcul : 3x + 2x = 5x.

Conclusion : l’expression réduite est 5x.

☑️ Je sais…

Comprendre une expression littérale
Calculer la valeur d’une expression littérale
Réduire une expression littérale
Développer une expression
Factoriser une expression
Utiliser les identités remarquables
Défis sur le calcul littéral

Guide de survie · fiche 6/22

Nombres et calculs

Équations

🎯 En 30 secondes

Une équation est une égalité qui contient une inconnue (souvent $x$ ). La résoudre, c'est trouver la ou les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie. Règle d'or : on effectue la même opération des deux côtés pour isoler $x$ . Cas spécial du brevet : si un produit est nul, alors l'un des facteurs est nul.

🧰 Les formules qui sauvent

Résoudre $ax+b=c$ (isoler $x$ ) : $ax+b=c \Rightarrow ax=c-b \Rightarrow x=\dfrac{c-b}{a}$
Développer avant de résoudre : $a(x+b)=c \Rightarrow ax+ab=c$
$x$ des deux côtés : $ax+b=cx+d \Rightarrow (a-c)x=d-b$
Équation produit nul : $A\times B=0 \Rightarrow A=0 \text{ ou } B=0$
Vérifier une solution :on remplace $x$ par la valeur : l'égalité doit être vraie

⚡ Les réflexes

des parenthèses, ex. $3(x+4)=25$ développer d'abord, puis isoler $x$
un produit égal à $0$ , ex. $(x-3)(x+5)=0$ annuler chaque facteur : $x-3=0$ ou $x+5=0$
$x$ apparaît des deux côtés tout regrouper : les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre
un problème en français (« un nombre... ») poser $x$ , traduire en équation, résoudre, répondre par une phrase

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Opération inverse ratée : pour enlever $+6$ on SOUSTRAIT ( $x+6=14 \Rightarrow x=14-6=8$ ), on n'écrit jamais $x=14+6$ .
Développer à moitié : $3(x+4)=3x+12$ , PAS $3x+4$ — le facteur multiplie TOUS les termes de la parenthèse.
Produit nul et signes : $(x-4)(x+2)=0$ donne $x=4$ ET $x=-2$ (car $x+2=0 \Rightarrow x=-2$ , pas $2$ ).

🌺 En vrai : À Saint-Pierre, des samoussas à $3$ € pièce plus $2$ € de boisson coûtent $17$ € : on pose $3x+2=17$ , donc $3x=15$ et $x=5$ samoussas.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Reconnaître une équation
★★★
Parmi les écritures suivantes, laquelle est une équation ?
- A. 2x + 5 = 13
- B. 2x + 5
- C. 13
- D. x²
Voir la correction
Réponse : 2x + 5 = 13
Définition : une équation est une égalité qui contient une inconnue.

Méthode : on cherche une écriture avec un signe égal et une lettre.

Calcul : 2x + 5 = 13 contient l’inconnue x et le signe égal.

Conclusion : 2x + 5 = 13 est une équation.
Exo 2 · Résoudre une équation du premier degré simple
★★★
Résoudre : x + 7 = 12
Voir la correction
Réponse : 5
Définition : résoudre une équation, c’est trouver la valeur de l’inconnue.

Méthode : on isole x en effectuant la même opération des deux côtés.

Calcul : x + 7 = 12 donc x = 12 - 7 = 5.

Conclusion : la solution est x = 5.
Exo 3 · Vérifier une solution d’équation
★★★
Le nombre 4 est-il solution de l’équation 3x + 2 = 14 ?
- A. oui
- B. non
Voir la correction
Réponse : oui
Définition : vérifier une solution consiste à remplacer l’inconnue par la valeur proposée.

Méthode : on remplace x par 4 dans le membre de gauche.

Calcul : 3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14.

Conclusion : 4 est bien solution de l’équation.

☑️ Je sais…

Reconnaître une équation
Résoudre une équation du premier degré simple
Résoudre une équation avec développement ou réduction
Résoudre une équation produit nul
Vérifier une solution d’équation
Résoudre un problème à l’aide d’une équation
Défis sur les équations

Guide de survie · fiche 7/22

Fonctions et proportionnalité

Proportionnalité

🎯 En 30 secondes

Une situation est proportionnelle si on passe d'une grandeur à l'autre en multipliant toujours par le même nombre (le coefficient) ; graphiquement, c'est une droite passant par l'origine. Un pourcentage est une proportion sur $100$ : prendre $t\,\%$ , c'est multiplier par $\dfrac{t}{100}$ . Augmenter de $t\,\%$ , c'est multiplier par $1+\dfrac{t}{100}$ ; diminuer, par $1-\dfrac{t}{100}$ .

🧰 Les formules qui sauvent

Coefficient de proportionnalité : $k=\dfrac{y}{x}$ puis $y=k\times x$ (même $k$ partout)
Quatrième proportionnelle (produit en croix) : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow d=\dfrac{b\times c}{a}$
Pourcentage : prendre $t\,\%$ / calculer un taux : $t\,\%$ de $N=\dfrac{t}{100}\times N$ ; taux $=\dfrac{\text{partie}}{\text{total}}\times 100$
Augmenter / diminuer de $t\,\%$ : $\times\left(1+\dfrac{t}{100}\right)$ / $\times\left(1-\dfrac{t}{100}\right)$
Vitesse, débit, densité : $v=\dfrac{d}{t}$ ; débit $=\dfrac{\text{volume}}{\text{temps}}$ ; densité $=\dfrac{\text{nombre}}{\text{surface}}$

⚡ Les réflexes

un tableau, « est-ce proportionnel ? » vérifier que le rapport $\dfrac{y}{x}$ est le même dans chaque colonne (ou : droite passant par l'origine)
3 valeurs connues sur 4 en proportion produit en croix
« $+15\,\%$ », « $-20\,\%$ » multiplier par $1{,}15$ ou par $0{,}8$
des km et des h (ou des L et des min) vitesse $=\dfrac{\text{distance}}{\text{temps}}$ , débit $=\dfrac{\text{volume}}{\text{temps}}$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Croire qu'augmenter de $20\,\%$ puis diminuer de $20\,\%$ revient au départ : $\times 1{,}2\times 0{,}8=0{,}96$ , on perd $4\,\%$ .
Ajouter les pourcentages pour deux évolutions successives au lieu de multiplier les coefficients : $+10\,\%$ puis $+20\,\%$ donne $\times 1{,}32$ , soit $+32\,\%$ (pas $+30\,\%$ ).
Diviser dans le mauvais sens : la vitesse, c'est distance $\div$ temps, jamais temps $\div$ distance (les unités doivent donner des km/h).

🌺 En vrai : Au marché de Saint-Paul, si $3$ mangues coûtent $6$ €, alors $5$ mangues coûtent $5\times 2=10$ € : le prix est proportionnel à la quantité (coefficient $=2$ € la mangue).

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Reconnaître une situation de proportionnalité ou de non-proportionnalité
★★★
Quelle situation est proportionnelle ?
- A. Le prix est proportionnel à la quantité
- B. L’âge est proportionnel à la taille
- C. Le poids est proportionnel à l’âge
- D. La température est proportionnelle au temps
Voir la correction
Réponse : Le prix est proportionnel à la quantité
Définition : dans une situation de proportionnalité, deux grandeurs varient avec un même coefficient multiplicateur.

Méthode : on choisit la formule adaptée : coefficient, produit en croix, pourcentage, vitesse, débit ou densité.

Calcul : on remplace les valeurs de l’énoncé dans la formule puis on calcule. Dans une situation proportionnelle, on multiplie toujours par le même nombre.

Conclusion : on obtient la valeur demandée avec l’unité ou le pourcentage adapté.
Exo 2 · Utiliser un tableau de proportionnalité
★★★
Compléter : 2 → 6 donc 4 → ?
Voir la correction
Réponse : 12
Définition : dans une situation de proportionnalité, deux grandeurs varient avec un même coefficient multiplicateur.

Méthode : on choisit la formule adaptée : coefficient, produit en croix, pourcentage, vitesse, débit ou densité.

Calcul : on remplace les valeurs de l’énoncé dans la formule puis on calcule. Coefficient = 3 donc 4 × 3 = 12.

Conclusion : on obtient la valeur demandée avec l’unité ou le pourcentage adapté.
Exo 3 · Calculer une quatrième proportionnelle
★★★
Résoudre : 3 / 5 = x / 20
Voir la correction
Réponse : 12
Définition : dans une situation de proportionnalité, deux grandeurs varient avec un même coefficient multiplicateur.

Méthode : on choisit la formule adaptée : coefficient, produit en croix, pourcentage, vitesse, débit ou densité.

Calcul : on remplace les valeurs de l’énoncé dans la formule puis on calcule. x = (3 × 20) / 5 = 12.

Conclusion : on obtient la valeur demandée avec l’unité ou le pourcentage adapté.

☑️ Je sais…

Reconnaître une situation de proportionnalité ou de non-proportionnalité
Utiliser un tableau de proportionnalité
Calculer une quatrième proportionnelle
Calculer et interpréter un pourcentage
Interpréter une augmentation ou une diminution en pourcentage
Résoudre un problème de vitesse, débit ou densité
Défis sur la proportionnalité

Guide de survie · fiche 8/22

Fonctions et proportionnalité

Fonctions

🎯 En 30 secondes

Une fonction $f$ est une machine à calculer : à un nombre de départ (l'antécédent) elle associe un seul résultat (l'image). On note $f(x)$ « $f$ de $x$ ». Calculer une image, c'est remplacer $x$ par un nombre ; chercher un antécédent de $y$ , c'est résoudre l'équation $f(x)=y$ . Cas particuliers : la fonction linéaire $f(x)=ax$ et la fonction affine $f(x)=ax+b$ , dont la représentation graphique est une droite.

🧰 Les formules qui sauvent

Calculer une image (remplacer $x$ ) : $f(x)=2x+3\Rightarrow f(4)=2\times 4+3=11$
Chercher un antécédent de $y$ :résoudre $f(x)=y$ (ex. $2x+1=9\Rightarrow x=4$ )
Fonction linéaire : $f(x)=ax$ (droite passant par l'origine, $a=$ coefficient)
Fonction affine : $f(x)=ax+b$ ( $a=$ coeff. directeur, $b=$ ordonnée à l'origine)
Lecture graphique :image : de $x$ on monte vers la droite ; antécédent : de $y$ on rejoint la droite

⚡ Les réflexes

« calcule $f(3)$ » ou « image de $3$ » remplacer $x$ par $3$ dans la formule
« antécédent de $7$ » ou « pour quel $x$ a-t-on $f(x)=7$ ? » résoudre l'équation $f(x)=7$
la droite passe par l'origine $(0\,;0)$ fonction linéaire $f(x)=ax$ ; sinon affine $ax+b$
un tableau de valeurs 1ʳᵉ ligne $=$ les $x$ , 2ᵉ ligne $=$ les images $f(x)$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Confondre image et antécédent : l'image est le RÉSULTAT (on donne $x$ ), l'antécédent est le DÉPART (on cherche $x$ tel que $f(x)=y$ ).
Sur un graphique, inverser les lectures : pour une image on part de l'axe horizontal (les $x$ ), pour un antécédent on part de l'axe vertical (les $y$ ).
Croire que toute droite est linéaire : $f(x)=ax$ passe par l'origine, mais $f(x)=ax+b$ (avec $b\neq 0$ ) ne passe pas par $(0\,;0)$ .

🌺 En vrai : Un food truck à Saint-Pierre vend les tacos avec $f(x)=2x+3$ (en €) : $4$ tacos coûtent $f(4)=2\times 4+3=11$ € ; et avec $11$ € on peut en prendre $4$ (l'antécédent de $11$ ).

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Exo 1 · Comprendre le vocabulaire des fonctions
★★★
À La Réunion, un loueur de vélo facture selon la durée. On note f(x) le prix pour x heures. Que représente f(2) ?
- A. le prix pour 2 heures
- B. le nombre d’heures
- C. le nom de la fonction
- D. un graphique
Voir la correction
Réponse : le prix pour 2 heures
Définition : f(2) se lit « f de 2 ».

Méthode : on donne la valeur 2 à la fonction. La fonction renvoie alors un résultat.

Ici, x représente le nombre d’heures de location. Donc f(2) représente le prix pour 2 heures.

Conclusion : f(2) est le prix payé pour 2 heures de location.
Exo 2 · Déterminer ou lire un antécédent
★★★
Chercher un antécédent de $12$ par une fonction $f$ , c’est chercher…
- A. la valeur de $x$ telle que $f(x) = 12$
- B. la valeur de $f(12)$
- C. l’image de $12$
- D. la pente de la droite
Voir la correction
Réponse : la valeur de $x$ telle que $f(x) = 12$
Définition : un antécédent d’un nombre $y$ est un nombre $x$ dont l’image est $y$ .

Méthode : on cherche $x$ tel que $f(x) = 12$ .

Calcul : on résout l’équation $f(x) = 12$ .

Conclusion : chercher un antécédent de $12$ , c’est chercher $x$ tel que $f(x) = 12$ .
Exo 3 · Lire et interpréter la représentation graphique d’une fonction
★★★
Sur le graphique d’une fonction, où lit-on l’image d’un nombre $x$ ?
- A. sur l’axe vertical (les ordonnées)
- B. sur l’axe horizontal (les abscisses)
- C. sur le titre du graphique
- D. à l’origine du repère
Voir la correction
Réponse : sur l’axe vertical (les ordonnées)
Définition : l’image de $x$ est l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse $x$ .

Méthode : on monte depuis $x$ jusqu’à la courbe, puis on lit l’ordonnée.

Calcul : la valeur lue est sur l’axe vertical.

Conclusion : on lit l’image sur l’axe vertical.

☑️ Je sais…

Comprendre le vocabulaire des fonctions
Calculer ou lire une image
Déterminer ou lire un antécédent
Utiliser un tableau de valeurs
Lire et interpréter la représentation graphique d’une fonction
Reconnaître et utiliser une fonction linéaire ou affine
Défis sur les fonctions

Guide de survie · fiche 9/22

Fonctions et proportionnalité

Fonctions affines

🎯 En 30 secondes

Une fonction affine s'écrit $f(x)=ax+b$ ; sa représentation graphique est une droite. Le nombre $a$ est le coefficient directeur (la pente : de combien monte ou descend la droite quand $x$ augmente de $1$ ) et $b$ est l'ordonnée à l'origine (là où la droite coupe l'axe vertical, c'est-à-dire $f(0)$ ). Si $b=0$ , la fonction est linéaire : $f(x)=ax$ , elle passe par l'origine (proportionnalité).

🧰 Les formules qui sauvent

Forme d'une fonction affine : $f(x)=ax+b$ ( $a$ = coeff. directeur, $b$ = ordonnée à l'origine)
Calculer une image :on remplace $x$ : $f(4)=2\times 4+3=11$
Coefficient directeur avec deux points : $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ (variation de $y$ $\div$ variation de $x$ )
Ordonnée à l'origine : $b=f(0)$ (point où la droite coupe l'axe des ordonnées)
Cas linéaire : $f(x)=ax$ (c'est $b=0$ : la droite passe par l'origine)

⚡ Les réflexes

on demande le « coefficient directeur » c'est le nombre devant $x$ , avec son signe (dans $-3x+2$ , $a=-3$ )
on demande l'« ordonnée à l'origine » c'est $b$ , soit $f(0)$ , là où la droite coupe l'axe vertical
on connaît deux points de la droite $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ , puis $b=f(0)$
un problème avec « prix fixe + prix par unité » prix fixe $=b$ , prix par unité $=a$ : $f(x)=ax+b$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Inverser $a$ et $b$ : le coefficient directeur est devant $x$ , l'ordonnée à l'origine est le nombre seul (dans $6x-2$ , $a=6$ et $b=-2$ ).
Oublier que $2x$ signifie $2\times x$ : $f(3)=2\times 3+5=11$ , et non $2+3+5=10$ .
Oublier le signe du coefficient : dans $f(x)=-3x+5$ , on garde le $-3$ , donc $f(2)=-3\times 2+5=-1$ .

🌺 En vrai : Un taxi à Saint-Pierre facture $5$ € de prise en charge puis $3$ € par km : $f(x)=3x+5$ , donc $4$ km coûtent $3\times 4+5=17$ €.

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Exo 1 · Reconnaître une fonction affine ou linéaire
★★★
Quelle expression correspond à une fonction affine ?
- A. f(x) = 3x + 2
- B. f(x) = x²
- C. f(x) = 4/x
- D. f(x) = x × x
Voir la correction
Réponse : f(x) = 3x + 2
Définition : une fonction affine est une fonction qui peut s’écrire f(x) = ax + b.

Méthode : on cherche une expression avec x multiplié par un nombre, puis éventuellement un nombre ajouté ou soustrait.

Calcul : f(x) = 3x + 2 est bien de la forme ax + b, avec a = 3 et b = 2.

Conclusion : f(x) = 3x + 2 est une fonction affine.
Exo 2 · Comprendre et déterminer le coefficient directeur
★★★
Dans la fonction f(x) = 4x + 7, quel est le coefficient directeur ?
- A. 4
- B. 7
- C. 11
- D. x
Voir la correction
Réponse : 4
Définition : dans une fonction affine f(x) = ax + b, le coefficient directeur est le nombre a.

Méthode : on repère le nombre qui multiplie x.

Calcul : dans f(x) = 4x + 7, le nombre qui multiplie x est 4.

Conclusion : le coefficient directeur est 4.
Exo 3 · Comprendre et déterminer l’ordonnée à l’origine
★★★
Dans la fonction f(x) = 3x + 5, quelle est l’ordonnée à l’origine ?
- A. 3
- B. 5
- C. 8
- D. x
Voir la correction
Réponse : 5
Définition : dans une fonction affine f(x) = ax + b, l’ordonnée à l’origine est le nombre b.

Méthode : on repère le nombre ajouté après le terme en x.

Calcul : dans f(x) = 3x + 5, le nombre b vaut 5.

Conclusion : l’ordonnée à l’origine est 5.

☑️ Je sais…

Reconnaître une fonction affine ou linéaire
Comprendre et déterminer le coefficient directeur
Comprendre et déterminer l’ordonnée à l’origine
Calculer une image avec une fonction affine
Déterminer l’expression d’une fonction affine
Lire et interpréter graphiquement une fonction affine
Résoudre un problème avec une fonction affine
Défis sur les fonctions affines

Guide de survie · fiche 10/22

Espace et géométrie

Triangles

🎯 En 30 secondes

Un triangle se reconnaît à ses côtés et à ses angles : équilatéral (3 côtés égaux, 3 angles de $60^\circ$ ), isocèle (au moins 2 côtés égaux, donc 2 angles égaux), rectangle (un angle de $90^\circ$ ), sinon quelconque. Deux règles servent tout le temps : la somme des angles vaut toujours $180^\circ$ , et un triangle existe seulement si son plus grand côté est strictement inférieur à la somme des deux autres (inégalité triangulaire).

🧰 Les formules qui sauvent

Somme des angles : $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ$ (angle manquant $=180-$ les deux connus)
Inégalité triangulaire (le triangle existe) :plus grand côté $<$ somme des deux autres (ex. $3+4=7$ : pas de triangle)
Triangle rectangle : angles aigus :les deux angles aigus sont complémentaires : $\widehat{B}=90-\widehat{A}$
Triangle isocèle : angles à la base :chaque angle à la base $=\dfrac{180-\text{angle au sommet}}{2}$
Équilatéral :3 côtés égaux $\Leftrightarrow$ 3 angles de $60^\circ$

⚡ Les réflexes

deux angles connus, on cherche le troisième $180 -$ la somme des deux ( $180-A-B$ )
« peut-on construire ce triangle ? » (3 longueurs) comparer le plus grand côté à la somme des deux autres
triangle isocèle, angle au sommet donné chaque angle à la base $=\dfrac{180-\text{sommet}}{2}$
triangle rectangle, un angle aigu donné l'autre aigu $=90-$ cet angle

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Écrire que la somme des angles fait $360^\circ$ : c'est $180^\circ$ pour un triangle ( $360^\circ$ , c'est le tour complet ou le quadrilatère).
Oublier que l'inégalité est STRICTE : avec $3$ , $4$ et $7$ on a $3+4=7$ , les points sont alignés, ce n'est PAS un triangle.
Croire que deux côtés égaux rendent le triangle équilatéral : deux côtés égaux $=$ isocèle seulement ; il en faut trois pour équilatéral.

🌺 En vrai : Tracer un parcours triangulaire dans une cour à Saint-Pierre : avant de planter les piquets, on vérifie l'inégalité triangulaire, sinon les trois longueurs se retrouvent alignées et il n'y a pas de triangle.

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Exo 1 · Construire ou analyser un triangle à partir de données
★★★
Quelle donnée suffit pour construire un triangle de façon unique ?
- A. les longueurs de ses trois côtés
- B. un seul côté
- C. un seul angle
- D. son périmètre seulement
Voir la correction
Réponse : les longueurs de ses trois côtés
Définition : un triangle est entièrement déterminé par certaines données (par exemple ses trois côtés).

Méthode : on vérifie si la donnée fixe la forme et la taille du triangle.

Calcul : connaître seulement un côté ou un angle laisse une infinité de triangles possibles.

Conclusion : les trois longueurs de côtés permettent une construction unique.
Exo 2 · Reconnaître les triangles usuels
★★★
Un triangle qui a ses trois côtés de même longueur est…
- A. équilatéral
- B. isocèle
- C. rectangle
- D. quelconque
Voir la correction
Réponse : équilatéral
Définition : un triangle équilatéral a ses trois côtés égaux.

Méthode : on compte les côtés de même longueur.

Calcul : trois côtés égaux → équilatéral.

Conclusion : c’est un triangle équilatéral.
Exo 3 · Utiliser la somme des angles d’un triangle
★★★
Un élève affirme : « La somme des angles d’un triangle est 360°. » A-t-il raison ?
- A. oui
- B. non
Voir la correction
Réponse : non
Définition : la somme des angles d’un triangle est 180°.

Méthode : on utilise la propriété fondamentale des triangles.

Calcul : les trois angles d’un triangle complètent un angle plat, soit 180°.

Conclusion : l’élève a tort.

☑️ Je sais…

Reconnaître les triangles usuels
Utiliser la somme des angles d’un triangle
Utiliser l’inégalité triangulaire
Construire ou analyser un triangle à partir de données
Défis sur les triangles

Guide de survie · fiche 11/22

Espace et géométrie

Théorème de Pythagore

🎯 En 30 secondes

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (le plus grand côté, opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Le théorème sert à calculer une longueur manquante ; sa réciproque sert à prouver qu'un triangle est rectangle (ou non) à partir de ses trois longueurs.

🧰 Les formules qui sauvent

Théorème (rectangle en $A$ ) : $BC^2 = AB^2 + AC^2$
Chercher l'hypoténuse : $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}$
Chercher un côté de l'angle droit : $AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}$
Réciproque :si $BC^2 = AB^2 + AC^2$ alors le triangle est rectangle en $A$
Triplets à repérer (gain de temps) : $3,4,5$ — $6,8,10$ — $5,12,13$

⚡ Les réflexes

triangle rectangle + 2 longueurs connues Pythagore pour trouver la 3ᵉ
on cherche un côté de l'angle droit on SOUSTRAIT : $BC^2 - AC^2$
« ce triangle est-il rectangle ? » (3 longueurs) réciproque : comparer le carré du plus grand côté avec la somme des deux autres carrés
il faut rédiger commencer par « Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ , d'après le théorème de Pythagore… »

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Se tromper d'hypoténuse : c'est TOUJOURS le plus grand côté, celui opposé à l'angle droit.
Additionner au lieu de soustraire quand on cherche un côté de l'angle droit ( $BC^2-AC^2$ , pas $BC^2+AC^2$ ).
Oublier la racine carrée : si $BC^2 = 25$ alors $BC = 5$ , et non $25$ .

🌺 En vrai : Une échelle de $5$ m posée contre un mur à Saint-Pierre, le pied à $3$ m du mur, atteint $\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$ m de haut.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Reconnaître un triangle rectangle et son hypoténuse
★★★
Dans quel type de triangle peut-on utiliser directement le théorème de Pythagore ?
- A. un triangle rectangle
- B. un triangle quelconque
- C. un triangle isocèle
- D. un quadrilatère
Voir la correction
Réponse : un triangle rectangle
Définition : dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore relie les carrés des longueurs des trois côtés.

Méthode : on repère l’hypoténuse ou le plus grand côté, puis on choisit le théorème direct ou sa réciproque.

Calcul : on compare ou on calcule les carrés des longueurs indiquées. Le théorème de Pythagore s’utilise directement seulement dans un triangle rectangle. Il permet de relier les longueurs des deux côtés de l’angle droit et de l’hypoténuse.

Conclusion : on peut alors donner la longueur cherchée ou conclure sur le triangle.
Exo 2 · Calculer l’hypoténuse avec le théorème de Pythagore
★★★
Un triangle rectangle a pour côtés de l’angle droit 3 cm et 4 cm. Quelle est la longueur de son hypoténuse ?
- A. 5
- B. 6
- C. 7
- D. 12
Voir la correction
Réponse : 5
Définition : dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore relie les carrés des longueurs des trois côtés.

Méthode : on repère l’hypoténuse ou le plus grand côté, puis on choisit le théorème direct ou sa réciproque.

Calcul : on compare ou on calcule les carrés des longueurs indiquées. Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit. On calcule : 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Donc l’hypoténuse mesure √25 = 5 cm.

Conclusion : on peut alors donner la longueur cherchée ou conclure sur le triangle.
Exo 3 · Calculer un côté de l’angle droit
★★★
Un triangle rectangle a une hypoténuse de 5 cm et un côté de l’angle droit de 3 cm. Quelle est la longueur de l’autre côté de l’angle droit ?
- A. 2
- B. 4
- C. 8
- D. 16
Voir la correction
Réponse : 4
Définition : dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore relie les carrés des longueurs des trois côtés.

Méthode : on repère l’hypoténuse ou le plus grand côté, puis on choisit le théorème direct ou sa réciproque.

Calcul : on compare ou on calcule les carrés des longueurs indiquées. On connaît l’hypoténuse et un côté de l’angle droit. On calcule donc la différence des carrés : 5² - 3² = 25 - 9 = 16. La longueur cherchée vaut √16 = 4 cm.

Conclusion : on peut alors donner la longueur cherchée ou conclure sur le triangle.

☑️ Je sais…

Reconnaître un triangle rectangle et son hypoténuse
Calculer l’hypoténuse avec le théorème de Pythagore
Calculer un côté de l’angle droit
Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore
Rédiger une justification avec Pythagore
Défis sur Pythagore

Guide de survie · fiche 12/22

Espace et géométrie

Théorème de Thalès

🎯 En 30 secondes

Le théorème de Thalès s'utilise dans une configuration où deux droites parallèles sont coupées par deux droites sécantes (le plus souvent un triangle $ABC$ avec $M$ sur $[AB]$ , $N$ sur $[AC]$ et $(MN)\,//\,(BC)$ ). Il donne des rapports de longueurs égaux pour calculer une longueur manquante. Sa réciproque sert à prouver que deux droites sont parallèles.

🧰 Les formules qui sauvent

Théorème (les 3 rapports égaux) : $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$
Calculer une longueur (produit en croix) : $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\Rightarrow AC=\dfrac{AB\times AN}{AM}$
Réciproque (prouver le parallélisme) :si $A,M,B$ et $A,N,C$ alignés dans le même ordre et $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$ , alors $(MN)\,//\,(BC)$
Rédiger avant de calculer :citer : points alignés $+$ $(MN)\,//\,(BC)$ , PUIS écrire les rapports

⚡ Les réflexes

$(MN)\,//\,(BC)$ + 3 longueurs connues écrire $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ puis produit en croix
« prouver que $(MN)\,//\,(BC)$ » réciproque : comparer $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$
on utilise la réciproque vérifier d'abord que les points sont alignés dans le même ordre
une rédaction est demandée citer alignements + parallélisme AVANT d'écrire les rapports

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Écrire les rapports dans le désordre : chaque côté va avec son correspondant ( $AM$ avec $AB$ , $AN$ avec $AC$ ), jamais $\dfrac{AM}{AN}$ .
Sauter la justification (points alignés + droites parallèles) avant les calculs : c'est ce qui rapporte les points en rédaction.
Appliquer la réciproque « parce que ça a l'air parallèle » sur le dessin : il faut comparer les rapports PAR LE CALCUL et vérifier l'ordre des points.

🌺 En vrai : Mesurer la hauteur d'un arbre à Saint-Pierre sans grimper : un bâton de $1$ m donne une ombre de $2$ m, l'arbre une ombre de $12$ m ; les rayons du soleil étant parallèles, hauteur $=\dfrac{12\times 1}{2}=6$ m.

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Exo 1 · Reconnaître une configuration de Thalès
★★★
Une configuration de Thalès met en jeu…
- A. deux droites parallèles coupées par deux droites sécantes
- B. deux droites perpendiculaires
- C. un triangle rectangle
- D. un cercle et une tangente
Voir la correction
Réponse : deux droites parallèles coupées par deux droites sécantes
Définition : une configuration de Thalès comporte deux droites parallèles coupées par deux sécantes.

Méthode : on repère les deux sécantes et les deux parallèles.

Calcul : la configuration usuelle est un triangle coupé par une parallèle à un côté.

Conclusion : ce sont deux droites parallèles coupées par deux sécantes.
Exo 2 · Écrire les rapports de longueurs
★★★
Quelle égalité traduit correctement le théorème de Thalès ?
- A. AM/AB = AN/AC
- B. AM/AN = AB/BC
- C. AB/AC = BC/MN
- D. AM + AB = AC
Voir la correction
Réponse : AM/AB = AN/AC
Définition : le théorème de Thalès permet d’écrire des rapports égaux.

Méthode : on associe les côtés correspondants.

Calcul : ici, AM correspond à AB et AN correspond à AC.

Conclusion : on écrit donc AM/AB = AN/AC.
Exo 3 · Utiliser la réciproque du théorème de Thalès
★★★
À quoi sert la réciproque du théorème de Thalès ?
- A. à prouver que deux droites sont parallèles
- B. à calculer une longueur
- C. à calculer un angle
- D. à mesurer une aire
Voir la correction
Réponse : à prouver que deux droites sont parallèles
Définition : la réciproque de Thalès conclut sur un parallélisme.

Méthode : on compare deux rapports de longueurs.

Calcul : si les rapports sont égaux (et les points alignés dans le même ordre), les droites sont parallèles.

Conclusion : la réciproque sert à prouver que deux droites sont parallèles.

☑️ Je sais…

Reconnaître une configuration de Thalès
Écrire les rapports de longueurs
Calculer une longueur avec le théorème de Thalès
Utiliser la réciproque du théorème de Thalès
Rédiger une justification avec Thalès
Défis sur Thalès

Guide de survie · fiche 13/22

Espace et géométrie

Trigonométrie

🎯 En 30 secondes

Dans un triangle rectangle, on relie un angle aigu à deux de ses côtés grâce à trois rapports : le cosinus, le sinus et la tangente (moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA). Ça sert à calculer une longueur quand on connaît un angle, ou à calculer un angle quand on connaît deux côtés. On repère d'abord l'hypoténuse (face à l'angle droit), puis le côté opposé et le côté adjacent à l'angle étudié.

🧰 Les formules qui sauvent

Cosinus (CAH) : $\cos(\theta)=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
Sinus (SOH) : $\sin(\theta)=\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$
Tangente (TOA) : $\tan(\theta)=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$
Chercher une longueur :opposé $=$ hypoténuse $\times\sin(\theta)$ ; adjacent $=$ hypoténuse $\times\cos(\theta)$
Chercher un angle : $\theta=\cos^{-1}(\dots)$ , $\sin^{-1}(\dots)$ ou $\tan^{-1}(\dots)$ à la calculatrice

⚡ Les réflexes

on a (ou on cherche) adjacent + hypoténuse cosinus (CAH)
on a (ou on cherche) opposé + hypoténuse sinus (SOH)
on a (ou on cherche) opposé + adjacent (pas d'hypoténuse) tangente (TOA)
c'est l'angle qui est inconnu la fonction inverse : $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Calculatrice en radians : pour un angle en degrés, elle doit être en mode DEG, sinon le résultat est faux.
Confondre opposé et adjacent : ils dépendent de l'angle choisi, alors que l'hypoténuse ne change jamais.
Se tromper de sens : pour trouver l'hypoténuse on DIVISE (ex. hypoténuse $=\dfrac{\text{adjacent}}{\cos(\theta)}$ ), on ne multiplie pas.

🌺 En vrai : Mesurer la hauteur d'un cocotier à Saint-Pierre sans grimper : à $20$ m du pied, on vise le sommet sous un angle de $30^\circ$ , donc hauteur $=20\times\tan(30^\circ)\approx 11{,}5$ m.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Identifier les côtés dans un triangle rectangle
★★★
Explique pourquoi le côté opposé et le côté adjacent dépendent de l’angle choisi.
Voir la correction
Réponse : angle
Définition : en trigonométrie, les mots opposé et adjacent se définissent par rapport à un angle aigu.

Méthode : on choisit d’abord l’angle étudié, puis on regarde les côtés autour de cet angle.

Calcul : dans un même triangle rectangle, si on change d’angle, le côté opposé et le côté adjacent peuvent s’inverser.

Conclusion : il faut toujours préciser l’angle avant de choisir sinus, cosinus ou tangente.
Exo 2 · Utiliser le cosinus dans un triangle rectangle
★★★
Le cosinus d’un angle aigu peut-il être supérieur à $1$ ?
- A. non
- B. oui
Voir la correction
Réponse : non
Définition : $\cos(\theta) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ .

Méthode : on compare l’adjacent et l’hypoténuse.

Calcul : l’adjacent est toujours inférieur à l’hypoténuse, donc le quotient est inférieur à $1$ .

Conclusion : non, le cosinus d’un angle aigu est compris entre $0$ et $1$ .
Exo 3 · Utiliser la tangente dans un triangle rectangle
★★★
Que vaut $\tan(45^\circ)$ ?
- A. $1$
- B. $0{,}5$
- C. $0$
- D. $2$
Voir la correction
Réponse : $1$
Définition : $\tan(\theta) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$ .

Méthode : pour $45^\circ$ , le triangle rectangle est isocèle, donc opposé $=$ adjacent.

Calcul : $\tan(45^\circ) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = 1$ .

Conclusion : $\tan(45^\circ) = 1$ .

☑️ Je sais…

Identifier les côtés dans un triangle rectangle
Utiliser le cosinus dans un triangle rectangle
Utiliser le sinus dans un triangle rectangle
Utiliser la tangente dans un triangle rectangle
Calculer une longueur avec la trigonométrie
Calculer un angle avec la trigonométrie
Choisir entre sinus, cosinus et tangente
Défis sur la trigonométrie

Guide de survie · fiche 14/22

Espace et géométrie

Transformations (dont homothéties)

🎯 En 30 secondes

Quatre transformations gardent la figure identique (même taille) : la translation (glisser), la rotation (tourner autour d'un centre), la symétrie axiale (miroir) et la symétrie centrale (demi-tour). L'homothétie est la seule qui agrandit ou réduit : elle a un centre $O$ et un rapport $k$ . Les longueurs sont multipliées par $k$ , mais les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$ .

🧰 Les formules qui sauvent

Rapport d'une homothétie : $k=\dfrac{OA'}{OA}$ (distance image $\div$ distance de départ)
Longueur image (construire / calculer) : $OA'=k\times OA$
Effets d'une homothétie de rapport $k$ :longueurs $\times k$ · aires $\times k^2$ · volumes $\times k^3$
Reconnaître une homothétie : $O$ , $A$ , $A'$ alignés ; $k>1$ agrandit, $0<k<1$ réduit
Isométries (ne déforment pas) :translation, rotation, symétrie : longueurs et angles inchangés

⚡ Les réflexes

on connaît $OA$ et $OA'$ , « quel est le rapport ? » on DIVISE : $k=\dfrac{OA'}{OA}$
une figure est agrandie / réduite depuis un point homothétie ; $O$ , $A$ et $A'$ sont alignés
aire ou volume après un rapport $k$ aire $\times k^2$ , volume $\times k^3$ (jamais $\times k$ )
translation, rotation ou symétrie la figure garde ses longueurs et ses angles

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Pour le rapport on DIVISE, on n'additionne pas : avec $OA=3$ et $OA'=9$ , $k=\dfrac{9}{3}=3$ , pas $9+3=12$ .
Multiplier l'aire par $k$ au lieu de $k^2$ , ou le volume par $k$ au lieu de $k^3$ : rapport $2$ donne aire $\times 4$ et volume $\times 8$ .
Placer $A'$ à la bonne distance mais hors de la droite $(OA)$ : $O$ , $A$ et $A'$ doivent être ALIGNÉS.

🌺 En vrai : Agrandir un logo pour une banderole à Saint-Pierre : doubler les côtés (rapport $2$ ) rend le dessin $2$ fois plus large mais $2^2=4$ fois plus gourmand en encre.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Reconnaître une homothétie
★★★
Dans une homothétie de centre O, les points A, O et A' sont...
- A. alignés
- B. toujours perpendiculaires
- C. toujours confondus
- D. placés au hasard
Voir la correction
Réponse : alignés
Définition : dans une homothétie de centre O, un point A et son image A' sont alignés avec O.

Méthode : on regarde si O, A et A' sont sur une même droite.

Calcul : les distances OA et OA' sont liées par le rapport de l’homothétie.

Conclusion : O, A et A' sont alignés.
Exo 2 · Construire l’image d’une figure par homothétie
★★★
Pour construire l’image A' d’un point A par homothétie de centre O, on commence par...
- A. tracer la droite (OA)
- B. tracer une droite perpendiculaire à (OA)
- C. tracer un cercle de centre A
- D. placer A' au hasard
Voir la correction
Réponse : tracer la droite (OA)
Définition : dans une homothétie de centre O, le point A, le centre O et l’image A' sont alignés.

Méthode : on commence donc par tracer la droite (OA).

Calcul : ensuite, on place A' selon le rapport k : OA' = k × OA.

Conclusion : la première étape est de tracer la droite (OA).
Exo 3 · Utiliser le rapport d’une homothétie
★★★
Par une homothétie de centre O, on a OA = 4 cm et OA' = 12 cm. Quel est le rapport k ?
- A. 3
- B. 8
- C. 16
- D. 1/3
Voir la correction
Réponse : 3
Définition : le rapport d’une homothétie indique par combien les distances au centre sont multipliées.

Méthode : on calcule k = OA' ÷ OA.

Calcul : k = 12 ÷ 4 = 3.

Conclusion : le rapport de l’homothétie est k = 3.

☑️ Je sais…

Réactiver symétrie, translation et rotation
Reconnaître une homothétie
Construire l’image d’une figure par homothétie
Utiliser le rapport d’une homothétie
Utiliser les effets d’une transformation sur longueurs, angles et aires
Défis sur les transformations

Guide de survie · fiche 15/22

Espace et géométrie

Géométrie dans l’espace

🎯 En 30 secondes

Un solide occupe l'espace : il a trois dimensions. On le reconnaît à ses faces et ses bases (cube, pavé, cylindre, cône, pyramide, boule), on l'imagine coupé par un plan — c'est la section — et on le dessine en perspective cavalière. Attention : le dessin déforme les faces, mais le solide reste ce qu'il est.

🧰 Les formules qui sauvent

Cube (et pavé droit) : $6$ faces, $12$ arêtes, $8$ sommets
Pyramide à base carrée : $5$ faces ( $1$ carré $+\,4$ triangles), $8$ arêtes, $5$ sommets
Section parallèle à la base / à une face :même forme que la base (cube $\to$ carré, cylindre $\to$ disque, cône $\to$ cercle)
Section d'un cylindre par un plan contenant l'axe :un rectangle (hauteur $\times$ diamètre)
Perspective cavalière :arêtes cachées en pointillés ; parallélisme conservé ; fuyantes réduites

⚡ Les réflexes

« combien de faces / arêtes / sommets ? » compter méthodiquement (haut $+$ bas $+$ verticales) ; cube et pavé $= 6$ / $12$ / $8$
« on coupe par un plan parallèle à la base » la section a la MÊME forme que la base (réduite pour pyramide et cône)
on coupe un cylindre dans le sens de la hauteur (plan par l'axe) la section est un rectangle
sur un dessin, une face carrée ressemble à un parallélogramme c'est la perspective qui déforme : le solide reste un cube

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Confondre le DESSIN et la RÉALITÉ : en perspective une face carrée est dessinée penchée (parallélogramme), mais elle reste un carré.
Oublier les éléments cachés en comptant : un cube a toujours $6$ faces et $8$ sommets, même si on n'en voit que $3$ et $7$ sur le dessin.
Croire qu'une section parallèle à la base d'une pyramide (ou d'un cône) est identique à la base : c'est la même forme, mais RÉDUITE.

🌺 En vrai : Une boîte de conserve de letchis à Saint-Pierre (un cylindre) : la tranche posée à plat donne un disque, la coupe verticale par le milieu donne un rectangle.

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Exo 1 · Comprendre une section de solide
★★★
Qu’appelle-t-on une section plane d’un solide ?
- A. la figure obtenue quand un plan coupe le solide
- B. le volume du solide
- C. le périmètre d’une face
- D. le sommet du solide
Voir la correction
Réponse : la figure obtenue quand un plan coupe le solide
Définition : une section plane est la figure obtenue à l’intersection d’un solide et d’un plan.

Méthode : on imagine un plan qui traverse le solide.

Observation : la coupe fait apparaître une figure plane.

Conclusion : c’est la figure obtenue quand un plan coupe le solide.

☑️ Je sais…

Reconnaître les solides usuels
Comprendre une section de solide
Interpréter une représentation en perspective
Défis sur la géométrie dans l’espace

Guide de survie · fiche 16/22

Espace et géométrie

Sections planes de solides

🎯 En 30 secondes

Une section plane, c'est la figure plane obtenue quand un plan coupe un solide. Sa forme dépend du solide ET de la position du plan. Quand la coupe est parallèle à une face (ou à la base), la section a la même forme que cette face (plus petite pour un cône ou une pyramide).

🧰 Les formules qui sauvent

Cube / pavé droit, plan // à une face :section de même forme que la face : rectangle (un carré pour le cube)
Cylindre :plan // base $\rightarrow$ disque ; plan // axe $\rightarrow$ rectangle
Cône / pyramide, plan // à la base :réduction de la base : cône $\rightarrow$ disque ; pyramide $\rightarrow$ même polygone en plus petit
Cône / pyramide, plan passant par le sommet :section $=$ triangle
Longueur dans une section rectangulaire (Pythagore) : $d=\sqrt{L^2+\ell^2}$

⚡ Les réflexes

« coupe parallèle à une face / à la base » même forme que cette face ou cette base (plus petite pour cône/pyramide)
cylindre coupé « le long de l'axe » (verticalement) penser rectangle, PAS disque
on demande une longueur ou une diagonale dans la section repérer un triangle rectangle et appliquer Pythagore
cône ou pyramide coupé par un plan qui passe par le sommet la section est un triangle

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Croire qu'une section de cylindre ou de cône est toujours un disque : ça dépend du plan. Le long de l'axe on obtient un rectangle (cylindre) ou un triangle (cône).
Additionner les côtés pour trouver la diagonale : $6+8=14$ est FAUX. Il faut Pythagore : $\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ cm.
Confondre la section (figure PLANE, en 2 dimensions) et le solide : la coupe donne une figure plane, jamais un volume.

🌺 En vrai : Sur un chantier à Saint-Pierre, scier tout droit un tuyau cylindrique donne une tranche en forme de disque ; le scier dans la longueur donnerait un rectangle.

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Exo 1 · Comprendre ce qu’est une section plane
★★★
Couper une carotte (cylindrique) bien droit, perpendiculairement à sa longueur, donne une tranche en forme de…
- A. disque
- B. rectangle
- C. triangle
- D. carré
Voir la correction
Réponse : disque
Définition : une coupe perpendiculaire à l’axe d’un cylindre est parallèle aux bases.

Méthode : la section a la forme des bases.

Observation : les bases d’un cylindre sont des disques.

Conclusion : la tranche est un disque.
Exo 2 · Identifier une section d’un cube ou d’un pavé droit
★★★
Explique pourquoi la section d’un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle.
Voir la correction
Réponse : plan
Définition : une section plane est la figure obtenue par une coupe d’un solide.

Méthode : si le plan de coupe est parallèle à une face, la section a la même forme que cette face.

Observation : une face d’un pavé droit est un rectangle.

Conclusion : la section obtenue est donc un rectangle.
Exo 3 · Identifier une section d’un cylindre
★★★
Explique pourquoi la section d’un cylindre par un plan parallèle à sa base est un disque.
Voir la correction
Réponse : cylindre
Définition : une section plane est obtenue par la coupe d’un solide avec un plan.

Méthode : quand le plan est parallèle à la base, la section a la même forme que la base.

Observation : la base d’un cylindre est un disque.

Conclusion : la section est donc un disque.

☑️ Je sais…

Comprendre ce qu’est une section plane
Identifier une section d’un cube ou d’un pavé droit
Identifier une section d’un cylindre
Identifier une section d’un cône ou d’une pyramide
Calculer une longueur dans une section plane
Défis sur les sections planes de solides

Guide de survie · fiche 17/22

Grandeurs et mesures

Périmètres

🎯 En 30 secondes

Le périmètre est la longueur du contour d'une figure : on en fait le tour et on additionne toutes les longueurs du bord. C'est une longueur (en cm, m…), à ne jamais confondre avec l'aire qui mesure la surface (en $\text{cm}^2$ ). Pour un cercle, ce tour a une formule spéciale : $2\pi r$ .

🧰 Les formules qui sauvent

Rectangle et carré : $P_{\text{rect}} = 2\times(L+l)$ ; $P_{\text{carré}} = 4\times c$
Longueur d'un cercle (rayon $r$ , diamètre $d$ ) : $\mathcal{L} = 2\pi r = \pi d$
Arc d'un demi-cercle : $\pi r$ (la moitié de $2\pi r$ )
Valeur exacte / approchée :exacte : on garde $\pi$ ( $6\pi$ ) ; approchée : $\pi\approx 3{,}14$
Figure composée :additionner UNIQUEMENT les segments et arcs du contour extérieur

⚡ Les réflexes

« clôturer », « faire le tour », « longueur du bord » c'est un périmètre, on additionne le contour
un cercle avec le rayon $r$ $2\pi r$ ; si on donne le diamètre $d$ , alors $\pi d$
une figure composée (rectangle + demi-cercle…) on suit le contour : segments visibles $+$ arc, jamais l'intérieur
« valeur exacte » on garde $\pi$ dans le résultat ; « environ » → $\pi\approx 3{,}14$

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Confondre périmètre et aire : pour un rectangle $8\times 5$ , faire $8\times 5=40$ donne l'aire ; le périmètre est $2\times(8+5)=26$ .
Pour un cercle, utiliser $\pi r^2$ (c'est l'aire du disque) ou mettre le diamètre dans $2\pi r$ au lieu du rayon.
Dans une figure composée, oublier de suivre seulement le contour extérieur (compter une longueur intérieure ou additionner des aires).

🌺 En vrai : Un rond-point à La Réunion de diamètre $30$ m : un tour complet mesure $\pi\times 30 = 30\pi \approx 94{,}2$ m.

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Exo 1 · Comprendre ce qu’est un périmètre
★★★
Le périmètre d’une figure mesure…
- A. la longueur de son contour
- B. sa surface
- C. son volume
- D. le nombre de sommets
Voir la correction
Réponse : la longueur de son contour
Définition : le périmètre est la longueur du contour d’une figure.

Méthode : on additionne les longueurs des côtés.

Calcul : l’aire, elle, mesure la surface.

Conclusion : le périmètre mesure la longueur du contour.
Exo 2 · Calculer la longueur d’un cercle
★★★
Quelle est la formule de la longueur (périmètre) d’un cercle de rayon $r$ ?
- A. $2\pi r$
- B. $\pi r^2$
- C. $\pi r$
- D. $2r$
Voir la correction
Réponse : $2\pi r$
Définition : la longueur d’un cercle est $2\pi r$ (ou $\pi d$ ).

Méthode : on distingue longueur ( $2\pi r$ ) et aire ( $\pi r^2$ ).

Calcul : longueur $= 2\pi r$ .

Conclusion : c’est $2\pi r$ .
Exo 3 · Calculer le périmètre d’un polygone
★★★
Un élève calcule le périmètre d’un rectangle de 8 cm sur 5 cm ainsi : 8 × 5 = 40. A-t-il raison ?
- A. oui
- B. non
Voir la correction
Réponse : non
Définition : le périmètre mesure le contour d’une figure.

Méthode : pour un rectangle, on additionne les quatre côtés.

Calcul : 2 × (8 + 5) = 26.

Conclusion : l’élève a confondu périmètre et aire.

☑️ Je sais…

Comprendre ce qu’est un périmètre
Calculer le périmètre d’un polygone
Calculer la longueur d’un cercle
Calculer le périmètre d’une figure composée
Défis sur les périmètres

Guide de survie · fiche 18/22

Grandeurs et mesures

Aires

🎯 En 30 secondes

L'aire mesure la surface occupée par une figure ; le contour, lui, c'est le périmètre (à ne pas confondre). Une aire s'exprime toujours dans une unité au carré : $\text{cm}^2$ , $\text{m}^2$ … Pour une forme compliquée, on la découpe en figures simples dont on connaît la formule, puis on ajoute (ou on retire) les aires.

🧰 Les formules qui sauvent

Rectangle et carré : $\mathcal{A}_{\text{rect}}=L\times \ell$ ; $\mathcal{A}_{\text{carré}}=c\times c=c^2$
Triangle (base $b$ , hauteur associée $h$ ) : $\mathcal{A}=\dfrac{b\times h}{2}$
Disque de rayon $r$ : $\mathcal{A}=\pi\times r^2$ (si on donne le diamètre : $r=\dfrac{d}{2}$ )
Figure composée :on additionne / soustrait les aires simples : $\mathcal{A}=\mathcal{A}_1+\mathcal{A}_2-\dots$
Agrandissement / réduction de rapport $k$ :les longueurs $\times k$ , mais l'aire $\times k^2$

⚡ Les réflexes

un triangle avec base et hauteur $\dfrac{b\times h}{2}$ — ne jamais oublier le $\div 2$
un disque / rond-point, on te donne le diamètre d'abord $r=\dfrac{d}{2}$ , puis $\pi r^2$
une forme bizarre (jardin, terrain, L) la découper en rectangle + triangle + disque, puis additionner
une figure « agrandie / réduite de rapport $k$ » l'aire est multipliée par $k^2$ (pas par $k$ )

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Oublier de diviser par $2$ pour le triangle : $8\times 5=40$ n'est PAS l'aire, il faut $8\times 5\div 2 = 20\ \text{cm}^2$ .
Mettre le diamètre à la place du rayon dans $\pi r^2$ : si $d=10$ , alors $r=5$ , donc $\mathcal{A}=25\pi$ (et non $100\pi$ ).
Croire que doubler les longueurs double l'aire : avec $k=2$ , l'aire est $\times k^2 = 4$ .

🌺 En vrai : Le gazon d'un rond-point de rayon $5$ m à Saint-Pierre : $\mathcal{A}=\pi\times 5^2 = 25\pi \approx 78{,}5\ \text{m}^2$ de pelouse à tondre.

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Exo 1 · Comprendre ce qu’est une aire
★★★
L’aire d’une figure mesure…
- A. sa surface
- B. son contour
- C. sa hauteur
- D. le nombre de ses côtés
Voir la correction
Réponse : sa surface
Définition : l’aire mesure l’étendue d’une surface.

Méthode : on distingue aire (surface) et périmètre (contour).

Calcul : l’aire s’exprime en unités carrées.

Conclusion : l’aire mesure la surface.
Exo 2 · Comprendre l’effet d’un agrandissement ou d’une réduction sur les aires
★★★
Une figure est agrandie avec un coefficient 2. Par combien est multipliée son aire ?
- A. 2
- B. 4
- C. 8
- D. 16
Voir la correction
Réponse : 4
Définition : lors d’un agrandissement, les longueurs sont multipliées par k.

Méthode : les aires sont multipliées par k².

Calcul : ici k = 2 donc k² = 4.

Conclusion : l’aire est multipliée par 4.
Exo 3 · Calculer l’aire d’un disque
★★★
Quelle est la formule de l’aire d’un disque de rayon $r$ ?
- A. $\pi r^2$
- B. $2\pi r$
- C. $\pi r$
- D. $\pi d$
Voir la correction
Réponse : $\pi r^2$
Définition : l’aire d’un disque est $\pi r^2$ .

Méthode : on distingue aire ( $\pi r^2$ ) et périmètre ( $2\pi r$ ).

Calcul : aire $= \pi r^2$ .

Conclusion : c’est $\pi r^2$ .

☑️ Je sais…

Comprendre ce qu’est une aire
Calculer l’aire d’un triangle
Calculer l’aire d’un disque
Calculer l’aire d’une figure composée
Comprendre l’effet d’un agrandissement ou d’une réduction sur les aires
Défis sur les aires

Guide de survie · fiche 19/22

Grandeurs et mesures

Volumes

🎯 En 30 secondes

Le volume mesure la place qu'un solide occupe dans l'espace ; il s'exprime en unités cubes ( $\text{cm}^3$ , $\text{dm}^3$ , $\text{m}^3$ ). Pour un solide à section constante (pavé, prisme, cylindre), $V=\text{aire de base}\times\text{hauteur}$ ; s'il se termine en pointe (pyramide, cône), on multiplie ce résultat par $\dfrac{1}{3}$ ; la boule a sa propre formule.

🧰 Les formules qui sauvent

Pavé, prisme droit, cylindre (base empilée sur $h$ ) : $V=\text{aire de base}\times h$ ; cylindre : $V=\pi r^2 h$
Pyramide et cône (pointe : penser au $\times\frac{1}{3}$ ) : $V=\dfrac{1}{3}\times\text{aire de base}\times h$
Boule de rayon $r$ : $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$
Agrandissement / réduction de rapport $k$ :aires $\times k^2$ , volumes $\times k^3$
Conversions : $1\,\text{L}=1\,\text{dm}^3$ ; $1\,\text{dm}^3=1000\,\text{cm}^3$ ; $1\,\text{m}^3=1000\,\text{L}$

⚡ Les réflexes

pavé, prisme ou cylindre (même section sur toute la hauteur) $V=\text{aire de base}\times h$ (cylindre : $\pi r^2\times h$ )
pyramide ou cône (le solide se termine en pointe) même calcul, mais $\times\dfrac{1}{3}$
l'énoncé donne le diamètre prendre la moitié : $r=d\div 2$ avant de calculer
agrandissement / réduction de rapport $k$ le volume est $\times k^3$ (jamais $\times k$ )

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Oublier le $\dfrac{1}{3}$ pour une pyramide ou un cône : leur volume vaut le tiers du prisme ou cylindre de même base et même hauteur.
Utiliser le diamètre au lieu du rayon dans $\pi r^2 h$ ou $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ : la formule prend toujours le rayon.
Lors d'un agrandissement de rapport $k$ , multiplier le volume par $k$ au lieu de $k^3$ (rapport $2\Rightarrow$ volume $\times 8$ ).

🌺 En vrai : Une cuve d'eau cylindrique de rayon $1$ m et de hauteur $2$ m contient $\pi\times 1^2\times 2 = 2\pi \approx 6{,}28$ m³, soit environ $6\,280$ litres (car $1$ m³ $=1000$ L).

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Comprendre ce qu’est un volume
★★★
Que mesure le volume d’un solide ?
- A. la place occupée dans l’espace
- B. la longueur du contour
- C. la surface d’une face
- D. la masse du solide
Voir la correction
Réponse : la place occupée dans l’espace
Définition : le volume d’un solide mesure la place qu’il occupe dans l’espace.

Méthode : on reconnaît qu’un volume concerne un objet en trois dimensions.

Calcul : un volume s’exprime avec des unités cubes comme cm³, dm³ ou m³.

Conclusion : le volume mesure la place occupée dans l’espace.
Exo 2 · Convertir et utiliser les unités de volume
★★★
Quelle unité est une unité de volume ?
- A. cm
- B. cm²
- C. cm³
- D. kg
Voir la correction
Réponse : cm³
Définition : un volume se mesure avec une unité au cube.

Méthode : on distingue les unités de longueur, d’aire et de volume.

Calcul : cm mesure une longueur, cm² mesure une aire et cm³ mesure un volume.

Conclusion : cm³ est une unité de volume.
Exo 3 · Calculer le volume d’une boule
★★★
Quelle formule donne le volume d’une boule de rayon r ?
- A. V = 4πr²
- B. V = (4/3)πr³
- C. V = πr²h
- D. V = aire de base × hauteur
Voir la correction
Réponse : V = (4/3)πr³
Définition : le volume d’une boule dépend uniquement de son rayon.

Méthode : on utilise la formule V = (4/3)πr³.

Calcul : la formule contient r³ car le volume dépend de trois dimensions.

Conclusion : le volume d’une boule de rayon r vaut V = (4/3)πr³.

☑️ Je sais…

Comprendre ce qu’est un volume
Calculer le volume d’un pavé droit
Calculer le volume d’un prisme droit
Calculer le volume d’un cylindre
Calculer le volume d’une boule
Comprendre l’effet d’un agrandissement ou d’une réduction sur les volumes
Convertir et utiliser les unités de volume
Défis sur les volumes

Guide de survie · fiche 20/22

Statistiques et probabilités

Statistiques

🎯 En 30 secondes

Une série de données se résume avec des indicateurs. La moyenne et la médiane donnent une valeur « centrale » de la série ; l'étendue mesure la dispersion (l'écart entre les extrêmes). La fréquence dit quelle part représente une catégorie : $f=\dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$ .

🧰 Les formules qui sauvent

Moyenne : $m=\dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$ (ex. $\dfrac{8+10+12}{3}=10$ )
Médiane (série RANGÉE) :nombre impair $\to$ valeur centrale ; nombre pair $\to$ moyenne des deux valeurs du milieu
Étendue : $\text{étendue}=\text{max}-\text{min}$ (ex. $15-4=11$ )
Fréquence (et pourcentage) : $f=\dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$ puis $\times 100$ (ex. $\dfrac{10}{25}=0{,}4=40\,\%$ )
Valeur manquante :somme totale $=$ moyenne $\times$ nombre de valeurs

⚡ Les réflexes

« quelle part ? », « quel pourcentage ? » fréquence : effectif $\div$ effectif total, puis $\times 100$ pour le $\%$
on demande la médiane RANGER la série d'abord, puis prendre la valeur centrale (nombre pair $\to$ moyenne des deux du milieu)
moyenne connue + une valeur manquante $x$ somme $=$ moyenne $\times$ nombre, puis on enlève les valeurs connues
« valeur typique » avec une valeur extrême (salaires…) préférer la médiane : la moyenne est tirée par les extrêmes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Oublier de RANGER la série avant la médiane : dans $12\,;\,4\,;\,9\,;\,7\,;\,15$ , ce n'est $9$ qu'une fois rangée en $4\,;\,7\,;\,9\,;\,12\,;\,15$ .
Confondre effectif et fréquence : $12$ élèves n'est PAS une fréquence ; la fréquence, c'est $12\div\text{effectif total}$ .
Additionner pour l'étendue au lieu de soustraire ( $\text{max}-\text{min}$ ) ; et pour un effectif pair, la médiane est la moyenne des DEUX valeurs centrales.

🌺 En vrai : Températures relevées à Saint-Pierre sur la semaine : la plus chaude $31$ °C, la plus froide $22$ °C. L'étendue vaut $31-22=9$ °C : c'est l'écart de la semaine.

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

Exo 1 · Lire un tableau statistique
★★★
Dans un tableau statistique, que représente l’effectif d’une catégorie ?
- A. le nombre d’individus dans cette catégorie
- B. la moyenne de la série
- C. la plus grande valeur
- D. l’écart entre deux valeurs
Voir la correction
Réponse : le nombre d’individus dans cette catégorie
Définition : l’effectif d’une catégorie est le nombre d’individus ou de données appartenant à cette catégorie.

Méthode : dans un tableau, on repère la catégorie demandée puis on lit le nombre associé.

Calcul : ici, il n’y a pas de calcul ; il faut reconnaître le sens du mot effectif.

Conclusion : l’effectif indique combien d’éléments appartiennent à une catégorie.
Exo 2 · Lire un graphique statistique
★★★
Dans un diagramme en barres, que représente la hauteur d’une barre ?
- A. la valeur ou l’effectif de la catégorie
- B. la couleur de la catégorie
- C. toujours la moyenne
- D. toujours la médiane
Voir la correction
Réponse : la valeur ou l’effectif de la catégorie
Définition : un diagramme en barres permet de représenter des effectifs ou des valeurs par des hauteurs.

Méthode : on repère la catégorie, puis on lit la hauteur de sa barre.

Calcul : ici, il n’y a pas de calcul ; il faut comprendre le rôle de la barre.

Conclusion : la hauteur d’une barre représente la valeur ou l’effectif de la catégorie.
Exo 3 · Déterminer un effectif et une fréquence
★★★
Un tableau indique : filles : 14, garçons : 11. Quel est l’effectif total ?
- A. 14
- B. 11
- C. 25
- D. 154
Voir la correction
Réponse : 25
Définition : l’effectif total est le nombre total d’individus dans la série.

Méthode : on additionne les effectifs de toutes les catégories.

Calcul : 14 + 11 = 25.

Conclusion : l’effectif total est 25.

☑️ Je sais…

Lire un tableau statistique
Lire un graphique statistique
Déterminer un effectif et une fréquence
Calculer une moyenne
Déterminer une médiane
Calculer l’étendue d’une série statistique
Interpréter des indicateurs statistiques
Défis sur les statistiques

Guide de survie · fiche 21/22

Statistiques et probabilités

Probabilités

🎯 En 30 secondes

La probabilité d'un événement mesure sa chance de se produire : c'est un nombre entre $0$ (événement impossible) et $1$ (événement certain). En situation d'équiprobabilité (toutes les issues ont la même chance), on compte : $P=\dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$ . Pour une expérience à deux épreuves, on liste toutes les issues avec un arbre ou un tableau.

🧰 Les formules qui sauvent

Probabilité (équiprobabilité) : $P(A)=\dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$
Une probabilité est toujours… : $0\le P(A)\le 1$ (impossible $=0$ , certain $=1$ )
Événement contraire : $P(\overline{A})=1-P(A)$ , et $P(A)+P(\overline{A})=1$
Deux épreuves : nombre d'issues :issues $_1\times$ issues $_2$ (menu : $3$ entrées $\times 2$ plats $=6$ )
Lancer une pièce deux fois : $4$ issues : PP, PF, FP, FF

⚡ Les réflexes

« quelle est la probabilité de… » (dé, billes, roue équilibrés) compter : $\dfrac{\text{favorables}}{\text{total}}$
« ne pas… », ou on connaît déjà $P(A)$ événement contraire : $P(\overline{A})=1-P(A)$
deux lancers, deux tirages, un menu (entrée + plat) arbre ou tableau, on MULTIPLIE le nombre d'issues
on demande la probabilité « simplifiée » réduire la fraction (ex. $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ )

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Se tromper de dénominateur : c'est le nombre TOTAL d'issues. Avec $3$ rouges et $5$ bleues, $P(\text{rouge})=\dfrac{3}{8}$ , pas $\dfrac{3}{5}$ .
Donner une probabilité $>1$ ou négative : elle est TOUJOURS entre $0$ et $1$ .
Oublier l'ordre à deux épreuves : PF et FP sont deux issues différentes, il y en a $4$ (pas $3$ ).

🌺 En vrai : À la tombola de la kermesse à Saint-Pierre : si $20$ billets sur $200$ sont gagnants, ta chance de gagner est $\dfrac{20}{200}=\dfrac{1}{10}$ .

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Exo 1 · Comprendre le vocabulaire des probabilités
★★★
Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat...
- A. est connu à l’avance
- B. n’est pas connu à l’avance
- C. est toujours impossible
- D. est toujours égal à 1
Voir la correction
Réponse : n’est pas connu à l’avance
Définition : une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude.

Méthode : on se demande si le résultat est connu avant de faire l’expérience.

Calcul : ici, il n’y a pas de calcul ; il faut reconnaître le vocabulaire.

Conclusion : une expérience aléatoire a un résultat qui n’est pas connu à l’avance.
Exo 2 · Déterminer les issues d’une expérience aléatoire
★★★
Combien y a-t-il d’issues possibles quand on lance une pièce ?
Voir la correction
Réponse : 2
Définition : les issues sont les résultats possibles.

Méthode : on liste les résultats d’une pièce.

Calcul : pile et face, soit $2$ issues.

Conclusion : il y a $2$ issues.
Exo 3 · Décrire un événement
★★★
Un événement réalisé par une seule issue s’appelle…
- A. un événement élémentaire
- B. un événement certain
- C. un événement impossible
- D. un événement contraire
Voir la correction
Réponse : un événement élémentaire
Définition : un événement élémentaire est un événement réalisé par exactement une issue.

Méthode : on compte le nombre d’issues qui réalisent l’événement.

Calcul : s’il n’y a qu’une seule issue, l’événement est élémentaire.

Conclusion : c’est un événement élémentaire.

☑️ Je sais…

Comprendre le vocabulaire des probabilités
Déterminer les issues d’une expérience aléatoire
Reconnaître une situation d’équiprobabilité
Décrire un événement
Calculer une probabilité simple
Utiliser l’événement contraire
Étudier une expérience à deux épreuves simples
Défis sur les probabilités

Guide de survie · fiche 22/22

Algorithmique et programmation

🎯 En 30 secondes

Un programme exécute des instructions dans l'ordre. Une variable garde une valeur (score, compteur), une boucle répète des actions, une condition « si… alors… sinon » choisit quoi faire. Généraliser, c'est remplacer le nombre choisi par une variable $x$ et traduire chaque étape en une expression — en respectant l'ordre des opérations.

🧰 Les formules qui sauvent

Variable : « mettre à » n'est pas « ajouter » :« mettre score à $5$ » $\Rightarrow$ score $=5$ ; « ajouter $5$ » $\Rightarrow$ score $=$ score $+\,5$
Boucle « répéter $n$ fois : ajouter $r$ » :valeur finale $=$ départ $+\,n\times r$
Condition « si … alors … sinon » :test vrai $\to$ bloc « alors » ; test faux $\to$ bloc « sinon »
Traduire un programme de calcul : $\times a$ puis $+b \Rightarrow ax+b$ ; $+b$ puis $\times a \Rightarrow a(x+b)$
Comparaisons dans une condition :« ET » : les deux vraies ; $>$ exclut la borne, $\ge$ l'inclut

⚡ Les réflexes

« on répète $n$ fois : ajouter $r$ » à partir d'un départ valeur finale $=$ départ $+\,n\times r$
on ajoute PUIS on multiplie il faut des parenthèses : $a(x+b)$
« le résultat affiché est $\dots$ , quel nombre a-t-on choisi ? » résoudre l'équation $ax+b=\text{résultat}$
le bloc dit « mettre … à » l'ancienne valeur est effacée, pas additionnée

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

Confondre « mettre à » (remplace la valeur) et « ajouter » (cumule) : après « mettre score à $5$ », score vaut $5$ , peu importe avant.
Oublier les parenthèses : ajouter $b$ PUIS multiplier par $a$ donne $a(x+b)$ , pas $ax+b$ .
Confondre $>$ (strict, exclut la borne) et $\ge$ (inclut) : « score $>10$ » refuse la valeur $10$ .

🌺 En vrai : Une carte de fidélité au supermarché de Saint-Pierre : à chaque passage on ajoute des points (boucle), et si le total dépasse un seuil on gagne un bon (condition). Départ $0$ , $+2$ points sur $5$ passages : $0+5\times 2=10$ points.

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Exo 1 · Généraliser une situation avec des variables
★★★
On choisit un nombre $x$ , on le multiplie par $4$ , puis on ajoute $1$ . Quelle expression généralise ce programme ?
- A. $4(x + 1)$
- B. $4x + 1$
- C. $x + 5$
- D. $x + 4 + 1$
Voir la correction
Réponse : $4x + 1$
Définition : généraliser, c’est écrire le calcul avec la variable $x$ .

Méthode : on traduit chaque étape dans l’ordre.

Calcul : multiplier $x$ par $4$ donne $4x$ , puis ajouter $1$ donne $4x + 1$ .

Conclusion : l’expression est $4x + 1$ .
Exo 2 · Utiliser des conditions complexes
★★★
Une condition « $x > 0$ ET $x < 10$ » est vraie lorsque…
- A. $x$ est strictement entre $0$ et $10$
- B. $x$ est négatif
- C. $x$ vaut $0$ ou $10$
- D. $x$ est supérieur à $10$
Voir la correction
Réponse : $x$ est strictement entre $0$ et $10$
Définition : une condition « ET » est vraie si les deux conditions sont vraies en même temps.

Méthode : on vérifie $x > 0$ et $x < 10$ .

Calcul : cela impose $0 < x < 10$ .

Conclusion : $x$ est strictement entre $0$ et $10$ .
Exo 3 · Utiliser des variables et des boucles
★★★
Pourquoi faut-il initialiser une variable avant une boucle qui l’augmente ?
- A. pour fixer sa valeur de départ
- B. pour la supprimer
- C. pour arrêter la boucle
- D. ce n’est jamais nécessaire
Voir la correction
Réponse : pour fixer sa valeur de départ
Définition : initialiser, c’est donner une première valeur à la variable.

Méthode : on fixe le point de départ avant d’ajouter dans la boucle.

Calcul : sans initialisation, le résultat final serait imprévisible.

Conclusion : on initialise pour fixer la valeur de départ.

☑️ Je sais…

Utiliser des conditions complexes
Utiliser des variables et des boucles
Créer ou analyser un programme de calcul
Corriger un programme
Généraliser une situation avec des variables
Défis d’algorithmique et de programmation

Guide de survie · Maths 3e

Les 22 chapitres — coche ce que tu maîtrises

➗ Nombres rationnels

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

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☑️ Je sais…

🔟 Puissances

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

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☑️ Je sais…

🧮 Racine carrée

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

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☑️ Je sais…

🔢 Multiples et diviseurs

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

🔤 Calcul littéral

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

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☑️ Je sais…

🟰 Équations

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

⚖️ Proportionnalité

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

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☑️ Je sais…

📊 Fonctions

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

📈 Fonctions affines

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

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☑️ Je sais…

🔺 Triangles

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

📐 Théorème de Pythagore

🎯 En 30 secondes

🧰 Les formules qui sauvent

⚡ Les réflexes

⚠️ Les pièges qui coûtent des points

✅ Le test de survieréponses incluses · le pas-à-pas complet est sur eleveai.fr

☑️ Je sais…

📏 Théorème de Thalès

Nombres rationnels

Puissances

Racine carrée

Multiples et diviseurs

Calcul littéral

Équations

Proportionnalité

Fonctions

Fonctions affines

Triangles

Théorème de Pythagore

Théorème de Thalès

Trigonométrie

Transformations (dont homothéties)

Géométrie dans l’espace

Sections planes de solides

Périmètres

Aires

Volumes

Statistiques

Probabilités

Algorithmique et programmation