Le cosinus
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu relie le côté adjacent à cet angle et l'hypoténuse. Il sert à calculer une longueur ou un angle.
À quoi ça sert ?
La trigonométrie sert à calculer des distances ou des hauteurs sans les mesurer directement : hauteur d'un bâtiment, pente d'une route, navigation des bateaux et des avions, ou encore les angles de vue dans les jeux vidéo.
Le savais-tu ?
La trigonométrie a été développée par les astronomes grecs et indiens, puis par les savants arabes au Moyen Âge, pour étudier le ciel et calculer la position des étoiles. Le mot « sinus » vient d'une traduction latine de l'arabe.
1. Repérer
On trouve l'angle droit, puis l'hypoténuse : c'est le plus grand côté, opposé à l'angle droit.
2. Choisir
Par rapport à l'angle choisi, on identifie le côté adjacent, puis on écrit cos(angle) = adjacent / hypoténuse.
3. Calculer
On isole l'inconnue, puis on calcule à la calculatrice en vérifiant le mode degré.
La formule
Dans un triangle rectangle
cos(angle) = adjacent / hypoténuse
Moyen mnémotechnique : CAH (Cosinus = Adjacent / Hypoténuse).
Selon ce que l'on cherche
Trouver le côté adjacent
On connaît l'angle et l'hypoténuse : adjacent = hypoténuse x cos(angle).
Trouver l'hypoténuse
On connaît l'angle et le côté adjacent : hypoténuse = adjacent / cos(angle).
Trouver l'angle
On connaît les deux côtés : angle = cos⁻¹ de (adjacent / hypoténuse).
Exemples corrigés
Calculer un côté adjacent
Dans le triangle ABC rectangle en A, BC = 10 cm et l'angle B vaut 60 degrés.
Calculer AB.
AB est le côté adjacent à l'angle B et BC est l'hypoténuse. cos(60) = AB / BC, donc AB = 10 x cos(60) = 10 x 0,5 = 5 cm.
Calculer l'hypoténuse
Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à un angle de 40 degrés mesure 7 cm.
Calculer l'hypoténuse au dixième près.
cos(40) = adjacent / hypoténuse, donc hypoténuse = 7 / cos(40), soit environ 7 / 0,766 = 9,1 cm.
Pièges à éviter
- Confondre le côté adjacent et le côté opposé à l'angle.
- Laisser la calculatrice en radians au lieu des degrés.
- Diviser quand il faut multiplier, ou l'inverse, selon l'inconnue.
À retenir
- cos(angle) = adjacent / hypoténuse : on retient CAH.
- L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit.
- Le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
Je m'entraîne
1. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 12 cm et un angle mesure 30 degrés. Calcule le côté adjacent.
Voir la correction
adjacent = 12 x cos(30) = 12 x 0,866 = environ 10,4 cm.
2. Dans un triangle rectangle, le côté adjacent mesure 8 cm et l'angle mesure 50 degrés. Calcule l'hypoténuse.
Voir la correction
hypoténuse = 8 / cos(50) = 8 / 0,643 = environ 12,4 cm.
3. Dans le triangle RST rectangle en S, RT = 15 cm et l'angle R vaut 42 degrés. Calcule RS.
Voir la correction
RS est l'adjacent à l'angle R et RT l'hypoténuse, donc RS = 15 x cos(42) = environ 11,1 cm.
4. Explique pourquoi il faut d'abord repérer l'hypoténuse avant d'utiliser le cosinus.
Voir la correction
Le cosinus est le rapport adjacent / hypoténuse. Sans repérer l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit), on ne peut pas écrire le bon rapport.