Statistiques : lire une série, et choisir ce qui la résumecours et exercices corrigés de maths 3e
« Le salaire moyen de cette entreprise est de 4 000 € ». La phrase est peut-être exacte, et pourtant presque personne n'y gagne cette somme — il suffit que trois dirigeants tirent la moyenne vers le haut. Calculer une moyenne, une médiane et une étendue, vous savez le faire. Ce que la troisième ajoute est plus difficile et plus utile : savoir LEQUEL de ces trois nombres dit la vérité sur une série, et ce que chacun cache.
À quoi ça sert : Statistiques : lire une série, et choisir ce qui la résume
L'écart entre moyenne et médiane est l'un des chiffres les plus politiques qui soient. Quand on annonce le « revenu moyen » des ménages, quelques très hauts revenus suffisent à le tirer vers le haut, et il devient supérieur à ce que gagne la majorité ; le revenu MÉDIAN, lui, désigne la personne exactement au milieu, et il est toujours plus bas. Les deux chiffres sont exacts, et ils racontent deux histoires différentes — savoir lequel on vous présente est donc une compétence de citoyen autant que de mathématicien. La même prudence vaut pour une moyenne de classe, une durée moyenne de trajet, ou le prix moyen d'un logement à Saint-Denis.
Un peu d'histoire : Statistiques : lire une série, et choisir ce qui la résume
La médiane apparaît tardivement, et c'est révélateur : jusqu'au XIXᵉ siècle, la moyenne règne seule, parce qu'on la croyait toujours représentative. C'est Francis Galton, vers 1880, qui popularise l'idée qu'une valeur centrale de RANG peut mieux décrire une population qu'une valeur centrale de somme. L'histoire donne d'ailleurs raison à cette prudence par un contre-exemple célèbre : le statisticien belge Adolphe Quetelet avait construit un « homme moyen » à partir de moyennes de tailles, de poids et de mesures diverses — un individu qui n'existait nulle part, et qui ne ressemblait à personne.
Définition : Statistiques : lire une série, et choisir ce qui la résume
Une série statistique est un ensemble de valeurs relevées sur une population. Pour la résumer, on dispose de deux sortes d'indicateurs, et il faut les distinguer. Les indicateurs de POSITION — la moyenne et la médiane — donnent une valeur centrale, autour de laquelle la série se tient. L'indicateur de DISPERSION — l'étendue — dit au contraire à quel point les valeurs s'écartent les unes des autres. Un seul de ces nombres ne suffit jamais à décrire une série : il en faut au moins un de chaque sorte.
Activités choisies
Propriétés : Statistiques : lire une série, et choisir ce qui la résume
Effectif et fréquence ne sont pas le même nombre
L'EFFECTIF est un comptage : 12 élèves font du basket. La FRÉQUENCE est une proportion : ces 12 élèves rapportés au total. Dans une classe de 30, la fréquence vaut , soit . ⛔ Répondre « la fréquence est 12 » confond les deux — et le contrôle est immédiat, puisqu'une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1.
| ce que c'est | exemple | |
|---|---|---|
| effectif | un comptage | 12 élèves |
| fréquence | une proportion | 12/30 = 0,4 |
| en % | × 100 | 40 % |
Un effectif se compte en individus ; une fréquence n'a pas d'unité.
Lire un tableau, lire un graphique
Dans un tableau, chaque colonne porte une catégorie et son effectif ; l'effectif total est la somme de tous. Dans un diagramme en barres, c'est la HAUTEUR qui porte l'effectif — la barre la plus haute désigne la catégorie la plus représentée, la plus basse la moins choisie. Un diagramme circulaire, lui, montre des PARTS, donc des fréquences plutôt que des effectifs.
| représentation | ce qu'on lit |
|---|---|
| tableau | des effectifs |
| barres | la hauteur = l'effectif |
| camembert | des parts, donc des % |
Le camembert compare des proportions ; les barres comparent des nombres.
La moyenne : tout partager également
On additionne toutes les valeurs, puis on divise par leur nombre. Pour , et : la somme vaut , et . ⛔ Répondre oublie la division — et une moyenne plus grande que toutes les valeurs de la série est impossible. Quand une valeur se répète, on la compte autant de fois : dix élèves à et cinq à donnent .
| étape | calcul |
|---|---|
| la somme | 8 + 10 + 12 = 30 |
| le nombre | 3 valeurs |
| la moyenne | 30 ÷ 3 = 10 |
Une moyenne tombe toujours ENTRE la plus petite et la plus grande valeur.
La médiane : couper la série en deux
La médiane est la valeur qui partage la série en deux groupes de même effectif. ⛔ Elle exige de RANGER les valeurs d'abord — sans quoi le résultat n'a aucune raison d'être juste, même s'il l'est parfois par chance. Une fois rangée : si le nombre de valeurs est impair, la médiane est celle du milieu ; s'il est pair, c'est la moyenne des deux valeurs centrales.
| série rangée | médiane |
|---|---|
| 4 ; 7 ; 9 ; 12 ; 15 | 9 — celle du milieu |
| 4 ; 8 ; 10 ; 14 | (8+10)÷2 = 9 |
Ranger d'abord : c'est la seule étape qu'on saute, et celle qui rend la méthode juste.
L'étendue : mesurer l'écart, pas le centre
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : pour , , et , elle vaut . ⛔ Ce n'est pas une somme — écrire pour la série , , additionne ce qu'il fallait soustraire. Et l'étendue ne dit rien du centre : elle dit si les valeurs sont RESSERRÉES ou ÉTALÉES.
| série | étendue | ce qu'elle dit |
|---|---|---|
| 10 ; 11 ; 12 | 2 | très régulière |
| 2 ; 11 ; 20 | 18 | très dispersée |
Ces deux séries ont la même moyenne, — et n'ont rien à voir.
La moyenne seule ment
C'est le cœur du chapitre. Deux classes peuvent avoir exactement la même moyenne de et des résultats totalement différents : si la première a une étendue de , ses notes sont groupées entre et ; si la seconde a une étendue de , elle mêle des et des . La moyenne ne distingue pas ces deux situations. Il faut donc TOUJOURS l'accompagner d'un indicateur de dispersion.
| classe | moyenne | étendue |
|---|---|---|
| A | 12 | 4 — homogène |
| B | 12 | 16 — éclatée |
Un seul nombre ne décrit jamais une série : il en faut deux.
La médiane résiste, la moyenne cède
Une valeur extrême — un très gros salaire, une note aberrante — déplace fortement la MOYENNE, car elle entre dans la somme avec tout son poids. La MÉDIANE, elle, ne compte que les rangs : une valeur énorme reste une valeur parmi d'autres, et ne décale la coupure que d'un cran. C'est pourquoi on parle du salaire MÉDIAN quand on veut décrire ce que gagne une personne ordinaire.
Cinq salaires, en milliers
Moyenne : . Médiane : . Quatre personnes sur cinq gagnent moins que la moyenne.
Choisir son indicateur selon la question
Chaque indicateur répond à une question différente, et l'énoncé indique laquelle. « Quel est le total réparti également ? » appelle la moyenne. « Quelle valeur partage la population en deux moitiés ? » appelle la médiane. « Les valeurs sont-elles regroupées ou étalées ? » appelle l'étendue. Prendre le mauvais indicateur donne un nombre exact qui répond à côté.
| la question | l'indicateur |
|---|---|
| le total partagé | la moyenne |
| couper en deux | la médiane |
| étalé ou groupé ? | l'étendue |
| une valeur extrême | plutôt la médiane |
Un nombre juste qui répond à la mauvaise question reste une mauvaise réponse.
La formule : Statistiques : lire une série, et choisir ce qui la résume
Les trois indicateurs, et ce que chacun mesure
\text{moyenne} = \dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{effectif total}} \qquad \text{étendue} = \text{max} - \text{min}
La médiane, elle, ne se calcule pas par une formule : elle se LIT sur la série rangée, à la position du milieu. ⚠️ C'est justement ce qui la rend insensible aux valeurs extrêmes — elle ne regarde que les rangs, jamais les montants.
| indicateur | il mesure |
|---|---|
| moyenne | une position |
| médiane | une position |
| étendue | une dispersion |
Il faut un indicateur de chaque sorte pour décrire honnêtement une série.
Méthode : Statistiques : lire une série, et choisir ce qui la résume
1. Ranger avant toute médiane
C'est l'étape qu'on saute, et elle n'est pas facultative. Une médiane trouvée sur une série non rangée peut tomber juste par hasard, mais la méthode est fausse — et elle échouera à la question suivante.
2. Contrôler une moyenne par encadrement
Une moyenne tombe toujours entre la plus petite et la plus grande valeur de la série. Si le résultat sort de cet intervalle, c'est qu'on a oublié de diviser, ou mal compté l'effectif.
3. Compter les valeurs répétées autant de fois
Quand un tableau donne des effectifs, chaque valeur pèse selon le sien : on multiplie avant d'additionner, et l'on divise par l'effectif TOTAL, pas par le nombre de lignes du tableau.
4. Vérifier qu'une fréquence tient entre 0 et 1
Une fréquence est une proportion : elle ne peut ni dépasser 1, ni être négative. Un résultat supérieur à 1 signale qu'on a divisé à l'envers, ou donné l'effectif à la place.
5. Se demander ce que la question veut savoir
Avant de calculer, on identifie s'il s'agit d'une position ou d'une dispersion. Et s'il y a une valeur manifestement extrême, on préfère la médiane — ou l'on donne les deux, en disant pourquoi elles diffèrent.
Selon ce que l'on cherche : Statistiques : lire une série, et choisir ce qui la résume
On me demande une valeur « typique »
Moyenne s'il n'y a pas de valeur extrême, médiane s'il y en a une. Et je peux dire pourquoi.
On me demande si les valeurs sont regroupées
C'est l'étendue : la plus grande moins la plus petite.
On me donne un tableau d'effectifs
Je multiplie chaque valeur par son effectif, j'additionne, puis je divise par l'effectif total.
On me demande une proportion
C'est une fréquence : l'effectif de la catégorie divisé par l'effectif total, éventuellement multiplié par 100.
On me donne un graphique
Je lis les hauteurs comme des effectifs, et je peux en tirer le total, la plus grande valeur, ou l'étendue.
Exemples corrigés : Statistiques : lire une série, et choisir ce qui la résume
Moyenne, médiane et étendue d'une même série
Les notes d'un élève : ; ; ; ; .
Calculer les trois indicateurs.
| indicateur | valeur |
|---|---|
| moyenne | 50 ÷ 5 = 10 |
| médiane | 9 |
| étendue | 14 − 6 = 8 |
Moyenne et médiane ne coïncident presque jamais.
La série est déjà rangée, ce qu'il faut vérifier avant tout. La MOYENNE : la somme vaut , et il y a notes, donc . La MÉDIANE : cinq valeurs, donc un nombre impair — c'est celle du milieu, la troisième, soit . L'ÉTENDUE : . On remarque que moyenne et médiane diffèrent d'un point : la série penche légèrement vers le haut, parce que le tire la moyenne sans déplacer la coupure.
Une moyenne avec des effectifs
Dans une classe, élèves ont eu et élèves ont eu .
Quelle est la moyenne de la classe ?
Chaque note compte autant de fois qu'il y a d'élèves qui l'ont obtenue. La somme vaut donc . L'effectif TOTAL est de élèves — et non , qui serait le nombre de lignes du tableau. La moyenne vaut . Contrôle : est bien compris entre et , et plus proche de , ce qui est cohérent puisque deux fois plus d'élèves ont eu cette note.
Le salaire typique
Cinq salaires mensuels dans une petite entreprise : € ; € ; € ; € ; €.
Quel indicateur décrit le mieux ce qu'on y gagne ?
La moyenne vaut €. Or QUATRE personnes sur cinq gagnent moins de la moitié de cette somme : la moyenne ne décrit personne, parce que le salaire du dirigeant entre dans la somme avec tout son poids. La MÉDIANE, elle, est la troisième valeur de la série rangée, soit € — et celle-là décrit bien la situation ordinaire. C'est donc la médiane qu'il faut annoncer, et l'écart entre les deux chiffres est lui-même une information : il signale la présence d'une valeur extrême.
Deux classes, une même moyenne
La classe A a une moyenne de et une étendue de . La classe B a la même moyenne, mais une étendue de .
Dans laquelle les notes sont-elles les plus homogènes ?
Dans la classe A. L'étendue mesure l'écart entre la meilleure et la moins bonne note : points seulement en A, ce qui signifie des notes groupées — par exemple entre et . En B, points d'écart laissent supposer des et des dans la même classe. ⭐ Les deux moyennes sont pourtant identiques : cet exemple montre qu'une moyenne, seule, ne permet PAS de décrire une série. Il faut toujours l'accompagner d'un indicateur de dispersion.
Pièges à éviter : Statistiques : lire une série, et choisir ce qui la résume
- Confondre effectif et fréquence : élèves sur donnent une fréquence de , pas de . Une fréquence tient toujours entre 0 et 1.
- Oublier de diviser : la moyenne de ; ; vaut , pas . Une moyenne ne dépasse jamais la plus grande valeur.
- Additionner pour trouver l'étendue. C'est une SOUSTRACTION : la plus grande moins la plus petite.
- Chercher la médiane sans ranger la série. La réponse peut tomber juste par hasard, mais la méthode est fausse.
- Diviser par le nombre de lignes du tableau au lieu de l'effectif total, quand des valeurs se répètent.
- Croire que la moyenne décrit toujours la situation ordinaire. Une seule valeur extrême suffit à la rendre trompeuse.
- Donner un seul indicateur. Une position sans dispersion ne dit rien de la forme de la série.
À retenir : Statistiques : lire une série, et choisir ce qui la résume
- Effectif : un comptage. Fréquence : une proportion, entre 0 et 1.
- Moyenne : la somme divisée par l'effectif total — jamais le nombre de lignes.
- Médiane : la valeur du milieu, sur la série RANGÉE.
- Étendue : la plus grande moins la plus petite. Elle mesure la dispersion.
- Une valeur extrême déplace la moyenne, mais presque pas la médiane.
- Deux séries de même moyenne peuvent tout avoir de différent : il faut deux indicateurs.
Exercices corrigés : Statistiques : lire une série, et choisir ce qui la résume
1. Dans un tableau statistique, que représente l'effectif d'une catégorie ?
Voir la correction
Le nombre d'individus qui appartiennent à cette catégorie. C'est un comptage, pas une proportion.
2. Dans une classe de élèves, pratiquent un sport. Quelle est la fréquence sous forme décimale ?
Voir la correction
. Elle est bien comprise entre 0 et 1, ce qui est le contrôle à faire.
3. Un élève dit : « dans une classe de élèves, font du basket, donc la fréquence est ». A-t-il raison ?
Voir la correction
Non : est l'EFFECTIF. La fréquence est , soit . Une fréquence ne dépasse jamais 1.
4. Quelle est la moyenne de ; ; ?
Voir la correction
La somme vaut , il y a valeurs, donc la moyenne est .
5. Quelle est la médiane de la série rangée ; ; ; ; ?
Voir la correction
Cinq valeurs, donc un nombre impair : la médiane est celle du milieu, soit . Deux valeurs se trouvent en dessous, deux au-dessus.
6. Quelle est la médiane de la série rangée ; ; ; ?
Voir la correction
Quatre valeurs, donc un nombre pair : la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, .
7. Quelle est l'étendue de la série ; ; ; ?
Voir la correction
. C'est une soustraction entre la plus grande et la plus petite valeur, jamais une somme.
8. Série A : ; ; . Série B : ; ; . Laquelle est la plus régulière ?
Voir la correction
La série A, dont l'étendue vaut contre pour la série B. Leurs moyennes sont pourtant identiques, toutes deux égales à : c'est bien la dispersion qui les distingue.
9. Dans une série, une valeur très grande apparaît. Quel indicateur est le plus modifié ?
Voir la correction
La moyenne, car cette valeur entre dans la somme avec tout son poids. La médiane ne compte que les rangs : elle ne se décale que d'un cran.
10. Pour décrire le salaire typique d'une entreprise où quelques dirigeants gagnent énormément, quel indicateur choisir ?
Voir la correction
La médiane. La moyenne serait tirée vers le haut par les hauts salaires et ne décrirait la situation de personne. La médiane désigne la personne exactement au milieu.
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