Un peu de maths · La rubrique du prof
La dimension du volcan
De l'aiguille de Kakeya aux remparts de la Fournaise
La rugosité d'un rempart n'est pas qu'une impression : c'est un nombre, et il se mesure en comptant des carrés.
D'où vient l'idée — l'aiguille de la médaille Fields 2026
- 1. Sur la page de l'aiguille, l'aire balayée fond : 1,57 → 0,79 → 0,39 → … presque 0.
- 2. Donc l'aire peut mentir : un objet peut contenir une aiguille dans toutes les directions en n'occupant presque aucune place.
- 3. Pour dire qu'un objet reste « épais » quand l'aire ne dit plus rien, il faut un instrument plus fin : la dimension. C'est elle que Hong Wang a domptée — en 3D, forcément 3. Sa médaille Fields 2026.
- 4. Et cet instrument, tu vas le fabriquer toi-même juste en dessous, en comptant des carrés sur le rempart. ⤵
Compte les carrés — la grille se pose sur le profil
Carreaux (très gros)
120 de côté
Carrés traversés
15
Dimension mesurée
—
Choisis la taille des carreaux et compte — puis affine : le nombre de carrés grandit-il vite ou doucement ?
d = ln(multiplicateur) ÷ ln(2) — la ligne lisse : ln 2 ÷ ln 2 = 1. Le rempart : ln 2,4 ÷ ln 2 ≈ 1,26 (et la machine, qui mesure sur le vrai tracé, trouve ≈ 1,25). Ce comptage de carrés porte un nom : la dimension de Minkowski.
🪡 Le vrai lien avec Hong Wang, ici. Cette dimension de Minkowski — « compter des boîtes de plus en plus petites » — n'est pas une analogie : c'est l'outil même dans lequel s'énonce la conjecture de Kakeya qu'elle a résolue. En comptant tes carrés sur le rempart, tu fais exactement le geste qui mesure un ensemble de Kakeya. Le volcan n'est pas son sujet ; l'instrument, si.
Ce que dit le nombre d — une règle graduée pour la rugosité
- d = 1 — une ligne lisse : quand on regarde de plus près, rien de nouveau n'apparaît.
- 1 < d < 2 — une courbe qui gigote à toutes les échelles : chaque zoom révèle de nouveaux détails. La côte de Grande-Bretagne mesurée par Lewis Fry Richardson, puis reprise par Benoît Mandelbrot (1967), donne d ≈ 1,25 — nos côtes et remparts découpés sont du même ordre.
- d = 2 — la courbe remplit carrément une surface ; et pour les reliefs en 3D, la dimension vit entre 2 (plaine lisse) et 3 (montagne infiniment rugueuse).
Le théorème de Hong Wang et Joshua Zahl (2025) vit exactement sur cette règle graduée : un ensemble de l'espace qui contient une aiguille dans toutes les directions peut être de volume minuscule, mais sa dimension ne descend jamais sous 3. Pas de fantôme poussiéreux — c'est ce résultat que la médaille Fields 2026 récompense.
Le même volcan, trois gestes de mathématicienne
- 🗺️ Projeter (π̃). Une carte topographique, c'est l'ombre du relief écrasé sur le plan — et les courbes de niveau relient les points qui se projettent à la même altitude. Exactement le L = π̃(T) de son tableau.
- 📦 Ranger dans des tiroirs (F′ ⊆ F). L'observatoire du Piton de la Fournaise (OVPF) capte des essaims de micro-séismes : on les range par zone et par heure, et le tiroir le plus plein trahit le magma qui monte. Choisir la boîte la plus riche, c'est le « pigeonhole » de sa feuille.
- 📏 Mesurer une dimension. La machine ci-dessus : compter des carrés à plusieurs échelles, et lire la rugosité dans le multiplicateur. C'est la notion au cœur de sa médaille.
🎯 Les défis de la dimension — du CP à la Terminale
Coup de pouce : la machine te donne les multiplicateurs — ligne lisse ≈ ×2, rempart ≈ ×2,4 à chaque affinement.
Défi 1
CP · CE1 — Sur la grosse grille, la ligne traverse 6 carrés. Avec des carreaux deux fois plus petits, elle en traverse deux fois plus. Combien ?
Voir le calcul
6 × 2 = 12 — sur une ligne lisse, des carreaux 2 fois plus petits, c'est 2 fois plus de carrés.
Défi 2
CE2 · CM1 — Une ligne lisse traverse 8 carrés. On affine la grille DEUX fois de suite (le nombre double à chaque fois). Combien de carrés à la fin ?
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8 × 2 × 2 = 32 carrés.
Défi 3
CM2 — Le rempart traverse 10 carrés. On affine la grille : sur lui, le nombre est multiplié par 2,4 (et pas par 2 !). Combien de carrés ?
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10 × 2,4 = 24 — le rempart en traverse PLUS qu'une ligne lisse : il gigote à toutes les échelles.
Défi 4
6ᵉ · 5ᵉ — Sur la grille fine, le rempart traverse 60 carrés là où une ligne lisse en traverse 25. Combien de fois plus ?
Voir le calcul
60 ÷ 25 = 2,4 fois plus — c'est ce multiplicateur qui mesure la rugosité.
Défi 5
4ᵉ · 3ᵉ — Ligne lisse : chaque affinement multiplie le nombre de carrés par 2. Après 3 affinements, il est multiplié par 2³. Combien ?
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2³ = 8 — les puissances comptent les affinements.
Défi 6
2ⁿᵈᵉ — Le rempart : chaque affinement multiplie le nombre de carrés par 2,4. Après 2 affinements, il est multiplié par 2,4². Combien ?
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2,4² = 5,76 — presque 6 fois plus de carrés en deux affinements.
Défi 7
1ʳᵉ — Suite géométrique : N₀ = 10 carrés, raison 2,4. Combien vaut N₃ (après 3 affinements) ?
Voir le calcul
10 × 2,4³ = 138,24 ≈ 138 — le comptage de carrés est une suite géométrique.
Défi 8
Terminale — La dimension du rempart : d = ln(2,4) ÷ ln(2). Calcule d (arrondi au centième).
Voir le calcul
d = ln(2,4)/ln(2) ≈ 0,875/0,693 ≈ 1,26 : entre la ligne (1) et la surface (2). C'est cette idée de dimension que Hong Wang a tranchée en 3D — ses ensembles d'aiguilles sont forcément de dimension 3.
Tu as compris ? À toi de t'entraîner :
🧮 Entraîne-toi avec le Coach Maths →Machine pédagogique : le profil du rempart est un dessin stylisé, calibré pour une dimension d'environ 1,25 — pas un relevé topographique de la Fournaise (les mesures réelles de côtes et de reliefs découpés donnent des valeurs de cet ordre, 1,1 à 1,3). Le comptage de carrés est la version simplifiée de la dimension de Minkowski ; les comptes et la dimension affichés sont réellement calculés sur le dessin. L'histoire des tiroirs de l'OVPF illustre le principe de localisation, pas leur algorithme exact. Et le théorème de Hong Wang porte sur les ensembles de Kakeya en 3D, pas sur les volcans — c'est la même notion de dimension, pas le même théorème.