Plus j'avance, plus ma vitesse augmente

Les maths de la machine — la fonction qui est sa propre vitesse

Une seule idée commande tout : f' = k·f. La vitesse à laquelle quelque chose change est proportionnelle à ce qu'il y a déjà. Si k > 0, plus il y en a, plus ça monte vite → l'emballement, e^(kt). Si k < 0, moins il en reste, moins ça descend vite → l'effacement, e^(−kt). Les deux courbes sont l'image l'une de l'autre dans un miroir : c'est la même loi, changée de signe.

Côté descente, ce « toujours la même fraction » donne une demi-vie constante : le temps pour tomber à la moitié ne dépend pas d'où on part. 100 % → 50 % → 25 % → 12,5 %… on s'approche de zéro sans jamais l'atteindre. C'est vrai pour un noyau radioactif, un cari qui refroidit (loi de Newton) ou un souvenir qu'on ne rafraîchit pas (la courbe de l'oubli d'Ebbinghaus). Le nombre qui gouverne tout ça, e ≈ 2,718, est exactement celui dont la courbe est, en chaque point, sa propre pente.

À quoi ça sert ? — dans ta vie, et dans tes révisions

• 🎓 Pour tes révisions. Ce que tu apprends aujourd'hui, tu en auras oublié la moitié dans quelques jours — c'est mathématique, pas personnel. La parade n'est pas de travailler plus longtemps d'un coup, mais de revoir un peu, plusieurs fois, en espaçant. Chaque passage aplatit la courbe. Un mauvais jour n'efface pas tout : il suffit de recharger.
• 📈 Pour ne pas lâcher au début. Beaucoup abandonnent dans la partie plate de la montée, en croyant qu'elle sera toujours plate. Or ce qui compte, ce n'est pas où tu es, c'est ta pente — et elle grimpe. Le décollage n'est pas un miracle : c'est tout le plat d'avant qui te propulse.
• 🦠 Une épidémie. Chaque personne en contamine d'autres, qui en contaminent d'autres : la même montée qui s'emballe (le R₀). C'est le cousin direct de la machine des epsilons — un petit départ, un infini au bout.
• 🌋 La lave de la Fournaise. Une coulée fraîche refroidit vite quand elle est brûlante, puis de plus en plus lentement — l'écart avec l'air extérieur fond de moitié, encore et encore. Le même refroidissement que ton cari sur la table (le défi 5).
• ☢️ Dater le passé. Le carbone 14 d'un vieux bois ou d'un os disparaît par demi-vies régulières : en comptant ce qu'il en reste, on lit l'âge d'un objet vieux de milliers d'années. Une décroissance exponentielle transformée en horloge.

Un peu d'histoire — le nombre qui se dérive lui-même

Leonhard Euler (XVIIIᵉ) donne son nom au nombre e ≈ 2,718 : la base de la seule courbe qui est, partout, sa propre pente. Isaac Newton, lui, remarque qu'un corps chaud se refroidit d'autant plus vite qu'il est loin de la température ambiante — sa fameuse loi du refroidissement, une exponentielle qui descend.

En 1885, le psychologue Hermann Ebbinghaus fait une chose folle : il apprend des listes de syllabes sans queue ni tête et mesure, sur lui-même, à quelle vitesse il les oublie. Il en tire la première courbe de l'oubli — exponentielle, elle aussi — et découvre que revoir à intervalles espacés la relève chaque fois un peu plus haut. C'est très exactement la machine du dessus : la science des révisions, née d'un homme qui s'est pris pour son propre cobaye.