Un peu de maths · La rubrique du prof
La Diagonale des Fous
Doser sa réserve — une équation différentielle
165 km, barrière à 66 h — règle l'allure et lance la course. ▶ voir la vidéo (1 min)
Le profil de l'île — Saint-Pierre → Saint-Denis
Distance
0 / 165 km
Temps
0 / 66 h
Réserve
100 %
Vitesse
— km/h
Règle ton allure, puis « Départ ». Vise à vider la réserve pile à l'arrivée.
dR/dt = −c · effort² · (1 + pente) — dR/dt, c'est la variation de ta réserve à chaque instant. Doubler l'allure = ×4 la dépense ; les montées la vident plus vite. Dépense actuelle : 2.5 /h.
Ce que dit l'équation — une règle locale qui engendre toute la course
Une équation « normale » demande quel nombre ?. Une équation différentielle demande quelle fonction ? — et son secret, c'est qu'on ne connaît jamais la réserve à l'avance, seulement la vitesse à laquelle elle change (c'est ça, dR/dt : la variation de ta réserve), ici et maintenant. On avance alors par petits pas :
réserve du pas suivant = réserve d'avant + (sa vitesse) × (un petit pas de temps)
C'est la méthode d'Euler — exactement ce que fait la machine, image après image. La vitesse de vidage dépend de deux choses : ton effort au carré (pousser deux fois plus fort coûte quatre fois plus) et la pente (ça grimpe, ça coûte). Deux grandeurs évoluent ensemble : x′ = v (tu avances) et R′ = −c · effort² · (1 + pente) (tu te vides) — un petit système d'équations différentielles, le cœur du programme de Terminale.
Le bon dosage — pourquoi partir fort, c'est perdre
- 🥵 Allure trop forte (9–10). La réserve s'effondre bien avant l'arrivée : c'est le mur. Tu ne fais plus que marcher (1 km/h) et la barrière te rattrape.
- 🐢 Allure trop douce (1–4). Tu ne tapes jamais le mur… mais tu es trop lent, et les 66 h tombent loin de Saint-Denis.
- 🎯 Le bon dosage (autour de 5–6). La réserve se vide pile quand tu franchis la ligne. C'est la sagesse des traileurs — l'allure régulière — et c'est un résultat mathématique : la dépense au carré punit tout excès.
La même idée sert partout : réviser un contrôle, gérer son temps, tenir une année scolaire — on ne tient pas en partant à fond, on tient en dosant.
🎯 Les défis du raid — du CP à la Terminale
Coup de pouce : lance la course et lis la vitesse, la dépense par heure et la réserve — la machine vérifie pour toi.
Défi 1
CP · CE1 — Sur un bout de sentier tu montes de 200 m, puis encore de 150 m. Combien de mètres as-tu montés en tout ?
Voir le calcul
200 + 150 = 350 m de montée.
Défi 2
CE2 · CM1 — Tu montes de 600 m sur 6 km de sentier. Combien de mètres montes-tu, en moyenne, par kilomètre ?
Voir le calcul
600 ÷ 6 = 100 m/km — c'est ça, la pente.
Défi 3
CM2 — La course fait 165 km. Tu en as parcouru 120. Combien de kilomètres te reste-t-il ?
Voir le calcul
165 − 120 = 45 km restants.
Défi 4
6ᵉ · 5ᵉ — La barrière est à 66 h. Tu cours depuis 33 h. Quel POURCENTAGE du temps limite as-tu déjà utilisé ?
Voir le calcul
33 ÷ 66 = 0,5 = 50 % du temps limite.
Défi 5
4ᵉ · 3ᵉ — Tu parcours 132 km en 44 h. Quelle est ta vitesse moyenne, en km/h ?
Voir le calcul
132 ÷ 44 = 3 km/h — l'allure moyenne d'un ultra de montagne.
Défi 6
2ⁿᵈᵉ — La dépense d'énergie est proportionnelle au CARRÉ de l'effort. À l'effort 3, elle vaut 9. Combien vaut-elle à l'effort 6 ?
Voir le calcul
6² = 36 : doubler l'allure ne double pas la dépense, il la quadruple. C'est le cœur de l'équation.
Défi 7
1ʳᵉ — À allure constante, ta réserve part de 100 et se vide de 2,5 par heure. Au bout de combien d'heures est-elle vide ?
Voir le calcul
100 ÷ 2,5 = 40 h : quand dR/dt est constant, la réserve descend en droite.
Défi 8
Terminale — Méthode d'Euler, pas de temps 0,5 h. La réserve vaut 80 et se vide à 4 par heure (dR/dt = −4). Quelle réserve estime-t-on au pas suivant ?
Voir le calcul
80 + (−4) × 0,5 = 78 : un petit pas de la vitesse ajoute un petit morceau à la réserve. C'est exactement ce que fait la machine, image après image.
Tu as compris ? À toi de t'entraîner :
🧮 Entraîne-toi avec le Coach Maths →Machine pédagogique : le profil et les altitudes sont des ordres de grandeur des grands passages du Grand Raid, pas un relevé GPS, et le modèle de fatigue est simplifié (un vrai coureur mange, dort, se ravitaille). La barrière des 66 h et les 165 km sont, eux, du bon ordre. L'idée « on tient en dosant, pas en partant à fond » se regarde dès qu'on sait lire une pente ; le système d'équations différentielles se démontre en Terminale.