Les triangles : angles, familles et existencecours et exercices corrigés de maths 3e
On ne peut pas dessiner n'importe quel triangle. Trois longueurs peuvent se refuser à en former un, et trois angles aussi — mais pour des raisons différentes, et ce sont deux verrous indépendants. La cinquième vous a donné le premier, qui porte sur les côtés. La troisième donne le second, qui porte sur les angles : leur somme vaut exactement , jamais autre chose.
À quoi ça sert : les triangles : angles, familles et existence
Le triangle est la seule figure qui ne se déforme pas : un quadrilatère articulé s'affaisse en losange, un triangle ne bouge pas. C'est pourquoi on en trouve partout dès qu'il faut tenir — les fermes de charpente d'une case créole, les pylônes électriques qui longent la route des Tamarins, les échafaudages, les ponts. La raison est exactement le contenu de cette fiche : trois longueurs déterminent un triangle unique, alors que quatre longueurs laissent un quadrilatère libre de se déformer. La rigidité d'une structure n'est pas une propriété du métal, c'est une propriété de la géométrie.
Un peu d'histoire : les triangles : angles, familles et existence
Que la somme des angles d'un triangle vaille figure dans les Éléments d'Euclide, vers 300 avant notre ère, et sa démonstration repose entièrement sur le postulat des parallèles. Ce détail est devenu fondamental bien plus tard : au XIXᵉ siècle, Lobatchevski et Bolyai construisent des géométries cohérentes où ce postulat est faux — et où la somme des angles d'un triangle vaut MOINS de . Sur une sphère, à l'inverse, elle vaut davantage : un triangle tracé entre le pôle Nord et deux points de l'équateur peut avoir trois angles droits, donc . La règle apprise ici est donc vraie du plan, et seulement de lui.
Définition : les triangles : angles, familles et existence
Un triangle est une figure à trois sommets et trois côtés. Deux conditions gouvernent son existence, et il faut les distinguer. Sur les ANGLES : la somme des trois mesures vaut toujours , ce qui interdit par exemple , et . Sur les CÔTÉS : la plus grande longueur doit rester STRICTEMENT inférieure à la somme des deux autres, ce qui interdit cm, cm et cm. Un triangle qui vérifie l'une mais pas l'autre n'existe pas davantage.
Propriétés : les triangles : angles, familles et existence
La somme des angles vaut toujours
Quelle que soit sa forme, un triangle a trois angles dont la somme fait exactement . C'est le résultat le plus utile du chapitre, car il permet de trouver le troisième angle dès qu'on connaît les deux autres : si et , alors . ⛔ Répondre confond avec le tour complet, ou avec la somme des angles d'un quadrilatère.
Deux angles connus, le troisième s'en déduit : .
Dans un triangle rectangle, les deux aigus font
L'angle droit occupe déjà des disponibles : il ne reste donc que à partager entre les deux autres. Si l'un mesure , l'autre vaut nécessairement . ⛔ Cela interdit aussi qu'un triangle possède DEUX angles droits : la somme atteindrait à elle seule, et il ne resterait rien pour le troisième sommet.
: les deux angles aigus se partagent ce qui reste.
Dans un isocèle, les angles à la base sont égaux
Un triangle isocèle possède deux côtés de même longueur, et ses deux angles à la base sont alors égaux. La réciproque est vraie également : deux angles égaux entraînent deux côtés égaux. Si l'angle au sommet mesure , il reste à partager en deux parts identiques, soit chacune.
Sommet à : les deux angles à la base valent .
L'équilatéral a trois angles de
Ses trois côtés sont égaux, donc ses trois angles aussi : chacun vaut . ⚠️ Et un triangle équilatéral EST un triangle isocèle — il en possède la propriété, avec deux côtés égaux, et même davantage. Les familles s'emboîtent au lieu de s'exclure, ce qui est le contraire de ce que suggère le langage courant.
Trois côtés égaux, trois angles de : .
Les familles s'emboîtent, elles ne s'opposent pas
« Isocèle » signifie AU MOINS deux côtés égaux : tout équilatéral est donc isocèle. En revanche, un triangle à deux côtés égaux n'est pas forcément équilatéral — il lui manquerait le troisième. Un triangle peut d'ailleurs cumuler deux qualités : rectangle ET isocèle, si son angle droit sépare deux côtés de même longueur.
| famille | ce qu'elle exige |
|---|---|
| isocèle | au moins 2 côtés égaux |
| équilatéral | les 3 — donc isocèle |
| rectangle | un angle droit |
Un triangle peut appartenir à plusieurs familles à la fois.
Le second verrou : l'inégalité triangulaire
Trois longueurs ne forment un triangle que si la plus grande est STRICTEMENT inférieure à la somme des deux autres. Avec , et , la somme des deux petites vaut exactement : les deux côtés se posent bout à bout sur le troisième sans laisser aucune hauteur, et la figure est APLATIE. ⛔ Le cas d'égalité ne donne donc pas un triangle, contrairement à ce que l'on croit souvent.
Les deux petits côtés couvrent exactement le grand : il ne reste pas de hauteur.
Deux verrous indépendants
Les deux conditions ne se remplacent pas. Des angles de , et sont refusés par la règle des angles, puisqu'ils totalisent . Des côtés de , et cm sont refusés par celle des longueurs. Vérifier l'une ne dispense jamais de l'autre : c'est la donnée fournie par l'énoncé qui indique laquelle appliquer.
| on donne | on vérifie |
|---|---|
| trois angles | somme = 180° |
| trois côtés | le grand < somme |
| 100°, 50°, 40° | 190° : refusé |
La règle à appliquer dépend de ce que l'énoncé donne.
Quelles données déterminent un triangle unique
Les trois longueurs des côtés en déterminent un seul, à la position près. Deux côtés et l'angle entre eux également. ⚠️ En revanche, connaître les trois ANGLES ne suffit pas : tous les triangles équilatéraux ont les mêmes angles sans avoir la même taille. Les angles fixent la FORME, les longueurs fixent la taille.
| données | triangle unique ? |
|---|---|
| 3 côtés | oui |
| 2 côtés + l'angle entre | oui |
| 3 angles | non : la taille manque |
Deux triangles de mêmes angles se ressemblent, sans être superposables.
La formule : les triangles : angles, familles et existence
La somme des angles d'un triangle
\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ
Elle sert dans les deux sens. De gauche à droite pour VÉRIFIER qu'un triplet d'angles est possible ; de droite à gauche pour TROUVER un angle manquant, en retranchant les deux connus de .
| cas | le troisième angle |
|---|---|
| 55° et 70° | 55° |
| 90° et 35° | 55° |
| 100° et 50° | 30° |
Une soustraction suffit — encore faut-il partir de et non de .
Méthode : les triangles : angles, familles et existence
1. Trouver un angle manquant
On additionne les deux angles connus, puis on retranche le total de . Contrôle immédiat : les trois angles obtenus doivent redonner , et aucun ne peut être nul ou négatif.
2. Reconnaître la nature d'un triangle
On regarde d'abord les côtés : trois égaux, c'est équilatéral ; deux égaux, isocèle. Puis les angles : un angle droit, c'est rectangle. ⚠️ Et l'on n'oublie pas qu'un triangle peut cumuler deux natures.
3. Tester si trois longueurs conviennent
On repère la PLUS GRANDE, on additionne les deux autres, et on compare. Strictement inférieure : le triangle existe. Égale ou supérieure : il n'existe pas. Tester les trois combinaisons est inutile — seule la plus grande peut poser problème.
4. Tester si trois angles conviennent
On les additionne : le total doit valoir exactement . Ni plus, ni moins. C'est un test différent du précédent, et l'énoncé indique lequel appliquer selon qu'il donne des degrés ou des centimètres.
5. Dans un isocèle, partager ce qui reste
Si l'angle au sommet est connu, on le retranche de puis on divise par deux. Si c'est un angle à la base qui est connu, on le double avant de retrancher. Les deux chemins se contrôlent : la somme doit toujours retomber sur .
Selon ce que l'on cherche : les triangles : angles, familles et existence
On me donne deux angles
Je retranche leur somme de pour obtenir le troisième.
On me donne trois longueurs
Je compare la plus grande à la somme des deux autres. Strictement inférieure : le triangle est constructible.
On me donne trois angles
Je vérifie que la somme vaut . Si oui, la FORME est déterminée — mais pas la taille.
On me demande la nature du triangle
Je regarde les côtés, puis les angles, et je n'exclus pas qu'il appartienne à deux familles.
Le triangle est isocèle et on me donne un angle
Je repère si c'est l'angle au sommet ou un angle à la base, puis je partage les en conséquence.
Exemples corrigés : les triangles : angles, familles et existence
Le troisième angle
Dans un triangle , et .
Combien mesure ?
La somme des trois angles vaut . On additionne d'abord les deux connus : . On retranche ensuite de : . Contrôle : . C'est juste. On remarque au passage que deux angles sont égaux — le triangle est donc isocèle, ce que l'énoncé ne disait pas.
Trois longueurs impossibles
On veut un triangle de côtés cm, cm et cm.
Est-il constructible ?
| côtés | 3 + 4 | verdict |
|---|---|---|
| 3, 4, 7 | = 7 | aplati |
| 3, 4, 6 | > 6 | possible |
| 3, 4, 8 | < 8 | impossible |
Un seul centimètre sépare le possible de l'impossible.
Le plus grand côté mesure cm. La somme des deux autres vaut cm. Or l'inégalité triangulaire exige que le plus grand soit STRICTEMENT inférieur à cette somme : ici il lui est égal. Le triangle n'est donc pas constructible — en posant les deux petits côtés bout à bout, on recouvre exactement le grand, sans dégager la moindre hauteur, et la figure est aplatie. ⛔ C'est le cas que l'on croit le plus souvent acceptable, précisément parce qu'il semble « tout juste » possible.
L'isocèle et son sommet
Un triangle isocèle a un angle au sommet de .
Combien mesure chacun des angles à la base ?
L'angle au sommet occupe sur les disponibles. Il en reste donc à partager entre les deux angles à la base, qui sont ÉGAUX puisque le triangle est isocèle. Chacun vaut . Contrôle : . ⚠️ L'erreur consiste à diviser par deux au lieu de — c'est-à-dire à oublier de retirer d'abord l'angle au sommet.
Trois angles refusés
On voudrait un triangle dont les angles mesurent , et .
Est-ce possible ?
On additionne : . Or la somme doit valoir exactement . Le triangle est donc impossible, et il l'est pour une raison qui n'a rien à voir avec les longueurs — aucune valeur de côtés ne pourrait rattraper ce dépassement. C'est là tout l'intérêt d'avoir DEUX critères d'existence : celui-ci se prononce sur des degrés, sans qu'aucune longueur soit fournie.
Pièges à éviter : les triangles : angles, familles et existence
- Croire que la somme des angles vaut . C'est — est le tour complet, ou la somme des angles d'un quadrilatère.
- Croire qu'un triangle à deux côtés égaux est forcément équilatéral. Il est isocèle ; l'équilatéral en exige trois.
- Croire qu'un équilatéral n'est pas isocèle. « Isocèle » demande AU MOINS deux côtés égaux : l'équilatéral en a trois, donc il l'est.
- Accepter un triangle dont le plus grand côté ÉGALE la somme des deux autres. Il est aplati, donc il n'existe pas : l'inégalité doit être stricte.
- Imaginer un triangle à deux angles droits. Ils totaliseraient déjà , et il ne resterait rien pour le troisième sommet.
- Diviser par deux pour trouver les angles à la base d'un isocèle. Il faut d'abord retrancher l'angle au sommet.
- Croire que trois angles déterminent un triangle unique. Ils en fixent la forme, jamais la taille.
À retenir : les triangles : angles, familles et existence
- dans tout triangle du plan.
- Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus totalisent .
- Dans un isocèle, les deux angles à la base sont égaux.
- Chaque angle d'un triangle équilatéral mesure .
- Le plus grand côté doit être STRICTEMENT inférieur à la somme des deux autres.
- Angles et longueurs sont deux verrous indépendants : vérifier l'un ne dispense pas de l'autre.
Exercices corrigés : les triangles : angles, familles et existence
1. Dans un triangle, deux angles mesurent et . Combien mesure le troisième ?
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, puis . Contrôle : .
2. Un élève affirme que la somme des angles d'un triangle vaut . A-t-il raison ?
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Non, elle vaut . Il confond sans doute avec le tour complet, ou avec la somme des angles d'un quadrilatère, qui vaut bien .
3. Dans un triangle rectangle, un angle aigu mesure . Combien mesure l'autre ?
Voir la correction
L'angle droit occupe , il reste donc pour les deux aigus : l'autre vaut .
4. Un triangle peut-il avoir deux angles droits ?
Voir la correction
Non. Deux angles droits totalisent déjà , et il ne resterait rien pour le troisième angle, qui ne peut pas être nul.
5. Un triangle équilatéral est-il aussi isocèle ?
Voir la correction
Oui. « Isocèle » signifie avoir au moins deux côtés de même longueur ; l'équilatéral en a trois, donc il satisfait la condition — et même davantage.
6. Combien mesure chaque angle d'un triangle équilatéral ?
Voir la correction
. Les trois côtés étant égaux, les trois angles le sont aussi.
7. Peut-on construire un triangle de côtés cm, cm et cm ?
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Non. Le plus grand côté mesure cm, et la somme des deux autres vaut cm, ce qui est bien inférieur à . Les deux petits côtés ne se rejoignent jamais.
8. Un élève dit : « Si le plus grand côté est égal à la somme des deux autres, le triangle existe. » A-t-il raison ?
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Non. Dans ce cas la figure est aplatie : les deux petits côtés se posent exactement sur le grand, sans dégager de hauteur. L'inégalité doit être STRICTE.
9. Dans un triangle isocèle, l'angle au sommet mesure . Combien mesure chaque angle à la base ?
Voir la correction
Il reste à partager en deux parts égales : chacune vaut . Contrôle : .
10. Un élève dit : « Si un triangle a deux angles égaux, alors il a deux côtés égaux. » A-t-il raison ?
Voir la correction
Oui. C'est la réciproque de la propriété de l'isocèle, et elle est vraie : deux angles égaux entraînent deux côtés égaux, donc le triangle est isocèle.
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