Solides et représentationscours et exercices corrigés de maths 4e
Un solide occupe l'espace, une feuille est plate : tout le chapitre tient dans cet écart. Vues, perspective, patron, section — ce sont quatre façons de mettre en deux dimensions un objet qui en a trois, et chacune garde certaines informations en en perdant d'autres. Savoir laquelle perd quoi, c'est savoir lire un plan.
À quoi ça sert : Solides et représentations
Un plan d'architecte, une notice de meuble, une carte marine : tous résolvent le même problème — montrer en deux dimensions un objet qui en a trois. Et tous choisissent ce qu'ils acceptent de perdre. Le plan d'architecte garde les longueurs et sacrifie le relief : on peut y mesurer, pas s'y représenter la pièce. La perspective d'une notice fait l'inverse : on comprend la forme d'un coup d'œil, mais on ne mesure rien dessus, et c'est pour cela que les cotes y sont écrites en chiffres. Les cartes du monde, elles, sont le cas extrême : la sphère n'ayant aucun patron, toute carte déforme — celle qu'on voit dans les classes agrandit énormément le Groenland, qui paraît aussi grand que l'Afrique alors qu'il en fait le quatorzième. Dans le bâtiment, la section est la représentation reine : une coupe de mur montre d'un seul dessin ce qu'aucune photo ne montrerait, parce qu'elle donne à voir l'intérieur.
Un peu d'histoire : Solides et représentations
La perspective cavalière tire son nom des fortifications : le « cavalier » était un ouvrage de terre surélevé d'où l'on dominait le champ de bataille, et les ingénieurs militaires dessinaient les places fortes vues de ce point haut. Ce n'était pas une perspective d'artiste — celle des peintres de la Renaissance, où les fuyantes convergent vers un point — mais un code de dessin technique où les parallèles restent parallèles, précisément pour qu'on puisse reporter des mesures. Les deux systèmes ont coexisté pendant des siècles et servent encore des besoins différents : le peintre veut l'illusion, l'ingénieur veut l'information. Quant aux sections planes, c'est Apollonius de Perga qui en a fait un objet mathématique vers 200 avant notre ère, en coupant un cône de toutes les façons possibles : selon l'inclinaison du plan, il obtenait un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole. Dix-huit siècles plus tard, Kepler découvrait que les planètes décrivent des ellipses — l'une de ces sections de cône, devenue la forme des orbites.
Définition : Solides et représentations
Un solide se reconnaît à ses BASES et à ses faces latérales, jamais à son allure générale. Deux bases identiques et parallèles reliées par des rectangles : c'est un prisme. Une base et une pointe : c'est un cône ou une pyramide, selon que la base est ronde ou polygonale. Aucune face plane, aucune arête, aucun sommet : c'est une boule. ⚠️ Un CUBE est un PAVÉ DROIT particulier — celui dont les six faces sont des carrés —, exactement comme un carré est un rectangle.
6 faces · 12 arêtes · 8 sommets
Propriétés : Solides et représentations
Chaque solide a sa signature
On ne reconnaît pas un solide « à l'œil » : on compte ses bases, on regarde leur forme, puis ce qui les relie. C'est ce qui permet de distinguer un prisme d'un pavé, ou un cône d'une pyramide.
| Données | solide | sa signature |
|---|---|---|
| cube | 6 faces carrées | |
| pavé droit | 6 faces rectangulaires | |
| prisme droit | 2 bases + rectangles | |
| cylindre | 2 disques + courbe | |
| cône | 1 disque + pointe | |
| pyramide | 1 base + triangles | |
| boule | aucune face plane |
Un cube est un pavé droit
Un pavé droit a six faces rectangulaires. Or un carré EST un rectangle — celui dont les quatre côtés sont égaux. Un cube remplit donc la définition du pavé, sans rien y ajouter. ⚠️ Et l'inclusion ne marche que dans UN sens : tout cube est un pavé, mais une boîte à chaussures n'est pas un cube.
| Données | affirmation | vrai ? |
|---|---|---|
| tout cube est un pavé | OUI | |
| tout pavé est un cube | non | |
| tout carré est un rectangle | OUI |
Une vue est une ombre
Regarder un solide bien en face d'une direction, c'est l'aplatir : le relief disparaît, il ne reste qu'un contour. ⭐ La BOULE est le seul solide dont toutes les vues sont identiques — un disque, quel que soit l'angle. C'est ce qui en fait le plus simple à dessiner et le plus difficile à identifier sur une seule vue.
de dessus : un disque · de face : un rectangle
Une seule vue ne suffit presque jamais
Un disque vu de dessus peut être un cylindre, un cône OU une boule. C'est la seconde vue qui tranche : un rectangle donne le cylindre, un triangle le cône, un disque la boule. ⭐ C'est pour cela qu'un plan technique en donne toujours au moins deux.
| Données | de dessus | de face | c'est |
|---|---|---|---|
| disque | rectangle | cylindre | |
| disque | triangle | cône | |
| disque | disque | boule | |
| carré | triangle | pyramide |
Un patron est le solide déplié
Chaque face apparaît une fois, en vraie grandeur. Un patron n'a donc ni plus ni moins de morceaux que le solide n'a de faces. ⭐⭐ LA BOULE N'A PAS DE PATRON — et c'est exactement pour cela qu'aucune carte du monde n'est exacte : on ne peut pas mettre une sphère à plat sans déformer quelque chose.
| Données | solide | son patron |
|---|---|---|
| cube | 6 carrés | |
| pavé droit | 6 rectangles | |
| cylindre | 2 disques + 1 rectangle | |
| pyramide | 1 carré + 4 triangles | |
| boule | AUCUN |
La perspective ment, mais pas sur tout
La perspective cavalière est un CODE de dessin, pas une imitation de l'œil. Ce qui est de FRONT est en vraie grandeur ; ce qui FUIT est déformé — un carré devient un parallélogramme, un angle droit cesse d'être droit. ⚠️ Mais le PARALLÉLISME est toujours conservé, et les arêtes cachées se dessinent en pointillés. On ne mesure jamais sur une perspective.
| Données | ce qui est | sur le dessin |
|---|---|---|
| de front | en vraie grandeur | |
| qui fuit | déformé | |
| parallèle | reste parallèle | |
| caché | en pointillés |
Une section est la forme de la tranche
Couper un solide par un plan laisse voir une surface plane : la SECTION. Quand le plan est PARALLÈLE à la base, la section a la même forme que la base. ⚠️ Le CÔNE est l'exception qui compte : sa section parallèle à la base est bien un disque, mais PLUS PETIT — la forme se conserve, pas la taille.
| Données | on coupe | on obtient |
|---|---|---|
| cube ∥ face | un carré | |
| cylindre ∥ base | un disque | |
| cylindre ∥ axe | un rectangle | |
| cône ∥ base | un disque plus petit |
La formule : Solides et représentations
Quatre façons de représenter un solide
les vues · la perspective · le patron · la section
Chacune garde certaines informations et en perd d'autres. Les vues gardent les mesures et perdent le relief ; la perspective garde la forme et perd les longueurs ; le patron garde les vraies grandeurs et perd l'assemblage ; la section montre l'intérieur et perd le reste.
| Données | représentation | ce qu'elle garde |
|---|---|---|
| les vues | les mesures | |
| la perspective | la forme d'ensemble | |
| le patron | les vraies grandeurs | |
| la section | l'intérieur |
Méthode : Solides et représentations
1. Nommer un solide
Trois questions dans cet ordre : combien de bases ? de quelle forme ? qu'est-ce qui les relie ? ⚠️ On ne regarde jamais l'allure générale d'abord — c'est ainsi qu'on confond un prisme et un pavé.
2 bases triangulaires reliées par 3 rectangles
2. Identifier avec deux vues
La vue de DESSUS donne la forme de la base. La vue de FACE dit si le solide monte droit, se termine en pointe, ou est rond. Les deux ensemble suffisent presque toujours.
de dessus : un disque · de face : un triangle
3. Compter faces, arêtes et sommets
On compte par groupes — le dessus, le dessous, puis les côtés — pour ne rien oublier. ⚠️ L'erreur la plus fréquente est d'oublier ce qui est CACHÉ derrière : sur un cube dessiné en perspective, on ne voit que 3 faces sur 6.
| Données | solide | faces | sommets |
|---|---|---|---|
| cube | 6 | 8 | |
| pavé droit | 6 | 8 | |
| prisme triangulaire | 5 | 6 | |
| pyramide à base carrée | 5 | 5 |
4. Trouver la forme d'une section
On regarde l'ORIENTATION du plan par rapport au solide. Parallèle à la base : la section a la forme de la base. Parallèle à l'axe d'un cylindre : un rectangle. ⭐ Une section n'est pas une propriété du solide seul, mais du couple solide + plan.
| Données | le plan est | la section |
|---|---|---|
| ∥ à la base | la forme de la base | |
| ∥ à l'axe | un rectangle |
5. Modéliser un objet réel
On remplace l'objet par le solide qui lui ressemble le plus, en oubliant les poignées, les creux et les bosses. ⭐ C'est ce geste qui rend les formules utiles : on ne calcule jamais le volume d'une boîte de conserve, on calcule celui d'un cylindre.
| Données | objet | modèle |
|---|---|---|
| boîte de conserve | cylindre | |
| ballon | boule | |
| cornet de glace | cône | |
| tente canadienne | prisme |
Selon ce que l'on cherche : Solides et représentations
On me montre un solide
Je compte les bases, je regarde leur forme, puis ce qui les relie. Le nom en découle.
On me donne des vues
La vue de dessus donne la base, celle de face dit comment le solide monte. Une seule vue ne suffit presque jamais.
On me demande un patron
Je compte les faces et je note leur forme : le patron a exactement ces morceaux-là. Sauf la boule, qui n'en a pas.
On me parle d'une coupe
Je regarde l'orientation du plan. Parallèle à la base, la section a la forme de la base — plus petite s'il s'agit d'un cône.
Exemples corrigés : Solides et représentations
Deux vues, un solide
Un solide vu de dessus donne un disque, et vu de face un triangle.
De quel solide s'agit-il ?
disque dessus, triangle de face
La vue de dessus donne la forme de la BASE : ici un disque, donc une base ronde. La vue de face dit comment le solide monte : un triangle signifie qu'il se termine en POINTE. Une base ronde et une pointe : c'est un CÔNE. ⚠️ La vue de dessus seule ne suffisait pas. Un disque vu de dessus peut être un cylindre, un cône ou une boule — c'est la seconde vue qui tranche. Le cylindre aurait donné un rectangle de face, la boule un disque.
Compter ce qu'on ne voit pas
On dessine un cube en perspective cavalière.
Combien a-t-il de faces, d'arêtes et de sommets ?
on n'en voit que 3 faces sur 6
Un cube a 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. On compte par groupes pour ne rien oublier : le dessus, le dessous, et les quatre côtés font 6 faces. Pour les arêtes : 4 en haut, 4 en bas, 4 verticales, soit 12. Pour les sommets : 4 en haut, 4 en bas, soit 8. ⚠️ Sur le dessin, on ne VOIT que 3 faces, 9 arêtes et 7 sommets : le reste est derrière. C'est là qu'est l'erreur, et c'est pour cela que les arêtes cachées se dessinent en pointillés — pour qu'on puisse les compter. ⭐ Un pavé droit a exactement les mêmes nombres : seule la forme des faces diffère.
Pourquoi les cartes du monde sont fausses
On cherche le patron d'une boule.
Combien de morceaux a-t-il ?
aucune face plane, donc aucun patron
Aucun : la boule N'A PAS de patron. Un patron suppose des faces planes qu'on déplie. Or une boule n'a aucune face plane, aucune arête, aucun sommet — il n'y a rien à déplier. ⭐ Ce n'est pas une curiosité scolaire : c'est la raison pour laquelle aucune carte du monde n'est exacte. Toute mise à plat d'une sphère déforme quelque chose — les surfaces, les angles ou les distances —, et chaque projection choisit ce qu'elle sacrifie. La carte la plus répandue conserve les angles, ce qui est commode pour naviguer, mais dilate énormément les zones proches des pôles : le Groenland y paraît aussi grand que l'Afrique, alors qu'il en fait environ le quatorzième.
Pièges à éviter : Solides et représentations
- Reconnaître un solide à son allure. On compte d'abord les bases et on regarde leur forme.
- Croire qu'un cube n'est pas un pavé droit. C'est un pavé dont toutes les faces sont des carrés.
- Oublier les faces cachées en comptant. Sur un cube en perspective, on n'en voit que 3 sur 6.
- Identifier un solide sur une seule vue. Un disque vu de dessus peut être trois solides différents.
- Mesurer sur une perspective cavalière. Elle ment sur les longueurs et les angles qui fuient.
- Chercher un patron à la boule. Elle n'en a aucun, et c'est ce qui rend toute carte du monde fausse.
- Croire qu'une section parallèle à la base d'un CÔNE a la taille de la base. Elle est plus petite.
À retenir : Solides et représentations
- Un solide se reconnaît à ses BASES et à ses faces latérales, jamais à son allure.
- Les sept solides du programme : cube, pavé droit, prisme, cylindre, cône, boule, pyramide.
- Un cube est un pavé droit particulier, comme un carré est un rectangle — inclusion à sens unique.
- Une vue est une ombre : elle aplatit. Deux vues suffisent presque toujours, une seule presque jamais.
- Un patron a exactement autant de morceaux que le solide a de faces. La boule n'en a aucun.
- La perspective cavalière ment sur les longueurs et les angles qui fuient, jamais sur le parallélisme.
- Une section parallèle à la base a la forme de la base — plus petite pour un cône.
- Cube et pavé droit ont tous deux 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets.
Exercices corrigés : Solides et représentations
1. Quel solide a deux bases identiques et parallèles reliées par des rectangles ?
Voir la correction
Un prisme droit. Si les bases sont des rectangles, c'est un pavé droit.
2. Quel solide n'a ni arête, ni sommet, ni face plane ?
Voir la correction
La boule. C'est ce qui la rend unique parmi les sept.
3. Un cube est-il un pavé droit ? Un pavé droit est-il un cube ?
Voir la correction
Oui à la première : ses six faces sont des carrés, donc des rectangles. Non à la seconde : une boîte à chaussures est un pavé et n'est pas un cube.
4. Quelle est la vue de dessus d'un cylindre ? Et sa vue de face ?
Voir la correction
Un disque de dessus, un rectangle de face.
5. Un solide donne un disque de dessus ET un disque de face. Lequel est-ce ?
Voir la correction
Une boule — le seul solide dont toutes les vues sont identiques.
6. De quoi est fait le patron d'une pyramide à base carrée ?
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D'un carré et de quatre triangles, soit cinq morceaux — autant que de faces.
7. En perspective cavalière, un carré qui fuit vers l'arrière est dessiné comment ?
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Comme un parallélogramme. Ses angles droits ne sont plus droits, mais ses côtés opposés restent parallèles.
8. Pourquoi ne mesure-t-on jamais sur un dessin en perspective ?
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Parce qu'il déforme les longueurs et les angles qui fuient. Seul le parallélisme y est fiable — c'est pour cela que les cotes sont écrites en chiffres.
9. On coupe un cylindre par un plan parallèle à son axe. Quelle est la section ?
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Un rectangle. Parallèlement à la base, la même coupe donnerait un disque : c'est l'orientation qui décide.
10. On coupe un cône par un plan parallèle à sa base. Quelle est la section ?
Voir la correction
Un disque, mais PLUS PETIT que la base. La forme se conserve, la taille non — c'est ce qui distingue le cône du cylindre.
11. Combien un prisme à base triangulaire a-t-il de faces et de sommets ?
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5 faces — 2 triangles et 3 rectangles — et 6 sommets, 3 en haut et 3 en bas.
12. Par quel solide modélise-t-on une tente canadienne ? Et un cornet de glace ?
Voir la correction
Un prisme droit à base triangulaire pour la tente, un cône pour le cornet.
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