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MathssecondeFiche de cours

Variations et extremumscours et exercices corrigés de maths 2nde

Un tableau de variations tient en deux flèches et trois nombres, et pourtant il dit tout : où la fonction monte, où elle descend, et quelle est la plus grande valeur qu'elle atteint. C'est le résumé d'une courbe, écrit en une ligne.

Mots clésCroissante, décroissante, maximum, minimum, extremum

Le secretLe sens change là où se trouve l'extremum

OutilLe tableau de variations

À quoi ça sert : Variations et extremums

La température d'une journée à Saint-Denis monte du lever du soleil jusqu'en début d'après-midi, puis redescend jusqu'au matin suivant. Un tableau de variations le dit en une ligne : croissante jusqu'à 14 h, décroissante ensuite, avec un maximum de 29 °C atteint à 14 h.

Un peu d'histoire : Variations et extremums

Avant le calcul différentiel, on cherchait les maximums au cas par cas, par des astuces géométriques. Fermat, vers 1636, remarque que la courbe « s'aplatit » près d'un extremum — l'idée qui deviendra la dérivée, et qui fera du tableau de variations un outil systématique.

Définition : Variations et extremums

Une fonction est CROISSANTE sur un intervalle si, quand $x$ augmente, $f (x)$ augmente aussi : l'ordre est conservé. Elle est DÉCROISSANTE si l'ordre s'inverse. Le tableau de variations résume ces sens par des flèches, et donne les valeurs atteintes aux bornes.

f croît puis décroît

La flèche monte jusqu'en

1

, puis redescend. La fonction atteint

4

x = 1

: c'est son maximum.

Propriétés : Variations et extremums

L'ordre des images

Croissante : $a < b$ donne $f (a) < f (b)$ , l'ordre est CONSERVÉ. Décroissante : il s'INVERSE. C'est ce qui permet de comparer deux images sans les calculer.

Croissante : l'ordre tient

L'extremum est une ORDONNÉE

Au changement de sens, la fonction atteint un extremum. L'abscisse dit OÙ il est atteint, l'ordonnée dit COMBIEN il vaut — confondre les deux est l'erreur la plus fréquente.

Croissante n'est pas positive

Le sens de variation et le signe sont deux lectures du même dessin, et elles ne disent pas la même chose : une courbe peut monter en restant sous l'axe des abscisses.

Le tableau résume la courbe

Deux flèches et trois nombres remplacent tout le dessin. On y lit le sens, les extremums, et les valeurs aux bornes de l'intervalle d'étude.

Méthode : Variations et extremums

1. Je repère les changements de sens

Sur la courbe, je cherche les endroits où elle cesse de monter pour descendre, ou l'inverse. Chacun donne une colonne du tableau.

Tableau de valeurs

x	-1	0	1	2	3
f(x)	0	3	4	3	0

2. Je dresse le tableau

Les abscisses de ces changements, plus les bornes de l'intervalle, forment la ligne du haut. Entre elles, une flèche par intervalle.

Tableau de valeurs

x	-1	1	3
f(x)	0	4	0

3. Je lis l'extremum

Au sommet d'une flèche montante suivie d'une descendante : un maximum. Sa valeur est l'ORDONNÉE écrite à cet endroit.

Tableau de valeurs

x	0	1	2
f(x)	3	4	3

Selon ce que l'on cherche : Variations et extremums

Comparer sans calculer

Si $f$ croît sur $[0; 6]$ , alors $f (2) < f (5)$ — sans connaître ni l'une ni l'autre valeur.

Croissante sur [0 ; 6]

Trouver un maximum

Le tableau le donne directement : c'est la valeur au sommet, atteinte à l'abscisse écrite au-dessus.

Maximum 4 en 1

Lire un signe de dérivée

En première, la ligne du haut donnera le signe de $f^{'}$ : positif quand $f$ monte, négatif quand elle descend.

Exemples corrigés : Variations et extremums

Comparer deux images

$f$ est croissante sur $[0; 10]$ .

Comparer $f (3)$ et $f (7)$ .

Tableau de valeurs

x	0	3	7	10
f(x)	1	4	8	11

Les deux nombres appartiennent à $[0; 10]$ , et $3 < 7$ . Comme $f$ croît, l'ordre est CONSERVÉ : $f (3) < f (7)$ . On conclut sans calculer une seule image.

Le sens s'inverse

$g$ est décroissante sur $[- 4; 0]$ .

Comparer $g (- 3)$ et $g (- 1)$ .

Tableau de valeurs

x	-4	-3	-1	0
f(x)	9	7	3	1

$- 3 < - 1$ , mais $g$ DÉCROÎT : l'ordre s'inverse, donc $g (- 3) > g (- 1)$ . Le tableau le confirme, $7 > 3$ — attention, sur les négatifs le réflexe se trompe souvent.

Lire un maximum

$h$ croît sur $[- 3; 1]$ puis décroît sur $[1; 5]$ , avec $h (1) = 4$ .

Quel est le maximum de $h$ , et où est-il atteint ?

Tableau de valeurs

x	-3	1	5
f(x)	-2	4	0

Le changement de sens a lieu en $x = 1$ , et la fonction y vaut $4$ . Le MAXIMUM vaut $4$ — c'est l'ordonnée — et il est ATTEINT EN $1$ — c'est l'abscisse. Les deux nombres ne jouent pas le même rôle.

Monter sans être positive

$u$ croît sur $[- 1; 5]$ , avec $u (- 1) = - 2$ et $u (5) = 4$ .

$u$ est-elle positive sur tout l'intervalle ?

Tableau de valeurs

x	-1	1	3	5
f(x)	-2	0	2	4

Non. Elle MONTE partout, mais elle part de $- 2$ : elle reste négative jusqu'à s'annuler en $1$ , puis devient positive. Croissante et positive sont deux choses différentes.

Pièges à éviter : Variations et extremums

⛔ CROISSANTE n'est pas POSITIVE. Une courbe peut monter en restant tout entière sous l'axe des abscisses.
⛔ Un EXTREMUM est une ORDONNÉE. L'abscisse dit où il est atteint, l'ordonnée dit combien il vaut — c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
⛔ Sur une fonction DÉCROISSANTE, l'ordre des images s'INVERSE. Le réflexe « plus grand donne plus grand » se trompe une fois sur deux.
⛔ Une fonction n'est croissante que SUR UN INTERVALLE. Dire « $f$ est croissante » sans préciser où ne veut rien dire.
⛔ Un tableau de variations ne donne PAS les valeurs entre deux bornes : il dit seulement dans quel sens on va de l'une à l'autre.

À retenir : Variations et extremums

Croissante : $a < b$ donne $f (a) < f (b)$ — l'ordre est conservé.
Décroissante : $a < b$ donne $f (a) > f (b)$ — l'ordre s'inverse.
Le sens change exactement là où se trouve un extremum.
Un maximum est la plus grande ORDONNÉE atteinte ; son abscisse dit seulement où.
Le tableau se lit de gauche à droite, comme la courbe.
Comparer deux images sans les calculer : c'est à cela que sert le sens de variation.

Exercices corrigés : Variations et extremums

1. $f$ est croissante sur $[0; 8]$ . Comparer $f (2)$ et $f (6)$ .
Voir la correction
$2 < 6$ et les deux sont dans $[0; 8]$ . La fonction croît, donc l'ordre est conservé : $f (2) < f (6)$ .
2. $g$ est décroissante sur $[1; 9]$ . Comparer $g (3)$ et $g (8)$ .
Voir la correction
$3 < 8$ , mais $g$ décroît : l'ordre s'INVERSE. Donc $g (3) > g (8)$ .
3. $h$ est décroissante sur $[- 5; - 1]$ . Comparer $h (- 4)$ et $h (- 2)$ .
Voir la correction
$- 4 < - 2$ — on compare bien les antécédents, pas leurs valeurs absolues. Comme $h$ décroît, $h (- 4) > h (- 2)$ .
4. Une fonction croît sur $] - \infty; 2]$ puis décroît sur $[2; + \infty [$ . Que se passe-t-il en $x = 2$ ?
Voir la correction
Le sens change : la fonction y atteint un MAXIMUM. Elle monte jusqu'en $2$ , puis redescend.
5. Une fonction décroît puis croît. Le changement de sens donne un maximum ou un minimum ?
Voir la correction
Un MINIMUM : la fonction descend jusqu'à un creux, puis remonte. Le creux est la plus petite valeur atteinte.
6. Dans un tableau de variations, que signifie une flèche qui descend ?
Voir la correction
Que la fonction est DÉCROISSANTE sur cet intervalle : quand $x$ augmente, $f (x)$ diminue.
7. Un tableau donne $f (- 1) = 3$ et $f (4) = 9$ , avec une flèche montante entre les deux. Que vaut $f (2)$ ?
Voir la correction
On ne peut pas le savoir. Le tableau dit seulement que $f (2)$ est compris entre $3$ et $9$ — il ne donne aucune valeur intermédiaire.
8. $f$ croît sur $[- 2; 3]$ puis décroît sur $[3; 7]$ , et $f (3) = 10$ . Quel est le maximum de $f$ ?
Voir la correction
Le maximum vaut $10$ — c'est l'ordonnée, la valeur atteinte. Il est atteint EN $x = 3$ , qui est l'abscisse. Répondre $3$ serait confondre les deux.
9. Une fonction croît sur $[0; 5]$ avec $f (0) = - 4$ et $f (5) = - 1$ . Est-elle positive ?
Voir la correction
Non : elle monte, mais elle reste NÉGATIVE sur tout l'intervalle, de $- 4$ à $- 1$ . Croissante ne veut pas dire positive.
10. Peut-on dire « $f$ est croissante » sans autre précision ?
Voir la correction
Non. Une fonction est croissante SUR UN INTERVALLE. La fonction carré, par exemple, décroît sur les négatifs et croît sur les positifs : dire qu'elle est croissante, sans préciser où, est faux.

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