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MathssecondeFiche de cours

Les identités remarquablescours et exercices corrigés de maths 2nde

Trois égalités, et tout un chapitre : elles se lisent de gauche à droite pour DÉVELOPPER, de droite à gauche pour FACTORISER. Savoir dans quel sens on va, c'est déjà la moitié du travail.

Mots clésDévelopper, factoriser, double produit, conjugué

Le secretLe double produit

2 ab

, qu'on oublie

OutilLes trois identités, dans les deux sens

À quoi ça sert : les identités remarquables

Un jardin carré de $x$ mètres de côté est agrandi de $3$ m dans les deux directions. Sa nouvelle aire n'est pas $x^{2} + 9$ : elle vaut $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ . Les $6 x$ oubliés sont les deux bandes ajoutées le long des côtés — le double produit a une surface bien réelle.

Un peu d'histoire : les identités remarquables

Les Babyloniens résolvaient déjà des problèmes par « complétion du carré », mille ans avant notre ère — sans écriture algébrique, en raisonnant sur des aires. Al-Khwârizmî, au IXᵉ siècle, en fait une méthode générale ; les lettres $a$ et $b$ , elles, n'arriveront qu'avec Viète, au XVIᵉ.

Définition : les identités remarquables

Pour tous nombres $a$ et $b$ : $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ , et $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ . Ces égalités sont vraies TOUJOURS — pour des nombres, des lettres, et aussi pour des racines carrées.

Les trois identités

Données		(a+b)²	(a−b)²	(a−b)(a+b)
égale	a² + 2ab + b²	a² − 2ab + b²	a² − b²

Les deux premières ont TROIS termes, la troisième n'en a que deux — c'est elle qui fait disparaître le double produit.

Propriétés : les identités remarquables

Le carré d'une somme

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ . ⛔ Ce n'est PAS $a^{2} + b^{2}$ : il manque le double produit $2 ab$ , et c'est l'erreur la plus fréquente du programme.

49 ≠ 25 : le double produit manque

Données		(3+4)²	3² + 4²
vaut	49	25

Le carré d'une différence

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ . Seul le double produit change de signe : le terme $b^{2}$ , lui, reste POSITIF — c'est un carré.

Données		a²	−2ab	+b²
(x−5)²	x²	−10x	+25

La différence de deux carrés

$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ . Le double produit s'annule de lui-même : c'est la seule identité dont le résultat n'a que deux termes.

Deux termes, pas trois

Données		(x−3)(x+3)
égale	x² − 9

Avec des racines carrées

Elles marchent aussi sur les racines. Le carré d'une somme en fait APPARAÎTRE une ; le produit conjugué la fait DISPARAÎTRE — car $(3)^{2} = 3$ .

Elle apparait / elle disparait

Données		(2+√3)²	(2+√3)(2−√3)
égale	7 + 4√3	1

Méthode : les identités remarquables

1. Je reconnais la forme

Deux termes entre parenthèses, le tout au carré ? C'est une des deux premières. Un produit de la forme somme × différence ? C'est la troisième.

Données	expression	(x+7)²	(x−7)²	(x−7)(x+7)
identité	1re	2e	3e

2. J'identifie $a$ et $b$

$a$ est ce qui est au début, $b$ ce qui suit. Dans $(3 x + 2)^{2}$ : $a = 3 x$ et $b = 2$ — attention, $a^{2}$ vaut alors $9 x^{2}$ , pas $3 x^{2}$ .

Données		a	b	a²	2ab	b²
(3x+2)²	3x	2	9x²	12x	4

3. Je choisis mon sens

Développer : je pars de la parenthèse. Factoriser : je pars de la somme et je reconnais les carrés. Le contrôle demande souvent le SECOND.

Données		développer	factoriser
x² − 16	—	(x−4)(x+4)

Selon ce que l'on cherche : les identités remarquables

Factoriser

$x^{2} + 10 x + 25$ : je reconnais $x^{2}$ , $5^{2}$ , et $2 \times x \times 5$ . C'est $(x + 5)^{2}$ .

Les deux du contrôle

Données		x² + 10x + 25	9x² − 16
factorisé	(x+5)²	(3x−4)(3x+4)

Calculer de tête

$10 1^{2} = (100 + 1)^{2} = 10000 + 200 + 1 = 10201$ . Et $99 \times 101 = (100 - 1) (100 + 1) = 9999$ .

Données		101²	99²	99 × 101
vaut	10 201	9 801	9 999

Faire disparaître une racine

$(3 + 2) (3 - 2) = 9 - 2 = 7$ . Le produit conjugué transforme une écriture avec racine en un entier.

La racine s'en va

Données		(3+√2)(3−√2)	(√5−1)(√5+1)
vaut	7	4

Exemples corrigés : les identités remarquables

Développer

$(2 x + 5)^{2}$ .

Développer et réduire.

Données		a²	2ab	b²
vaut	4x²	20x	25

Ici $a = 2 x$ et $b = 5$ . Donc $a^{2} = 4 x^{2}$ (et non $2 x^{2}$ ), $2 ab = 2 \times 2 x \times 5 = 20 x$ , et $b^{2} = 25$ . Résultat : $4 x^{2} + 20 x + 25$ .

Avec une racine

$(2 + 3)^{2}$ .

Développer.

Données		a²	2ab	b²
vaut	4	4√3	3

$a = 2$ et $b = 3$ . On a $a^{2} = 4$ , $2 ab = 2 \times 2 \times 3 = 43$ , et $b^{2} = (3)^{2} = 3$ . Total : $4 + 43 + 3 = 7 + 43$ . ⭐ La racine RESTE, car le double produit en contient une.

Le produit conjugué

$(2 + 3) (2 - 3)$ .

Calculer.

Données		a²	b²	a² − b²
vaut	4	3	1

C'est la troisième identité, avec $a = 2$ et $b = 3$ : le résultat vaut $a^{2} - b^{2} = 4 - 3 = 1$ . ⭐ Ici la racine DISPARAÎT, car il n'y a pas de double produit — c'est tout l'intérêt du conjugué.

La question du contrôle

$9 x^{2} - 16$ .

Factoriser.

Données		9x²	16
est le carré de	3x	4

On reconnaît une différence de deux carrés : $9 x^{2} = (3 x)^{2}$ et $16 = 4^{2}$ . Donc $9 x^{2} - 16 = (3 x - 4) (3 x + 4)$ .

Pièges à éviter : les identités remarquables

⛔ $(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ . Il manque le DOUBLE PRODUIT $2 ab$ — l'erreur la plus fréquente du programme. Contrôle imparable : $(3 + 4)^{2} = 49$ , alors que $3^{2} + 4^{2} = 25$ .
⛔ Dans $(a - b)^{2}$ , le terme $b^{2}$ reste POSITIF. Seul le double produit change de signe : un carré n'est jamais négatif.
⛔ $a$ n'est pas toujours une lettre seule. Dans $(3 x + 2)^{2}$ , $a = 3 x$ donc $a^{2} = 9 x^{2}$ — pas $3 x^{2}$ .
⛔ $a^{2} + b^{2}$ ne se factorise PAS. Seule la DIFFÉRENCE de deux carrés se factorise : $x^{2} + 9$ reste tel quel.
⛔ Une racine ne disparaît que dans le produit conjugué. $(2 + 3)^{2}$ la garde — $7 + 43$ — parce que le double produit en contient une.

À retenir : les identités remarquables

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ — trois termes.
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ — seul le milieu change de signe.
$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ — deux termes seulement.
De gauche à droite : je développe. De droite à gauche : je factorise.
Pour factoriser, je cherche deux CARRÉS et je vérifie le double produit.
Le produit conjugué fait disparaître une racine : $(3 + 2) (3 - 2) = 7$ .

Exercices corrigés : les identités remarquables

1. Développer $(x + 6)^{2}$ .
Voir la correction
$a = x$ , $b = 6$ : $x^{2} + 2 \times x \times 6 + 36 = x^{2} + 12 x + 36$ .
2. Développer $(4 x + 3)^{2}$ .
Voir la correction
$a = 4 x$ donc $a^{2} = 16 x^{2}$ — pas $4 x^{2}$ . Puis $2 ab = 24 x$ et $b^{2} = 9$ : $16 x^{2} + 24 x + 9$ .
3. Développer $(x - 7)^{2}$ .
Voir la correction
$x^{2} - 14 x + 49$ . ⚠️ Le $49$ est POSITIF : c'est un carré, seul le double produit porte le signe moins.
4. Développer $(x - 5) (x + 5)$ .
Voir la correction
C'est la troisième identité : $x^{2} - 25$ . Le double produit s'annule, il ne reste que deux termes.
5. Factoriser $x^{2} - 49$ .
Voir la correction
Une différence de deux carrés : $x^{2} - 7^{2} = (x - 7) (x + 7)$ .
6. Factoriser $9 x^{2} - 16$ .
Voir la correction
$9 x^{2} = (3 x)^{2}$ et $16 = 4^{2}$ , donc $9 x^{2} - 16 = (3 x - 4) (3 x + 4)$ .
7. Calculer $10 2^{2}$ de tête.
Voir la correction
$(100 + 2)^{2} = 10000 + 400 + 4 = 10404$ . Le double produit vaut $2 \times 100 \times 2 = 400$ .
8. Peut-on factoriser $x^{2} + 16$ ?
Voir la correction
Non. Seule la DIFFÉRENCE de deux carrés se factorise. Une somme de deux carrés reste telle quelle.
9. Développer $(1 + 2)^{2}$ .
Voir la correction
$a = 1$ , $b = 2$ : $1 + 22 + 2 = 3 + 22$ . La racine reste, portée par le double produit.
10. Calculer $(7 - 2) (7 + 2)$ .
Voir la correction
Produit conjugué : $a^{2} - b^{2} = (7)^{2} - 2^{2} = 7 - 4 = 3$ . La racine a disparu — il n'y a pas de double produit.

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