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MathssecondeFiche de cours

Les vecteurs du plancours et exercices corrigés de maths 2nde

Un vecteur n'est pas un point : c'est un DÉPLACEMENT. Il ne dit pas où l'on est, il dit de combien on bouge et dans quelle direction. Deux flèches à l'autre bout de la figure peuvent donc être le même vecteur — et c'est exactement ce qui rend Chasles si puissant.

Mots clésDirection, sens, norme, Chasles, colinéaires

Le secret

A B - A C = CB

, et non

BC

OutilChasles, dans les deux sens

À quoi ça sert : les vecteurs du plan

Un avion vole vers l'ouest à $800$ km/h et rencontre un vent du sud à $60$ km/h. Sa trajectoire réelle n'est ni l'une ni l'autre : c'est la SOMME des deux vecteurs vitesse, et le pilote doit corriger son cap pour compenser. C'est exactement la relation de Chasles, appliquée à des vitesses plutôt qu'à des points. Les vecteurs sont nés de là — de la nécessité de composer deux effets qui agissent en même temps.

Un peu d'histoire : les vecteurs du plan

L'idée de composer deux déplacements est très ancienne — Aristote parlait déjà de mouvements combinés — mais le vecteur comme objet mathématique n'apparaît qu'au XIXᵉ siècle. Michel Chasles, dont la relation porte le nom, publie en 1852 ; Hermann Grassmann avait posé les bases d'une « théorie de l'extension » dès 1844, dans un livre que presque personne ne comprit à l'époque. Le mot « vecteur » vient du latin vehere, « transporter » — ce qui décrit bien ce que fait un déplacement.

Définition : les vecteurs du plan

Le vecteur $A B$ est le déplacement qui mène de $A$ à $B$ . Il est défini par trois données seulement : sa DIRECTION (celle de la droite $(A B)$ ), son SENS (de $A$ vers $B$ ) et sa NORME $∥ A B ∥$ , qui est la longueur $A B$ . ⭐ Aucune de ces trois données ne dit OÙ se trouve le vecteur : il n'a pas de position.

Les vecteurs AB et BA

Données		direction	sens	norme
AB	celle de (AB)	de A vers B	longueur AB
BA	la même	l'inverse	la même

⚠️ Dans les tableaux de cette fiche, les vecteurs sont écrits en lettres nues : « AB » désigne

A B

. Une seule des trois données change entre

A B

B A

— le sens. C'est pour cela qu'ils sont opposés et non égaux, et c'est la source de la moitié des erreurs du chapitre.

Propriétés : les vecteurs du plan

Deux vecteurs égaux, c'est un parallélogramme

$A B = C D$ signifie même direction, même sens, même norme — les deux flèches sont parallèles, orientées pareil, et de même longueur. ⭐ Le quadrilatère $A B D C$ est alors un parallélogramme : attention à l'ordre des lettres.

L'ordre des sommets change

Données	si	AB = CD	AB = DC
alors	ABDC est un parallélogramme	ABCD est un parallélogramme

La relation de Chasles

$A B + BC = A C$ : aller de $A$ à $B$ puis de $B$ à $C$ , c'est aller de $A$ à $C$ . La lettre du milieu DISPARAÎT — c'est le point de passage.

Le circuit fermé vaut le vecteur nul

Données		AB + BC	AB + BA	AB + BC + CA
vaut	AC	0	0

⛔ La différence retourne les lettres

$A B - A C = CB$ , et NON $BC$ . Soustraire un vecteur, c'est ajouter son opposé : $- A C = C A$ , donc $A B - A C = C A + A B = CB$ . L'ordre du résultat est l'inverse de celui qu'on lit.

Les deux vecteurs partent du même point

Données		AB − AC	erreur classique
vaut	CB	BC — l'opposé

En coordonnées : une soustraction

Si $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ , alors $A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ — l'arrivée MOINS le départ. Et dans un repère orthonormé, $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2}$ .

Arrivée moins départ

Données	A(1 ; 2)	B(4 ; 6)	AB	norme
calcul	—	—	(3 ; 4)	5

Méthode : les vecteurs du plan

1. Je cherche la lettre de passage

Dans une somme, deux vecteurs s'enchaînent quand l'arrivée du premier est le départ du second. Cette lettre-là disparaît.

Données		AB + BC	lettre commune
donne	AC	B, elle disparait

2. Je réorganise si besoin

Une somme se réordonne librement. $A B + C D + BC$ ne s'enchaîne pas tel quel — remis dans l'ordre, il devient $A B + BC + C D = A D$ .

Données	donné	AB + CD + BC	réordonné
puis	—	AB + BC + CD	AD

3. Je coupe quand je bloque

Chasles se lit aussi à l'envers : $A B = A M + MB$ pour N'IMPORTE quel point $M$ . Insérer un point de passage bien choisi débloque presque tous les exercices sans repérage.

Données		AB	coupé en M
vaut	—	AM + MB

Selon ce que l'on cherche : les vecteurs du plan

Prouver un parallélogramme

$A BC D$ est un parallélogramme si et seulement si $A B = D C$ . ⭐ C'est la deuxième preuve du programme, à côté de celle par les milieux des diagonales — et celle-ci ne demande aucun repère.

Deux preuves, au choix

Données	preuve	par les vecteurs	par les milieux
ABCD	AB = DC	[AC] et [BD] même milieu

Placer un point

Une égalité vectorielle DÉFINIT un point, et un seul. $A M = 2 A B$ place $M$ tel que $B$ soit le milieu de $[A M]$ ; $A M = - A B$ place $M$ symétrique de $B$ par rapport à $A$ .

Le coefficient dit où l'on tombe

Données	AM =	AB	2AB	−AB
M est	confondu avec B	B milieu de [AM]	symétrique de B

Prouver un alignement

$A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si $A B$ et $A C$ sont COLINÉAIRES. En coordonnées, on le teste par le déterminant $x y^{'} - x^{'} y = 0$ .

Nul : les vecteurs sont colinéaires

Données	u(2 ; 4)	v(1 ; 2)	déterminant
vaut	—	—	2×2 − 1×4 = 0

Exemples corrigés : les vecteurs du plan

Deux vecteurs opposés

Les vecteurs $A B$ et $B A$ .

Sont-ils égaux ?

Données		direction	sens	norme
identiques ?	oui	NON	oui

Non. Ils ont la même direction et la même norme, mais des sens opposés : $B A = - A B$ . ⭐ Leur somme vaut donc $0$ — on part de $A$ , on revient en $A$ .

Chasles avec un détour

$A B + C D + BC$ .

Simplifier.

Données	étape	réordonné	puis	puis
on obtient	AB + BC + CD	AC + CD	AD

Tel quel, rien ne s'enchaîne. Mais une somme se réordonne : $A B + BC + C D$ . Alors $A B + BC = A C$ , puis $A C + C D = A D$ . Le résultat est $A D$ — on part de la première lettre et on arrive à la dernière.

⛔ La différence

$A B - A C$ .

Simplifier.

Données		−AC	on réordonne	résultat
vaut	CA	CA + AB	CB

Soustraire, c'est ajouter l'opposé : $- A C = C A$ . Donc $A B - A C = A B + C A = C A + A B = CB$ . ⛔ Et non $BC$ : les deux vecteurs partent du même point $A$ , et le résultat va du SECOND vers le PREMIER.

Placer un point

$M$ est le point tel que $A M = 2 A B$ .

Où se trouve $M$ ?

Données		déplacement	distance	M
de A	même sens que AB	le double	B milieu de [AM]

On part de $A$ et on parcourt DEUX fois le déplacement qui mène à $B$ , dans le même sens. On arrive donc au-delà de $B$ , à la même distance : $A$ , $B$ , $M$ sont alignés dans cet ordre et $A B = BM$ . Autrement dit, $B$ est le milieu de $[A M]$ — et $M$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$ .

Pièges à éviter : les vecteurs du plan

⛔ $A B - A C = CB$ , et non $BC$ . Soustraire, c'est ajouter l'opposé, et l'opposé retourne les lettres. C'est le piège numéro un du chapitre.
⛔ $A B$ et $B A$ ne sont pas égaux : ils sont OPPOSÉS. Seul le sens change, mais ça suffit.
⛔ Un vecteur n'a pas de position. Deux flèches éloignées l'une de l'autre sont le même vecteur si direction, sens et norme coïncident — c'est même tout l'intérêt de la notion.
⛔ $A B = D C$ donne le parallélogramme $A BC D$ , mais $A B = C D$ donne $A B D C$ . L'ordre des sommets se lit sur l'égalité, il ne se devine pas.
⛔ Les coordonnées d'un vecteur sont l'ARRIVÉE MOINS LE DÉPART : $A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ . Dans l'autre sens, on obtient $B A$ .
⛔ Une norme n'est jamais négative : c'est une longueur. Si un calcul en donne une, c'est qu'on a oublié un carré.

À retenir : les vecteurs du plan

Un vecteur, c'est trois données : direction, sens, norme — et aucune position.
Chasles : $A B + BC = A C$ — la lettre du milieu disparaît.
Et à l'envers : $A B = A M + MB$ pour n'importe quel $M$ .
⛔ $A B - A C = CB$ — l'ordre s'inverse.
$A BC D$ parallélogramme $⟺$ $A B = D C$ .
Coordonnées : arrivée moins départ. Norme : $x^{2} + y^{2}$ , en repère orthonormé.

Exercices corrigés : les vecteurs du plan

1. Que peut-on dire de $A B$ et $B A$ ?
Voir la correction
Ils sont opposés : $B A = - A B$ . Même direction, même norme, sens contraires. Leur somme vaut $0$ .
2. On sait que $A B = D C$ . Quelle est la nature de $A BC D$ ?
Voir la correction
Un parallélogramme. Les côtés $[A B]$ et $[D C]$ sont parallèles, de même longueur et orientés pareil.
3. Simplifier $EF + FG$ .
Voir la correction
$EG$ , par Chasles : la lettre $F$ est le point de passage, elle disparaît.
4. Simplifier $A B + C D + BC$ .
Voir la correction
On réordonne en $A B + BC + C D$ , ce qui donne $A D$ . Une somme de vecteurs se réorganise librement.
5. Simplifier $MN - MP$ .
Voir la correction
$MN - MP = MN + PM = PM + MN = PN$ . ⛔ Et non $NP$ : c'est son opposé.
6. Simplifier $A B + BC + C A$ .
Voir la correction
$A C + C A = AA = 0$ . Le circuit est fermé : on revient au point de départ.
7. Où se trouve le point $M$ tel que $A M = - A B$ ?
Voir la correction
Le coefficient négatif retourne le sens : $M$ est de l'autre côté de $A$ , à la même distance que $B$ . Donc $A$ est le milieu de $[BM]$ .
8. Le point $M$ vérifie $A M = BC$ . Que peut-on dire de $A BCM$ ?
Voir la correction
C'est un parallélogramme : $A M = BC$ équivaut à $A B = MC$ , donc $[A B]$ et $[MC]$ sont parallèles et de même longueur.
9. Calculer les coordonnées de $A B$ avec $A (- 2; 3)$ et $B (1; - 1)$ .
Voir la correction
Arrivée moins départ : $(1 - (- 2); - 1 - 3) = (3; - 4)$ .
10. Calculer la norme du vecteur $u (3; - 4)$ en repère orthonormé.
Voir la correction
$∥ u ∥ = 3^{2} + (- 4)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ . Le carré efface le signe : une norme est toujours positive.

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