Un peu de maths · La rubrique du prof
Le corail du lagon
Un sous-marin le mesure sans le toucher — en tournant autour
Chaque image est une projection. Une seule ne suffit pas — mais en filmant sous tous les angles, la plus grande « ombre » donne la vraie taille. C'est le geste de Hong Wang (conjecture de Kakeya). ▶ voir la vidéo (2 min)
Le lagon vu du ciel — le sous-marin filme, tu lis la largeur
Angle de vue
25 °
Largeur filmée
19 cm
Longueur (max)
19 cm
Largeur (min)
19 cm
Tourne autour du corail (curseur ou « Faire le tour ») : la plus GRANDE largeur filmée révèle sa longueur, la plus PETITE sa largeur.
w(φ) = 2·√( A²·sin²(θ−φ) + B²·cos²(θ−φ) ) — la largeur filmée selon l'angle. Son maximum = la longueur (2A), son minimum = la largeur (2B). Le laser du sous-marin donne l'échelle (des pixels aux centimètres), sans quoi une projection reste ambiguë.
Ce que dit Hong Wang — voir sous toutes les directions
Une photo, c'est une projection : le corail en 3D devient une simple largeur à l'écran. Le problème : cette largeur dépend de l'angle. Un corail court vu de côté et un corail long vu presque dans son axe donnent la même image — une seule photo est ambiguë.
la vraie longueur = la plus grande largeur vue, sur toutes les directions
La sortie : regarder sous toutes les directions. En tournant tout autour, la caméra finit par voir le corail en entier (de profil) : cette plus grande largeur est sa longueur ; la plus petite (vue bout par bout) est sa largeur. Ce geste — projeter dans toutes les directions puis recoller — est exactement celui au cœur de la preuve de la conjecture de Kakeya, démontrée en 2025 par Hong Wang et Joshua Zahl. La conjecture est fermée ; l'idée, elle, tient dans un lagon.
Pourquoi une seule photo ne suffit pas — et pourquoi le laser est indispensable
- 🌀 L'ambiguïté. Vu dans son axe (φ = θ), un corail-segment « disparaît » (w = 0) ; vu de travers, il s'étale. Un seul cliché ne permet pas de démêler longueur et angle.
- 🔦 Le tour complet. Plusieurs directions lèvent l'ambiguïté : c'est de la tomographie. Le maximum donne la longueur, le minimum la largeur — deux mesures pour le prix d'un tour.
- 📏 La référence d'échelle. L'image donne des pixels, pas des centimètres. Le laser du sous-marin (une longueur connue dans le cadre) convertit l'un en l'autre — sans lui, on ne mesure rien.
La même idée sert au recensement des coraux et des oursins du lagon (science citoyenne), à l'imagerie médicale (le scanner tourne autour du corps) et à la vision par ordinateur.
🎯 Les défis du lagon — du CP à la Terminale
Coup de pouce : règle l'angle et lis la largeur filmée ; fais le tour et lis la plus grande largeur — la machine vérifie pour toi.
Défi 1
CP · CE1 — Le sous-marin filme le même corail sous deux angles : une photo montre 30 cm de large, l'autre 42 cm. La vraie longueur, c'est la plus GRANDE. Écris-la.
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42 > 30 : la vraie longueur est 42 cm — la photo la plus large montre le corail « en entier ».
Défi 2
CE2 · CM1 — Vu bien de côté, un corail montre 50 cm. Vu de biais, sa photo n'en montre que la moitié. Combien de cm sur la photo de biais ?
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50 ÷ 2 = 25 cm : de biais, on « rate » une partie de la longueur.
Défi 3
CM2 — Sur une photo le corail fait 36 cm ; en vrai il fait 48 cm. Combien de cm « manquent » sur la photo à cause de l'angle ?
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48 − 36 = 12 cm de longueur cachés par l'angle de vue.
Défi 4
6ᵉ · 5ᵉ — En tournant autour, tu relèves ces largeurs : 24, 39, 31, 45, 28 cm. Quelle est ta mesure de la LONGUEUR du corail ?
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Le maximum de {24 ; 39 ; 31 ; 45 ; 28} est 45 cm : c'est la longueur mesurée.
Défi 5
6ᵉ · 5ᵉ — Mêmes relevés : 24, 39, 31, 45, 28 cm. Cette fois, donne la LARGEUR du corail (la plus petite).
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Le minimum est 24 cm : vu « bout par bout », le corail montre sa largeur, pas sa longueur.
Défi 6
4ᵉ · 3ᵉ — Grâce au laser, 9 cm à l'écran représentent un corail de 45 cm. Combien de cm réels vaut 1 cm d'écran ?
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45 ÷ 9 = 5 : 1 cm à l'écran = 5 cm de vrai corail. Sans cette échelle, impossible de mesurer.
Défi 7
2ⁿᵈᵉ — De biais, la largeur filmée = longueur × sin(angle). Longueur 60 cm, sin(angle) = 0,5. Quelle largeur la caméra filme-t-elle ?
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60 × 0,5 = 30 cm. Le sinus mesure « de combien on voit le corail de travers ».
Défi 8
1ʳᵉ — La largeur filmée vaut w = L × |sin(θ − φ)|. Elle est MAXIMALE quand |sin| = 1. Pour L = 40 cm, quelle est cette largeur maximale ?
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w_max = 40 × 1 = 40 cm = L : la plus grande « ombre » redonne exactement la longueur. C'est le geste de Hong Wang.
Défi 9
Terminale — w(φ) = L·|sin(θ − φ)| s'annule quand φ = θ (on regarde le corail pile dans son axe). Vu ainsi, que vaut la largeur filmée d'un corail de 55 cm de long ?
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w = 55 × 0 = 0 : pile dans l'axe, un corail-segment « disparaît ». Voilà pourquoi UNE seule photo est ambiguë : il faut tourner autour.
Tu as compris ? À toi de t'entraîner :
🧮 Entraîne-toi avec le Coach Maths →Machine pédagogique : le corail est modélisé par une ellipse et la caméra par une projection orthographique (pas de perspective), pour que la largeur filmée soit exactement w(φ). Un vrai recensement de coraux combine plusieurs vues et une référence d'échelle, exactement pour la raison montrée ici — une seule projection est ambiguë. Le lien avec la conjecture de Kakeya (démontrée en 2025 par Hong Wang et Joshua Zahl) est une image : « regarder dans toutes les directions » ; la preuve, elle, est un théorème de mathématiques.