Calculer avec les fractions — cours de maths 4e
Additionner des fractions ne se fait pas comme les multiplier, et c'est là que tout se joue : pour l'addition, il faut des parts de même taille ; pour la multiplication, non. La 4e ajoute les deux dernières opérations — l'inverse, et la division.
À quoi ça sert : Calculer avec les fractions
À La Réunion, on calcule avec des fractions dès qu'on adapte une recette : un rougail prévu pour six quand on est quatre, c'est chaque quantité multipliée par , donc par . La division de fractions, elle, sert dès qu'on partage une matière : combien de portions d'un tiers de litre dans une bouteille d'un litre et demi, combien de planches de trois quarts de mètre dans une planche de six mètres. C'est toujours la même question — combien de fois ça rentre.
Un peu d'histoire : Calculer avec les fractions
La règle « diviser, c'est multiplier par l'inverse » a longtemps été enseignée sans être expliquée : au XIXe siècle, les manuels français la présentaient comme un tour de main à retenir. Le mathématicien indien Brahmagupta l'énonçait pourtant déjà au VIIe siècle, avec sa justification — et c'est aussi lui qui a le premier écrit des règles complètes pour calculer avec des nombres négatifs, en les appelant « dettes ».
Définition : Calculer avec les fractions
Calculer avec des fractions, c'est faire les quatre opérations sur des nombres écrits en quotient. Chaque opération a sa règle propre : l'addition exige des dénominateurs égaux, la multiplication n'exige rien, et la division se ramène toujours à une multiplication. Le résultat se simplifie à la fin.
Propriétés : Calculer avec les fractions
Additionner des parts de même taille
Quand les dénominateurs sont égaux, les parts ont la même taille : on les met bout à bout et on additionne les numérateurs. Le dénominateur, lui, ne bouge pas.
Le piège : + n'est pas
Additionner les dénominateurs donne , soit 0,4 — une somme plus PETITE que . C'est impossible. La bonne réponse est , obtenue en mettant au même dénominateur.
la « somme » serait plus petite qu'un des deux termes
Multiplier, c'est une part d'une part
On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Les dénominateurs se multiplient parce que les deux partages se superposent.
× = , soit
Une fraction d'une quantité
« de 20 » est une multiplication : × 20. En pratique, on divise par le dénominateur, puis on multiplie par le numérateur.
Opposé et inverse, à ne pas confondre
L'opposé change le signe et s'annule par l'addition. L'inverse retourne la fraction et s'annule par la multiplication : × = 1.
| Données | la fraction | son opposé | son inverse |
|---|---|---|---|
| 3/7 | −3/7 | 7/3 | |
| 3/5 | −3/5 | 5/3 | |
| ce qu'on annule | par + → 0 | par × → 1 |
Diviser, c'est compter combien ça rentre
Diviser par , c'est demander combien de quarts tiennent dans un demi. La réponse est 2 — et c'est bien × .
deux quarts tiennent dans un demi
La formule : Calculer avec les fractions
Pour diviser par une fraction non nulle
On retourne la SECONDE fraction, jamais la première, et la division devient une multiplication.
Méthode : Calculer avec les fractions
1. Mettre au même dénominateur
Pour additionner ou soustraire, on cherche un dénominateur commun — souvent le produit des deux — puis on réécrit chaque fraction avant de calculer. On ne touche aux numérateurs qu'après.
| Données | au départ | au même dénominateur |
|---|---|---|
| 1/2 | 3/6 | |
| 1/3 | 2/6 | |
| la somme | 5/6 |
2. Multiplier puis simplifier
On multiplie en ligne — numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux — sans chercher de dénominateur commun. Puis on simplifie le résultat, toujours à la fin.
3. Retourner pour diviser
On écrit la division, on retourne la SECONDE fraction, on remplace le signe ÷ par un ×, puis on applique la règle de la multiplication. Retourner la première est l'erreur la plus fréquente.
Selon ce que l'on cherche : Calculer avec les fractions
Additionner ou soustraire
On vérifie les dénominateurs. S'ils sont égaux, on additionne les numérateurs ; sinon, on met d'abord au même dénominateur.
Multiplier, ou prendre une part
On multiplie en ligne. Pour une fraction d'une quantité, on divise par le dénominateur puis on multiplie par le numérateur — c'est plus simple de tête.
Diviser
On remplace la division par la multiplication par l'inverse de la seconde fraction, puis on calcule et on simplifie.
Exemples corrigés : Calculer avec les fractions
Deux quarts et un quart
On veut calculer + .
Quel est le résultat ?
Les deux fractions ont le même dénominateur, 4 : leurs parts ont donc la même taille et on peut les mettre bout à bout. On additionne les numérateurs, 1 + 2 = 3, et on garde le dénominateur : le résultat est . ⚠️ Le dénominateur ne s'additionne pas — il dit la taille des parts, qui ne change pas.
Un produit à simplifier
On veut calculer × .
Quel est le résultat, sous sa forme la plus simple ?
× = , soit
On multiplie en ligne : les numérateurs entre eux, 2 × 3 = 6, et les dénominateurs entre eux, 3 × 5 = 15. Le résultat est . On simplifie ensuite en divisant en haut et en bas par 3 : = . ⚠️ On ne cherche PAS de dénominateur commun pour une multiplication — c'est la règle de l'addition, pas celle-ci.
Trois quarts de vingt
Une caisse contient 20 letchis. On en prend les .
Combien de letchis prend-on ?
« Les de 20 » signifie × 20. En pratique on divise d'abord par le dénominateur : 20 ÷ 4 = 5, ce qui donne la taille d'un quart. Puis on multiplie par le numérateur : 5 × 3 = 15. On prend donc 15 letchis. Contrôle : 15 est bien inférieur à 20, et supérieur à la moitié — ce qui est cohérent, puisque est plus grand que .
Pièges à éviter : Calculer avec les fractions
- Additionner les dénominateurs : + ne fait pas . Le dénominateur dit la TAILLE des parts — on ne peut additionner que des parts de même taille.
- Confondre opposé et inverse : l'opposé de est −, son inverse est . L'un s'annule par l'addition, l'autre par la multiplication.
- Oublier de simplifier à la fin : × donne , qui n'est pas la forme la plus courte. La bonne réponse est .
À retenir : Calculer avec les fractions
- On n'additionne que des fractions de même dénominateur : sinon, on les met d'abord au même dénominateur.
- Pour multiplier, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, puis on simplifie.
- Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse : on retourne la seconde fraction et on multiplie.
Exercices corrigés : Calculer avec les fractions
1. Un élève affirme que + = . A-t-il raison ? Justifie sans faire le calcul exact.
Voir la correction
Non. On peut le voir sans calculer : vaut 0,4, ce qui est plus PETIT que . Or une somme de deux nombres positifs est forcément plus grande que chacun d'eux. Il a additionné les dénominateurs, ce qui est interdit. La bonne méthode est de mettre au même dénominateur : = et = , donc la somme vaut .
2. Quel est l'inverse de , et quel est son opposé ?
Voir la correction
L'inverse s'obtient en échangeant numérateur et dénominateur : c'est . On le vérifie en multipliant, × = = 1. L'opposé, lui, s'obtient en changeant le signe : c'est −, et on le vérifie en additionnant, + (−) = 0.
3. Diviser par revient à multiplier par quoi ?
Voir la correction
Par , c'est-à-dire par l'inverse de . Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse : on retourne la SECONDE fraction et on remplace le signe ÷ par un ×.
4. Calculer de 30.
Voir la correction
« La moitié de 30 » s'écrit × 30. On divise par le dénominateur : 30 ÷ 2 = 15, puis on multiplie par le numérateur : 15 × 1 = 15. Le résultat est 15.
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