Les expressions littérales — cours de maths 4e
Une lettre dans un calcul n'est pas un mystère : c'est un nombre qu'on ne connaît pas encore, et qui vaut la même chose d'un bout à l'autre de l'expression. Savoir lire, traduire, calculer et réduire une expression littérale ouvre tout le reste de l'algèbre de 4ᵉ.
À quoi ça sert : les expressions littérales
Une expression littérale, c'est une formule qui attend ses nombres. À La Réunion, c'est le tarif d'un taxi — une prise en charge fixe plus un prix au kilomètre —, la facture d'électricité avec son abonnement et sa consommation, ou le prix d'une sortie scolaire : un car à louer, plus tant par élève. Écrire la formule une fois permet de répondre pour vingt élèves comme pour cinquante, sans tout recommencer. C'est aussi ce que fait un tableur dans chacune de ses cellules.
Un peu d'histoire : les expressions littérales
Utiliser des lettres pour les nombres inconnus vient du mathématicien français François Viète, à la fin du XVIe siècle : avant lui, les problèmes s'énonçaient en phrases entières, et chaque type de problème avait sa recette. Le mot « algèbre », lui, vient de l'arabe « al-jabr », qui désigne le geste de remettre en place — celui qu'on fait en transposant un terme d'un côté à l'autre d'une égalité.
Définition : les expressions littérales
Une expression littérale est un calcul dans lequel une ou plusieurs lettres remplacent des nombres. La lettre désigne un nombre précis mais inconnu, et elle garde la même valeur partout dans l'expression. Écrire signifie « trois fois » : le signe de multiplication ne s'écrit pas devant une lettre.
trois contenus identiques mais inconnus, et deux objets visibles
Propriétés : les expressions littérales
Ce que chaque morceau dit
Dans , la lettre est , le coefficient est 3 — il dit combien de fois on prend — et 5 est le terme constant, qui ne dépend pas de .
| Données | le morceau | son nom | ce qu'il dit |
|---|---|---|---|
| x | la lettre | le nombre qu'on ne connaît pas | |
| 3 | le coefficient | combien de fois on prend x | |
| + 5 | le terme constant | il ne dépend pas de x |
Traduire une phrase
« Un nombre augmenté de 4 » s'écrit . On ajoute, donc le résultat est plus grand que — ce que ne dit pas du tout.
Donner une valeur à la lettre
Substituer, c'est remplacer la lettre par un nombre. Pour , l'expression devient , et les priorités s'appliquent : .
On n'additionne que ce qui est pareil
se réduit en : trois sacs et deux sacs font cinq sacs. Mais ne se réduit pas — un sac et une pièce ne sont pas la même chose.
cinq fois le même contenu : ça se compte
La formule : les expressions littérales
Écriture des produits
3 × x s'écrit 3x · x × x s'écrit x² · 1 × x s'écrit x
Le signe × disparaît devant une lettre, et le coefficient 1 ne s'écrit pas. C'est une convention d'écriture, pas un calcul.
Méthode : les expressions littérales
1. Lire
On repère d'abord la lettre, puis les coefficients qui la précèdent, puis les termes constants. Un terme est un morceau séparé des autres par un + ou un −, signe compris.
2. Réduire
On regroupe les termes semblables : les termes en ensemble, les nombres ensemble. On additionne les coefficients, et la lettre ne bouge pas. S'il n'y a rien de semblable, l'expression est déjà réduite.
| Données | l'expression | termes en x | termes constants |
|---|---|---|---|
| 3x + 2x | 3x et 2x → 5x | aucun | |
| 3x + 2 | 3x | 2 | |
| 5x + 4 − 2x | 5x et −2x → 3x | 4 |
3. Substituer
On réécrit l'expression en remplaçant chaque lettre par sa valeur, sans oublier de remettre le signe × qu'on avait supprimé. Puis on calcule en respectant les priorités.
Selon ce que l'on cherche : les expressions littérales
Écrire une formule
On traduit la situation mot à mot : « augmenté de » donne une addition, « fois » une multiplication, « de moins que » une soustraction. La lettre nomme ce qui varie.
Calculer une valeur
On remplace la lettre par la valeur donnée, puis on calcule. La même formule sert pour toutes les valeurs : c'est tout son intérêt.
Simplifier l'écriture
On réduit avant de substituer quand c'est possible : moins de termes, moins d'occasions de se tromper dans le calcul.
Exemples corrigés : les expressions littérales
Reconnaître les morceaux
On considère l'expression .
Quelle est la lettre, et que représente le 3 ?
| Données | le morceau | son nom | ce qu'il dit |
|---|---|---|---|
| x | la lettre | le nombre qu'on ne connaît pas | |
| 3 | le coefficient | combien de fois on prend x | |
| + 5 | le terme constant | il ne dépend pas de x |
La lettre est : c'est le nombre qu'on ne connaît pas encore. Le 3 est le coefficient de : il dit qu'on prend trois fois ce nombre. Enfin, 5 est le terme constant — il ne dépend pas de et ne changera pas, quelle que soit la valeur de la lettre.
De la phrase à l'écriture
On veut traduire : « un nombre augmenté de 4 ».
Quelle expression littérale écrit-on ?
« Augmenté de 4 » signifie qu'on AJOUTE 4 : l'expression est . ⚠️ L'erreur fréquente est d'écrire , qui signifie « quatre fois ». On peut le vérifier avec un nombre : pour , « augmenté de 4 » donne 14, alors que donnerait 40.
Pourquoi 3x + 2x fait 5x
On veut réduire , et on se demande pourquoi ne se réduit pas.
Comment l'expliquer ?
trois sacs plus deux sacs : cinq sacs
signifie « trois fois » et « deux fois » : ce sont des paquets du MÊME objet. Trois paquets plus deux paquets font cinq paquets, donc . On peut le vérifier avec un nombre : pour , on a , et . En revanche, dans , le 2 n'est pas un paquet de : les deux termes ne sont pas semblables, et l'expression est déjà réduite.
Pièges à éviter : les expressions littérales
- Écrire 4x au lieu de x + 4 : « augmenté de 4 » ajoute 4, il ne multiplie pas par 4. Le résultat doit être plus GRAND que x, pas quatre fois plus grand.
- Réduire 3x + 2 en 5x : on ne peut additionner que des termes semblables. Trois sacs et deux pièces ne font pas cinq de quelque chose.
- Oublier les priorités en substituant : pour x = 4, l'expression 3x + 2 vaut 3 × 4 + 2 = 14, et non 3 × 6 = 18.
À retenir : les expressions littérales
- Une expression littérale est un calcul où une lettre remplace un nombre qu'on ne connaît pas encore. La lettre vaut la même chose partout dans l'expression.
- Substituer, c'est remplacer la lettre par une valeur, puis calculer en respectant les priorités.
- On ne réduit que des termes SEMBLABLES : les termes en x avec les termes en x, les nombres avec les nombres.
Exercices corrigés : les expressions littérales
1. Dans l'expression , quelle est la lettre et quel est le terme constant ?
Voir la correction
La lettre est , c'est le nombre inconnu. Le terme constant est 5 : il ne dépend pas de . Le 3, lui, est le coefficient de .
2. Traduire par une expression littérale : « un nombre augmenté de 4 ».
Voir la correction
On écrit . « Augmenté de » indique une addition. Attention à ne pas écrire , qui voudrait dire « quatre fois » — un contrôle rapide avec suffit à trancher : 14 contre 40.
3. Calculer pour .
Voir la correction
On remplace par 4, en remettant le signe de multiplication : . La multiplication passe avant l'addition, donc . ⚠️ On ne calcule pas puis : ce serait ignorer les priorités.
4. Explique pourquoi peut se réduire en , mais pas .
Voir la correction
et sont des termes SEMBLABLES : ce sont des paquets du même objet . Trois paquets plus deux paquets font cinq paquets, donc . Dans , en revanche, le 2 n'est pas un paquet de — c'est un nombre seul. On ne peut pas additionner des choses de natures différentes, exactement comme on n'additionne pas trois sacs et deux pièces.
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