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Maths4eFiche de cours

Les identités remarquables — cours de maths 4e

Trois produits reviennent si souvent qu'on finit par connaître leur développement par cœur : le carré d'une somme, le carré d'une différence, et le produit d'une somme par la différence. Rien de neuf pourtant — ce sont des doubles distributivités qu'on a appris à reconnaître. Et une seule erreur les guette toutes : oublier le double produit.

Le mot cléUn carré est un produit par soi-même

Le gesteReconnaître la forme, puis développer

La règle d'orUn carré développé a TROIS termes

À quoi ça sert : les identités remarquables

Ces trois égalités sont d'abord des raccourcis de calcul mental, et de très bons. $10 1^{2}$ ne se pose pas : c'est $(100 + 1)^{2}$ , donc $10000 + 200 + 1 = 10201$ . Et $99 \times 101$ ne se pose pas non plus, puisque c'est $(100 - 1) (100 + 1)$ , c'est-à-dire $10000 - 1 = 9999$ . Le même découpage sert dès qu'on borde une surface carrée : un bassin carré de $x$ mètres de côté auquel on ajoute une margelle de 3 mètres gagne exactement deux bandes de $3 x$ et un coin de 9 mètres carrés — c'est le dessin de cette fiche, en vrai. Plus tard, en 3ᵉ puis au lycée, ces formes lues à l'envers servent à factoriser, donc à résoudre.

Un peu d'histoire : les identités remarquables

Le carré découpé de cette fiche est, mot pour mot, la proposition 4 du livre II des Éléments d'Euclide, vers 300 avant notre ère : couper une droite en deux, et le carré construit sur le tout vaut les deux carrés des morceaux plus deux fois le rectangle qu'ils forment. Il n'y avait ni lettres, ni signe égal, ni exposant : une identité remarquable était une figure, et la démonstration consistait à la découper. L'écriture $x^{2}$ , elle, est de René Descartes, en 1637.

Définition : les identités remarquables

Une identité remarquable est une égalité toujours vraie, quelle que soit la valeur des lettres, entre une forme factorisée fréquente et son développement. Il y en a trois en 4ᵉ. Elles ne demandent aucune règle nouvelle : $(x + 3)^{2}$ signifie $(x + 3) (x + 3)$ , et la double distributivité fait le reste. Ce qui est « remarquable », c'est seulement qu'on remarque la forme au premier coup d'œil et qu'on écrive le résultat sans passer par les quatre produits.

un carré de côté $x + 3$ , coupé en quatre morceaux

L'aire vaut

(x + 3)^{2}

d'un seul tenant. Découpée, elle vaut

x^{2}

, plus DEUX rectangles de

3 x

, plus les neuf carrés du coin :

x^{2} + 6 x + 9

. La longueur

x

est dessinée au hasard — on ne la connaît pas.

Propriétés : les identités remarquables

Un carré est un produit

$(x + 3)^{2}$ ne veut pas dire « $x^{2}$ et $3^{2}$ » : le carré d'une expression, c'est cette expression multipliée par elle-même. On écrit $(x + 3) (x + 3)$ , et on développe comme n'importe quel produit de deux parenthèses.

Données	×	x	+ 3
	x	x²	3x
	+ 3	3x	9

(x + 3)(x + 3) : les deux cases du milieu sont égales

Le double produit

Les quatre produits donnent $x^{2} + 3 x + 3 x + 9$ . Les deux termes du milieu sont IDENTIQUES : leur somme est le double produit, ici $6 x$ . Un carré développé a donc trois termes, jamais deux.

les deux termes du milieu sont égaux

Quand le milieu s'annule

Changez un seul signe et tout bascule : dans $(x - 5) (x + 5)$ , les deux termes du milieu deviennent $5 x$ et $- 5 x$ . Ils s'annulent, et il ne reste que $x^{2} - 25$ — une différence de deux carrés.

Données	×	x	+ 5
	x	x²	5x
	− 5	−5x	−25

(x − 5)(x + 5) : 5x et −5x s'annulent, il reste x² − 25

Trois formes à reconnaître

Deux parenthèses identiques : c'est un carré, et il y aura un double produit. Deux parenthèses qui ne diffèrent que par un signe : c'est une différence de carrés, et le milieu disparaîtra.

la forme	son nom	son développement
(x + 3)²	carré d'une somme	x² + 6x + 9
(x − 4)²	carré d'une différence	x² − 8x + 16
(x − 5)(x + 5)	différence de deux carrés	x² − 25

seule la 3e ligne perd son terme du milieu

La formule : les identités remarquables

Les trois identités

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ · $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ · $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

Les deux premières gardent un double produit ; seule la troisième le perd, parce que $+ ab$ et $- ab$ s'annulent. Dans $(a - b)^{2}$ , le terme du milieu est négatif mais le dernier reste positif.

Méthode : les identités remarquables

1. Reconnaître

On regarde les deux parenthèses. Identiques ? C'est un carré. Mêmes nombres mais signes contraires ? C'est une différence de carrés. Ni l'un ni l'autre ? C'est une double distributivité ordinaire, et il n'y a pas d'identité à chercher.

2. Réécrire en produit

On remplace le carré par le produit : $(x + 3)^{2}$ devient $(x + 3) (x + 3)$ . Cette ligne coûte trois secondes et rend l'oubli du double produit impossible, puisqu'on voit les deux parenthèses.

Données	×	x	+ 3
	x	x²	3x
	+ 3	3x	9

(x + 3)(x + 3) : les deux cases du milieu sont égales

3. Développer et réduire

On effectue les quatre produits, puis on regroupe les deux termes semblables du milieu. On vérifie enfin qu'il reste bien trois termes — ou deux seulement dans le cas de la différence de carrés.

Selon ce que l'on cherche : les identités remarquables

Développer plus vite

Une fois la forme reconnue, on écrit le développement en une ligne au lieu de quatre. C'est le seul vrai bénéfice de ces formules : du temps gagné sur un calcul qu'on sait déjà faire.

la forme	son nom	son développement
(x + 3)²	carré d'une somme	x² + 6x + 9
(x − 4)²	carré d'une différence	x² − 8x + 16
(x − 5)(x + 5)	différence de deux carrés	x² − 25

seule la 3e ligne perd son terme du milieu

Calculer de tête

$10 1^{2} = (100 + 1)^{2} = 10000 + 200 + 1$ . Et $99 \times 101 = (100 - 1) (100 + 1) = 10000 - 1$ . Les identités marchent avec des nombres, pas seulement avec des lettres.

101² = (100 + 1)²

Préparer la factorisation

Le tableau des formes se lit aussi de droite à gauche : voir $x^{2} - 49$ et reconnaître $(x - 7) (x + 7)$ , c'est déjà factoriser. C'est l'objet de la fiche suivante.

Données	×	x	+ 5
	x	x²	5x
	− 5	−5x	−25

(x − 5)(x + 5) : 5x et −5x s'annulent, il reste x² − 25

Exemples corrigés : les identités remarquables

Développer un carré

On veut développer $(x + 3)^{2}$ .

Quelle expression obtient-on ?

Données	×	x	+ 3
	x	x²	3x
	+ 3	3x	9

(x + 3)(x + 3) : les deux cases du milieu sont égales

On écrit d'abord le carré comme un produit : $(x + 3)^{2} = (x + 3) (x + 3)$ . Les quatre produits donnent $x^{2} + 3 x + 3 x + 9$ . Les deux termes du milieu sont semblables : $3 x + 3 x = 6 x$ . Le résultat est $x^{2} + 6 x + 9$ .

Quand il ne reste que deux termes

On veut développer $(x - 5) (x + 5)$ .

Pourquoi le résultat n'a-t-il que deux termes ?

Données	×	x	+ 5
	x	x²	5x
	− 5	−5x	−25

(x − 5)(x + 5) : 5x et −5x s'annulent, il reste x² − 25

Les quatre produits donnent $x^{2} + 5 x - 5 x - 25$ . Les deux termes du milieu sont opposés : $5 x - 5 x = 0$ , ils disparaissent. Il reste $x^{2} - 25$ . ⚠️ Attention à ne pas confondre avec $(x - 5)^{2}$ , qui vaut $x^{2} - 10 x + 25$ : là, les deux parenthèses sont identiques, donc les termes du milieu s'ajoutent au lieu de s'annuler.

L'erreur du carré

Un élève écrit $(x + 3)^{2} = x^{2} + 9$ .

Que manque-t-il, et comment le voir sans calculer ?

voilà ce qu'il a gardé : les deux coins seulement

Il manque le double produit, $6 x$ . Le dessin le montre d'un coup d'œil : l'élève n'a gardé que le carré $x^{2}$ et les neuf carrés du coin, alors que les deux rectangles valent $3 x$ chacun — soit la moitié de la figure. Le calcul le confirme : $(x + 3)^{2} = (x + 3) (x + 3) = x^{2} + 6 x + 9$ . ⭐ Et le test numérique tranche sans discussion : pour $x = 1$ , à gauche $(1 + 3)^{2} = 16$ , à droite $1 + 9 = 10$ .

Pièges à éviter : les identités remarquables

Oublier le double produit : (x + 5)² ne fait pas x² + 25, mais x² + 10x + 25. Le carré d'une somme n'est jamais la somme des carrés — les deux rectangles du dessin valent 5x chacun, et ils comptent.
Confondre le carré d'une différence et la différence de deux carrés : (x − 4)² fait x² − 8x + 16, alors que (x − 4)(x + 4) fait x² − 16. Deux parenthèses identiques, ou deux parenthèses de signes contraires : ce n'est pas la même chose.
Perdre le signe du double produit : dans (x − 4)², le terme du milieu est NÉGATIF (−8x), mais le dernier terme reste positif, puisque (−4) × (−4) = +16.

À retenir : les identités remarquables

Le carré d'une expression est cette expression multipliée par elle-même : (x + 3)² = (x + 3)(x + 3). Tout le reste s'en déduit par la double distributivité.
Un carré développé a TROIS termes : le carré du premier, le double produit, le carré du second. C'est le double produit qui s'oublie.
Seule la forme (a − b)(a + b) perd son terme du milieu, parce que +ab et −ab s'annulent : elle donne a² − b².

Exercices corrigés : les identités remarquables

1. Pourquoi peut-on écrire $(x + 3)^{2} = (x + 3) (x + 3)$ ?
Voir la correction
Parce que le carré d'un nombre signifie ce nombre multiplié par lui-même. Ici, le « nombre » est l'expression entière $x + 3$ : la mettre au carré, c'est la multiplier par elle-même. C'est de là que part tout le développement.
2. Développer : $(x + 3)^{2}$ .
Voir la correction
$(x + 3) (x + 3) = x^{2} + 3 x + 3 x + 9 = x^{2} + 6 x + 9$ . ⚠️ La réponse $x^{2} + 9$ oublie le double produit $6 x$ .
3. Développer : $(x - 5) (x + 5)$ .
Voir la correction
$x^{2} + 5 x - 5 x - 25 = x^{2} - 25$ . Les deux termes du milieu sont opposés, donc ils s'annulent : c'est une différence de deux carrés.
4. L'expression développée $x^{2} - 49$ provient de quelle identité ?
Voir la correction
De $(x - 7) (x + 7)$ , car $49 = 7^{2}$ et il n'y a pas de terme en $x$ : c'est la signature d'une différence de deux carrés. ⚠️ Ce n'est ni $(x - 7)^{2}$ ni $(x + 7)^{2}$ , qui donneraient tous deux un terme en $x$ et un $+ 49$ .
5. Un élève écrit $(x + 5)^{2} = x^{2} + 25$ . A-t-il raison ?
Voir la correction
Non : il manque le double produit. $(x + 5)^{2} = (x + 5) (x + 5) = x^{2} + 5 x + 5 x + 25 = x^{2} + 10 x + 25$ . Contrôle avec $x = 1$ : à gauche $6^{2} = 36$ , à droite $1 + 25 = 26$ .
6. Un élève écrit $(x - 4)^{2} = x^{2} - 16$ . A-t-il raison ?
Voir la correction
Non : il confond deux identités. $(x - 4)^{2} = x^{2} - 8 x + 16$ — deux parenthèses identiques, donc un double produit, et un dernier terme POSITIF puisque $(- 4) \times (- 4) = + 16$ . C'est $(x - 4) (x + 4)$ qui vaut $x^{2} - 16$ .

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