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Maths4eFiche de cours

Agrandissement, réduction et échelles — cours de maths 4e

Une carte, une maquette, un plan d'architecte : trois façons de représenter en petit ce qui est grand. La règle est simple pour les longueurs — on multiplie par le même nombre. Elle l'est beaucoup moins pour les aires et les volumes, et c'est là que se joue tout le chapitre.

Le mot de 4eRapport k : toutes les longueurs sont multipliées par k

La règle qui surprendLes aires par

k^{2}

, les volumes par

k^{3}

Le piègeDoubler les longueurs ne double pas l'aire : elle QUADRUPLE

À quoi ça sert : Agrandissement, réduction et échelles

L'échelle est le langage de tous ceux qui dessinent avant de construire. À La Réunion, la carte IGN au 1/25 000 est celle des randonneurs : 4 cm entre deux gîtes, et l'on sait qu'il y a 1 km à marcher. L'architecte travaille au 1/50 ou au 1/100, le cadastre au 1/2 000. Et la règle du $k^{2}$ se paie en vrai : un panneau deux fois plus long et deux fois plus haut ne demande pas deux pots de peinture de plus, mais quatre fois plus de peinture. Celle du $k^{3}$ explique pourquoi les grands animaux ont des pattes épaisses — le poids suit le volume, la résistance des os suit leur section.

Un peu d'histoire : Agrandissement, réduction et échelles

Les plans à l'échelle sont bien plus vieux que les mathématiques qui les justifient : on a retrouvé à Ninive, gravé vers 2100 avant notre ère, le plan d'une ville sumérienne avec ses distances. Mais c'est la Renaissance qui en fait une technique — les carnets de Villard de Honnecourt, au XIIIe siècle, puis les traités d'architecture italiens. Quant à l'effet sur les aires et les volumes, il a une conséquence célèbre : Galilée, dans les « Discours » de 1638, explique qu'un animal ne peut pas être agrandi indéfiniment, parce que son poids croît comme le cube quand la résistance de ses os croît comme le carré. C'est la première fois qu'un raisonnement de proportion explique une forme vivante.

Définition : Agrandissement, réduction et échelles

Un agrandissement de rapport $k$ multiplie toutes les longueurs d'une figure par $k$ , sans changer aucun angle : la forme est conservée. Si $k > 1$ c'est un agrandissement, si $k < 1$ c'est une réduction. Une échelle est exactement cela : l'échelle $\frac{1}{25 000}$ d'une carte est une réduction de rapport $\frac{1}{25 000}$ , où 1 cm sur le papier représente 25 000 cm — soit 250 m — dans la réalité.

Données	sur le plan	en vrai
	1 cm	250 m
	4 cm	1 km
	10 cm	2,5 km

une carte IGN au 1/25 000

L'échelle relie DEUX mesures de la même longueur : celle du papier et celle du terrain. Le dénominateur dit de combien on a réduit.

Propriétés : Agrandissement, réduction et échelles

Le dénominateur dit de combien on réduit

Dans l'échelle $\frac{1}{d}$ , le 1 est le plan et le $d$ est la réalité, dans la MÊME unité. Au $\frac{1}{500}$ , 1 cm vaut 500 cm, soit 5 m. ⚠️ Contre-intuitif : plus le dénominateur est GRAND, moins la carte montre de détails — le $\frac{1}{100}$ montre un appartement, le $\frac{1}{100 000}$ un département.

échelle	1 cm vaut	on y voit
1/100	1 m	un appartement
1/25 000	250 m	un sentier
1/100 000	1 km	un département

même centimètre, trois mondes

Du plan vers la réalité : on multiplie

La réalité est plus grande que le plan, donc on multiplie par le dénominateur. Au $\frac{1}{25 000}$ , 4 cm sur la carte donnent $4 \times 25000 = 100000$ cm, c'est-à-dire 1 km. ⚠️ L'erreur n'est presque jamais la multiplication : c'est la conversion qui suit.

Données	sur le plan	en vrai
	4 cm	× 25 000
		100 000 cm
		1 km

au 1/25 000 : on multiplie, puis on convertit

4 cm sur la carte, c'est 1 km sur le terrain

De la réalité vers le plan : on divise

Le plan est plus petit, donc on divise. Une façade de 12 m dessinée au $\frac{1}{200}$ : on convertit d'abord — 12 m = 1 200 cm — puis on divise, $1200 \div 200 = 6$ cm. ⚠️ Convertir AVANT de diviser : des mètres divisés par un dénominateur en centimètres ne veulent rien dire.

Données	sur le plan	en vrai
	?	12 m
		1 200 cm
	6 cm	÷ 200

au 1/200 : on convertit, puis on divise

12 m en vrai, 6 cm sur le plan

Un rapport agrandit toutes les longueurs

Un agrandissement de rapport 3 multiplie la longueur par 3, la largeur par 3, la hauteur par 3, et chaque diagonale par 3. Les ANGLES, eux, ne bougent pas — c'est ce qui fait que la figure garde sa forme. Une réduction est la même chose avec un rapport plus petit que 1 : réduire au $\frac{1}{4}$ , c'est diviser par 4.

	modèle	rapport 3
longueur	5 cm	15 cm
largeur	4 cm	12 cm
angles	90°	90°

les longueurs changent, les angles non

Les aires sont multipliées par $k^{2}$

C'est le point qui coûte le plus cher de l'année, et il ne se retient pas : il se compte. Doublez le côté d'un carré, et le grand carré contient QUATRE petits — pas deux. La raison tient en une ligne : une aire est un produit de deux longueurs, et chacune a été multipliée par $k$ , donc l'aire l'est par $k \times k$ .

le carré de côté 2 tient QUATRE fois dans celui de côté 4

Les volumes sont multipliés par $k^{3}$

La même idée, une dimension plus haut : un volume est un produit de TROIS longueurs, donc il est multiplié par $k \times k \times k$ . C'est pourquoi une maquette au $\frac{1}{10}$ ne contient pas un dixième du vrai réservoir, mais un MILLIÈME — et pourquoi une fourmi géante de cinéma s'effondrerait sous son propre poids.

ce qu'on mesure	rapport 2	rapport 3
une longueur	× 2	× 3
une aire	× 4	× 9
un volume	× 8	× 27

k, puis k², puis k³

La formule : Agrandissement, réduction et échelles

Pour un agrandissement ou une réduction de rapport k

longueurs × k · aires × k² · volumes × k³

Une dimension de plus, un facteur k de plus. C'est la seule chose à retenir du chapitre — le reste s'en déduit, y compris les échelles, où k vaut 1/d.

ce qu'on mesure	rapport 2	rapport 3
une longueur	× 2	× 3
une aire	× 4	× 9
un volume	× 8	× 27

k, puis k², puis k³

Méthode : Agrandissement, réduction et échelles

1. Lire une échelle

On lit le dénominateur : c'est le nombre par lequel la réalité a été divisée. Pour savoir ce que vaut 1 cm, on le multiplie par ce dénominateur, puis on convertit — 25 000 cm font 250 m.

2. Passer d'une distance à l'autre

Une seule question à se poser : est-ce que je vais vers le PLUS GRAND ou vers le PLUS PETIT ? Vers la réalité, on multiplie ; vers le plan, on divise. Et on convertit toujours dans la même unité avant de calculer.

Données	je pars de	je vais vers	je fais
	le plan	la réalité	× d
	la réalité	le plan	÷ d

la seule question : plus grand, ou plus petit ?

3. Calculer avec un rapport

On identifie d'abord CE QU'ON MESURE. Une longueur, un périmètre, une diagonale ? On multiplie par $k$ . Une aire, une surface à peindre ? Par $k^{2}$ . Un volume, une contenance, une masse ? Par $k^{3}$ . C'est la nature de la grandeur qui décide, pas l'énoncé.

Données	la grandeur	le facteur
	longueur, périmètre	k
	aire, surface	k²
	volume, contenance	k³

c'est la grandeur qui décide

4. Retrouver le rapport

On divise une longueur de l'image par la longueur correspondante du modèle. ⚠️ On DIVISE, on ne soustrait pas : l'écart entre deux figures semblables n'est pas constant, le rapport si. Et si l'on ne connaît que les aires, on remonte par la racine carrée — une aire multipliée par 9 vient d'un rapport 3.

Selon ce que l'on cherche : Agrandissement, réduction et échelles

On a une carte et on veut une distance

On mesure en centimètres, on multiplie par le dénominateur, on convertit. C'est le geste du randonneur.

On doit faire tenir un plan sur une feuille

On divise la mesure réelle par la place disponible : le résultat est le dénominateur de l'échelle à choisir.

On agrandit et on veut une surface

Peinture, tissu, carrelage, papier peint : ce sont des aires. Le facteur est $k^{2}$ , jamais $k$ .

On agrandit et on veut une contenance

Réservoir, bassin, emballage : ce sont des volumes. Le facteur est $k^{3}$ — une maquette au $\frac{1}{10}$ contient un millième.

Exemples corrigés : Agrandissement, réduction et échelles

Deux villages sur la carte

Sur une carte de La Réunion au $\frac{1}{25 000}$ , deux villages sont distants de 4 cm.

Quelle distance les sépare réellement ?

Données	sur le plan	en vrai
	4 cm	?
	× 25 000	100 000 cm
	on convertit	1 km

au 1/25 000, pas à pas

On va du plan vers la réalité, donc on multiplie : $4 \times 25000 = 100000$ cm. Il reste à convertir. 1 km vaut 100 000 cm, donc la distance est de 1 km. ⚠️ Le calcul est facile, la conversion l'est moins : répondre 100 000 m au lieu de 100 000 cm donnerait 100 km — une erreur d'un facteur cent, et un randonneur perdu.

Le panneau à repeindre

Il faut 3 pots de peinture pour un panneau. On en fait un second, deux fois plus long ET deux fois plus haut.

Combien de pots faut-il ?

deux fois plus long et haut : QUATRE fois la surface

La peinture se compte à l'AIRE, pas à la longueur. Les deux dimensions sont multipliées par 2, donc l'aire est multipliée par $2 \times 2 = 4$ . Calcul : $3 \times 4 = 12$ pots. ⚠️ Répondre 6 pots — $3 \times 2$ — c'est traiter une aire comme une longueur. Le dessin le dit sans calcul : le grand carré contient quatre petits.

La maquette du réservoir

Une maquette de réservoir au $\frac{1}{10}$ contient 2 L.

Combien contient le vrai réservoir ?

Données	grandeur	rapport 10
	hauteur	× 10
	surface	× 100
	contenance	× 1 000

au 1/10, la contenance est au millième

« Au $\frac{1}{10}$ » porte sur les LONGUEURS : le vrai réservoir est 10 fois plus haut, 10 fois plus long, 10 fois plus large. Une contenance est un volume, donc elle est multipliée par $1 0^{3} = 1000$ . Calcul : $2 \times 1000 = 2000$ L. ⚠️ Répondre 20 L revient à traiter le volume comme une longueur. C'est la même erreur que pour la peinture, une dimension plus haut.

Pièges à éviter : Agrandissement, réduction et échelles

Croire qu'un grand dénominateur donne une carte détaillée. C'est l'inverse : le $\frac{1}{100}$ montre un appartement, le $\frac{1}{100 000}$ un département.
Diviser des mètres par un dénominateur exprimé en centimètres. On convertit AVANT de calculer, jamais après.
Doubler les longueurs et doubler l'aire. L'aire est multipliée par $2^{2} = 4$ — c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
Multiplier un volume par $k$ au lieu de $k^{3}$ . Une maquette au $\frac{1}{10}$ contient un millième, pas un dixième.
Retrouver le rapport en soustrayant. On DIVISE une longueur de l'image par celle du modèle : l'écart ne se conserve pas, le rapport si.
Oublier que les angles ne changent pas. Un agrandissement conserve la forme — c'est même sa définition.

À retenir : Agrandissement, réduction et échelles

Un agrandissement de rapport $k$ multiplie toutes les longueurs par $k$ et ne change aucun angle.
Si $k > 1$ c'est un agrandissement, si $k < 1$ c'est une réduction. Une échelle $\frac{1}{d}$ est une réduction de rapport $\frac{1}{d}$ .
Les AIRES sont multipliées par $k^{2}$ . Doubler les longueurs quadruple l'aire.
Les VOLUMES sont multipliés par $k^{3}$ . Doubler les longueurs multiplie le volume par 8.
Du plan vers la réalité : on MULTIPLIE par $d$ . De la réalité vers le plan : on DIVISE par $d$ .
On convertit toujours dans la même unité avant de calculer — c'est là que se logent les erreurs d'un facteur 100.

Exercices corrigés : Agrandissement, réduction et échelles

1. Sur une carte au $\frac{1}{50 000}$ , que représente 1 cm ?
Voir la correction
1 cm représente 50 000 cm. Or 50 000 cm = 500 m. Donc 1 cm vaut 500 m, soit un demi-kilomètre.
2. Sur un plan de quartier au $\frac{1}{1 000}$ , une rue mesure 8 cm. Quelle est sa longueur réelle ?
Voir la correction
$8 \times 1000 = 8000$ cm, soit 80 m.
3. Une façade de 15 m est dessinée au $\frac{1}{500}$ . Quelle est sa longueur sur le plan ?
Voir la correction
On convertit d'abord : 15 m = 1 500 cm. Puis on divise : $1500 \div 500 = 3$ cm.
4. Deux maquettes du même bâtiment : la petite mesure 6 cm de haut, la grande 24 cm. Quel est le rapport d'agrandissement ?
Voir la correction
On divise : $24 \div 6 = 4$ . Le rapport vaut 4. ⚠️ $24 - 6 = 18$ serait l'écart, et l'écart ne se conserve pas d'une dimension à l'autre.
5. Une figure de 20 cm² est agrandie avec un rapport 3. Quelle est sa nouvelle aire ?
Voir la correction
L'aire est multipliée par $3^{2} = 9$ . Donc $20 \times 9 = 180$ cm². ⚠️ $20 \times 3 = 60$ serait vrai pour une longueur, pas pour une aire.
6. L'aire d'une figure a été multipliée par 25. Par combien ses longueurs l'ont-elles été ?
Voir la correction
On remonte par la racine carrée : $5 \times 5 = 25$ , donc les longueurs ont été multipliées par 5.
7. Un solide de 12 cm³ est agrandi avec un rapport 2. Quel est son nouveau volume ?
Voir la correction
Le volume est multiplié par $2^{3} = 8$ . Donc $12 \times 8 = 96$ cm³.
8. Deux villes de La Réunion sont distantes de 20 km. Sur une carte, elles sont à 5 cm l'une de l'autre. Quelle est l'échelle de la carte ?
Voir la correction
On convertit : 20 km = 2 000 000 cm. Puis on divise par la mesure du plan : $2000000 \div 5 = 400000$ . L'échelle est donc le $\frac{1}{400 000}$ .

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