Ratios et pourcentages — cours de maths 4e
Deux façons de comparer sans mesurer. Le ratio dit « tant contre tant » — 2 doses de sirop pour 3 d'eau —, le pourcentage dit « tant sur cent ». Ce sont les mêmes mathématiques vues de deux côtés, et savoir passer de l'une à l'autre est ce que la 4e demande.
À quoi ça sert : Ratios et pourcentages
Le ratio est le langage des mélanges et des partages. À La Réunion, c'est le mortier du maçon — un volume de ciment pour quatre de sable —, le sirop de la boutique préparé « un pour cinq », le partage d'une pêche entre trois barques selon la part de chacun. Et le pourcentage est partout dès qu'un prix bouge : les soldes à − 30 %, la TVA, une augmentation de loyer. Savoir qu'une baisse de 30 % se fait en multipliant par 0,70 évite de sortir la calculatrice deux fois.
Un peu d'histoire : Ratios et pourcentages
Le mot « ratio » est le mot latin pour « rapport », et c'est le vocabulaire d'Euclide : le livre V des Éléments, vers 300 avant notre ère, est entièrement consacré à la théorie des rapports entre grandeurs. La notation à deux points, elle, est bien plus tardive — elle est due à Leibniz, au XVIIe siècle, qui cherchait un signe qui ne se confonde pas avec la division. Le mot « pourcentage » vient de l'italien « per cento » : les banquiers de Venise comptaient déjà les intérêts sur cent.
Définition : Ratios et pourcentages
Un ratio compare deux ou trois quantités par leur rapport, et s'écrit avec deux points : 2 : 3. Deux nombres a et b sont dans le ratio 2 : 3 lorsque ; trois nombres a, b, c sont dans le ratio 2 : 3 : 7 lorsque . Un pourcentage est un cas particulier de comparaison : une part rapportée à cent.
Propriétés : Ratios et pourcentages
Un ratio compare, il ne mesure pas
Le ratio 2 : 3 ne dit pas combien il y a de sirop : il dit seulement que pour 2 parts de sirop, il y a 3 parts d'eau. On le simplifie comme une fraction — 8 : 12 se réduit en 2 : 3. ⚠️ L'ordre compte : 3 : 2 désignerait le mélange inverse.
8 : 12, c'est le même mélange que 2 : 3
L'égalité de quotients rend le ratio calculable
C'est ce que la 4e ajoute. Dire que a et b sont dans le ratio 2 : 3, c'est écrire : chaque nombre divisé par SA part donne la même chose. Ce nombre commun est la valeur d'une part — et il suffit d'une seule quantité connue pour trouver l'autre.
| a | b | |
|---|---|---|
| part | 2 | 3 |
| quantité | 10 |
Deux parts, ou trois
Un ratio peut comparer trois quantités : 2 : 3 : 7 signifie . Les trois quotients sont égaux, donc un seul nombre connu suffit encore. Le total, lui, compte 2 + 3 + 7 = 12 parts.
« Pour cent » se compte sur cent
25 %, c'est 25 parts sur 100. C'est aussi une fraction — un quart — et un coefficient : multiplier par 0,25. Un pourcentage est donc un ratio dont la seconde part vaut toujours 100.
25 sur 100, soit
Le coefficient multiplicateur
Augmenter de 15 %, c'est garder le tout ET ajouter 15 parts sur 100 : on multiplie donc par 1,15, pas par 0,15. Une baisse de 15 % donne 1 − 0,15 = 0,85.
Deux évolutions ne s'additionnent pas
Une hausse de 15 % suivie d'une baisse de 15 % ne ramène pas au prix de départ : on multiplie par 1,15 puis par 0,85, soit par 0,9775. Il manque 2,25 %.
on repart de 97,75 €, pas de 100 €
La formule : Ratios et pourcentages
Pour un ratio a : b : c, et pour une évolution de t %
a / 2 = b / 3 = c / 7 · hausse → × (1 + t ÷ 100) · baisse → × (1 − t ÷ 100)
À gauche, l'égalité qui rend le ratio calculable : chaque nombre divisé par sa part donne la valeur d'UNE part. À droite, le coefficient part toujours de 1, parce qu'on garde le tout avant d'ajouter ou de retirer.
| a | b | c | |
|---|---|---|---|
| part | 2 | 3 | 7 |
| quantité | 20 | 30 | 70 |
une part vaut 10 : les trois quotients le disent
Méthode : Ratios et pourcentages
1. Exprimer et simplifier un ratio
On compte les deux quantités, on les écrit dans l'ordre demandé, puis on les divise par leur plus grand diviseur commun — exactement comme une fraction. ⚠️ On ne SOUSTRAIT jamais : 8 : 12 ne devient pas 6 : 10.
2. Partager selon un ratio
Trois gestes, toujours les mêmes. On additionne les parts pour connaître leur nombre total. On divise la quantité par ce total : c'est la valeur d'UNE part. On multiplie enfin par la part de chacun. ⚠️ L'erreur classique est de diviser par le nombre de personnes — 120 € selon 2 : 3 : 7 se divise par 12, pas par 3.
3. Appliquer un pourcentage
On écrit le pourcentage en décimal — 25 % devient 0,25 — et on multiplie. Pour les valeurs courantes, le calcul mental est plus rapide : 25 % c'est diviser par 4, 50 % par 2, 10 % par 10.
4. Passer par le coefficient
Pour une évolution, on ne calcule pas la part puis la somme : on trouve directement le coefficient. On part de 1, on ajoute ou on retire le pourcentage écrit en décimal, et une seule multiplication suffit. Pour deux évolutions, on multiplie les deux coefficients.
| Données | évolution | le coefficient |
|---|---|---|
| + 20 % | × 1,20 | |
| + 15 % | × 1,15 | |
| − 15 % | × 0,85 | |
| − 30 % | × 0,70 |
Selon ce que l'on cherche : Ratios et pourcentages
On connaît une quantité et le ratio
On cherche la valeur d'une part en divisant la quantité connue par SA part, puis on multiplie par l'autre.
On connaît le total et le ratio
On divise le total par la SOMME des parts, ce qui donne la valeur d'une part, puis on distribue.
On veut passer du ratio au pourcentage
On rapporte la part au TOTAL des parts, pas à l'autre part. Dans un ratio 1 : 4, le premier vaut 1/5 du tout, soit 20 % — et non 25 %.
Faire évoluer un prix
On transforme le pourcentage en coefficient multiplicateur, puis on multiplie. Pour deux évolutions successives, on multiplie les deux coefficients entre eux.
Exemples corrigés : Ratios et pourcentages
Partager 120 € selon 2 : 3 : 7
On partage 120 € entre trois personnes, selon le ratio 2 : 3 : 7.
Combien reçoit chacune ?
On compte d'abord les parts : 2 + 3 + 7 = 12. Une part vaut donc 120 ÷ 12 = 10 €. Il reste à multiplier : 2 × 10 = 20 €, 3 × 10 = 30 €, 7 × 10 = 70 €. Contrôle : 20 + 30 + 70 = 120 €. ⚠️ Diviser par 3 parce qu'il y a trois personnes donnerait 40 € chacune — et le ratio ne serait plus respecté.
Vingt-cinq pour cent
On veut prendre 25 % d'une quantité.
À quoi cela correspond-il ?
25 sur 100, soit
25 %, c'est 25 parts sur 100, donc la fraction , qui se simplifie en . Prendre 25 % d'une quantité revient donc à en prendre le quart, c'est-à-dire à multiplier par 0,25 — ou, plus simple de tête, à diviser par 4.
Le prix qui augmente
Un article coûte 100 €. Son prix augmente de 15 %.
Quel est le nouveau prix ?
Augmenter de 15 %, c'est garder les 100 % du prix et ajouter 15 % : le coefficient multiplicateur vaut 1 + 0,15 = 1,15. On calcule 100 × 1,15 = 115. Le nouveau prix est de 115 €. ⚠️ On ne multiplie pas par 0,15, ce qui donnerait seulement la hausse, ni par 15, qui n'a aucun sens.
Pièges à éviter : Ratios et pourcentages
- Lire un ratio 2 : 3 comme « 2 sur 3 ». C'est 2 parts CONTRE 3, donc 2 sur un total de 5.
- Simplifier un ratio en soustrayant. 8 : 12 devient 2 : 3 en DIVISANT les deux par 4, jamais en retirant le même nombre.
- Inverser l'ordre. Le ratio sirop : eau de 1 : 4 n'est pas le ratio eau : sirop.
- Partager en divisant par le nombre de personnes. Avec le ratio 2 : 3 : 7, on divise par 12 — la somme des parts.
- Rapporter une part à l'autre au lieu du tout. Dans 1 : 4, le premier vaut 20 % du mélange, pas 25 %.
- Multiplier par 0,15 pour une hausse de 15 %. Le coefficient part de 1 : c'est 1,15.
- Additionner deux évolutions. + 15 % puis − 15 % ne fait pas 0 % : il manque 2,25 %.
À retenir : Ratios et pourcentages
- Un ratio compare des parts : a et b sont dans le ratio 2 : 3 lorsque .
- Avec trois nombres : . Un seul nombre connu suffit à tout trouver.
- Partager selon un ratio : on divise par la SOMME des parts, puis on multiplie par chaque part.
- Un ratio se simplifie comme une fraction, en divisant les deux termes par le même nombre.
- Un pourcentage est une part sur cent : 25 % = = = × 0,25.
- Hausse de t % : × (1 + t ÷ 100). Baisse de t % : × (1 − t ÷ 100). Le coefficient part toujours de 1.
- Deux évolutions se MULTIPLIENT, elles ne s'additionnent pas.
Exercices corrigés : Ratios et pourcentages
1. Dans une classe, il y a 8 filles et 12 garçons. Quel est le ratio filles : garçons, simplifié ?
Voir la correction
8 et 12 se divisent tous deux par 4 : le ratio est 2 : 3. ⚠️ Écrit dans l'autre sens, 3 : 2 désignerait le ratio garçons : filles.
2. x et y sont dans le ratio 3 : 5, et x = 12. Combien vaut y ?
Voir la correction
Le ratio signifie . Or : une part vaut 4. Donc y = 5 × 4 = 20.
3. a, b et c sont dans le ratio 2 : 3 : 7, et a = 8. Combien vaut c ?
Voir la correction
Les trois quotients sont égaux : . Or , donc une part vaut 4 et c = 7 × 4 = 28. On n'a pas eu besoin de b.
4. On partage 90 € selon le ratio 2 : 3. Combien reçoit le premier ?
Voir la correction
2 + 3 = 5 parts. Une part vaut 90 ÷ 5 = 18 €. Le premier en reçoit 2, soit 36 €. Contrôle : 36 + 54 = 90 €.
5. Dans un mortier, le ratio ciment : sable est 1 : 4. Quel pourcentage du mélange est du ciment ?
Voir la correction
Le total compte 1 + 4 = 5 parts, et le ciment en occupe 1, soit = 20 %. ⚠️ Répondre 25 % revient à rapporter le ciment au SABLE () et non au mélange entier.
6. Combien font 25 % de 80 ?
Voir la correction
25 % c'est le quart : 80 ÷ 4 = 20. On peut aussi multiplier par 0,25, ce qui donne le même résultat.
7. Une augmentation de 20 % correspond à multiplier par combien ?
Voir la correction
Par 1,20. On part de 1, qui représente le prix entier qu'on garde, et on ajoute 20 % écrit en décimal, soit 0,20. Attention : multiplier par 0,20 donnerait seulement le montant de la hausse, pas le nouveau prix.
8. Un prix de 100 € augmente de 15 %, puis baisse de 15 %. Revient-on à 100 € ?
Voir la correction
Non. La hausse donne 100 × 1,15 = 115 €. La baisse s'applique ensuite sur 115, et non sur 100 : 115 × 0,85 = 97,75 €. On perd 2,25 € au passage, parce que les deux pourcentages ne portent pas sur la même somme. Deux évolutions se multiplient, elles ne s'additionnent pas.
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