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Maths4eFiche de cours

Puissances et notation scientifique — cours de maths 4e

Écrire 1 000 000 000, le lire, le comparer à 5 000 000 : c'est long, et on se trompe en comptant les zéros. Les puissances raccourcissent l'écriture, et la notation scientifique donne à chaque nombre une forme unique — un seul chiffre avant la virgule, et une puissance de 10 qui dit la taille. C'est l'outil des sciences autant que des mathématiques.

Le mot de 4eExposant : il COMPTE les facteurs, il n'en est pas un

La forme unique

a \times 1 0^{n}

avec

1 ⩽ a < 10

Le piège

2^{- 3}

est POSITIF : c'est un inverse, pas un opposé

À quoi ça sert : Puissances et notation scientifique

La notation scientifique est née du besoin d'écrire ce qui ne tient pas sur une ligne. Un globule rouge mesure $7 \times 1 0^{- 6}$ m ; la Terre-Lune fait $3, 8 \times 1 0^{5}$ km ; le Piton des Neiges culmine à $3, 1 \times 1 0^{3}$ m. À La Réunion, le cyclone Hyacinthe a déversé en 1980 près de $6 \times 1 0^{3}$ mm de pluie en quinze jours à Commerson — record mondial. Personne n'écrit ces nombres en toutes lettres : on écrit la mantisse, et la puissance de 10 dit la taille. Un disque dur d'un téraoctet, c'est $1 0^{12}$ octets, et une seconde de son échantillonné en compte $4, 4 \times 1 0^{4}$ .

Un peu d'histoire : Puissances et notation scientifique

L'écriture avec un petit chiffre en haut est de René Descartes, en 1637, dans « La Géométrie ». Avant lui on écrivait « cubus » ou on répétait la lettre : Viète notait « A quadratum » ce que nous notons $A^{2}$ . Descartes n'a d'abord utilisé ses exposants que pour les puissances entières positives ; c'est Wallis, puis Newton, qui ont étendu l'écriture aux exposants négatifs vers 1660, en remarquant justement que descendre l'échelle des exposants revient à diviser — le raisonnement du tableau de cette fiche. La notation scientifique, elle, s'est imposée au XXe siècle avec l'astronomie et la physique atomique, deux sciences qui manipulent des nombres que la main ne peut plus écrire.

Définition : Puissances et notation scientifique

Une puissance résume une multiplication répétée d'un même nombre : $a^{n}$ , c'est $a$ écrit $n$ fois en facteur. Le nombre $a$ s'appelle la BASE, le petit nombre en haut s'appelle l'EXPOSANT. Ainsi $2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ . Un exposant négatif désigne l'inverse de la puissance : $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ .

À chaque marche on multiplie par 2. C'est pour ça qu'une puissance grandit si vite :

2^{5}

vaut déjà 32, alors que

2 \times 5

n'en ferait que 10.

Propriétés : Puissances et notation scientifique

Pourquoi on dit « au carré »

$5^{2}$ n'est pas une abstraction : c'est un carré de 5 sur 5, et on peut compter ses cases. Il y en a 25. De la même façon, $5^{3}$ est le nombre de petits cubes d'un cube de 5 d'arête — d'où le mot « au cube ».

$5^{2} = 25$ cases, et le carré est un vrai carré

L'exposant compte, il ne multiplie pas

C'est l'erreur la plus fréquente, et elle se dit en une phrase : $3^{2}$ ne vaut pas 6. L'exposant dit COMBIEN DE FOIS la base apparaît en facteur, il n'est pas lui-même un facteur. $3^{2} = 3 \times 3 = 9$ .

Données	écriture	ce qu'on écrit	valeur
	3²	3 × 3	9
	3 × 2	3 + 3	6

deux écritures voisines, deux nombres différents

Les parenthèses décident du signe

Dans $(- 2)^{3}$ , les parenthèses enferment le signe : c'est $(- 2)$ qui est répété, et trois facteurs négatifs donnent un résultat négatif. Dans $- 2^{3}$ , la puissance ne porte que sur 2, et le signe reste devant. Ici les deux valent $- 8$ — mais avec un exposant PAIR, ils diffèrent : $(- 2)^{2} = 4$ et $- 2^{2} = - 4$ .

Données	écriture	le produit	valeur
	(−2)²	(−2) × (−2)	4
	−2²	−(2 × 2)	−4

avec un exposant pair, le signe change tout

Un exposant négatif n'est pas un nombre négatif

$2^{- 3}$ vaut $\frac{1}{8}$ , c'est-à-dire 0,125 : un nombre POSITIF, plus petit que 1. L'exposant négatif annonce un inverse, jamais un opposé. Posés sur la droite graduée, $2^{3}$ et $2^{- 3}$ sont du même côté de zéro — c'est $- 2^{3}$ qui part à gauche.

$2^{- 3}$ est à DROITE de zéro, tout près de lui

Pour 10, l'exposant compte les zéros

C'est ce qui rend les puissances de 10 si commodes : $1 0^{5}$ , c'est 1 suivi de cinq zéros. Et en sens inverse, $1 0^{- 3}$ donne trois chiffres après la virgule : 0,001. Multiplier par $1 0^{n}$ décale la virgule de $n$ rangs vers la droite.

puissance	le nombre	zéros
10²	100	2
10⁵	100 000	5
10⁰	1	0
10⁻³	0,001	3 décimales

10⁰ = 1 : aucun zéro à écrire

La notation scientifique donne une forme unique

Un nombre s'écrit d'une infinité de façons avec des puissances de 10. La notation scientifique en choisit UNE : $a \times 1 0^{n}$ , avec un seul chiffre non nul avant la virgule, c'est-à-dire $1 ⩽ a < 10$ . Deux nombres écrits ainsi se comparent alors d'un coup d'œil.

écriture de 12 500	mantisse	scientifique ?
125 × 10²	125	non, ⩾ 10
12,5 × 10³	12,5	non, ⩾ 10
1,25 × 10⁴	1,25	OUI
0,125 × 10⁵	0,125	non, < 1

quatre écritures du même nombre, une seule scientifique

La formule : Puissances et notation scientifique

Pour tout nombre a non nul et tout entier n

aⁿ = a × a × … × a (n facteurs) et a⁻ⁿ = 1 / aⁿ

Descendre d'un exposant, c'est diviser par la base. Le tableau le montre sans rien à admettre : après 2¹ = 2 vient 2⁰ = 1, puis 2⁻¹ = 0,5. La convention a⁰ = 1 n'est pas arbitraire, elle prolonge la division.

puissance	on divise par 2	valeur
2³		8
2²	÷ 2	4
2¹	÷ 2	2
2⁰	÷ 2	1
2⁻¹	÷ 2	0,5

descendre d'un exposant, c'est diviser par la base

Méthode : Puissances et notation scientifique

1. Calculer une puissance

On écrit le produit en entier, puis on calcule pas à pas. $4^{3} = 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64$ . Si la base est négative, on compte les facteurs négatifs : un nombre PAIR de facteurs donne un résultat positif, un nombre IMPAIR le laisse négatif.

2. Passer en notation scientifique

On place la virgule juste après le premier chiffre non nul, puis on compte de combien de rangs elle s'est déplacée : c'est l'exposant. Vers la gauche il est positif, vers la droite il est négatif. $34500$ donne $3, 45 \times 1 0^{4}$ ; $0, 0072$ donne $7, 2 \times 1 0^{- 3}$ .

l'axe des EXPOSANTS : à gauche les petits, à droite les grands

3. Comparer deux écritures scientifiques

L'exposant décide d'abord : la mantisse étant toujours entre 1 et 10, elle ne peut pas rattraper une puissance de 10 de plus. On ne compare les mantisses que si les exposants sont ÉGAUX. Ainsi $8, 5 \times 1 0^{3}$ est plus petit que $3, 2 \times 1 0^{4}$ , malgré une mantisse plus grande.

la plus grande mantisse ne fait pas le plus grand nombre

4. Calculer avec des puissances

On calcule chaque puissance séparément, puis on effectue l'opération. $2^{3} + 4^{2} = 8 + 16 = 24$ . Pour un produit de puissances de 10, on écrit les deux nombres et on compte les zéros : $1 0^{3} \times 1 0^{2} = 1000 \times 100 = 100000$ , soit cinq zéros.

calcul	chaque puissance	résultat
2³ + 4²	8 + 16	24
10³ × 10²	1000 × 100	100 000
3² × 10²	9 × 100	900

on calcule d'abord, on opère ensuite

Selon ce que l'on cherche : Puissances et notation scientifique

Le nombre est très grand

On passe en notation scientifique : la mantisse donne la précision, l'exposant donne la taille. $1500000000 = 1, 5 \times 1 0^{9}$ .

Le nombre est très petit

Même méthode, exposant négatif. $0, 000004 = 4 \times 1 0^{- 6}$ . ⚠️ Le nombre reste positif : c'est sa TAILLE qui est petite, pas son signe.

On doit comparer deux tailles

On écrit les deux en notation scientifique, et on regarde les exposants. C'est le seul cas où l'on peut conclure sans calculer.

Quelque chose double, ou triple, à chaque étape

C'est une puissance de 2 ou de 3, pas une multiplication. Doubler 10 fois multiplie par $2^{10} = 1024$ , pas par 20.

Exemples corrigés : Puissances et notation scientifique

Écrire un grand nombre en notation scientifique

Le nombre 34 500.

L'écrire en notation scientifique.

On place la virgule après le premier chiffre : 3,45. Elle s'est déplacée de 4 rangs vers la gauche, donc l'exposant est 4. Réponse : $3, 45 \times 1 0^{4}$ . ⚠️ $34, 5 \times 1 0^{3}$ vaut le même nombre, mais n'est PAS la notation scientifique : sa mantisse dépasse 10.

Un exposant négatif

Le nombre $2^{- 3}$ .

L'écrire sous forme de fraction, puis en décimal.

Données	écriture	ce que ça vaut
	2⁻³	1/8 = 0,125
	−2³	−8

deux écritures qu'on confond, deux nombres opposés de nature

L'exposant négatif désigne l'inverse : $2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$ . En décimal, $1 \div 8 = 0, 125$ . Réponse : $\frac{1}{8}$ , soit 0,125 — un nombre positif, plus petit que 1.

La colonie de bactéries

Une colonie compte 5 bactéries et double chaque heure.

Combien en compte-t-elle après 8 heures ?

Doubler 8 fois, c'est multiplier par $2^{8}$ . Or $2^{8} = 256$ . Calcul : $5 \times 256 = 1280$ bactéries. ⚠️ L'erreur classique est d'écrire $5 \times 2 \times 8 = 80$ . Doubler n'AJOUTE pas huit fois, il MULTIPLIE huit fois.

Pièges à éviter : Puissances et notation scientifique

Confondre $3^{2}$ et $3 \times 2$ . L'exposant COMPTE les facteurs, il n'en est pas un : $3^{2} = 9$ , pas 6.
Croire qu'un exposant négatif donne un nombre négatif. $2^{- 3} = 0, 125$ est POSITIF. Le négatif porte sur l'exposant, pas sur le nombre.
Oublier les parenthèses : $(- 2)^{2} = 4$ mais $- 2^{2} = - 4$ . Ce ne sont pas deux façons d'écrire la même chose.
Écrire $12, 5 \times 1 0^{3}$ en croyant faire de la notation scientifique. La mantisse doit être comprise entre 1 (inclus) et 10 (exclu).
Comparer deux écritures scientifiques par leur mantisse. C'est l'EXPOSANT qui décide d'abord — $8, 5 \times 1 0^{3} < 3, 2 \times 1 0^{4}$ .
Écrire $a^{0} = 0$ . C'est 1, et le tableau de l'échelle des exposants montre pourquoi : on divise par la base à chaque marche.

À retenir : Puissances et notation scientifique

$a^{n} = a \times a \times \dots \times a$ , avec $n$ facteurs. La base est répétée, l'exposant les compte.
$a^{0} = 1$ et $a^{1} = a$ , pour tout nombre $a$ non nul.
$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ : un exposant négatif désigne un INVERSE, jamais un opposé.
Pour les puissances de 10, l'exposant compte les zéros : $1 0^{5} = 100000$ et $1 0^{- 3} = 0, 001$ .
Notation scientifique : $a \times 1 0^{n}$ avec $1 ⩽ a < 10$ . Un seul chiffre non nul avant la virgule.
Pour comparer deux écritures scientifiques : l'exposant d'abord, la mantisse seulement s'ils sont égaux.

Exercices corrigés : Puissances et notation scientifique

1. Écrire $4^{3}$ sous forme de produit, puis calculer.
Voir la correction
$4^{3} = 4 \times 4 \times 4 = 64$ .
2. Calculer $(- 3)^{2}$ puis $- 3^{2}$ .
Voir la correction
$(- 3)^{2} = (- 3) \times (- 3) = 9$ : deux facteurs négatifs, résultat positif. $- 3^{2} = - (3 \times 3) = - 9$ : la puissance ne porte que sur 3.
3. Écrire $5^{- 2}$ sous forme de fraction.
Voir la correction
$5^{- 2} = \frac{1}{5 ^{2}} = \frac{1}{25}$ , soit 0,04.
4. Combien vaut $1 0^{6}$ ? Et $1 0^{- 4}$ ?
Voir la correction
$1 0^{6} = 1000000$ (1 suivi de six zéros). $1 0^{- 4} = 0, 0001$ (quatre chiffres après la virgule).
5. Écrire 0,000 82 en notation scientifique.
Voir la correction
On place la virgule après le 8 : 8,2. Elle s'est déplacée de 4 rangs vers la droite, donc l'exposant est $- 4$ . Réponse : $8, 2 \times 1 0^{- 4}$ .
6. Ranger dans l'ordre croissant : $6, 1 \times 1 0^{3}$ , $2, 4 \times 1 0^{5}$ , $9, 8 \times 1 0^{3}$ .
Voir la correction
Les deux premiers exposants valent 3, le dernier 5. Entre les deux écritures en $1 0^{3}$ , on compare les mantisses : $6, 1 < 9, 8$ . Réponse : $6, 1 \times 1 0^{3} < 9, 8 \times 1 0^{3} < 2, 4 \times 1 0^{5}$ .
7. Calculer $1 0^{4} \times 1 0^{2}$ , en écrivant les deux nombres.
Voir la correction
$10000 \times 100 = 1000000$ . Le résultat porte $4 + 2 = 6$ zéros, donc $1 0^{6}$ .
8. On plie une feuille en deux, 10 fois de suite. Combien d'épaisseurs obtient-on ?
Voir la correction
Chaque pliage double : $2^{10} = 1024$ épaisseurs. ⚠️ Ce n'est pas $2 \times 10 = 20$ .

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