Les transformations — cours de maths 4e
Retourner, faire pivoter, glisser : quatre façons de déplacer une figure sans jamais la déformer. Ce qui change, c'est la place ; ce qui ne change jamais, ce sont les longueurs, les angles et l'aire.
À quoi ça sert : les transformations
Les transformations sont partout dès qu'un motif se répète. À La Réunion, c'est le carrelage d'une varangue, les losanges d'une case créole, les frises d'un tissu, la vannerie en vacoa : un motif de base, puis des translations pour le répéter et des symétries pour le retourner. C'est aussi ce que fait un logiciel de dessin quand on copie-colle en miroir, et ce que font les usines quand elles découpent un patron symétrique pour économiser du tissu.
Un peu d'histoire : les transformations
Les artisans de l'Alhambra de Grenade, au XIVe siècle, ont couvert les murs de pavages géométriques qui utilisent les dix-sept façons possibles de répéter un motif dans le plan — bien avant que les mathématiciens ne démontrent, en 1891, qu'il n'en existe que dix-sept. L'artiste néerlandais Escher est allé les étudier sur place en 1936 : c'est de là que viennent ses lézards et ses oiseaux emboîtés.
Définition : les transformations
Une transformation déplace tous les points d'une figure selon une même règle, et fabrique une figure image. La figure de départ et son image ont exactement la même forme et la même taille : on dit qu'elles sont superposables. Ce qui distingue les quatre transformations, c'est la règle de déplacement — et ce qu'il faut connaître pour l'appliquer.
Propriétés : les transformations
La symétrie axiale : un miroir
L'axe se comporte comme un miroir : il est la médiatrice du segment qui relie chaque point à son image. C'est la seule des quatre qui RETOURNE la figure.
La symétrie centrale : un demi-tour
Le centre est le milieu du segment qui relie chaque point à son image. La figure fait un demi-tour complet : elle n'est pas retournée, elle est renversée.
La translation : un glissement
Tous les points glissent de la même façon : même direction, même sens, même longueur. La flèche dit les trois à la fois.
La rotation : un pivot
La figure pivote autour d'un centre, d'un angle donné et dans un sens donné. Il faut les trois : sans l'angle ou sans le sens, l'image n'est pas définie.
Ce qui ne change jamais
Les quatre transformations conservent les longueurs, les angles et les aires. La figure image occupe exactement le même nombre de carreaux que la figure de départ.
6 carreaux avant, 6 carreaux après
Méthode : les transformations
1. Reconnaître
On ne devine pas la transformation en regardant la figure : on regarde ce que l'énoncé DONNE. Un axe, un centre seul, une flèche, ou un centre avec un angle — chaque donnée désigne une seule transformation.
| Données | Ce qui est donné | La transformation |
|---|---|---|
| un axe | symétrie axiale | |
| un centre seul | symétrie centrale | |
| une flèche | translation | |
| un centre + un angle | rotation |
2. Construire
On ne construit jamais la figure entière d'un coup : on construit l'image de chaque sommet, un par un, puis on relie. Les traits pointillés du dessin montrent ce report point par point.
3. Vérifier
Trois contrôles, dans cet ordre. Les longueurs sont-elles conservées ? La figure a-t-elle la même aire ? Et si c'est une symétrie axiale, est-elle bien retournée — sinon, c'est qu'on a fait un demi-tour.
Selon ce que l'on cherche : les transformations
Reconnaître une transformation
On identifie ce qui est donné — axe, centre, flèche, angle — puis on vérifie sur un point : son image est-elle bien à la place attendue ?
Construire une image
On construit sommet par sommet, en appliquant la même règle à chacun, puis on relie les images dans le même ordre que les points de départ.
Démontrer avec les propriétés
Comme les longueurs et les angles sont conservés, on peut affirmer qu'une longueur de l'image est égale à celle de départ — sans la mesurer.
Exemples corrigés : les transformations
Miroir ou demi-tour ?
Une figure et son image se trouvent de part et d'autre d'un point O, et O est le milieu de chaque segment qui relie un point à son image.
De quelle transformation s'agit-il ?
C'est une symétrie centrale de centre O. La donnée décisive est « O est le milieu » : dans une symétrie axiale, c'est un AXE qui est médiatrice, pas un point qui est milieu. Contrôle visuel : la figure n'est pas retournée comme dans un miroir, elle est renversée.
Le point qui glisse
Le point A a pour coordonnées (1 ; 2). On lui applique une translation de 4 carreaux vers la droite et 2 carreaux vers le bas.
Quelles sont les coordonnées de son image A' ?
On ajoute le déplacement à chaque coordonnée. L'abscisse passe de 1 à 1 + 4 = 5. L'ordonnée, sur un quadrillage compté vers le bas, passe de 2 à 2 + 2 = 4. Donc A' a pour coordonnées (5 ; 4). Contrôle : tous les autres points ont glissé exactement pareil.
Le quart de tour
Un triangle pivote autour du point O d'un quart de tour, soit 90°, dans le sens des aiguilles d'une montre.
Que peut-on dire de ses côtés après la rotation ?
Les côtés ont exactement les mêmes longueurs qu'avant, et les angles du triangle sont inchangés : une rotation conserve tout. Seules les DIRECTIONS ont changé — chaque côté a pivoté de 90°. Un côté horizontal est devenu vertical.
Pièges à éviter : les transformations
- Confondre symétrie centrale et rotation : la symétrie centrale EST une rotation, mais toujours d'un demi-tour, c'est-à-dire de 180°.
- Croire qu'une symétrie axiale et une symétrie centrale donnent la même image : le miroir retourne la figure, le demi-tour la fait pivoter. Ce n'est pas la même chose.
- Oublier que l'axe est la médiatrice : il ne suffit pas qu'il passe entre le point et son image, il doit être perpendiculaire et à égale distance des deux.
À retenir : les transformations
- Quatre transformations : symétrie axiale (un axe), symétrie centrale (un centre), translation (une flèche), rotation (un centre et un angle).
- Toutes conservent les longueurs, les angles et les aires : la figure image a exactement la même forme et la même taille.
- Seule la symétrie axiale retourne la figure, comme un miroir. Les trois autres la déplacent sans la retourner.
Exercices corrigés : les transformations
1. Quelle est la seule des quatre transformations qui retourne la figure, comme un miroir ?
Voir la correction
La symétrie axiale. Les trois autres — symétrie centrale, translation, rotation — déplacent la figure sans jamais la retourner. C'est le contrôle visuel le plus rapide quand on hésite entre deux transformations.
2. Le point B(3 ; 5) subit une translation de 2 carreaux vers la gauche et 1 vers le haut. Quelles sont les coordonnées de B' ?
Voir la correction
Vers la gauche, on retire à l'abscisse : 3 − 2 = 1. Vers le haut, on retire à l'ordonnée comptée vers le bas : 5 − 1 = 4. Donc B' a pour coordonnées (1 ; 4).
3. Une figure a une aire de 12 cm². Quelle est l'aire de son image par une rotation de 60° ?
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12 cm² également. Toutes les transformations conservent les aires : la figure image est superposable à la figure de départ, donc elle occupe exactement la même surface. L'angle de rotation n'y change rien.
4. Pourquoi peut-on dire que la symétrie centrale est un cas particulier de rotation ?
Voir la correction
Parce qu'une symétrie centrale de centre O fait faire à la figure un demi-tour autour de O, c'est-à-dire une rotation de 180°. C'est la seule rotation pour laquelle le sens n'a pas d'importance : 180° dans un sens ou dans l'autre donnent la même image.
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