Le cercle circonscrit à un trianglecours et exercices corrigés de maths 6e
Un seul cercle passe par les trois sommets d'un triangle. Son centre se trouve avec deux médiatrices.
Médiatrices et cercle circonscrit : 20 exercices corrigésUne feuille à part, du geste seul au problème de contrôle, avec un rappel de cours avant chaque niveau et chaque corrigé étape par étape.À quoi ça sert : le cercle circonscrit à un triangle
Une assiette ronde est cassée : il ne reste qu'un morceau du bord. Avec trois points du bord, on retrouve son centre et sa taille. Trois maisons veulent un puits à la même distance de chacune. On le creuse au croisement des médiatrices.
Un peu d'histoire : le cercle circonscrit à un triangle
Il y a environ 2 300 ans, le Grec Euclide pose déjà le problème. Comment tracer le cercle qui passe par les trois sommets d'un triangle ? Sa méthode : couper deux côtés en leur milieu, et tracer les perpendiculaires. C'est exactement la méthode des deux médiatrices.
Définition : le cercle circonscrit à un triangle
Le cercle circonscrit à un triangle passe par ses trois sommets. Son centre est à la même distance des trois sommets.
A, B et C sont sur le cercle.
Propriétés : le cercle circonscrit à un triangle
Les trois médiatrices se croisent
Les trois médiatrices d'un triangle passent par un même point. On l'appelle O.
Trois médiatrices, un seul croisement : O.
La preuve en trois lignes
On part de deux médiatrices, qui se croisent en O. On prouve que la troisième passe aussi par O.
| je sais que… | donc… |
|---|---|
| O est sur la médiatrice de [AB] | OA = OB |
| O est sur la médiatrice de [BC] | OB = OC |
| OA = OB et OB = OC | OA = OC : O est sur la médiatrice de [AC] |
Trois rayons égaux
OA = OB = OC : c'est le rayon du cercle circonscrit. Si OA = 6 cm, alors OB = OC = 6 cm.
OA = OB = OC = 6 cm.
Méthode : le cercle circonscrit à un triangle
1. Tracer deux médiatrices
On construit au compas les médiatrices de deux côtés. Leur croisement est le centre O.
Deux médiatrices suffisent.
2. Ouvrir le compas de O à A
On pique le compas en O. On l'ouvre jusqu'au sommet A : c'est le rayon.
Le rayon est OA : le compas part de A.
3. Tracer et vérifier
On trace le cercle. Il doit passer par B et par C : sinon, on reprend le tracé.
Le cercle passe bien par B et par C.
Selon ce que l'on cherche : le cercle circonscrit à un triangle
Réparer une assiette cassée
On pose trois points sur le bord du morceau. Les médiatrices de deux cordes se croisent au centre de l'assiette.
Il ne reste qu'un morceau, mais on trouve le centre O.
Un puits pour trois maisons
Le puits doit être à la même distance des trois maisons. Il y a une seule place : le croisement des médiatrices.
Une seule place possible pour le puits.
Trois points alignés : impossible
Si A, B et C sont alignés, les deux médiatrices sont parallèles. Elles ne se croisent pas : aucun cercle ne passe par les trois.
Deux médiatrices parallèles, pas de centre.
Exemples corrigés : le cercle circonscrit à un triangle
Une longueur de plus
O est le point de croisement des médiatrices du triangle ABC. OA = 5 cm.
Combien mesure OB ?
OA = 5 cm. Et OB ?
O est sur les trois médiatrices. Donc OA = OB = OC. Donc OB = 5 cm.
Du rayon au diamètre
Le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC vérifie OB = 6 cm.
Quel est le diamètre de ce cercle ?
OB est un rayon : le rayon vaut 6 cm. Le diamètre vaut deux rayons : 2 × 6 = 12 cm.
Refaire la preuve
O est le croisement des médiatrices de [AB] et de [BC].
Pourquoi la médiatrice de [AC] passe-t-elle aussi par O ?
O est sur la médiatrice de [AB], donc OA = OB. O est sur la médiatrice de [BC], donc OB = OC. Alors OA = OC. Donc O est sur la médiatrice de [AC].
Pièges à éviter : le cercle circonscrit à un triangle
- Le cercle circonscrit passe par les trois SOMMETS. Il ne touche pas les côtés en leur milieu.
- Le centre n'est pas le milieu d'un côté. C'est le croisement des médiatrices.
- Trois points alignés n'ont pas de cercle : leurs médiatrices ne se croisent jamais.
À retenir : le cercle circonscrit à un triangle
- Les trois médiatrices d'un triangle se croisent en un même point O.
- O est à la même distance des trois sommets : OA = OB = OC.
- Le cercle de centre O passant par A passe aussi par B et C.
Exercices corrigés : le cercle circonscrit à un triangle
1. Qu'est-ce que le cercle circonscrit à un triangle ?
Voir la correction
C'est le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.
2. Combien de médiatrices faut-il tracer, au minimum, pour trouver le centre ?
Voir la correction
Deux. La troisième passe forcément par leur croisement : elle sert seulement à vérifier.
3. O est le croisement des médiatrices du triangle MNP, et OM = 8 cm. Combien mesure OP ?
Voir la correction
OP = 8 cm, car OM = ON = OP.
4. Le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC mesure 6 cm. Combien mesure OB ?
Voir la correction
OB = 6 cm : B est sur le cercle, donc [OB] est un rayon.
5. A, B et C sont alignés. Peut-on tracer un cercle qui passe par les trois ?
Voir la correction
Non. Les médiatrices de [AB] et de [BC] sont parallèles : elles ne se croisent pas.
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