Les débuts de l'algèbre
L'algèbre, c'est donner un nom à un nombre qu'on ne connaît pas encore. On l'appelle souvent x. On raconte alors la situation avec une écriture mathématique : par exemple 3 feuilles qui cachent chacune x margouillats, plus 2 visibles, c'est 3x + 2.
À quoi ça sert ?
À La Réunion, on modélise plein de situations : des feuilles qui cachent des margouillats, des réservoirs d'eau qui contiennent chacun la même quantité, un ramassage de déchets sur la plage (x déjà ramassés + 15 de plus), ou le prix au marché quand on ne sait pas encore combien de jus on achètera.
Un peu d'histoire
Le mot « algèbre » vient d'un livre écrit il y a plus de 1000 ans par un savant de Bagdad, Al-Khwarizmi. Son titre contenait le mot « al-jabr ». C'est lui qui a eu l'idée géniale de remplacer un nombre inconnu par un symbole pour résoudre des problèmes.
Définition
Une égalité est vraie quand les deux côtés du signe = ont la même valeur. Quand un nombre est inconnu, on peut lui donner un nom : une lettre, souvent x. Une expression comme 3x + 2 décrit une situation avant même de connaître x. Pour retrouver x, on fait l'opération inverse.
Chaque feuille cache le même nombre x de margouillats. Deux margouillats sont visibles.
Propriétés
Le signe = est une balance
8 + 4 = 6 + 6 est vrai car les deux côtés valent 12. Le signe = veut dire « même valeur ».
Compléter une égalité
Pour 7 + ? = 12, on cherche ce qui manque : 12 − 7 = 5. Le nombre manquant est 5.
Le nombre inconnu x
Si x + 9 = 20, on fait l'inverse de + 9 : 20 − 9 = 11. Donc x = 11.
Modéliser une situation
2 réservoirs qui contiennent chacun x litres, c'est x + x = 2x.
1. Je repère l'inconnu
Le nombre que je cherche, je l'appelle x.
2. J'écris l'égalité
Je traduis l'histoire en une écriture avec x (ex. x + 9 = 20).
3. Je fais l'inverse
Je remonte les opérations à l'envers pour trouver x.
Selon ce que l'on cherche
Vérifier
Dire si une égalité est vraie (les deux côtés sont-ils égaux ?).
Compléter
Trouver le nombre manquant qui rend l'égalité vraie.
Modéliser
Écrire une situation avec x (2 réservoirs = 2x).
Exemples corrigés
L'égalité est-elle vraie ?
On regarde l'égalité 8 + 4 = 6 + 6.
Est-elle vraie ?
On calcule les deux côtés : 8 + 4 = 12 et 6 + 6 = 12. Les deux valent 12 : oui, elle est vraie.
Trouver le nombre inconnu
Je pense à un nombre. Je lui ajoute 9 et j'obtiens 20.
Quel est ce nombre ?
On appelle le nombre inconnu x. Pour le trouver, on fait l'inverse de + 9.
L'inverse de « + 9 », c'est « − 9 » : 20 − 9 = 11. Le nombre est 11.
Modéliser avec x
3 feuilles cachent chacune x margouillats. Il y a aussi 2 margouillats visibles.
Quelle expression décrit la situation ?
3 feuilles = 3x, plus 2 margouillats visibles.
3 feuilles → 3x. On ajoute les 2 visibles → 3x + 2.
Le défi 974
Un nombre multiplié par 4 donne 36.
Quel est ce nombre ?
Il y a 4 fois la même quantité inconnue. Pour retrouver x, on divise par 4.
L'inverse de « × 4 », c'est « ÷ 4 » : 36 ÷ 4 = 9. Le nombre est 9.
Pièges à éviter
- Croire que le signe = veut dire « le résultat arrive » : il veut dire « la même valeur des deux côtés », comme une balance en équilibre.
- Dans « ? − 5 = 12 », répondre 7 : le nombre cherché est plus grand que 12 ! On fait l'inverse : 12 + 5 = 17.
- Confondre 2x (deux fois x) et x + 2 (x augmenté de 2) : ce n'est pas la même chose.
À retenir
- Un nombre qu'on ne connaît pas encore peut recevoir un nom : une lettre, souvent x.
- Le signe = signifie « la même valeur des deux côtés » (comme une balance).
- Pour retrouver x, on fait l'opération inverse (+ ↔ −, × ↔ ÷).
Je m'entraîne
1. L'égalité 9 + 5 = 7 + 6 est-elle vraie ?
Voir la correction
9 + 5 = 14 mais 7 + 6 = 13. Les deux côtés sont différents : non, elle est fausse.
2. Complète : 8 + ? = 15
Voir la correction
On cherche ce qui manque : 15 − 8 = 7. Le nombre manquant est 7.
3. Je pense à un nombre, je le multiplie par 3 et j'obtiens 21. Quel est ce nombre ?
Voir la correction
L'inverse de « × 3 » est « ÷ 3 » : 21 ÷ 3 = 7. Le nombre est 7.
4. 4 réservoirs contiennent chacun x litres. Quelle expression donne le total ?
Voir la correction
x + x + x + x = 4x. Le total est 4x litres.
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