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L'exponentielle, partie 1cours et exercices corrigés de maths 1re spé

Partie 1 : calculer et résoudre. Elle est égale à sa propre dérivée et vaut $1$ en $0$ — tout le reste en découle. L'exponentielle se calcule comme une puissance, ne s'annule jamais et ne fait que monter. Pour calculer comme pour résoudre, tout se joue dans l'exposant.

L'exponentielle : 20 exercices corrigésUne feuille à part, du geste seul au problème de contrôle, avec un rappel de cours avant chaque niveau et chaque corrigé étape par étape.

PrérequisRègles des puissances, dérivée, équations et inéquations du premier degré

L'idée cléTout se joue dans l'exposant :

e^{a} = e^{b} ⟺ a = b

La suitePartie 2 : dériver

e^{a t}

et étudier une fonction

À quoi ça sert : l'exponentielle, partie 1

Une vidéo tournée à Saint-Pierre voit son nombre de vues multiplié par $e^{0, 3}$ chaque jour. En deux jours : $e^{0, 3} \times e^{0, 3} =$ $e^{0, 6}$ . En dix jours : $e^{3}$ , soit environ vingt fois plus. ⭐ Des facteurs qui se MULTIPLIENT, des exposants qui s'AJOUTENT : c'est la relation fonctionnelle, et c'est pourquoi l'exponentielle décrit tout ce qui grandit d'un même pourcentage — une population, un capital, une rumeur.

Un peu d'histoire : l'exponentielle, partie 1

Vers 1683, Jacques Bernoulli calcule des intérêts composés de plus en plus souvent — chaque mois, chaque jour, chaque instant — et voit apparaître un nombre proche de $2, 718$ . Au XVIIIᵉ siècle, Leonhard Euler lui donne la lettre $e$ et en fait la base de la fonction exponentielle. Le chemin est celui du programme : une croissance à taux constant mène à la seule fonction égale à sa propre dérivée.

Définition : l'exponentielle, partie 1

La FONCTION EXPONENTIELLE est l'unique fonction $f$ dérivable sur $R$ telle que $f^{'} = f$ et $f (0) =$ $1$ . On la note $exp$ . Le nombre $e = exp (1) \approx 2, 718$ lui donne sa notation : $exp (x) =$ $e^{x}$ . Elle se calcule comme une puissance — mais avec un exposant qui peut être n'importe quel réel.

La courbe passe par

(0; 1)

et par

(1; e)

. En

(0; 1)

, la tangente rouge a pour pente

1

: c'est

f^{'} (0) = f (0) =

1

. Elle reste au-dessus de l'axe des abscisses et ne cesse de monter.

Propriétés : l'exponentielle, partie 1

⭐ Une somme devient un produit

Pour tous réels $a$ et $b$ : $e^{a + b} = e^{a} \times$ $e^{b}$ . C'est la RELATION FONCTIONNELLE. Avec $b =$ $- a$ , elle donne $e^{a} \times e^{- a} = e^{0} =$ $1$ .

e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}

e^{a} \times e^{- a} = e^{0} = 1

Les règles des puissances, avec des exposants réels.

Les règles de calcul

Elles se déduisent de la relation fonctionnelle. ⛔ Elles portent sur des PRODUITS et des QUOTIENTS, jamais sur des sommes : $e^{a} + e^{b}$ ne se simplifie pas.

e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}

\frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b}

(e^{a})^{n} = e^{na}

Toujours strictement positive

Pour tout réel $x$ : $e^{x} >$ $0$ . La courbe ne touche jamais l'axe des abscisses. Elle coupe la droite $y =$ $2$ , mais ne rencontre jamais $y =$ $- 1$ : l'équation $e^{x} =$ $- 1$ , comme $e^{x} =$ $0$ , n'a AUCUNE solution.

⭐ Strictement croissante : on compare les exposants

Sa dérivée est elle-même, donc strictement positive : l'exponentielle est strictement croissante. D'où la propriété qui sert à RÉSOUDRE : deux exponentielles sont rangées exactement comme leurs exposants.

e^{a} = e^{b} ⟺ a = b

e^{a} < e^{b} ⟺ a < b

Même sens : enlever les exponentielles ne renverse jamais une inégalité.

Méthode : l'exponentielle, partie 1

1. J'écris tout en puissances de $e$

Avant de calculer, on remplace ce qui n'a pas l'air d'une exponentielle : $1 =$ $e^{0}$ , $e =$ $e^{1}$ , $\frac{1}{e} =$ $e^{- 1}$ .

e \times e^{4} = e^{1} \times e^{4} = e^{5}

Le e tout seul n'est pas « rien » : c'est un facteur e¹.

2. Je simplifie en travaillant sur les exposants

Produit : on AJOUTE les exposants. Quotient : on les SOUSTRAIT. Puissance : on les MULTIPLIE.

\frac{e ^{3 x} \times e ^{- x}}{e ^{x}} = e^{3 x - x - x}

= e^{x}

3. Je résous en comparant les exposants

Une exponentielle de chaque côté : elles disparaissent, et il reste une équation sur les exposants, qu'on résout comme d'habitude.

e^{2 x - 1} = e^{x + 3}

⟺ 2 x - 1 = x + 3

⟺ x = 4

Selon ce que l'on cherche : l'exponentielle, partie 1

⭐ Résoudre une inéquation

Même méthode, et le sens ne change pas quand on enlève les exponentielles. Il ne peut changer qu'ENSUITE, si l'on divise par un nombre négatif.

e^{3 x} ⩽ e^{x + 6}

⟺ 3 x ⩽ x + 6

⟺ x ⩽ 3

S =] - \infty; 3]

Crochet fermé en 3 : l'égalité est permise.

Quand le second membre vaut $1$ ou $e$

On le réécrit d'abord en exponentielle. ⛔ Le piège classique : conclure que l'exposant vaut $1$ parce que le second membre vaut $1$ .

e^{2 x - 4} = 1 = e^{0}

⟺ 2 x - 4 = 0

⟺ x = 2

Regarder le second membre AVANT de calculer

Négatif ou nul : il n'y a rien à résoudre, une exponentielle est toujours strictement positive. Et dans un produit nul, le facteur exponentiel ne s'annule jamais.

e^{x + 1} = - 2

aucune solution

e^{x + 1} > - 2

S = R

(2 x - 4) e^{x} = 0

x = 2

seulement

On ne compare des exposants que s'il y a deux exponentielles.

Exemples corrigés : l'exponentielle, partie 1

Simplifier un quotient

$A =$ $\frac{e ^{2 x} \times e ^{3}}{e ^{x + 1}}$ .

Écrire $A$ sous la forme $e^{\dots}$ .

A = e^{2 x + 3 - (x + 1)}

= e^{x + 2}

Au numérateur, un produit : on ajoute les exposants, $2 x +$ $3$ . Puis le quotient : on soustrait l'exposant du dénominateur TOUT ENTIER, d'où les parenthèses. $2 x + 3 - x - 1 = x +$ $2$ . ⛔ Sans parenthèses, on écrirait $2 x + 3 - x + 1$ et l'on trouverait $e^{x + 4}$ .

Une somme ne se simplifie pas

$B =$ $\frac{e ^{2 x} + e ^{3 x}}{e ^{x}}$ .

Simplifier $B$ .

B = \frac{e ^{2 x}}{e ^{x}} + \frac{e ^{3 x}}{e ^{x}}

= e^{x} + e^{2 x}

Le numérateur est une SOMME : les règles des exposants ne s'y appliquent pas. On partage la fraction, puis chaque quotient se simplifie. ⛔ Écrire $e^{2 x + 3 x - x} =$ $e^{4 x}$ , c'est traiter une somme comme un produit.

Résoudre avec $e$ au second membre

$e^{- 2 x + 3} =$ $e$ .

Résoudre dans $R$ .

e^{- 2 x + 3} = e^{1}

- 2 x + 3 = 1

x = 1

On écrit $e =$ $e^{1}$ , puis on compare les exposants : $- 2 x + 3 =$ $1$ , soit $- 2 x = - 2$ et $x =$ $1$ . $S =$ ${1}$ .

Une équation qui retombe sur le second degré

$e^{x^{2}} =$ $e^{2 x + 3}$ .

Résoudre dans $R$ .

x^{2} = 2 x + 3

x^{2} - 2 x - 3 = 0

x = - 1 ou x = 3

Les exposants sont égaux : $x^{2} = 2 x +$ $3$ . On ramène tout d'un côté : $x^{2} - 2 x - 3 =$ $0$ , $Δ = 4 + 12 = 16$ et $Δ =$ $4$ , donc $x = \frac{2 - 4}{2} = - 1$ ou $x = \frac{2 + 4}{2} =$ $3$ . $S =$ ${- 1; 3}$ . L'exponentielle ne sert qu'à la première ligne.

Pièges à éviter : l'exponentielle, partie 1

⛔ $e^{a} + e^{b} \neq =$ $e^{a + b}$ : c'est le PRODUIT qui donne $e^{a + b}$ . Une somme d'exponentielles ne se simplifie pas.
⛔ $e^{- x}$ n'est pas négatif : c'est l'INVERSE $\frac{1}{e ^{x}}$ , toujours strictement positif.
⛔ $e^{2 x} \neq =$ $2 e^{x}$ : $e^{2 x} =$ $(e^{x})^{2}$ , c'est un carré, pas un double.
⛔ $\frac{e ^{5}}{e ^{3}} =$ $e^{2}$ , et non $e^{5/3}$ : on soustrait les exposants.
⛔ $e^{u} = 1$ ne donne pas $u =$ $1$ : $1 =$ $e^{0}$ , donc $u =$ $0$ .
⛔ $(2 x - 4) e^{x} = 0$ n'a qu'une solution, $x =$ $2$ : pas de « ou $x =$ $0$ », car $e^{0} =$ $1$ .
⚠️ $e \approx 2, 718$ — et non $3, 14$ , qui est $π$ .

À retenir : l'exponentielle, partie 1

$exp$ est l'unique fonction dérivable sur $R$ telle que $f^{'} = f$ et $f (0) =$ $1$ ; on note $e^{x}$ , avec $e = e^{1} \approx$ $2, 718$ .
$e^{a + b} =$ $e^{a} e^{b}$ , $e^{a - b} =$ $\frac{e ^{a}}{e ^{b}}$ , $e^{- a} =$ $\frac{1}{e ^{a}}$ , $(e^{a})^{n} =$ $e^{na}$ .
Pour tout réel $x$ : $e^{x} >$ $0$ . L'exponentielle ne s'annule jamais.
Elle est strictement croissante : $e^{a} = e^{b} \Leftrightarrow a = b$ et $e^{a} < e^{b} \Leftrightarrow a <$ $b$ .
⭐ Pour résoudre : deux exponentielles, puis on compare les exposants.
$1 =$ $e^{0}$ , $e =$ $e^{1}$ , $\frac{1}{e} =$ $e^{- 1}$ .

Exercices corrigés : l'exponentielle, partie 1

1. Simplifier $e^{3} \times$ $e^{- 5}$ .
Voir la correction
Produit : on ajoute les exposants. $e^{3 + (- 5)} =$ $e^{- 2}$ .
2. Simplifier $\frac{e ^{7}}{e ^{2}}$ .
Voir la correction
Quotient : on soustrait. $e^{7 - 2} =$ $e^{5}$ .
3. Simplifier $(e^{2 x})^{3} \times$ $e^{- x}$ .
Voir la correction
$(e^{2 x})^{3} =$ $e^{6 x}$ , puis $e^{6 x} \times e^{- x} =$ $e^{5 x}$ .
4. Écrire $e \times e^{4}$ sous la forme d'une seule puissance de $e$ .
Voir la correction
$e =$ $e^{1}$ , donc $e^{1} \times e^{4} =$ $e^{5}$ .
5. Sans calculatrice, comparer $e^{- 3}$ et $e^{- 2}$ .
Voir la correction
L'exponentielle est strictement croissante et $- 3 <$ $- 2$ , donc $e^{- 3} <$ $e^{- 2}$ .
6. Résoudre $e^{3 x - 2} =$ $e^{x + 4}$ .
Voir la correction
On compare les exposants : $3 x - 2 = x +$ $4$ , donc $2 x = 6$ et $x =$ $3$ .
7. Résoudre $e^{2 x + 6} =$ $1$ .
Voir la correction
$1 =$ $e^{0}$ , donc $2 x + 6 = 0$ et $x =$ $- 3$ . ⛔ Et non $2 x + 6 =$ $1$ .
8. Résoudre $e^{x + 2} <$ $e^{4 x - 7}$ .
Voir la correction
$x + 2 < 4 x -$ $7$ , soit $- 3 x <$ $- 9$ . On divise par $- 3$ , négatif : le sens change, $x >$ $3$ . $S =$ $] 3; + \infty [$ .
9. Résoudre $(3 x + 6) e^{x} =$ $0$ .
Voir la correction
$e^{x} \neq =$ $0$ , donc $3 x + 6 = 0$ et $x =$ $- 2$ .
10. Résoudre $e^{x^{2}} =$ $e^{4 x - 3}$ .
Voir la correction
$x^{2} = 4 x -$ $3$ , soit $x^{2} - 4 x + 3 =$ $0$ . $Δ = 16 - 12 =$ $4$ , donc $x = 1$ ou $x =$ $3$ .

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