eleveai.frLa liberté d'apprendre

Mathspremiere-speFiche de cours

L'exponentielle, partie 2cours et exercices corrigés de maths 1re spé

Partie 2 : dériver et étudier. Dans une dérivée, l'exponentielle est toujours là — et toujours strictement positive. Elle ne décide donc jamais du signe : c'est l'autre facteur qui commande les variations. Dériver $e^{a t}$ , étudier $(a x +$ $b) e^{x}$ , modéliser une croissance : tout repose sur cette phrase.

L'exponentielle : 20 exercices corrigésUne feuille à part, du geste seul au problème de contrôle, avec un rappel de cours avant chaque niveau et chaque corrigé étape par étape.

PrérequisPartie 1 (

e^{x} >

0

, règles de calcul), dérivée d'un produit, tableau de signes

L'idée cléL'exponentielle ne décide jamais du signe : c'est l'autre facteur

Outil

(e^{a t})^{'} = a e^{a t}

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

À quoi ça sert : l'exponentielle, partie 2

Un cari sorti du feu refroidit dans une cuisine de Saint-Joseph : sa température, en degrés, suit $T (t) = 25 +$ $60 e^{- 0, 05 t}$ , avec $t$ en minutes. Sa dérivée, $T^{'} (t) =$ $- 3 e^{- 0, 05 t}$ , est toujours négative : le cari ne fait que refroidir. Et comme $e^{- 0, 05 t}$ reste strictement positif, $T (t)$ reste au-dessus de $25$ : il s'approche de la température de la pièce sans jamais la franchir.

Un peu d'histoire : l'exponentielle, partie 2

En 1701, Isaac Newton publie — sans signer — une loi du refroidissement : un corps chaud perd sa chaleur d'autant plus vite que l'écart avec l'air ambiant est grand. Une vitesse proportionnelle à la quantité, c'est $f^{'} =$ $k f$ : une exponentielle. En 1902, Rutherford et Soddy découvrent que la radioactivité suit la même loi. Une seule équation pour le cari qui refroidit et l'atome qui se désintègre.

Définition : l'exponentielle, partie 2

Pour tout réel $a$ , la fonction $t \mapsto e^{a t}$ est dérivable sur $R$ et $(e^{a t})^{'} =$ $a e^{a t}$ . Comme $e^{a t} >$ $0$ , cette dérivée a le signe de $a$ : CROISSANCE exponentielle si $a >$ $0$ , DÉCROISSANCE exponentielle si $a <$ $0$ . Toutes ces courbes passent par $(0; 1)$ , et plus $a$ est loin de $0$ , plus l'évolution est rapide.

Quatre courbes

t \mapsto

e^{a t}

, qui partent toutes de

(0; 1)

. En bleu

a = 2

et en vert

a =

0, 5

: elles montent. En orange

a = - 0, 5

et en rouge

a =

- 2

: elles descendent, en s'approchant de l'axe sans jamais le toucher.

Propriétés : l'exponentielle, partie 2

⭐ Dériver $e^{a t}$

Le coefficient de $t$ SORT de l'exponentielle, et un facteur devant reste en facteur. ⛔ C'est le nombre $a$ qui sort — pas l'exposant entier $a t$ .

(e^{a t})^{'} = a e^{a t}

(100 e^{- 0, 2 t})^{'} = - 20 e^{- 0, 2 t}

100 × (−0,2) = −20.

⭐ L'exponentielle ne décide jamais du signe

Dans $f^{'} (x) = (p x +$ $q) e^{\dots}$ , le facteur exponentiel est strictement positif — même quand son exposant est négatif. Le signe de $f^{'} (x)$ est celui de $p x +$ $q$ , et de lui seul.

f^{'} (x) = (x - 1) e^{x}

signe de

x - 1

f^{'} (x) = - 3 e^{- x}

toujours négatif

« f′ > 0 car eˣ > 0 » est faux : eˣ ne dit rien du signe.

Deux croissances qui échangent leurs places

Pour $t >$ $0$ , la courbe de $e^{2 t}$ (bleu) passe au-dessus de celle de $e^{0, 5 t}$ (vert), car $2 t >$ $0, 5 t$ . Pour $t <$ $0$ , c'est l'inverse : $2 t <$ $0, 5 t$ . Elles se croisent en $(0; 1)$ .

La suite $(e^{na})$ est géométrique

Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par $e^{a}$ : la suite est géométrique, de raison $e^{a}$ et de premier terme $1$ . ⛔ La raison de $(e^{2 n})$ est $e^{2} \approx$ $7, 39$ , pas $2$ .

u_{n} = e^{na}

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{e ^{(n + 1) a}}{e ^{na}} = e^{a}

Méthode : l'exponentielle, partie 2

1. Je dérive le produit

Pour $f (x) = (x -$ $2) e^{x}$ : $u (x) = x -$ $2$ , $u^{'} (x) =$ $1$ ; $v (x) =$ $e^{x}$ , $v^{'} (x) =$ $e^{x}$ . On applique $(uv)^{'} = u^{'} v +$ $u v^{'}$ .

f^{'} (x) = 1 \times e^{x} + (x - 2) e^{x}

2. Je factorise par l'exponentielle

La forme factorisée donne le signe d'un coup d'œil. Comme $e^{x} >$ $0$ , $f^{'} (x)$ a le signe de $x -$ $1$ .

f^{'} (x) = (x - 1) e^{x}

eˣ > 0 : seul le facteur bleu décide.

3. Je conclus : variations et extremum

$x - 1$ est négatif avant $1$ , positif après : $f$ décroît puis croît. Elle admet un MINIMUM en $x =$ $1$ .

f (1) = (1 - 2) e^{1} = - e

Selon ce que l'on cherche : l'exponentielle, partie 2

⭐ Dresser le tableau de variations

Il résume la méthode : le signe de $f^{'} (x)$ sur la première ligne, les flèches de $f$ en dessous, et la valeur exacte de l'extremum au bout de la flèche. Ici $f (x) = (x -$ $2) e^{x}$ .

Modéliser une croissance ou une décroissance

Dans $N (t) =$ $N_{0} e^{k t}$ , $N_{0} = N (0)$ est la quantité de départ, et le signe de $k$ décide : croissance si $k >$ $0$ , décroissance si $k <$ $0$ . La quantité ne devient jamais négative.

2000 e^{0, 03 t}

un capital qui croît

100 e^{- 0, 2 t}

une masse qui décroît

Le nombre devant : le départ. Le signe de k : le sens.

Du discret au continu

Observée mois par mois, une croissance exponentielle est une suite géométrique. $P_{n} = 500 e^{0, 2 n}$ est multiplié chaque mois par $e^{0, 2} \approx$ $1, 22$ , soit environ $+ 22 %$ .

\frac{P _{n + 1}}{P _{n}} = e^{0, 2} \approx 1, 22

Exemples corrigés : l'exponentielle, partie 2

Dériver $k e^{a t}$

$m (t) =$ $100 e^{- 0, 2 t}$ , la masse en grammes d'un échantillon radioactif.

Calculer $m^{'} (t)$ et en déduire le sens de variation de $m$ .

m^{'} (t) = 100 \times (- 0, 2) e^{- 0, 2 t}

= - 20 e^{- 0, 2 t}

Le facteur $100$ reste, le coefficient $- 0, 2$ sort : $m^{'} (t) =$ $- 20 e^{- 0, 2 t}$ . Comme $e^{- 0, 2 t} >$ $0$ , $m^{'} (t) <$ $0$ : la masse diminue sans cesse. ⛔ Écrire $m^{'} (t) =$ $100 e^{- 0, 2 t}$ , c'est oublier le coefficient — et prétendre que la masse augmente.

Dériver un produit avec $e^{- x}$

$f (x) = (2 x +$ $1) e^{- x}$ .

Calculer $f^{'} (x)$ sous forme factorisée.

f^{'} (x) = 2 e^{- x} - (2 x + 1) e^{- x}

= (- 2 x + 1) e^{- x}

$u = 2 x +$ $1$ , $u^{'} =$ $2$ ; $v =$ $e^{- x}$ , $v^{'} = - e^{- x}$ (le coefficient $- 1$ sort). On factorise par $e^{- x}$ : $(2 - 2 x - 1) e^{- x} = (- 2 x +$ $1) e^{- x}$ . ⚠️ Le moins s'applique à tout le facteur $2 x +$ $1$ .

L'extremum n'est pas là où $f$ s'annule

$f (x) = (x +$ $2) e^{x}$ .

Déterminer l'extremum de $f$ .

f^{'} (x) = (x + 3) e^{x}

f (- 3) = - e^{- 3}

$f^{'} (x) = e^{x} + (x + 2) e^{x} = (x +$ $3) e^{x}$ , du signe de $x +$ $3$ : négatif avant $- 3$ , positif après. $f$ décroît puis croît : MINIMUM en $x =$ $- 3$ , égal à $f (- 3) = (- 3 + 2) e^{- 3} =$ $- e^{- 3}$ . ⛔ Le piège : répondre $x =$ $- 2$ , là où $f$ s'annule. L'extremum se lit sur $f^{'}$ , pas sur $f$ .

Une exponentielle négative ? Jamais

$f$ est dérivable sur $R$ et $f^{'} (x) = (- x +$ $4) e^{- 2 x}$ .

Donner les variations de $f$ .

e^{- 2 x} > 0

signe de - x + 4

$e^{- 2 x}$ est strictement positif, malgré son exposant négatif. Le signe de $f^{'} (x)$ est donc celui de $- x +$ $4$ : positif avant $4$ , négatif après. $f$ est croissante sur $] - \infty; 4]$ puis décroissante sur $[4; + \infty [$ : MAXIMUM en $x =$ $4$ .

Pièges à éviter : l'exponentielle, partie 2

⛔ $(e^{3 x})^{'} \neq =$ $e^{3 x}$ : le $3$ sort, $(e^{3 x})^{'} =$ $3 e^{3 x}$ .
⛔ $(e^{5 x})^{'} \neq =$ $5 x e^{5 x}$ : c'est le coefficient $5$ qui sort, pas l'exposant entier.
⛔ $(uv)^{'} \neq =$ $u^{'} v^{'}$ : $(x e^{x})^{'} = (x +$ $1) e^{x}$ , et non $e^{x}$ .
⛔ « $f^{'} (x) >$ $0$ car $e^{x} >$ $0$ » : faux. L'exponentielle est positive, c'est l'AUTRE facteur qui donne le signe.
⛔ $e^{- x}$ n'est jamais négatif : un exposant négatif ne change pas le signe.
⛔ L'extremum est là où $f^{'}$ s'annule EN CHANGEANT DE SIGNE — pas là où $f$ s'annule.
⚠️ La raison de la suite $(e^{2 n})$ est $e^{2} \approx$ $7, 39$ , et non $2$ .

À retenir : l'exponentielle, partie 2

Pour tout réel $a$ : $(e^{a t})^{'} =$ $a e^{a t}$ , et $(k e^{a t})^{'} =$ $ka e^{a t}$ .
$t \mapsto e^{a t}$ croît si $a >$ $0$ , décroît si $a <$ $0$ ; toutes ces courbes passent par $(0; 1)$ .
⭐ Dans $f^{'} (x) = (p x +$ $q) e^{\dots}$ , le signe de $f^{'}$ est celui de $p x +$ $q$ .
Étudier $f$ : dériver, factoriser par l'exponentielle, étudier le signe, dresser le tableau, lire l'extremum.
$(e^{na})$ est géométrique de raison $e^{a}$ et de premier terme $1$ .
$N (t) =$ $N_{0} e^{k t}$ : $N_{0}$ est la quantité initiale, le signe de $k$ donne croissance ou décroissance.

Exercices corrigés : l'exponentielle, partie 2

1. Dériver $f (t) =$ $e^{- 3 t}$ .
Voir la correction
Le coefficient $- 3$ sort : $f^{'} (t) =$ $- 3 e^{- 3 t}$ .
2. Dériver $f (t) =$ $50 e^{0, 1 t}$ .
Voir la correction
$f^{'} (t) = 50 \times 0, 1 e^{0, 1 t} =$ $5 e^{0, 1 t}$ .
3. Dériver $f (x) =$ $x e^{x}$ .
Voir la correction
$f^{'} (x) = 1 \times e^{x} + x e^{x} = (x +$ $1) e^{x}$ .
4. Dériver $f (x) = (3 x -$ $1) e^{x}$ .
Voir la correction
$f^{'} (x) = 3 e^{x} + (3 x - 1) e^{x} = (3 x +$ $2) e^{x}$ .
5. Dériver $f (x) = (x +$ $4) e^{- x}$ .
Voir la correction
$f^{'} (x) = e^{- x} - (x + 4) e^{- x} = (- x -$ $3) e^{- x}$ .
6. On sait que $f^{'} (x) = (2 x -$ $6) e^{x}$ . Donner les variations de $f$ .
Voir la correction
$e^{x} >$ $0$ : le signe de $f^{'}$ est celui de $2 x -$ $6$ . $f$ décroît sur $] - \infty; 3]$ et croît sur $[3; + \infty [$ .
7. Déterminer l'extremum de $f (x) = (x -$ $3) e^{x}$ .
Voir la correction
$f^{'} (x) = (x -$ $2) e^{x}$ : minimum en $x =$ $2$ , égal à $f (2) =$ $- e^{2}$ .
8. Déterminer l'extremum de $f (x) = (2 x +$ $2) e^{- x}$ .
Voir la correction
$f^{'} (x) = 2 e^{- x} - (2 x + 2) e^{- x} =$ $- 2 x e^{- x}$ : positif avant $0$ , négatif après. Maximum en $x =$ $0$ , égal à $f (0) =$ $2$ .
9. La suite $u_{n} = e^{- 0, 5 n}$ est-elle croissante ou décroissante ?
Voir la correction
Elle est géométrique de raison $e^{- 0, 5} \approx$ $0, 61$ , comprise entre $0$ et $1$ : décroissante.
10. $m (t) =$ $80 e^{- 0, 05 t}$ . Que vaut $m (0)$ ? Quel est le sens de variation de $m$ ?
Voir la correction
$m (0) = 80 e^{0} =$ $80$ . $m^{'} (t) = - 4 e^{- 0, 05 t} <$ $0$ : $m$ est décroissante.

M'entraîner avec le Coach L'exponentielle : 20 exercices corrigés Télécharger en PDF

📚 Révise cette fiche en flashcards

Connecte-toi pour retourner cette fiche en cartes de rappel actif — et garder ta progression.

Se connecter