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Multiples, diviseurs et nombres premierscours et exercices corrigés de maths 2nde

Un nombre entier se décompose en nombres premiers, comme une molécule en atomes. Multiples, diviseurs, fractions irréductibles : tout le chapitre se lit dans cette décomposition. Et chaque affirmation se justifie par une égalité.

Multiples, diviseurs et nombres premiers : 20 exercices corrigésUne feuille à part, du geste seul au problème de contrôle, avec un rappel de cours avant chaque niveau et chaque corrigé étape par étape.

Mots clésMultiple, diviseur, pair, impair, nombre premier, fraction irréductible

Le secret« 8 divise 56 », c'est l'égalité 56 = 8 × 7

OutilLa décomposition en facteurs premiers

À quoi ça sert : Multiples, diviseurs et nombres premiers

Quand tu paies en ligne, tes données sont protégées par des nombres premiers. Multiplier deux nombres premiers de plusieurs centaines de chiffres est facile pour un ordinateur. Mais retrouver ces deux nombres à partir de leur produit lui demanderait des milliers d'années. C'est sur cette différence que repose le chiffrement des cartes bancaires et des messageries.

Un peu d'histoire : Multiples, diviseurs et nombres premiers

Vers 300 avant notre ère, Euclide démontre qu'il y a une infinité de nombres premiers : sa preuve tient en quelques lignes et on l'enseigne encore. À la même époque, Ératosthène invente un « crible » pour les trouver : on écrit les nombres, puis on barre les multiples de $2$ , de $3$ , de $5$ … Ceux qui restent sont premiers.

Définition : Multiples, diviseurs et nombres premiers

Soient $a$ et $b$ deux entiers. On dit que $b$ est un DIVISEUR de $a$ , et que $a$ est un MULTIPLE de $b$ , s'il existe un entier $k$ tel que $a = b \times$ $k$ . Un entier est PAIR s'il s'écrit $2 k$ , IMPAIR s'il s'écrit $2 k +$ $1$ . Un nombre PREMIER est un entier qui a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.

Les diviseurs de 30, par paires

Données	on multiplie par	et on obtient
1	30	30
2	15	30
3	10	30
5	6	30

Les diviseurs de

30

vont par paires :

1 \times

30

2 \times

15

3 \times

10

5 \times

6

. On s'arrête quand les deux facteurs se rejoignent. Il y en a

8

1

2

3

5

6

10

15

30

Propriétés : Multiples, diviseurs et nombres premiers

Multiple et diviseur : la même égalité

$56 = 8 \times 7$ dit trois choses à la fois : $8$ divise $56$ , $7$ divise $56$ , et $56$ est un multiple de $8$ et de $7$ . Pour justifier, on écrit l'égalité, pas une impression.

Un reste nul, ou pas

Données	divise 56 ?	l'égalité
8	oui	56 = 8 × 7
6	non	56 = 6 × 9 + 2

Pair et impair

Un entier PAIR s'écrit $2 k$ ; un entier IMPAIR s'écrit $2 k +$ $1$ , avec $k$ entier. $38 = 2 \times 19$ est pair. $55 = 2 \times 27 + 1$ est impair. Ces écritures servent à DÉMONTRER, pas seulement à reconnaître.

Données	s'écrit	donc
38	2 × 19	pair
55	2 × 27 + 1	impair

Les critères de divisibilité

Par $2$ , $5$ ou $10$ : on regarde le dernier chiffre. Par $4$ : les deux derniers chiffres. Par $3$ ou $9$ : la somme des chiffres. Pour $7245$ : il finit par $5$ , et $7 + 2 + 4 + 5 =$ $18$ . Il est donc divisible par $5$ , par $3$ et par $9$ .

Données	on regarde	7 245 ?
par 5	le dernier chiffre : 5	oui
par 9	la somme : 18	oui
par 4	les deux derniers : 45	non

Les nombres premiers

Un nombre premier n'a que deux diviseurs : $1$ et lui-même. Les premiers sont $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ , $17$ , $19$ , $23$ , $29$ … Le nombre $1$ n'est PAS premier : il n'a qu'un seul diviseur. Et $2$ est le seul nombre premier pair.

Données	diviseurs	premier ?
13	1 et 13	oui
15	1, 3, 5, 15	non
1	1	non

Décomposer en facteurs premiers

Tout entier plus grand que $1$ s'écrit comme un produit de nombres premiers, d'une seule façon. On divise par le plus petit premier possible, et on recommence. $72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^{3} \times$ $3^{2}$ .

72 = 2³ × 3²

Données	on divise par	il reste
72	2	36
36	2	18
18	2	9
9	3	3
3	3	1

La somme de deux multiples

La somme de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$ . PREUVE : deux multiples de $a$ s'écrivent $a \times k$ et $a \times$ $m$ . Leur somme vaut $a \times k + a \times m = a \times (k +$ $m)$ , et $k + m$ est un entier. Par exemple, $15 + 40 = 55 = 5 \times$ $11$ .

Données	s'écrit	multiple de 5 ?
15	5 × 3	oui
40	5 × 8	oui
15 + 40	5 × 11	oui

Rendre une fraction irréductible

Une fraction est IRRÉDUCTIBLE quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun, sauf $1$ . On décompose les deux nombres, et on divise par ce qu'ils ont en commun. $72 = 2^{3} \times 3^{2}$ et $150 = 2 \times 3 \times 5^{2}$ ont en commun $2 \times 3 =$ $6$ : $\frac{72}{150} =$ $\frac{12}{25}$ .

Ce qui est commun : 2 × 3

Données	décomposition	÷ 6
72	2³ × 3²	12
150	2 × 3 × 5²	25

Méthode : Multiples, diviseurs et nombres premiers

1. 1. Je cherche les diviseurs par paires

J'essaie $1$ , $2$ , $3$ … et j'écris chaque paire. Je m'arrête quand les deux facteurs se rejoignent.

Données	×	= 20
1	20	✓
2	10	✓
4	5	✓

2. 2. Je teste un nombre premier

Je divise par $2$ , $3$ , $5$ , $7$ … jusqu'à la racine carrée du nombre. Si aucune division ne tombe juste, il est premier.

3. 3. Je décompose jusqu'au bout

Je divise par le plus petit premier possible, puis je recommence avec le quotient, jusqu'à obtenir $1$ .

4. 4. Je démontre avec une lettre

Un pair : $2 k$ . Un impair : $2 k +$ $1$ . Un multiple de $a$ : $a \times$ $k$ . Je calcule, puis je reconnais la forme cherchée.

Selon ce que l'on cherche : Multiples, diviseurs et nombres premiers

Partager sans reste

Faire des paquets identiques avec tout, le plus possible : on cherche le PLUS GRAND DIVISEUR COMMUN. Avec $24$ et $36$ : $12$ paquets.

Données	décomposition	commun
24	2³ × 3	2² × 3
36	2² × 3²	= 12

Attendre que deux cycles se retrouvent

Deux événements qui reviennent tous les $6$ et tous les $8$ jours se retrouvent après le PLUS PETIT MULTIPLE COMMUN : $24$ jours.

Données	ses multiples	commun
6	6, 12, 18, 24	24
8	8, 16, 24	24

Simplifier une fraction

On décompose, puis on divise par tout ce qui est commun, en une seule fois.

Données	décomposition	après
72	2³ × 3²	12
150	2 × 3 × 5²	25

Exemples corrigés : Multiples, diviseurs et nombres premiers

Tous les diviseurs

Le nombre $40$ .

Donner tous ses diviseurs.

Données	×	= 40
1	40	✓
2	20	✓
4	10	✓
5	8	✓

Par paires : $1 \times$ $40$ , $2 \times$ $20$ , $4 \times$ $10$ , $5 \times$ $8$ . Ni $3$ , ni $6$ , ni $7$ ne divisent $40$ . Les diviseurs sont $1$ , $2$ , $4$ , $5$ , $8$ , $10$ , $20$ et $40$ .

Premier ou pas ?

Le nombre $119$ .

Est-il premier ?

Données	reste	divise ?
÷ 2	1	non
÷ 3	2	non
÷ 5	4	non
÷ 7	0	oui

$119 \approx$ $10, 9$ : on essaie $2$ , $3$ , $5$ et $7$ . Les trois premiers ne tombent pas juste, mais $119 = 7 \times$ $17$ . Il n'est donc pas premier, même s'il en a l'air.

Décomposer pour simplifier

La fraction $\frac{168}{180}$ .

La rendre irréductible.

Données	décomposition	÷ 12
168	2³ × 3 × 7	14
180	2² × 3² × 5	15

$168 = 2^{3} \times 3 \times 7$ et $180 = 2^{2} \times 3^{2} \times$ $5$ . Ils ont en commun $2^{2} \times 3 =$ $12$ . Donc $\frac{168}{180} =$ $\frac{14}{15}$ , et $14 = 2 \times 7$ n'a plus rien en commun avec $15 = 3 \times$ $5$ .

Démontrer

Deux nombres pairs.

Démontrer que leur somme est paire.

Données	s'écrit	pair ?
1er nombre	2a	oui
2e nombre	2b	oui
somme	2(a + b)	oui

Deux nombres pairs s'écrivent $2 a$ et $2 b$ , avec $a$ et $b$ entiers. Leur somme vaut $2 a + 2 b = 2 (a +$ $b)$ : c'est $2$ fois un entier, donc un nombre pair. ⭐ On prend deux lettres différentes : sinon on ne parlerait que de deux nombres égaux.

Pièges à éviter : Multiples, diviseurs et nombres premiers

$1$ n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur.
Un nombre impair n'est pas forcément premier : $9$ , $15$ , $21$ , $119$ sont impairs et ne sont pas premiers.
La somme des chiffres dit la divisibilité par $3$ et par $9$ , jamais par $4$ ou par $6$ .
Décomposer jusqu'au bout : $12 = 4 \times 3$ n'est pas fini, car $4$ n'est pas premier. On écrit $12 = 2^{2} \times$ $3$ .
Un exemple n'est pas une preuve. Pour démontrer, on écrit les nombres avec une lettre.

À retenir : Multiples, diviseurs et nombres premiers

$b$ divise $a$ quand $a = b \times$ $k$ , avec $k$ entier.
Pair : $2 k$ . Impair : $2 k +$ $1$ .
Premier : exactement deux diviseurs, $1$ et lui-même. $1$ n'est pas premier.
Tout entier plus grand que $1$ se décompose en facteurs premiers, d'une seule façon.
Partager : le plus grand diviseur commun. Se retrouver : le plus petit multiple commun.

Exercices corrigés : Multiples, diviseurs et nombres premiers

1. $144$ est-il un multiple de $12$ ?
Voir la correction
Oui : $144 = 12 \times$ $12$ .
2. Donner tous les diviseurs de $28$ .
Voir la correction
Par paires : $1 \times$ $28$ , $2 \times$ $14$ , $4 \times$ $7$ . Les diviseurs sont $1$ , $2$ , $4$ , $7$ , $14$ et $28$ .
3. $5832$ est-il divisible par $9$ ?
Voir la correction
$5 + 8 + 3 + 2 =$ $18$ , qui est divisible par $9$ . Donc oui : $5832 = 9 \times$ $648$ .
4. $61$ est-il premier ?
Voir la correction
$61 \approx$ $7, 8$ . $61$ n'est divisible ni par $2$ , ni par $3$ , ni par $5$ , ni par $7$ : il est premier.
5. $87$ est-il premier ?
Voir la correction
Non : $8 + 7 = 15$ est divisible par $3$ , et $87 = 3 \times$ $29$ .
6. Décomposer $100$ en produit de facteurs premiers.
Voir la correction
$100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 2^{2} \times$ $5^{2}$ .
7. Décomposer $132$ en produit de facteurs premiers.
Voir la correction
$132 = 2 \times 66 = 2 \times 2 \times 33 = 2^{2} \times 3 \times$ $11$ .
8. Rendre $\frac{45}{75}$ irréductible.
Voir la correction
$45 = 3^{2} \times 5$ et $75 = 3 \times$ $5^{2}$ . En commun : $3 \times 5 =$ $15$ . Donc $\frac{45}{75} =$ $\frac{3}{5}$ .
9. Démontrer que le produit d'un nombre pair par un entier quelconque est pair.
Voir la correction
Un nombre pair s'écrit $2 k$ . Multiplié par un entier $m$ : $2 k \times m = 2 \times$ $(km)$ , et $km$ est un entier. Le produit est pair.
10. Avec $24$ billes et $36$ calots, on fait des sachets identiques, le plus possible, sans rien laisser. Combien de sachets, et que contient chacun ?
Voir la correction
On cherche le plus grand diviseur commun de $24$ et $36$ : $12$ . On fait $12$ sachets de $2$ billes et $3$ calots.

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