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Les fonctions affinescours et exercices corrigés de maths 2nde

Deux nombres suffisent à tout dire : l'un donne la PENTE, l'autre le point de DÉPART. Et une fois qu'on les tient, on sait dessiner la droite, prévoir le sens de variation, et lire le signe — sans calculer autre chose.

Mots clésDroite, pente, départ, croissante, décroissante

Le secretLe signe du premier nombre décide de tout

OutilUne droite : deux points suffisent à la tracer

À quoi ça sert : les fonctions affines

Une course en taxi coûte $4$ € de prise en charge, puis $1, 20$ € par kilomètre. Le prix s'écrit $f (x) = 1, 2 x + 4$ : le $4$ est ce qu'on paie AVANT de rouler, le $1, 2$ ce que coûte chaque kilomètre. ⭐ C'est le modèle de tout ce qui a un coût fixe et un coût par unité — un abonnement, une location, une facture d'électricité. Et la question « à partir de combien de kilomètres l'autre taxi devient-il moins cher ? » est exactement une inéquation entre deux fonctions affines.

Un peu d'histoire : les fonctions affines

Le mot vient du latin affinis, « voisin, apparenté » : la fonction affine est la PARENTE de la fonction linéaire $x \mapsto a x$ , dont elle ne diffère que par un décalage. Les Grecs savaient déjà tout de la droite, mais il a fallu attendre Descartes et ses coordonnées, en 1637, pour qu'une droite devienne une ÉQUATION — et donc qu'on puisse calculer sur elle au lieu de la tracer.

Définition : les fonctions affines

Une fonction AFFINE s'écrit $f (x) = a x + b$ , où $a$ et $b$ sont deux nombres fixés. Le nombre $a$ est le COEFFICIENT DIRECTEUR — de combien on monte quand $x$ augmente de $1$ — et $b$ l'ORDONNÉE À L'ORIGINE, c'est-à-dire $f (0)$ . ⭐ Sa représentation graphique est toujours une DROITE, et c'est ce qui rend ce chapitre visuel de bout en bout.

La droite de

f (x) = 2 x + 1

. En rouge, l'ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe vertical en

1

. En vert, un pas de

1

vers la droite fait monter de

2

— c'est le coefficient directeur.

Propriétés : les fonctions affines

La droite : $a$ est la pente, $b$ le départ

$b$ se lit là où la droite coupe l'axe VERTICAL. $a$ se lit en avançant de $1$ vers la droite : on regarde de combien on monte — ou de combien on descend. ⚠️ À ne pas confondre avec le point où la droite coupe l'axe horizontal, qui est la racine.

⛔ Le signe de $a$ décide du sens

Si $a > 0$ , la fonction est CROISSANTE : la droite monte. Si $a < 0$ , elle est DÉCROISSANTE : la droite descend. Si $a = 0$ , la fonction est constante et la droite est horizontale. ⭐ Une fonction affine ne change jamais de sens en chemin — c'est ce qui la distingue de toutes les fonctions de référence sauf le cube.

a > 0

croissante ↗

a < 0

décroissante ↘

Le second nombre, b, ne change rien au sens : il fait seulement glisser la droite vers le haut ou vers le bas.

Deux points suffisent

Deux inconnues, donc deux informations. Connaissant $f (x_{1})$ et $f (x_{2})$ , on calcule $a$ par le quotient des variations, puis on remplace dans une des deux égalités pour trouver $b$ .

a = \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}

f (1) = 5 f (3) = 11 \Rightarrow a = \frac{11 - 5}{3 - 1} = 3

5 = 3 \times 1 + b \Rightarrow b = 2

⛔ On divise par l'écart des ABSCISSES. Oublier ce dénominateur est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Le signe : une seule racine

Une fonction affine ne s'annule qu'une fois, en $x = - \frac{b}{a}$ , et change de signe à cet endroit. L'ORDRE des deux signes suit le sens de variation : croissante, elle est négative puis positive ; décroissante, l'inverse.

f (x) = 2 x - 6 \Rightarrow x_{0} = 3

x < 3 : f (x) < 0 x > 3 : f (x) > 0

Ici a = 2 est positif, donc la fonction croît : elle est négative AVANT sa racine.

Deux droites parallèles ont le même $a$

Le coefficient directeur donne l'inclinaison. Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le MÊME $a$ — l'ordonnée à l'origine n'y change rien. ⭐ Changer $b$ fait GLISSER la droite ; changer $a$ la fait PIVOTER.

Méthode : les fonctions affines

1. Je calcule une image, ou un antécédent

Une image : je remplace $x$ par le nombre. Un antécédent : je résous $a x + b = k$ , une équation du premier degré. ⭐ Les deux gestes vont dans des sens opposés.

f (x) = 3 x - 4

f (5) = 3 \times 5 - 4 = 11

3 x - 4 = 8 \Rightarrow x = 4

En bleu une image, en rouge un antécédent.

2. Je trouve $a$ puis $b$ , dans cet ordre

$a$ se calcule seul, par le quotient des variations. $b$ vient ensuite, en remplaçant dans une des égalités. ⛔ On ne peut pas faire l'inverse : $b$ dépend de $a$ .

a = \frac{Δ f}{Δ x} puis b = f (x_{1}) - a x_{1}

Deux étapes, jamais dans l'autre sens.

3. Pour le signe, je cherche la racine

Je résous $a x + b = 0$ , ce qui donne la racine. Puis le signe de $a$ me dit de quel côté la fonction est négative — je n'ai rien d'autre à calculer.

a > 0

-

puis

+

a < 0

+

puis

-

La racine dit OÙ ça change, le signe de a dit DANS QUEL ORDRE.

Selon ce que l'on cherche : les fonctions affines

Tracer une droite

Deux points suffisent, et les plus commodes sont $f (0) = b$ et un second point au choix. On place, on relie, on prolonge.

Résoudre une inéquation

$f (x) > 0$ se lit sur le tableau de signes, ou directement sur la droite : c'est l'intervalle où elle est AU-DESSUS de l'axe horizontal.

f (x) = - 2 x + 6

f (x) > 0 ⟺ x < 3

a est négatif, donc la fonction est positive AVANT sa racine.

Comparer deux offres

Deux fonctions affines, une inéquation : on cherche à partir de quand l'une passe sous l'autre. C'est le problème type, et il vient du monde réel.

Exemples corrigés : les fonctions affines

Une image et un antécédent

$f (x) = - 3 x + 5$ .

Calculer $f (2)$ , puis l'antécédent de $14$ .

f (2) = - 3 \times 2 + 5 = - 1

- 3 x + 5 = 14 \Rightarrow x = - 3

$f (2) = - 3 \times 2 + 5 = - 6 + 5 = - 1$ . Pour l'antécédent de $14$ , on résout $- 3 x + 5 = 14$ , soit $- 3 x = 9$ , donc $x = - 3$ . ⚠️ Le second calcul est une ÉQUATION, pas un remplacement : c'est le geste inverse du premier.

Deux points, une expression

$f$ est affine, $f (1) = 5$ et $f (4) = 14$ .

Déterminer $f$ .

a = \frac{14 - 5}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3

5 = 3 \times 1 + b \Rightarrow b = 2

Le coefficient directeur vaut $a = \frac{14 - 5}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3$ . On remplace ensuite dans $f (1) = 5$ : $3 \times 1 + b = 5$ , donc $b = 2$ . Ainsi $f (x) = 3 x + 2$ . ⭐ Vérification : $f (4) = 12 + 2 = 14$ ✓ — elle coûte deux secondes et attrape la plupart des erreurs.

Le signe d'une fonction croissante

$f (x) = 4 x - 12$ .

Sur quel intervalle $f$ est-elle négative ?

4 x - 12 = 0 \Rightarrow x = 3

a = 4 > 0 \Rightarrow croissante

La racine est $x = 3$ . Comme $a = 4$ est positif, la fonction est croissante : elle est donc négative AVANT $3$ , et positive après. Réponse : $f$ est négative sur $] - \infty; 3 [$ .

⛔ Le même travail, mais $a$ négatif

$f (x) = - 5 x + 10$ .

Sur quel intervalle $f$ est-elle négative ?

- 5 x + 10 = 0 \Rightarrow x = 2

a = - 5 < 0 \Rightarrow d \overset{e}{ˊ} croissante

La racine est $x = 2$ , comme précédemment un seul point. Mais $a = - 5$ est NÉGATIF, donc la fonction décroît : elle est positive avant $2$ et négative après. Réponse : $f$ est négative sur $] 2; + \infty [$ . ⛔ Même méthode, réponse opposée — c'est le signe de $a$ , et lui seul, qui a tout changé.

Pièges à éviter : les fonctions affines

⛔ Pour trouver $a$ à partir de deux points, on DIVISE par l'écart des abscisses. $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ , et non $y_{2} - y_{1}$ .
⛔ Le signe de $a$ décide de l'ordre des signes. Croissante : négative PUIS positive. Décroissante : l'inverse. Ne pas regarder $a$ , c'est répondre au hasard.
⛔ $b$ est l'ordonnée à l'origine, PAS la racine. $b$ est là où la droite coupe l'axe VERTICAL ; la racine est là où elle coupe l'axe horizontal.
⛔ Une image se calcule en remplaçant ; un antécédent se calcule en RÉSOLVANT. Les deux gestes vont en sens opposés.
⛔ Deux droites parallèles ont le même $a$ , quel que soit leur $b$ . Changer $b$ fait glisser la droite, pas pivoter.
⛔ Une fonction affine ne change jamais de sens en chemin. Si votre tableau de variations a un creux, ce n'est pas une fonction affine.

À retenir : les fonctions affines

$f (x) = a x + b$ : $a$ est la pente, $b$ l'ordonnée à l'origine.
Sa représentation est une DROITE, et deux points suffisent à la tracer.
$a > 0$ : croissante. $a < 0$ : décroissante. $a = 0$ : constante.
À partir de deux points : $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ , puis $b = y_{1} - a x_{1}$ .
Une seule racine, en $x = - \frac{b}{a}$ , et un seul changement de signe.
Parallèles $⟺$ même $a$ .

Exercices corrigés : les fonctions affines

1. Dans $f (x) = - 7 x + 2$ , quels sont le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine ?
Voir la correction
$a = - 7$ et $b = 2$ . Le coefficient directeur est le nombre DEVANT le $x$ , signe compris.
2. La fonction $f (x) = 5$ est-elle affine ?
Voir la correction
Oui : c'est le cas $a = 0$ et $b = 5$ . Sa droite est horizontale, et la fonction est constante.
3. Soit $f (x) = 4 x - 3$ . Calculer $f (- 2)$ .
Voir la correction
$f (- 2) = 4 \times (- 2) - 3 = - 8 - 3 = - 11$ .
4. Soit $f (x) = 2 x + 7$ . Quel est l'antécédent de $1$ ?
Voir la correction
On résout $2 x + 7 = 1$ , soit $2 x = - 6$ , donc $x = - 3$ .
5. $f$ est affine avec $f (2) = 7$ et $f (5) = 16$ . Que vaut $a$ ?
Voir la correction
$a = \frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3$ . ⛔ Pas $9$ : il faut diviser par l'écart des abscisses.
6. Même fonction : déterminer son expression.
Voir la correction
Avec $a = 3$ , on remplace dans $f (2) = 7$ : $3 \times 2 + b = 7$ , donc $b = 1$ . Ainsi $f (x) = 3 x + 1$ . Vérification : $f (5) = 15 + 1 = 16$ ✓.
7. $f$ est affine, $f (0) = - 4$ et $f (3) = 5$ . Déterminer $f$ .
Voir la correction
Ici $b$ est donné directement : $b = f (0) = - 4$ . Puis $a = \frac{5 - ( - 4 )}{3 - 0} = 3$ . Donc $f (x) = 3 x - 4$ .
8. En quelle valeur $f (x) = 6 x - 18$ s'annule-t-elle ?
Voir la correction
On résout $6 x - 18 = 0$ , soit $6 x = 18$ , donc $x = 3$ .
9. Sur quel intervalle $f (x) = - 3 x + 9$ est-elle positive ?
Voir la correction
Racine : $x = 3$ . Comme $a = - 3 < 0$ , la fonction décroît : elle est positive AVANT sa racine, donc sur $] - \infty; 3 [$ .
10. La droite de $f (x) = 5 x - 1$ est-elle parallèle à celle de $g (x) = 5 x + 8$ ?
Voir la correction
Oui : les deux ont le même coefficient directeur, $5$ . Leurs ordonnées à l'origine diffèrent, ce qui les fait seulement glisser l'une par rapport à l'autre.

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