Multiples, diviseurs et facteurs premiers : 20 exercices corrigésmaths 3e — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : multiples, diviseurs et facteurs premiers, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. a) L'égalité $104=8\times 13$ dit que la division de $104$ par $13$ tombe juste : $13$ est un diviseur de $104$. Et $104$ est un multiple de $8$. b) Je cherche les produits qui donnent $28$, en partant de $1$ : $1\times$$28$, $2\times$$14$, $4\times$$7$. $3$, $5$ et $6$ ne divisent pas $28$, et je m'arrête là, car $6\times 6=36$ dépasse déjà $28$. Les diviseurs de $28$ sont $1$, $2$, $4$, $7$, $14$ et $28$. c) $96=8\times$$12$ : oui, $96$ est un multiple de $8$. d) $52=5\times 10+$$2$ : il reste $2$, la division ne tombe pas juste. $5$ n'est pas un diviseur de $52$ (d'ailleurs, $52$ ne finit ni par $0$ ni par $5$). ⛔ Le piège : inverser les deux mots. Le DIVISEUR est le petit ($13$), le MULTIPLE est le grand ($104$). Réponse : a) diviseur, multiple ; b) $1$, $2$, $4$, $7$, $14$, $28$ ; c) oui ; d) non.

   produit égal à 28	diviseurs trouvés
   1 × 28	1 et 28
   2 × 14	2 et 14
   4 × 7	4 et 7

2. 2. a) Je cherche combien de fois $7$ tient dans $100$ : $7\times 14=$$98$, et $7\times 15=105$ est trop grand. Donc $100=7\times 14+$$2$, avec un reste $2$ plus petit que $7$. b) Le reste vaut $2$, pas $0$ : $100$ n'est pas un multiple de $7$. c) $100$ est entre $98$ et $105$. $100-98=2$ et $105-100=$$5$ : le plus proche est $98$. d) J'écris la table de $7$ : $7\times 8=$$56$, $7\times 9=$$63$, $7\times 10=$$70$, $7\times 11=$$77$. Puis $7\times 12=84$ dépasse $80$. ⛔ Le piège au d) : oublier $56$ en commençant la table à $7\times$$10$. $7\times 7=49$ est juste sous $50$, donc le premier multiple de la liste est $56$. Réponse : $100=7\times 14+$$2$ ; non ; $98$ ; $56$, $63$, $70$ et $77$.

   produit	multiple de 7
   7 × 7	49
   7 × 8	56
   7 × 9	63
   7 × 10	70
   7 × 11	77
   7 × 12	84
   7 × 14	98
   7 × 15	105

3. 3. J'applique les critères, sans poser une seule division : le dernier chiffre pour $2$, $5$ et $10$ ; la somme des chiffres pour $3$ et $9$. $1530$ finit par $0$ : divisible par $2$, par $5$ et par $10$. Somme des chiffres : $1+5+3+0=$$9$, divisible par $3$ et par $9$. $2745$ finit par $5$ : divisible par $5$, mais ni par $2$ ni par $10$. Somme des chiffres : $2+7+4+5=$$18$, divisible par $3$ et par $9$. $8124$ finit par $4$, un chiffre pair : divisible par $2$, mais ni par $5$ ni par $10$. Somme des chiffres : $8+1+2+4=$$15$, divisible par $3$ mais pas par $9$. ⛔ Le piège : croire que « divisible par $3$ » entraîne « divisible par $9$ ». $8124$ l'est par $3$ ($8124=$$3\times$$2708$), pas par $9$. Réponse : $1530$ est divisible par les cinq ; $2745$ par $3$, $5$ et $9$ ; $8124$ par $2$ et $3$.

   nombre	2	3	5	9	10
   1 530	oui	oui	oui	oui	oui
   2 745	non	oui	oui	oui	non
   8 124	oui	oui	non	non	non

4. 4. a) Divisible par $9$ : la somme des chiffres doit l'être. $3+4+2=$$9$, donc la somme vaut $9+$$\square$. Il faut $\square =0$ (somme $9$) ou $\square =9$ (somme $18$) : $3402$ ou $3492$. b) Divisible par $3$ : $5+8=$$13$, et $13+\square$ doit être dans la table de $3$, donc valoir $15$, $18$ ou $21$. $\square =$$2$, $5$ ou $8$ : $528$, $558$ ou $588$. c) Divisible par $2$ : le dernier chiffre est pair, $\square$ vaut $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$. Divisible par $3$ : $7+1+\square =8+\square$ doit être dans la table de $3$. Parmi les chiffres pairs, seul $4$ convient ($8+$$4=$$12$) : $714$. ⛔ Le piège au a) : oublier $\square =$$9$. Un chiffre va de $0$ à $9$, et $18$ est aussi dans la table de $9$. Réponse : a) $3402$ ou $3492$ ; b) $528$, $558$ ou $588$ ; c) $714$.

   chiffre pair	7 + 1 + chiffre	divisible par 3 ?
   0	8	non
   2	10	non
   4	12	oui
   6	14	non
   8	16	non

5. 5. Pour chaque nombre, j'essaie de le diviser par $2$, $3$, $5$, $7$…, et je m'arrête dès que le carré de l'essai dépasse le nombre. $31$ : ni $2$, ni $3$, ni $5$ ne le divisent, et $7^2=49$ dépasse $31$. Il est premier. $39=3\times 13$ (somme des chiffres : $12$). Pas premier. $49=7\times$$7$. Pas premier. $53$ : ni $2$, ni $3$, ni $5$, ni $7$ ($7\times$$7=$$49$, reste $4$), et $11^2=121$ dépasse $53$. Il est premier. $87=3\times 29$ (somme des chiffres : $15$). Pas premier. $91=7\times$$13$. Pas premier. ⛔ Le piège : croire que $91$ ou $87$ sont premiers parce qu'ils sont impairs et « ont l'air seuls ». Impair ne veut pas dire premier : il faut essayer $3$, puis $7$. Réponse : $31$ et $53$ sont premiers ; les autres non.

   nombre	plus petit diviseur premier	premier ?
   31	aucun	oui
   39	3	non
   49	7	non
   53	aucun	oui
   87	3	non
   91	7	non

6. 6. a) Les nombres pairs s'éliminent d'un coup : ils sont divisibles par $2$. Restent les impairs : $61$, $63$, $65$, $67$, $69$, $71$, $73$, $75$, $77$, $79$. Par $5$ : $65$ et $75$ finissent par $5$, éliminés. Par $3$ (somme des chiffres) : $63$ ($6+$$3=$$9$) et $69$ ($6+$$9=$$15$), éliminés. Par $7$ : $77=7\times$$11$, éliminé. Je peux m'arrêter à $7$ : $11^2=121$ dépasse $80$. Les nombres qui restent sont premiers. b) Un nombre pair plus grand que $2$ a au moins trois diviseurs : $1$, $2$ et lui-même. Il n'est donc pas premier. ⛔ Le piège : garder $77$, parce que $7$ n'a pas de critère simple. Il faut poser la division. Réponse : $61$, $67$, $71$, $73$ et $79$.
   60

   61

   62

   63

   64

   65

   66

   67

   68

   69

   70

   71

   72

   73

   74

   75

   76

   77

   78

   79

   80
7. 7. Je divise par le plus petit nombre premier possible, et je recommence avec le quotient, jusqu'à $1$. a) $90÷2=$$45$, $45÷3=$$15$, $15÷3=$$5$, $5÷5=$$1$. Donc $90=2\times 3\times 3\times 5=2\times 3^2\times$$5$. b) $150÷2=$$75$, $75÷3=$$25$, $25÷5=$$5$, $5÷5=$$1$. Donc $150=2\times 3\times 5\times 5=2\times 3\times$$5^2$. c) $132÷2=$$66$, $66÷2=$$33$, $33÷3=$$11$, $11÷11=$$1$. Donc $132=2\times 2\times 3\times 11=2^2\times 3\times$$11$. ⭐ Contrôle : je remultiplie. $4\times 3\times 11=$$132$. ⛔ Le piège : s'arrêter à $132=4\times$$33$. Ni $4$ ni $33$ ne sont premiers : la décomposition n'est finie que lorsque TOUS les facteurs le sont. Réponse : $90=2\times 3^2\times$$5$ ; $150=2\times 3\times$$5^2$ ; $132=2^2\times 3\times$$11$.

   90	2
   45	3
   15	3
   5	5
   1

   150	2
   75	3
   25	5
   5	5
   1

   132	2
   66	2
   33	3
   11	11
   1

8. 8. Une décomposition n'a droit qu'à des facteurs PREMIERS. Je contrôle chaque facteur, puis je vérifie le produit. a) Non : $25=5\times 5$ n'est pas premier. $350=2\times 5^2\times$$7$. b) Oui : $2$ et $13$ sont premiers, et $2^2\times 13=4\times 13=$$52$. c) Non : $4=2\times 2$ n'est pas premier. $44=2^2\times$$11$. d) Oui : $3$, $5$ et $13$ sont premiers, et $3\times 5\times 13=$$195$. e) Non : $1$ n'est pas un nombre premier, il n'a rien à faire là. $34=2\times$$17$. ⛔ Le piège au e) : laisser le $1$. Il ne change pas le produit, mais $1$ n'a qu'un seul diviseur : il n'est pas premier. Réponse : b) et d) sont des décompositions ; les autres se corrigent en $350=2\times 5^2\times$$7$, $44=2^2\times 11$ et $34=2\times$$17$.

   écriture	facteur non premier	décomposition
   350 = 2 × 7 × 25	25	2 × 5² × 7
   52 = 2² × 13	aucun	2² × 13
   44 = 4 × 11	4	2² × 11
   195 = 3 × 5 × 13	aucun	3 × 5 × 13
   34 = 1 × 2 × 17	1	2 × 17

9. 9. a) $360÷2=$$180$, $180÷2=$$90$, $90÷2=$$45$, $45÷3=$$15$, $15÷3=$$5$, $5÷5=$$1$. Donc $360=2^3\times 3^2\times$$5$. b) Un nombre divise $360$ quand tous ses facteurs premiers se trouvent dans $2^3\times 3^2\times$$5$. $8=$$2^3$ : les trois $2$ sont là. Oui, $360=8\times$$45$. $7$ n'apparaît pas dans la décomposition : non. $27=$$3^3$ : il faudrait trois $3$, et $360$ n'en a que deux. Non. $40=2^3\times$$5$ : tout y est. Oui, $360=40\times$$9$. ⛔ Le piège : dire oui pour $27$ parce que $3$ divise $360$. Il faut autant de $3$ qu'en demande $27$. Réponse : $360=2^3\times 3^2\times$$5$ ; divisible par $8$ et par $40$, pas par $7$ ni par $27$.

   360	2
   180	2
   90	2
   45	3
   15	3
   5	5
   1

10. 10. a) $168÷2=$$84$, $84÷2=$$42$, $42÷2=$$21$, $21÷3=$$7$, $7÷7=$$1$ : $168=2^3\times 3\times$$7$. $120÷2=$$60$, $60÷2=$$30$, $30÷2=$$15$, $15÷3=$$5$, $5÷5=$$1$ : $120=2^3\times 3\times$$5$. b) Je garde ce qui est dans les DEUX : $2^3$ et $3$. Le $7$ n'est que dans $168$, le $5$ que dans $120$. Donc $\text{PGCD}(168;120)=2^3\times 3=$$24$. c) $168=24\times 7$ et $120=24\times$$5$. Les quotients $7$ et $5$ n'ont plus que $1$ comme diviseur commun : on ne peut pas trouver plus grand que $24$. ⛔ Le piège : prendre TOUS les facteurs, $2^3\times 3\times 5\times 7=$$840$. Ce nombre est un multiple des deux, pas un diviseur. Réponse : $\text{PGCD}(168;120)=$$24$.

    168	2
    84	2
    42	2
    21	3
    7	7
    1

    120	2
    60	2
    30	2
    15	3
    5	5
    1

11. 11. a) $140=2^2\times 5\times 7$ et $196=2^2\times$$7^2$. En commun : $2^2$ et un $7$, soit $\text{PGCD}=4\times 7=$$28$. $140=28\times 5$ et $196=28\times$$7$, donc $\frac{140}{196}=$$\frac{5}{7}$. b) $234=2\times 3^2\times 13$ et $390=2\times 3\times 5\times$$13$. En commun : $2$, un $3$ et $13$, soit $\text{PGCD}=2\times 3\times 13=$$78$. $234=78\times 3$ et $390=78\times$$5$, donc $\frac{234}{390}=$$\frac{3}{5}$. ⭐ Diviser par le PGCD rend la fraction irréductible en UNE étape. ⛔ Le piège : simplifier par $2$ et s'arrêter, $\frac{140}{196}=$$\frac{70}{98}$. $70$ et $98$ sont encore tous deux divisibles par $14$. Réponse : $\frac{5}{7}$ et $\frac{3}{5}$.

    nombre	facteurs premiers
    140	2 × 2 × 5 × 7
    196	2 × 2 × 7 × 7
    en commun	2 × 2 × 7 = 28
    234	2 × 3 × 3 × 13
    390	2 × 3 × 5 × 13
    en commun	2 × 3 × 13 = 78

12. 12. a) Si $221$ s'écrit $a\times$$b$, l'un des deux facteurs vaut au plus $14$ : si les deux valaient au moins $15$, le produit dépasserait $15\times 15=$$225$. Le plus grand nombre premier jusqu'à $14$ est $13$ : essayer $2$, $3$, $5$, $7$, $11$ et $13$ suffit. b) $221$ est impair (pas $2$), la somme de ses chiffres vaut $5$ (pas $3$), il ne finit ni par $0$ ni par $5$. Par $7$ : $7\times 31=$$217$, reste $4$. Par $11$ : $11\times 20=$$220$, reste $1$. Par $13$ : $13\times 17=$$221$, reste $0$. Donc $221=13\times$$17$ : il n'est pas premier. c) Même méthode, car $15\times 15=225$ dépasse encore $223$. Impair, somme des chiffres $7$, ne finit ni par $0$ ni par $5$. Par $7$ : reste $6$. Par $11$ : reste $3$. Par $13$ : reste $2$. Aucun essai ne tombe juste : $223$ est premier. ⛔ Le piège : s'arrêter aux critères de $2$, $3$ et $5$. $221$ les passe tous, et pourtant $221=13\times$$17$. Réponse : $221$ n'est pas premier ; $223$ est premier.

    essai	reste pour 221	reste pour 223
    2	1	1
    3	2	1
    5	1	3
    7	4	6
    11	1	3
    13	0	2

13. 13. a) FAUX. Un contre-exemple suffit : $2+3=$$5$, qui est impair. $2$ est le seul nombre premier pair : c'est lui qui casse la règle. b) VRAI. Si $n=9\times$$k$, alors $n=3\times 3\times k=3\times$$(3k)$ : $n$ est un multiple de $3$. c) FAUX. $12$ est divisible par $4$ ($12=$$4\times$$3$) et par $6$ ($12=$$6\times$$2$), mais pas par $24$. d) VRAI. Un nombre pair plus grand que $2$ est divisible par $1$, par $2$ et par lui-même : il a au moins trois diviseurs, il n'est pas premier. ⛔ Le piège au c) : multiplier $4\times 6=$$24$. $4=2^2$ et $6=2\times 3$ partagent un $2$ : il suffit de $2^2\times 3=$$12$. Réponse : faux, vrai, faux, vrai.
14. 14. a) $72÷2=$$36$, $36÷2=$$18$, $18÷2=$$9$, $9÷3=$$3$, $3÷3=$$1$. Donc $72=2^3\times$$3^2$. b) Un diviseur de $72$ est fait de facteurs pris dans $2^3\times$$3^2$ : au plus trois $2$ et au plus deux $3$. Je les range par paires dont le produit vaut $72$ : $1\times$$72$, $2\times$$36$, $3\times$$24$, $4\times$$18$, $6\times$$12$, $8\times$$9$. Les diviseurs de $72$ sont $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $9$, $12$, $18$, $24$, $36$ et $72$ : il y en a $12$. ⭐ Contrôle : $4$ choix pour le nombre de $2$ (de zéro à trois), $3$ choix pour le nombre de $3$ (de zéro à deux), et $4\times 3=$$12$. c) $16=2^4$ demande quatre $2$ ; $72$ n'en a que trois. Non. ⛔ Le piège au b) : oublier $1$ et $72$. Tout nombre est divisible par $1$ et par lui-même. Réponse : $72=2^3\times$$3^2$ ; il a $12$ diviseurs ; il n'est pas divisible par $16$.

    petit diviseur	grand diviseur	produit
    1	72	72
    2	36	72
    3	24	72
    4	18	72
    6	12	72
    8	9	72

15. 15. a) Par paires : $48=1\times 48=2\times 24=3\times 16=4\times 12=6\times$$8$. Diviseurs de $48$ : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$, $16$, $24$, $48$. $80=1\times 80=2\times 40=4\times 20=5\times 16=8\times$$10$. Diviseurs de $80$ : $1$, $2$, $4$, $5$, $8$, $10$, $16$, $20$, $40$, $80$. b) Les diviseurs communs sont $1$, $2$, $4$, $8$ et $16$. Le plus grand : $\text{PGCD}(48;80)=$$16$. c) $48=2^4\times 3$ et $80=2^4\times$$5$. En commun : $2^4=$$16$. Même résultat. ⭐ Les diviseurs communs sont exactement les diviseurs du PGCD : $1$, $2$, $4$, $8$ et $16$ divisent tous $16$. ⛔ Le piège : répondre $80$ ou $48$. $80$ ne divise pas $48$ : il est trop grand pour être un diviseur commun. Réponse : les diviseurs communs sont $1$, $2$, $4$, $8$, $16$ ; le PGCD vaut $16$.

    	diviseurs
    de 48	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
    de 80	1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80
    communs	1, 2, 4, 8, 16

16. 16. Je liste les nombres à deux chiffres dont la somme des chiffres vaut $10$ : $19$, $28$, $37$, $46$, $55$, $64$, $73$, $82$, $91$. Je barre les pairs ($28$, $46$, $64$, $82$), puis $55=5\times 11$ et $91=7\times$$13$. Restent les premiers : $19$, $37$ et $73$. J'échange les chiffres : $19$ devient $91=7\times$$13$, pas premier. $37$ devient $73$, premier. $73$ devient $37$, premier. Dernier indice : les dizaines plus petites que les unités. $3<7$ pour $37$ ; pour $73$, c'est l'inverse. ⭐ $37$ et $73$ forment une paire : chacun est le renversé de l'autre, et tous les deux sont premiers. ⛔ Le piège : garder $91$, impair et « qui a l'air premier ». $91=7\times$$13$. Réponse : je suis $37$.

    nombre	premier ?	renversé premier ?
    19	oui	non (91)
    28	non	—
    37	oui	oui (73)
    46	non	—
    55	non	—
    64	non	—
    73	oui	oui (37)
    82	non	—
    91	non	—

17. 17. Les sacs du ravitaillement a) $210=35\times$$6$ : les bouteilles se partagent. Mais $294=35\times 8+$$14$ : il resterait $14$ bananes. Non, $35$ sacs ne conviennent pas. b) $210÷2=$$105$, $105÷3=$$35$, $35÷5=$$7$, $7÷7=$$1$ : $210=2\times 3\times 5\times$$7$. $294÷2=$$147$, $147÷3=$$49$, $49÷7=$$7$, $7÷7=$$1$ : $294=2\times 3\times$$7^2$. c) Le nombre de sacs doit diviser $210$ ET $294$ ; le plus grand est leur PGCD. En commun : $2$, $3$ et un seul $7$, soit $\text{PGCD}(210;294)=2\times 3\times 7=$$42$. Chaque sac reçoit $210÷42=5$ bouteilles et $294÷42=7$ bananes. ⭐ Contrôle : $42\times 5=210$ et $42\times 7=$$294$. ⛔ Le piège : garder les deux $7$ de $294$. $210$ n'en a qu'un : $2\times 3\times 7^2=294$ ne divise pas $210$. Réponse : $42$ sacs au plus, avec $5$ bouteilles d'eau et $7$ bananes dans chacun.

    210	2
    105	3
    35	5
    7	7
    1

    294	2
    147	3
    49	7
    7	7
    1

18. 18. Les dalles de la terrasse Je travaille en centimètres, pour n'avoir que des entiers : $480$ cm sur $300$ cm. a) $480=45\times 10+$$30$ : la division ne tombe pas juste, il faudrait découper la dernière rangée. Et $300=45\times 6+$$30$, pas mieux. b) Le côté de la dalle doit diviser $480$ ET $300$ ; le plus grand est leur PGCD. $480=2^5\times 3\times 5$ et $300=2^2\times 3\times$$5^2$. En commun : $2^2$, $3$ et $5$, soit $\text{PGCD}(480;300)=4\times 3\times 5=$$60$. Les dalles mesurent $60$ cm de côté. c) Dans la longueur : $480÷60=8$ dalles. Dans la largeur : $300÷60=5$ dalles. Il en faut $8\times 5=$$40$. ⭐ Contrôle par les aires : $480\times 300=144000$ cm², et une dalle couvre $60\times 60=3600$ cm². $144000÷3600=$$40$. ⛔ Le piège : garder $2^5$ ou $5^2$. Il faut la plus PETITE puissance commune, sinon la dalle ne divise plus l'un des côtés. Réponse : des dalles de $60$ cm de côté, $40$ en tout.
19. 19. Jupiter et Saturne a) $12=2^2\times 3$ et $30=2\times 3\times$$5$. b) Jupiter revient à sa place au bout de $12$, $24$, $36$… ans : les multiples de $12$. Saturne, au bout des multiples de $30$. Je cherche le plus petit multiple COMMUN. Il doit contenir tous les facteurs de $12$ et tous ceux de $30$ : $2^2$, $3$ et $5$. Soit $2^2\times 3\times 5=$$60$. Contrôle par les listes : $12$, $24$, $36$, $48$, $60$ d'un côté ; $30$, $60$ de l'autre. $60$ est le premier nombre commun. c) Jupiter fait $60÷12=5$ tours, Saturne $60÷30=2$ tours. ⛔ Le piège : multiplier $12\times 30=$$360$. C'est bien un multiple commun, mais pas le plus petit : $12$ et $30$ partagent déjà $2\times 3=$$6$. ⭐ Pour un multiple commun, je prends les facteurs avec la plus GRANDE puissance ; pour un diviseur commun, avec la plus petite. Réponse : au bout de $60$ ans environ, après $5$ tours de Jupiter et $2$ tours de Saturne.

    planète	retours à sa place (années)
    Jupiter	12, 24, 36, 48, 60
    Saturne	30, 60

20. 20. Les équipes du club a) $330÷2=$$165$, $165÷3=$$55$, $55÷5=$$11$, $11÷11=$$1$. Donc $330=2\times 3\times 5\times$$11$. b) Une taille d'équipe convient si elle divise $330$, c'est-à-dire si ses facteurs se trouvent dans $2\times 3\times 5\times$$11$. Basket : $5$ y est, et $330=5\times$$66$ : $66$ équipes. Handball : $7$ n'y est pas, et $330=7\times 47+$$1$ : un licencié resterait sur le banc. Football : $11$ y est, et $330=11\times$$30$ : $30$ équipes. Rugby : $15=3\times$$5$, les deux facteurs y sont, et $330=15\times$$22$ : $22$ équipes. c) Je cherche les diviseurs de $330$ entre $20$ et $40$, en assemblant ses facteurs : $2\times 11=$$22$, $2\times 3\times 5=$$30$, $3\times 11=$$33$. Les autres tombent en dehors : $15$ est trop petit, $55$ déjà trop grand. ⛔ Le piège au b) : écarter $15$ parce qu'il n'est pas premier. Il suffit que ses facteurs, $3$ et $5$, soient tous les deux dans $330$. Réponse : basket ($66$ équipes), football ($30$) et rugby ($22$), mais pas le handball ; des groupes de $22$, $30$ ou $33$ personnes.

    sport	joueurs	équipes
    basket	5	66
    handball	7	impossible
    football	11	30
    rugby à XV	15	22