La racine carrée : 20 exercices corrigésmaths 3e — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : la racine carrée, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. a) Je cherche un nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne $36$ : $6\times 6=$$36$. C'est $6$. b) $\sqrt{36}$ est justement le nombre POSITIF dont le carré vaut $36$ : $\sqrt{36}=$$6$. c) $(-6{)}^2=$$36$, c'est vrai. Mais la racine carrée choisit toujours le nombre positif : $\sqrt{36}$ vaut $6$, jamais $-6$. d) Non. Un carré n'est jamais négatif : aucun nombre n'a pour carré $-36$, donc $\sqrt{-36}$ n'existe pas. ⛔ Le piège : écrire « $\sqrt{36}=$$6$ ou $-6$ ». Le symbole désigne UN seul nombre, le positif. Réponse : $\sqrt{36}=$$6$, et $\sqrt{-36}$ n'existe pas.
2. 2. La racine carrée défait le carré, et le carré défait la racine : les deux gestes s'annulent. a) $\sqrt{13}$ est le nombre dont le carré vaut $13$. Donc ${\left(\sqrt{13}\right)}^2=$$13$. b) Je calcule d'abord le carré : $11^2=$$121$. Puis sa racine : $\sqrt{121}=$$11$. Donc $\sqrt{11^2}=$$11$. c) Multiplier un nombre par lui-même, c'est l'élever au carré : $\sqrt{3}\times \sqrt{3}={\left(\sqrt{3}\right)}^2=$$3$. d) Même règle avec un décimal : ${\left(\sqrt{0,7}\right)}^2=$$0,7$. ⛔ Le piège : chercher à calculer $\sqrt{13}$ d'abord. Inutile : le carré efface la racine, sans aucune valeur approchée. Réponse : $13$ ; $11$ ; $3$ ; $0,7$.
3. 3. Un carré parfait est le carré d'un nombre entier. Je parcours les carrés des entiers : $8^2=$$64$, $9^2=$$81$, $10^2=$$100$, $11^2=$$121$, $12^2=$$144$, $13^2=$$169$, $14^2=$$196$, $15^2=$$225$, $16^2=$$256$. $64=$$8^2$, donc $\sqrt{64}=$$8$. $121=$$11^2$, donc $\sqrt{121}=$$11$. $196=$$14^2$, donc $\sqrt{196}=$$14$. $225=$$15^2$, donc $\sqrt{225}=$$15$. $90$ tombe entre $81$ et $100$, $150$ entre $144$ et $169$, $250$ entre $225$ et $256$ : ce ne sont pas des carrés parfaits. Réponse : les carrés parfaits sont $64$, $121$, $196$ et $225$.
4. 4. a) Le chiffre des unités d'un carré ne dépend que du chiffre des unités du nombre. Les carrés de $0$ à $9$ sont $0$, $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$, $64$, $81$ : ils finissent par $0$, $1$, $4$, $5$, $6$ ou $9$. Jamais par $2$, $3$, $7$ ou $8$. b) $2023$ finit par $3$ et $578$ finit par $8$ : ils ne peuvent pas être des carrés parfaits, sans aucun calcul. $1764$ et $3600$ passent le test. Je cherche leur racine : $42^2=1764$ et $60^2=$$3600$. ⛔ Le piège : croire que le test suffit dans l'autre sens. Finir par $1$ ne prouve rien : $41$ finit par $1$ et n'est pas un carré parfait. Réponse : $1764=42^2$ et $3600=60^2$ sont des carrés parfaits ; $2023$ et $578$ n'en sont pas.
5. 5. Pour chaque racine, je cherche le nombre positif dont le carré vaut le nombre sous la racine, puis je vérifie en l'élevant au carré. a) $9^2=$$81$, donc $\sqrt{81}=$$9$. b) $20^2=$$400$, donc $\sqrt{400}=$$20$. c) $0,5^2=$$0,25$, donc $\sqrt{0,25}=$$0,5$. d) $1^2=$$1$, donc $\sqrt{1}=$$1$. e) $0,2^2=$$0,04$, donc $\sqrt{0,04}=$$0,2$. ⛔ Le piège au e) : répondre $0,02$. Je vérifie : $0,02^2=$$0,0004$, pas $0,04$. Réponse : $9$ ; $20$ ; $0,5$ ; $1$ ; $0,2$.
6. 6. a) Je vérifie en élevant au carré : $32^2=$$1024$, pas $64$. Donc $\sqrt{64}\ne$$32$. b) $8^2=$$64$, donc $\sqrt{64}=$$8$. c) J'essaie les petits carrés parfaits : $\sqrt{1}=1$ et $1÷2=$$0,5$ ; $\sqrt{4}=2$ et $4÷2=$$2$ ; $\sqrt{9}=3$ et $9÷2=$$4,5$. Ça marche pour $x=$$4$, et seulement pour lui : ensuite, la moitié grandit bien plus vite que la racine. ⛔ Le piège : $\sqrt{x}$ n'est pas $x÷$$2$. Prendre la moitié, c'est défaire « fois $2$ » ; prendre la racine, c'est défaire le CARRÉ, « $x\times$$x$ ». Réponse : $\sqrt{64}=$$8$, et $\sqrt{x}=x÷2$ seulement pour $x=$$4$.
7. 7. Je cherche les deux carrés parfaits qui entourent le nombre : celui juste en dessous et celui juste au-dessus. a) $25<30<$$36$, c'est-à-dire $5^2<30<$$6^2$. Donc $5<\sqrt{30}<$$6$. b) $81<85<$$100$, c'est-à-dire $9^2<85<$$10^2$. Donc $9<\sqrt{85}<$$10$. c) $1<3<$$4$, c'est-à-dire $1^2<3<$$2^2$. Donc $1<\sqrt{3}<$$2$. ⛔ Le piège : encadrer $\sqrt{30}$ par $15$ et $16$, parce que $30÷2=$$15$. On cherche des CARRÉS, pas une moitié. Réponse : $5<\sqrt{30}<$$6$ ; $9<\sqrt{85}<$$10$ ; $1<\sqrt{3}<$$2$.
8. 8. Ces nombres sont tous positifs. Pour les comparer, je compare leurs CARRÉS : entre deux nombres positifs, le plus grand a le plus grand carré. $4^2=$$16$ ; ${\left(\sqrt{17}\right)}^2=$$17$ ; $4,2^2=$$17,64$ ; ${\left(\sqrt{15}\right)}^2=$$15$. Je range les carrés : $15<16<17<$$17,64$. Donc $\sqrt{15}<4<\sqrt{17}<$$4,2$. ⛔ Le piège : croire que $\sqrt{17}$ dépasse $4,2$ parce que $17$ est « gros ». Seul le carré permet de trancher : $4,2^2=$$17,64$, plus que $17$. Réponse : $\sqrt{15}<4<\sqrt{17}<$$4,2$.
9. 9. Je calcule chaque racine seule, puis j'applique les priorités. $A$ : $\sqrt{25}=5$ et $\sqrt{36}=$$6$. Donc $A=3\times 5-6=$$9$. $B$ : sous la racine d'abord, $8^2+15^2=64+225=$$289$. Or $17^2=$$289$, donc $B=\sqrt{289}=$$17$. $C$ : sous la racine d'abord, $100-36=$$64$, donc $C=\sqrt{64}=$$8$. ⛔ Le piège au $B$ : écrire $\sqrt{8^2+15^2}=8+15=$$23$. La barre du radical couvre toute la somme : je calcule la somme AVANT de prendre la racine. ⛔ Même piège au $C$ : $\sqrt{100}-\sqrt{36}=10-6=$$4$, pas $8$. Réponse : $A=$$9$ ; $B=$$17$ ; $C=$$8$.
10. 10. Je cherche TOUS les nombres dont le carré vaut le nombre de droite, positifs et négatifs. a) $9^2=81$ et $(-9{)}^2=$$81$ : deux solutions, $x=9$ ou $x=$$-9$. b) $7$ n'est pas un carré parfait, mais ${\left(\sqrt{7}\right)}^2=7$ et ${\left(-\sqrt{7}\right)}^2=$$7$ : $x=\sqrt{7}$ ou $x=$$-\sqrt{7}$. c) Un carré n'est jamais négatif : pas de solution. d) Seul $0$ a pour carré $0$ : une seule solution, $x=$$0$. ⛔ Le piège : oublier la solution négative. $\sqrt{81}$ vaut $9$ tout court, mais l'équation $x^2=81$ a DEUX solutions. Réponse : a) $9$ et $-9$ ; b) $\sqrt{7}$ et $-\sqrt{7}$ ; c) aucune ; d) $0$.
11. 11. a) $14^2=196$ et $15^2=$$225$. Comme $196<200<$$225$, j'ai $14<\sqrt{200}<$$15$. b) J'essaie les dixièmes à partir de $14$, en les élevant au carré : $14,1^2=$$198,81$ ; $14,2^2=$$201,64$. $198,81<200<$$201,64$, donc $14,1<\sqrt{200}<$$14,2$. ⭐ $200$ est bien plus près de $196$ que de $225$ : je commence donc par les petits dixièmes, pas par $14,5$. Réponse : $14<\sqrt{200}<$$15$, et au dixième $14,1<\sqrt{200}<$$14,2$.
12. 12. Je décompose en produit de facteurs premiers : dans un carré parfait, chaque facteur premier apparaît un nombre PAIR de fois. a) $12=2\times 2\times$$3$. Le $2$ est en double, le $3$ est seul : il manque un $3$. $n=$$3$, et $12\times 3=36=$$6^2$. b) $50=2\times 5\times$$5$. Il manque un $2$ : $n=$$2$, et $50\times 2=100=$$10^2$. c) $45=3\times 3\times$$5$. Il manque un $5$ : $n=$$5$, et $45\times 5=225=$$15^2$. ⛔ Le piège : multiplier par le nombre lui-même. $12\times 12=144$ est bien un carré, mais $3$ est plus petit que $12$. Réponse : $n=$$3$ ; $n=$$2$ ; $n=$$5$.
13. 13. a) L'aire d'un carré est côté × côté. Je cherche le nombre positif dont le carré vaut $0,09$ : $0,3^2=$$0,09$, donc le côté mesure $\sqrt{0,09}=0,3$ m, soit $30$ cm. b) $3,6÷0,3=$$12$ : il faut $12$ carreaux. c) Le côté de la pièce mesure $\sqrt{12,96}$. Or $3,6^2=$$12,96$, donc le côté mesure $3,6$ m : $12$ carreaux par rangée, et $12$ rangées. Il faut $12\times 12=144$ carreaux. ⭐ Contrôle par les aires : $12,96÷0,09=$$144$. ⛔ Le piège au a) : répondre $0,03$ m. Je vérifie : $0,03^2=$$0,0009$. Réponse : le côté mesure $30$ cm, la bande demande $12$ carreaux, la pièce $144$.
14. 14. Je calcule les deux côtés séparément, puis je compare. a) FAUX. $\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=$$10$, mais $\sqrt{36}+\sqrt{64}=6+8=$$14$. b) VRAI. $\sqrt{4\times 25}=\sqrt{100}=$$10$, et $\sqrt{4}\times \sqrt{25}=2\times 5=$$10$. c) FAUX. Un contre-exemple suffit : $\sqrt{0,25}=$$0,5$, et $0,5$ est plus grand que $0,25$. Entre $0$ et $1$, la racine est plus GRANDE que le nombre. d) FAUX. $\sqrt{16}=$$4$, alors que $16÷2=$$8$. ⛔ Le piège au a) : la racine d'une somme n'est pas la somme des racines. Pour le produit, au b), ça marche ; pour la somme, non. Réponse : faux, vrai, faux, faux.
15. 15. a) Tout est positif : je peux élever au carré sans changer le sens des inégalités. $6<\sqrt{n}<7$ revient à $36<n<$$49$. Les entiers de $37$ à $48$ conviennent : il y en a $48-37+1=$$12$. b) $\sqrt{n}<10$ revient à $n<$$100$. Le plus grand entier est $n=$$99$. ⛔ Le piège au a) : compter $49-36=$$13$. Les bornes $36$ et $49$ sont exclues, car $\sqrt{36}=6$ et $\sqrt{49}=7$ ne sont pas strictement entre $6$ et $7$. Réponse : $12$ entiers ; $n=$$99$.
16. 16. Je me sers de ce que le carré et la racine s'annulent. $A=6+7=$$13$. $B=3\times 3=$$9$. $C$ : je calcule de l'intérieur vers l'extérieur. $\sqrt{81}=$$9$, puis $\sqrt{9}=$$3$. Donc $C=$$3$. $D$ : ${\left(2\sqrt{5}\right)}^2=2\sqrt{5}\times 2\sqrt{5}=2\times 2\times \sqrt{5}\times \sqrt{5}=4\times 5=$$20$. ⛔ Le piège au $D$ : répondre $2\times 5=$$10$. Le $2$ aussi est au carré. Réponse : $A=$$13$ ; $B=$$9$ ; $C=$$3$ ; $D=$$20$.
17. 17. Deux hectares a) Le côté $c$ vérifie $c^2=$$10000$. Or $100^2=$$10000$, donc $c=\sqrt{10000}=100$ m. b) Cette fois $c^2=$$20000$, donc $c=$$\sqrt{20000}$. Ce n'est pas un carré parfait. J'encadre : $141^2=19881$ et $142^2=$$20164$, donc $141<\sqrt{20000}<$$142$. Pour arrondir, je teste le milieu : $141,5^2=$$20022,25$, plus que $20000$. Donc $\sqrt{20000}<$$141,5$ : au mètre, le côté mesure environ $141$ m. c) Non : le côté passe de $100$ m à environ $141$ m. Il est multiplié par environ $1,41$, pas par $2$. ⛔ Le piège : croire qu'une aire double donne un côté double. Un côté de $200$ m donnerait $200^2=40000$ m², soit QUATRE hectares. Réponse : le côté mesure $100$ m pour un hectare, environ $141$ m pour deux.
18. 18. La diagonale du terrain de handball a) La diagonale coupe le rectangle en deux triangles rectangles. Par le théorème de Pythagore : $d^2=40^2+20^2=1600+400=$$2000$. Donc $d=\sqrt{2000}$ m. b) $44^2=1936$ et $45^2=$$2025$. Comme $1936<2000<$$2025$, j'ai $44<d<$$45$. c) À la calculatrice, $\sqrt{2000}\approx 44,72$ m. C'est bien entre $44$ et $45$. d) En longeant deux côtés : $40+20=60$ m. Il gagne $60-44,72=15,28$ m. ⛔ Le piège : écrire $\sqrt{40^2+20^2}=40+20=$$60$. C'est justement le trajet qu'il évite : la racine d'une somme de carrés n'est pas la somme. Réponse : la diagonale mesure $\sqrt{2000}\approx 44,72$ m, soit $15,28$ m de moins que le tour par les côtés.
19. 19. La taille d'un écran a) La diagonale est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par la largeur et la hauteur. $d^2=34,5^2+19,4^2=1190,25+376,36=$$1566,61$. Donc $d=\sqrt{1566,61}\approx 39,6$ cm. ⭐ Contrôle sans la touche racine : $39^2=1521$ et $40^2=$$1600$, donc $39<d<$$40$. b) $39,6÷2,54\approx 15,6$ pouces : c'est un écran « 15,6 pouces », une taille courante. c) $34,5+19,4=53,9$ cm : bien plus que $39,6$ cm. Dans un triangle, un côté est toujours plus court que la somme des deux autres. ⛔ Le piège : $\sqrt{34,5^2+19,4^2}\ne 34,5+$$19,4$. J'additionne les CARRÉS, puis je prends la racine. Réponse : la diagonale mesure environ $39,6$ cm, soit $15,6$ pouces.
20. 20. Deux fois plus longtemps a) $19,6÷4,9=$$4$, donc $t=\sqrt{4}=2$ s. b) $78,4÷4,9=$$16$, donc $t=\sqrt{16}=4$ s. c) Je remonte le calcul à l'envers : $\sqrt{h÷4,9}=$$3$, donc $h÷4,9=3^2=$$9$, et $h=9\times 4,9=44,1$ m. d) Non. Aux a) et b), la hauteur est multipliée par $4$ et le temps seulement par $2$ : pour tomber deux fois plus longtemps, il faut partir QUATRE fois plus haut, parce que $2^2=$$4$. ⛔ Le piège au c) : calculer $3\times 4,9=14,7$ m, en oubliant le carré. Je vérifie : $\sqrt{14,7÷4,9}=\sqrt{3}\approx 1,73$ s, pas $3$ s. Réponse : $2$ s ; $4$ s ; il faut lâcher l'objet de $44,1$ m pour $3$ secondes.