Nombres rationnels : 20 exercices corrigésmaths 3e — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : nombres rationnels, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. a) Un entier, c'est un quotient par $1$ : $-6=$$\frac{-6}{1}$. b) Je lis le dernier rang : $0,35$, ce sont $35$ centièmes. Je divise en haut et en bas par $5$ : $0,35=\frac{35}{100}=$$\frac{7}{20}$. c) $-1,2$, ce sont $-12$ dixièmes. Je divise par $2$ : $-1,2=\frac{-12}{10}=$$\frac{-6}{5}$. Réponse : les trois nombres s'écrivent $\frac{a}{b}$, ils sont tous rationnels. ⛔ Le piège : croire qu'un entier ou un décimal « n'est pas une fraction ». Il en a une : il suffit de l'écrire.
2. 2. Je regarde d'abord les dénominateurs : un seul est nul, celui de $\frac{5}{0}$. Diviser par $0$ n'a pas de sens : aucun nombre multiplié par $0$ ne donne $5$. Donc $\frac{5}{0}$ ne désigne aucun nombre. $\frac{0}{5}=$$0$ : zéro partagé en cinq, c'est zéro. $\frac{-3}{-4}=$$\frac{3}{4}$ : un négatif divisé par un négatif donne un positif. $\frac{9}{3}=$$3$ : un entier, écrit comme un quotient. Réponse : seule $\frac{5}{0}$ ne désigne aucun nombre ; les trois autres sont des rationnels. ⛔ Le piège : confondre $\frac{0}{5}$, qui vaut $0$, et $\frac{5}{0}$, qui ne vaut rien du tout.
3. 3. Une fraction, c'est une division : $\frac{7}{8}=7÷$$8$. Je pose la division : $7÷8=$$0,875$. Elle tombe juste. ⭐ Contrôle : $0,875\times 8=$$7$. Réponse : je mesure $0,875$ L de lait, soit $875$ mL.
4. 4. Je lis le dernier rang : $0,15$, ce sont $15$ centièmes, donc $\frac{15}{100}$. $15$ et $100$ sont divisibles par $5$ : $\frac{15}{100}=$$\frac{3}{20}$. $3$ et $20$ n'ont plus de diviseur commun autre que $1$ : la fraction est irréductible. Réponse : $0,15=$$\frac{3}{20}$. ⛔ Le piège : écrire $\frac{15}{10}$. Deux chiffres après la virgule, ce sont des centièmes, pas des dixièmes.
5. 5. Je divise : $2÷3=0,666\dots$ Le reste vaut toujours $2$, la division ne s'arrête jamais. L'écriture décimale de $\frac{2}{3}$ est infinie : on n'en écrit qu'une valeur approchée, $\frac{2}{3}\approx 0,67$ au centième. Mais $\frac{2}{3}$ est un quotient de deux entiers : c'est un rationnel. Réponse : $\frac{2}{3}=$$0,666\dots$ ; c'est un rationnel, mais pas un nombre décimal. ⛔ Le piège : croire que $0,67$ est égal à $\frac{2}{3}$. Or $0,67\times 3=$$2,01$, pas $2$.

   nombre	2/3	0,67
   fois 3	2	2,01

6. 6. Je ramène au même dénominateur : $18$ est un multiple de $6$ et de $9$. $\frac{5}{6}=\frac{15}{18}$ et $\frac{7}{9}=$$\frac{14}{18}$. Même dénominateur : je compare les numérateurs. $15>$$14$, donc $\frac{5}{6}>$$\frac{7}{9}$. Réponse : la gourde remplie aux $\frac{5}{6}$ contient le plus d'eau. ⛔ Le piège : comparer les numérateurs $5$ et $7$ sans avoir égalisé les dénominateurs.

   fraction	5/6	7/9
   en dix-huitièmes	15/18	14/18

7. 7. Je passe en décimal sans le signe : $\frac{3}{4}=0,75$ et $\frac{2}{5}=$$0,4$. $0,75>$$0,4$ : $-\frac{3}{4}$ est plus LOIN de zéro que $-\frac{2}{5}$. Chez les négatifs, le plus loin de zéro est le plus petit : il est le plus à gauche sur la droite. Réponse : $-\frac{3}{4}<$$-\frac{2}{5}$. ⛔ Le piège : garder l'ordre des positifs. $\frac{3}{4}>$$\frac{2}{5}$, mais $-\frac{3}{4}<$$-\frac{2}{5}$.
8. 8. Les dénominateurs sont différents : je cherche un multiple commun de $4$ et de $6$. Le plus petit est $12$. $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$ (je multiplie en haut et en bas par $3$) et $\frac{1}{6}=\frac{2}{12}$ (par $2$). $\frac{3}{4}+\frac{1}{6}=\frac{9}{12}+\frac{2}{12}=$$\frac{11}{12}$. $11$ est premier et ne divise pas $12$ : c'est irréductible. Réponse : $\frac{3}{4}+\frac{1}{6}=$$\frac{11}{12}$. ⛔ Le piège : additionner les numérateurs et les dénominateurs, et trouver $\frac{4}{10}$. Ce « résultat » est même plus petit que $\frac{3}{4}$ tout seul !
9. 9. a) $9$ et $12$ sont divisibles par $3$ : $\frac{9}{12}=\frac{3}{4}=$$0,75$. b) $-0,8$, ce sont $-8$ dixièmes : $-0,8=\frac{-8}{10}=$$\frac{-4}{5}$. c) $3=$$\frac{3}{1}$ : un entier est un rationnel de dénominateur $1$. d) $1÷7=$$0,142857142857\dots$ : les six chiffres $142857$ reviennent sans fin. Pas d'écriture décimale exacte ; $\frac{1}{7}$ est déjà irréductible. Réponse : les quatre nombres sont rationnels ; seul $\frac{1}{7}$ n'a pas d'écriture décimale exacte. ⭐ Pourquoi : les dénominateurs $4=2\times 2$ et $5$ ne sont faits que de $2$ et de $5$, les diviseurs de $10$. Le dénominateur $7$, non.

   nombre	9/12	−0,8	3	1/7
   irréductible	3/4	−4/5	3/1	1/7

10. 10. a) Trois chiffres après la virgule : ce sont des millièmes. $42,195=$$\frac{42195}{1000}$. $42195$ se termine par $5$ : il est divisible par $5$, comme $1000$. $\frac{42195}{1000}=$$\frac{8439}{200}$. $8439$ est impair et ne se termine ni par $0$ ni par $5$ : il n'a aucun diviseur commun avec $200=2\times 2\times 2\times 5\times$$5$. La fraction est irréductible. Réponse : $42,195=$$\frac{8439}{200}$. b) Les $\frac{2}{5}$ de $42,195$ : $42,195\times 2=$$84,39$, puis $84,39÷5=$$16,878$. Réponse : elle a parcouru $16,878$ km.
11. 11. Je passe tout en décimal, avec assez de chiffres pour départager. $\frac{3}{5}=$$0,6$ ; $\frac{7}{12}=$$0,58333\dots$ ; $\frac{2}{3}=0,666\dots$ $0,58$ et $0,5833\dots$ ont les mêmes deux premières décimales : c'est la troisième qui tranche, $0,580<$$0,583$. Réponse : $0,58<\frac{7}{12}<\frac{3}{5}<$$\frac{2}{3}$. ⛔ Le piège : arrondir $\frac{7}{12}$ à $0,58$ et conclure qu'ils sont égaux. L'arrondi efface justement la différence. ⭐ Contrôle sans décimal : $0,58=$$\frac{58}{100}$ ; $58\times 12=696$ et $7\times 100=$$700$, donc $0,58<$$\frac{7}{12}$.

    nombre	0,58	7/12	3/5	2/3
    décimal	0,580	0,583…	0,600	0,666…

12. 12. Un seul positif, $\frac{1}{4}$ : il est plus grand que tous les négatifs. Pour les trois négatifs, je compare leurs distances à zéro, en huitièmes : $\frac{1}{2}=$$\frac{4}{8}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{3}{4}=$$\frac{6}{8}$. Le plus loin de zéro est le plus petit : $-\frac{6}{8}<-\frac{5}{8}<$$-\frac{4}{8}$. Réponse : $-\frac{3}{4}<-\frac{5}{8}<-\frac{1}{2}<$$\frac{1}{4}$. ⛔ Le piège : ranger $\frac{1}{2}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{3}{4}$ comme des positifs, puis remettre les signes sans rien changer. Chez les négatifs, l'ordre s'inverse.
13. 13. La multiplication passe avant la soustraction : je commence par $\frac{5}{4}\times$$\frac{2}{5}$. $\frac{5}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{10}{20}=$$\frac{1}{2}$. Puis $\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{4}{6}-\frac{3}{6}=$$\frac{1}{6}$. Réponse : $A=$$\frac{1}{6}$. ⛔ Le piège : calculer de gauche à droite. $\frac{2}{3}-\frac{5}{4}$ donne $-\frac{7}{12}$, puis $-\frac{7}{12}\times \frac{2}{5}=$$-\frac{7}{30}$ : un résultat négatif, et faux.
14. 14. a) Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse : l'inverse de $\frac{9}{10}$ est $\frac{10}{9}$. $\frac{3}{4}\times \frac{10}{9}=\frac{30}{36}=$$\frac{5}{6}$. Réponse : $\frac{3}{4}÷\frac{9}{10}=$$\frac{5}{6}$. b) Je cherche combien de fois $\frac{3}{20}$ tient dans $\frac{3}{4}$ : c'est une division, donc je multiplie par l'inverse $\frac{20}{3}$. $\frac{3}{4}\times \frac{20}{3}=\frac{60}{12}=$$5$. Réponse : on remplit $5$ gobelets. ⭐ Contrôle : $5\times \frac{3}{20}=\frac{15}{20}=$$\frac{3}{4}$. ⛔ Le piège : inverser la première fraction au lieu de la seconde. On inverse celle PAR laquelle on divise.
15. 15. a) Dénominateur commun : $12$. $-\frac{5}{6}+\frac{3}{4}=-\frac{10}{12}+\frac{9}{12}=$$-\frac{1}{12}$. Le négatif l'emporte : $\frac{10}{12}$ est plus loin de zéro que $\frac{9}{12}$. Réponse : $B=$$-\frac{1}{12}$. b) Un négatif fois un négatif donne un positif. $\left(-\frac{2}{3}\right)\times \left(-\frac{9}{4}\right)=\frac{2\times 9}{3\times 4}=\frac{18}{12}=$$\frac{3}{2}$. Réponse : $C=$$\frac{3}{2}$. ⛔ Le piège : ajouter les numérateurs $-5+3$ et les dénominateurs $6+$$4$, et écrire $\frac{-2}{10}$. Même dénominateur d'abord, toujours.
16. 16. Je mets les deux au même dénominateur : $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$ et $\frac{1}{2}=$$\frac{6}{12}$. Entre $4$ et $6$, il y a $5$ : $\frac{5}{12}$ convient. Pour un deuxième, je découpe plus fin, en vingt-quatrièmes : $\frac{1}{3}=\frac{8}{24}$ et $\frac{5}{12}=$$\frac{10}{24}$. Entre les deux : $\frac{9}{24}=$$\frac{3}{8}$. Réponse : $\frac{3}{8}$ et $\frac{5}{12}$ sont compris entre $\frac{1}{3}$ et $\frac{1}{2}$, et il y en a une infinité d'autres. ⭐ Contrôle en décimal : $0,333\dots <0,375<0,4166\dots <$$0,5$. ⛔ Le piège : croire qu'il n'y a rien entre $\frac{4}{12}$ et $\frac{5}{12}$. Il suffit de redécouper plus fin.
17. 17. Le trail en deux heures a) $\frac{2}{5}+\frac{1}{3}=\frac{6}{15}+\frac{5}{15}=$$\frac{11}{15}$. Réponse : elle a fait les $\frac{11}{15}$ du parcours. b) Je compare à $\frac{1}{2}$ en trentièmes : $\frac{11}{15}=\frac{22}{30}$ et $\frac{1}{2}=$$\frac{15}{30}$. $22>$$15$. Réponse : oui, elle a dépassé la moitié. c) Le parcours entier, c'est $1=$$\frac{15}{15}$. $1-\frac{11}{15}=$$\frac{4}{15}$. Réponse : il lui reste les $\frac{4}{15}$ du parcours. d) Les $\frac{4}{15}$ de $45$ km : $45÷15=$$3$, puis $3\times 4=$$12$. Réponse : il lui reste $12$ km. ⭐ Contrôle : les $\frac{11}{15}$ de $45$ km font $33$ km, et $33+12=$$45$. ⛔ Le piège : écrire $\frac{2}{5}+\frac{1}{3}=$$\frac{3}{8}$. C'est moins que $\frac{2}{5}$ tout seul : elle aurait reculé pendant la deuxième heure !
18. 18. Quatre stations dans le froid a) $\frac{15}{4}=15÷4=$$3,75$, donc C : $-3,75$ °C. $\frac{7}{2}=$$3,5$, donc D : $-3,5$ °C. b) A et D affichent la même température : $-3,5=$$-\frac{7}{2}$. Deux écritures, un seul nombre. c) $10÷3=3,333\dots$ sans fin : $-\frac{10}{3}\approx$$-3,33$. L'écriture décimale ne s'arrête pas, mais $-\frac{10}{3}$ est un quotient d'entiers : c'est un rationnel. d) Chez les négatifs, le plus froid est le plus loin de zéro. Les distances à zéro : C $3,75$ ; A et D $3,5$ ; B $3,333\dots$ Réponse : de la plus froide à la moins froide, C ($-3,75$ °C), puis A et D à égalité ($-3,5$ °C), puis B ($-\frac{10}{3}$ °C). ⛔ Le piège : croire B la plus froide parce que $10$ est le plus grand numérateur. On compare des nombres, pas leurs morceaux.
19. 19. Rien entre 0,99 et 1 ? a) J'ajoute un zéro : $0,99=0,990$ et $1=$$1,000$. Entre les deux, par exemple $0,995$. Réponse : $0,99<0,995<$$1$. b) $0,995=$$\frac{995}{1000}$. $995$ et $1000$ sont divisibles par $5$ : $\frac{995}{1000}=$$\frac{199}{200}$. $199$ est premier : c'est irréductible. Réponse : $0,995=$$\frac{199}{200}$. c) Le milieu de deux nombres, c'est leur demi-somme : $\left(\frac{199}{200}+1\right)\times \frac{1}{2}=\frac{399}{200}\times \frac{1}{2}=$$\frac{399}{400}$. Réponse : le milieu est $\frac{399}{400}=$$0,9975$. d) Le milieu de deux rationnels différents est encore un rationnel, et on peut recommencer sans fin. Réponse : Léo a tort ; entre $0,99$ et $1$, il y a une infinité de rationnels. ⛔ Le piège : penser que $0,99$ et $1$ sont « voisins ». Sur la droite, aucun nombre n'a de voisin immédiat.
20. 20. Les gobelets de jus a) Combien de fois $\frac{1}{4}$ tient dans $\frac{3}{2}$ : je divise, donc je multiplie par l'inverse. $\frac{3}{2}\times \frac{4}{1}=\frac{12}{2}=$$6$. Réponse : on remplit $6$ gobelets. b) $\frac{3}{2}\times \frac{9}{2}=\frac{27}{4}=$$6,75$. Le résultat n'est pas entier : seuls $6$ gobelets sont pleins. Réponse : on remplit $6$ gobelets pleins. c) Six gobelets de $\frac{2}{9}$ L : $6\times \frac{2}{9}=\frac{12}{9}=$$\frac{4}{3}$. Il reste $\frac{3}{2}-\frac{4}{3}=\frac{9}{6}-\frac{8}{6}=$$\frac{1}{6}$. Réponse : il reste $\frac{1}{6}$ L, les trois quarts d'un gobelet. ⭐ Contrôle : $\frac{3}{4}\times \frac{2}{9}=\frac{6}{36}=$$\frac{1}{6}$ ; c'est bien le $0,75$ du b). ⛔ Le piège : répondre « $6,75$ gobelets ». Le quotient dit combien de fois la mesure tient ; seule sa partie entière compte des gobelets pleins.