Proportionnalité et pourcentages : 20 exercices corrigésmaths 3e — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : proportionnalité et pourcentages, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. Je divise chaque prix par la masse qui lui correspond. $7÷2=$$3,5$ ; $17,5÷5=$$3,5$ ; $28÷8=$$3,5$. Les trois quotients sont égaux : le prix est proportionnel à la masse. Le coefficient est $3,5$ : c'est le prix d'un kilo, $3,50$ €. ⛔ Le piège : ne tester que deux colonnes. Il faut que TOUS les quotients soient égaux.

   Masse (kg)	2	5	8
   Prix (€)	7	17,50	28
   Prix ÷ masse	3,5	3,5	3,5

2. 2. Je cherche le coefficient sur la colonne complète : $10÷4=$$2,5$. Pour passer de la première ligne à la seconde, je multiplie par $2,5$ : $a=6\times 2,5=$$15$. Pour revenir de la seconde à la première, je divise par $2,5$ : $b=35÷2,5=$$14$. ⭐ Contrôle : $14\times 2,5=$$35$.

   Ligne 1	4	6	14
   Ligne 2	10	15	35

3. 3. Le prix est proportionnel à la masse : $3\to 13,50$ et $5\to$$x$. Produit en croix : $x=$$\frac{13,50\times 5}{3}$. $13,50\times 5=$$67,50$, puis $67,50÷3=$$22,50$. Réponse : $5$ kg coûtent $22,50$ €. ⭐ Autre chemin : un kilo coûte $13,50÷3=4,50$ €, donc $5$ kg coûtent $5\times 4,50=22,50$ €.
4. 4. $15\%$, c'est $\frac{15}{100}=$$0,15$. $0,15\times 240=$$36$. Réponse : $15\%$ de $240$ font $36$. ⭐ De tête : $10\%$ de $240$ font $24$, et $5\%$ font la moitié, $12$. $24+12=$$36$.
5. 5. La proportion est $\frac{8}{25}$. Je la ramène à $100$ : $25\times 4=$$100$, donc $\frac{8}{25}=$$\frac{32}{100}$. Réponse : $32\%$ de la classe vient en bus. ⭐ Avec la calculatrice : $8÷25=$$0,32$, c'est-à-dire $32\%$. ⛔ Le piège : répondre « $8\%$ ». $8$ est un nombre d'élèves, pas un pourcentage : il faut le rapporter au total.
6. 6. Augmenter de $20\%$, c'est multiplier par $1+0,20=$$1,20$. $60\times 1,20=$$72$. Réponse : le nouveau prix est $72$ €. ⭐ Autre chemin : $20\%$ de $60$ font $12$, et $60+12=$$72$. ⛔ Le piège : ajouter $20$ et répondre $80$ €. $20\%$ n'est pas $20$ € : c'est $20$ pour $100$.
7. 7. a) Diminuer de $35\%$, c'est garder $100-35=65$ pour cent : on multiplie par $0,65$. b) $80\times 0,65=$$52$. Réponse : le sac soldé coûte $52$ €. ⛔ Le piège : multiplier par $0,35$. On obtiendrait $28$ € : c'est le montant de la réduction, pas le prix à payer.
8. 8. La vitesse est la distance divisée par la durée, et la durée doit être en heures. $2$ h $30$ min, c'est $2,5$ h : $30$ min sont une DEMI-heure. $150÷2,5=$$60$. Réponse : la vitesse moyenne est $60$ km/h. ⛔ Le piège : diviser par $2,30$. Une heure compte $60$ minutes, pas $100$.
9. 9. a) $3+2\times 1=5$ € ; $3+2\times 2=7$ € ; $3+2\times 5=13$ €. b) Je compare les quotients : $5÷1=$$5$, mais $7÷2=$$3,5$. Ils sont différents : le prix n'est PAS proportionnel à la distance. c) Pour $10$ km : $3+2\times 10=23$ €. Le double de $13$ € serait $26$ €. Réponse : il a tort. ⭐ Pourquoi : la prise en charge de $3$ € ne se paie qu'une fois. Seule la partie « $2$ € par kilomètre » est proportionnelle.
10. 10. La consommation est proportionnelle à la distance : $200\to 12$ et $350\to$$x$. Produit en croix : $x=$$\frac{12\times 350}{200}$. $12\times 350=$$4200$, puis $4200÷200=$$21$. Réponse : elle consommera $21$ L. ⭐ Contrôle : $350$ km, c'est un peu moins du double de $200$ km, et $21$ L un peu moins du double de $12$ L. C'est cohérent.
11. 11. a) $40\%$ veut dire $40$ POUR $100$. Sa réponse ne serait juste que si le total valait $100$. Ici le total est $150$ : la part doit être plus grande que $40$. b) $40\%=0,40$ et $0,40\times 150=$$60$. Réponse : $40\%$ de $150$ font $60$. ⭐ De tête : $10\%$ de $150$ font $15$, donc $40\%$ font $4\times 15=$$60$.
12. 12. a) $30\%$ de $45$ : $0,30\times 45=$$13,50$. Réponse : la réduction est de $13,50$ €. b) $45-13,50=$$31,50$. Réponse : le jean soldé coûte $31,50$ €. ⭐ En un seul calcul : baisser de $30\%$, c'est multiplier par $0,70$, et $45\times 0,70=$$31,50$.
13. 13. Je cherche par combien le prix a été multiplié : $92÷80=$$1,15$. $1,15=1+$$0,15$. Réponse : le prix a augmenté de $15\%$. ⭐ Autre chemin : la hausse est de $92-80=12$ €, et $12÷80=$$0,15$, soit $15\%$. ⛔ Le piège : diviser $12$ par $92$. Une évolution se rapporte toujours à la valeur de DÉPART.
14. 14. a) $25\%$ de $80$ : $0,25\times 80=$$20$. Réponse : il reste $80-20=60$ cL. b) Les $25\%$ se prennent maintenant sur $60$ cL : $0,25\times 60=$$15$. Réponse : le verre contient $60+15=75$ cL. c) Non : $75$ cL, pas $80$. Réponse : il manque $5$ cL. d) $-25\%$, c'est $\times 0,75$ ; $+25\%$, c'est $\times 1,25$. En tout : $0,75\times 1,25=$$0,9375$. ⭐ Contrôle : $80\times 0,9375=$$75$. ⛔ Le piège : croire que $-25\%$ puis $+25\%$ s'annulent. Les deux pourcentages ne portent pas sur la même quantité : $25\%$ de $80$ font $20$, mais $25\%$ de $60$ ne font que $15$.
15. 15. a) $1$ min $30$ s, c'est $1,5$ min. Débit $=18÷1,5=$$12$. Réponse : le débit est de $12$ L/min. b) Durée $=$ volume $÷$ débit $=150÷12=12,5$ min. $0,5$ min, c'est $30$ s. Réponse : il faut $12$ min $30$ s. ⛔ Le piège : lire $12,5$ min comme « $12$ min $5$ s ». La partie décimale est une fraction de minute : $0,5\times 60=30$ s.
16. 16. La durée doit être en heures : $36$ min $=36÷60=0,6$ h. Vitesse $=27÷0,6=$$45$. Réponse : la vitesse moyenne du bus est $45$ km/h. ⭐ Autre chemin, par proportionnalité : en $36$ min il fait $27$ km, donc en $12$ min il fait $9$ km, et en $60$ min il fait $5\times 9=45$ km. ⛔ Le piège : calculer $27÷36=0,75$ et répondre « $0,75$ km/h ». Ce nombre est en kilomètres par MINUTE.
17. 17. La tablette de 100 carrés a) $20\%$ de $100$ font $20$ carrés. Réponse : le grand format compte $100+20=120$ carrés. b) Les $20\%$ se prennent sur $120$ carrés : $0,20\times 120=$$24$. Réponse : on retire $24$ carrés, il en reste $120-24=$$96$. c) C'est faux : il reste $96$ carrés, pas $100$. Réponse : il en manque $4$. d) $1,20\times 0,80=$$0,96$. Réponse : multiplier par $0,96$, c'est baisser de $4\%$. ⛔ Le piège : dire « $+20$ puis $-20$, ça fait $0$ ». On a ajouté $20\%$ de $100$, mais retiré $20\%$ de $120$ : la seconde part est plus grosse.
18. 18. Les abonnés perdus a) $1000\times 0,80=$$800$. Réponse : elle a $800$ abonnés fin janvier. b) Les $20\%$ de février portent sur $800$ : $800\times 1,20=$$960$. Réponse : elle a $960$ abonnés fin février. c) $1000-960=$$40$. Réponse : il lui manque $40$ abonnés. d) Il faut passer de $800$ à $1000$ : $1000÷800=$$1,25$. Réponse : il aurait fallu une hausse de $25\%$. ⭐ À retenir : pour effacer une baisse de $20\%$, il faut une hausse de $25\%$. La hausse part de plus bas : elle doit être plus forte. ⭐ Dans l'autre ordre, $+20\%$ puis $-20\%$, on arrive aussi à $960$ : $1,20\times 0,80$ et $0,80\times 1,20$ donnent le même produit.
19. 19. La deuxième démarque a) $90\times 0,70=$$63$. Réponse : après la première démarque, le blouson coûte $63$ €. b) La deuxième remise porte sur $63$ € : $63\times 0,80=$$50,40$. Réponse : le prix final est $50,40$ €. c) $90\times 0,50=$$45$. Réponse : avec une vraie remise de $50\%$, il coûterait $45$ €, soit $5,40$ € de moins. d) $0,70\times 0,80=$$0,56$. Réponse : multiplier par $0,56$, c'est baisser de $44\%$, pas de $50\%$. ⛔ Le piège : additionner $30+$$20$. La deuxième remise s'applique à un prix plus petit : elle enlève moins d'euros que si elle portait sur $90$ €.
20. 20. L'aller-retour a) Durée $=$ distance $÷$ vitesse. Aller : $80÷80=1$ h. Retour : $80÷40=2$ h. b) Distance totale : $160$ km. Durée totale : $3$ h. $160÷3\approx$$53,3$. Réponse : sa vitesse moyenne est d'environ $53,3$ km/h. c) Il passe DEUX fois plus de temps à $40$ km/h qu'à $80$ km/h : la vitesse lente pèse plus lourd. On ne fait jamais la moyenne de deux vitesses : on divise la distance totale par la durée totale. ⭐ Contrôle : à $60$ km/h, $160$ km prendraient $2$ h $40$ min, pas $3$ h.