La trigonométrie : cosinus, sinus, tangente : 20 exercices corrigésmaths 3e — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices, du geste seul au problème de brevet : nommer l'hypoténuse, l'adjacent et l'opposé, choisir entre cosinus, sinus et tangente, calculer une longueur, puis un angle. La hauteur de la tour Eiffel, une échelle, un cerf-volant, la rue la plus pentue du monde, la descente d'un avion. Un rappel de cours avant chaque niveau. Cherche d'abord au brouillon, puis ouvre la correction : étape par étape, avec le pourquoi, le piège nommé, et le triangle dessiné à l'échelle.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Un rapport par exercice. Je repère l'angle droit, puis l'angle étudié, avant d'écrire quoi que ce soit.

Rappel de cours

Dans un triangle rectangle, par rapport à un angle aigu : l'HYPOTÉNUSE est en face de l'angle droit, l'ADJACENT touche l'angle étudié, l'OPPOSÉ est en face de lui.
CAH-SOH-TOA : Cosinus = Adjacent ÷ Hypoténuse, Sinus = Opposé ÷ Hypoténuse, Tangente = Opposé ÷ Adjacent.
Un angle connu, une longueur cherchée : je multiplie ou je divise. Deux longueurs connues, un angle cherché : cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹.
La calculatrice doit être en DEGRÉS : un « D » ou « DEG » affiché à l'écran.

1
Le triangle $D EF$ est rectangle en $E$ . a) Nommer son hypoténuse. b) Nommer le côté adjacent à l'angle $D$ , puis le côté opposé à $D$ . c) Même question pour l'angle $F$ . d) Quel côté garde le même nom quel que soit l'angle choisi ?
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Je repère d'abord l'angle droit : il est en $E$ . a) L'hypoténuse est en face de l'angle droit, c'est le seul côté qui ne touche pas $E$ : l'hypoténuse est $[F D]$ . b) Je me place en $D$ . Deux côtés touchent $D$ : $[F D]$ , déjà pris par l'hypoténuse, et $[D E]$ . Le côté adjacent est $[D E]$ . Le côté qui ne touche pas $D$ est en face : le côté opposé est $[EF]$ . c) Je me place maintenant en $F$ : les rôles s'échangent. Le côté adjacent à $F$ est $[EF]$ et le côté opposé à $F$ est $[D E]$ . d) L'hypoténuse : elle ne dépend que de l'angle droit. ⛔ Le piège : apprendre « l'adjacent, c'est le côté du bas ». Adjacent et opposé n'existent que PAR RAPPORT à un angle : je change d'angle, ils changent de côté. Réponse : hypoténuse $[F D]$ ; pour $D$ , adjacent $[D E]$ et opposé $[EF]$ ; pour $F$ , c'est l'inverse.
2
Le triangle $K L M$ est rectangle en $L$ , avec $K L = 24$ cm, $L M = 7$ cm et $M K = 25$ cm. a) Écrire $cos K$ , $sin K$ et $tan K$ sous forme de fractions, puis en décimal (au centième si besoin). b) Calculer $cos M$ . Que remarque-t-on ?
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L'angle droit est en $L$ : l'hypoténuse est $[M K]$ , $25$ cm. Par rapport à $K$ , le côté adjacent est $[K L]$ et le côté opposé est $[L M]$ . a) CAH : $cos K = \frac{K L}{M K} = \frac{24}{25} =$ $0, 96$ . SOH : $sin K = \frac{L M}{M K} = \frac{7}{25} =$ $0, 28$ . TOA : $tan K = \frac{L M}{K L} = \frac{7}{24} \approx$ $0, 29$ . b) Je me place en $M$ : l'adjacent devient $[L M]$ . $cos M = \frac{L M}{M K} = \frac{7}{25} =$ $0, 28$ . ⭐ C'est $sin K$ : ce qui est opposé à $K$ est adjacent à $M$ . Le cosinus d'un angle aigu est le sinus de l'autre. ⛔ Le piège : garder les rôles de $K$ pour calculer $cos M$ , et trouver $0, 96$ encore. Réponse : $cos K =$ $0, 96$ , $sin K =$ $0, 28$ , $tan K \approx$ $0, 29$ ; $cos M =$ $0, 28$ .
3
Le triangle $A BC$ est rectangle en $B$ , avec $A = 52°$ et $C A = 8$ cm. Calculer $A B$ , arrondi au dixième.
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L'angle droit est en $B$ : l'hypoténuse est $[C A]$ , $8$ cm. Par rapport à $A$ , le côté adjacent est $[A B]$ : il touche $A$ et ce n'est pas l'hypoténuse. Je connais l'hypoténuse, je cherche l'adjacent : CAH, le cosinus. $cos A =$ $\frac{A B}{C A}$ , donc $cos 52° =$ $\frac{A B}{8}$ . Je multiplie les deux membres par $8$ : $A B = 8 \times cos 52° \approx 4, 9$ cm (la calculatrice affiche $4, 925 \dots$ ). ⭐ Contrôle : $4, 9 <$ $8$ ; un côté de l'angle droit est toujours plus court que l'hypoténuse. ⛔ Le piège : la calculatrice en radians. Elle affiche $8 \times cos 52 \approx$ $- 1, 30$ , une longueur NÉGATIVE. Avant tout calcul, je vérifie le « D » ou « DEG » à l'écran. Réponse : $A B \approx 4, 9$ cm.
4
Le triangle $PQR$ est rectangle en $Q$ , avec $P = 23°$ et $RP = 15$ cm. Calculer $QR$ , arrondi au dixième.
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L'angle droit est en $Q$ : l'hypoténuse est $[RP]$ , $15$ cm. Par rapport à $P$ , $[QR]$ ne touche pas $P$ : le côté opposé est $[QR]$ . Je connais l'hypoténuse, je cherche l'opposé : SOH, le sinus. $sin P =$ $\frac{QR}{RP}$ , donc $sin 23° =$ $\frac{QR}{15}$ . $QR = 15 \times sin 23° \approx 5, 9$ cm (la calculatrice affiche $5, 860 \dots$ ). ⭐ Contrôle : un angle de $23°$ est petit, le côté en face de lui est court. ⛔ Le piège : prendre le cosinus par habitude de 4e. $15 \times cos 23° \approx 13, 8$ cm, c'est la longueur de l'ADJACENT $[PQ]$ , pas celle de $[QR]$ . Réponse : $QR \approx 5, 9$ cm.
5
Le triangle $U VW$ est rectangle en $V$ , avec $U = 38°$ et $U V = 6, 5$ cm. Calculer $VW$ , arrondi au dixième.
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L'angle droit est en $V$ : l'hypoténuse est $[W U]$ , mais je ne la connais pas et je ne la cherche pas. Par rapport à $U$ , le côté adjacent est $[U V]$ et le côté opposé est $[VW]$ . Opposé et adjacent, sans hypoténuse : TOA, la tangente. $tan U =$ $\frac{VW}{U V}$ , donc $tan 38° =$ $\frac{VW}{6 , 5}$ . $VW = 6, 5 \times tan 38° \approx 5, 1$ cm (la calculatrice affiche $5, 078 \dots$ ). ⭐ Contrôle : $38°$ est un peu moins que la moitié d'un angle droit, l'opposé est donc un peu plus court que l'adjacent. ⛔ Le piège : renverser le rapport, « adjacent sur opposé », et calculer $6, 5 \div tan 38° \approx 8, 3$ cm. TOA : l'Opposé est en HAUT. Réponse : $VW \approx 5, 1$ cm.
6
Le triangle $EFG$ est rectangle en $F$ , avec $E = 34°$ et $EF = 9$ cm. Calculer l'hypoténuse $GE$ , arrondie au dixième.
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L'angle droit est en $F$ : l'hypoténuse est $[GE]$ . Par rapport à $E$ , le côté adjacent est $[EF]$ , $9$ cm. Adjacent connu, hypoténuse cherchée : CAH, le cosinus. $cos 34° = \frac{EF}{GE} =$ $\frac{9}{GE}$ . Cette fois, l'inconnue est EN BAS. Je multiplie par $GE$ : $GE \times cos 34° =$ $9$ , puis je divise par $cos 34°$ : $GE = \frac{9}{cos 34°} \approx 10, 9$ cm (la calculatrice affiche $10, 855 \dots$ ). ⭐ Contrôle : $10, 9 >$ $9$ ; l'hypoténuse est le plus long côté. ⛔ Le piège : multiplier par réflexe, $9 \times cos 34° \approx 7, 5$ cm. Une hypoténuse plus courte que l'adjacent, c'est impossible. Réponse : $GE \approx 10, 9$ cm.
7
Le triangle $X Y Z$ est rectangle en $Y$ , avec $X Y = 7$ cm et $ZX = 11$ cm. Calculer l'angle $X$ , arrondi au dixième de degré.
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L'angle droit est en $Y$ : l'hypoténuse est $[ZX]$ , $11$ cm. Par rapport à $X$ , le côté adjacent est $[X Y]$ , $7$ cm. Adjacent et hypoténuse : le cosinus. $cos X = \frac{X Y}{ZX} =$ $\frac{7}{11}$ . Je connais le cosinus, je veux l'angle : j'utilise la touche $cos^{- 1}$ (parfois « Arccos », ou « seconde » puis « cos »). $X = cos^{- 1} (\frac{7}{11}) \approx$ $50, 5°$ . ⭐ Contrôle : l'autre angle aigu vaut $90° - 50, 5° =$ $39, 5°$ , un angle aigu ; tout est cohérent. ⛔ Le piège : lire $cos^{- 1}$ comme « 1 divisé par cos ». $1 \div cos (7 \div 11)$ donne $\approx$ $1, 0001$ : ce n'est pas un angle. $cos^{- 1}$ est la touche qui REMONTE du cosinus à l'angle. Réponse : $X \approx$ $50, 5°$ .
8
Le triangle $RST$ est rectangle en $S$ , avec $RS = 7, 5$ cm et $ST = 4, 2$ cm. Calculer l'angle $R$ , arrondi au dixième de degré.
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L'angle droit est en $S$ : l'hypoténuse est $[TR]$ , que je ne connais pas. Par rapport à $R$ , le côté adjacent est $[RS]$ et le côté opposé est $[ST]$ . Opposé et adjacent : la tangente. $tan R = \frac{ST}{RS} = \frac{4 , 2}{7 , 5} =$ $0, 56$ . $R = tan^{- 1} (0, 56) \approx$ $29, 2°$ . ⛔ Le piège : se placer en $T$ sans le vouloir, et écrire $\frac{7 , 5}{4 , 2}$ . On trouve alors $tan^{- 1} (\frac{7 , 5}{4 , 2}) \approx$ $60, 8°$ : c'est l'angle $T$ , pas $R$ . D'ailleurs $29, 2° + 60, 8° =$ $90°$ . Réponse : $R \approx$ $29, 2°$ .

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Rédiger comme au brevet : le triangle rectangle, le rapport choisi et pourquoi, l'égalité, le calcul, l'arrondi.

Rappel de cours

La phrase d'ouverture : « Dans le triangle ABC rectangle en B, … ». Sans triangle rectangle, pas de trigonométrie.
CHOISIR le rapport : je surligne les deux côtés qui comptent (le connu et le cherché) par rapport à l'angle. Adjacent et hypoténuse : CAH. Opposé et hypoténuse : SOH. Opposé et adjacent : TOA.
Inconnue en haut de la fraction : je multiplie. Inconnue en bas : je divise.
Je garde la valeur de la calculatrice jusqu'au bout, et j'arrondis à la FIN seulement.

9
Le triangle $ST U$ est rectangle en $T$ , avec $S = 27°$ et $U S = 13$ cm. a) Quel rapport permet de calculer $T U$ ? Pourquoi pas le cosinus ? b) Calculer $T U$ au dixième, en rédigeant comme au brevet.
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a) L'angle droit est en $T$ : l'hypoténuse est $[U S]$ . Par rapport à $S$ , le côté opposé est $[T U]$ (il ne touche pas $S$ ), et le côté adjacent est $[ST]$ . Je connais l'hypoténuse, je cherche l'opposé : SOH, le sinus. Le cosinus relie l'ADJACENT $[ST]$ à l'hypoténuse : il ne parle pas de $[T U]$ . b) Dans le triangle $ST U$ rectangle en $T$ , $sin S =$ $\frac{T U}{U S}$ . Donc $sin 27° = \frac{T U}{13}$ et $T U = 13 \times sin 27° \approx 5, 9$ cm. ⛔ Le piège : prendre l'hypoténuse pour l'adjacent parce qu'elle touche aussi $S$ . Avec le cosinus, $13 \times cos 27° \approx 11, 6$ cm : c'est $ST$ , l'autre côté. Réponse : $T U \approx 5, 9$ cm.
10
Le triangle $G H I$ est rectangle en $H$ , avec $I = 61°$ et $H G = 7, 4$ cm. Calculer $I H$ au dixième, en rédigeant.
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Je me place en $I$ , l'angle connu. L'angle droit est en $H$ : l'hypoténuse est $[G I]$ . Par rapport à $I$ , le côté adjacent est $[I H]$ et le côté opposé est $[H G]$ . Opposé connu, adjacent cherché : TOA, la tangente. Dans le triangle $G H I$ rectangle en $H$ , $tan I =$ $\frac{H G}{I H}$ , donc $tan 61° =$ $\frac{7 , 4}{I H}$ . L'inconnue est en BAS : $I H \times tan 61° =$ $7, 4$ , donc $I H = \frac{7 , 4}{tan 61°} \approx 4, 1$ cm. ⭐ Contrôle : $61°$ est plus grand que la moitié d'un angle droit, donc l'opposé ( $7, 4$ cm) est plus long que l'adjacent. $4, 1 <$ $7, 4$ : c'est cohérent. ⛔ Le piège : multiplier, $7, 4 \times tan 61° \approx 13, 3$ cm. Ce serait vrai si l'inconnue était en haut. Réponse : $I H \approx 4, 1$ cm.
11
Une rampe pour fauteuil roulant mesure $4, 2$ m de long. Son sommet $S$ est $35$ cm plus haut que son pied $P$ . On note $H$ le point du sol à la verticale de $S$ : le triangle $P H S$ est rectangle en $H$ . a) Calculer l'angle $P$ que fait la rampe avec le sol, au dixième de degré. b) Un élève arrondit d'abord $0, 35 \div 4, 2$ à $0, 08$ . Quel angle trouve-t-il ?
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a) Je convertis : $35$ cm $= 0, 35$ m. L'angle droit est en $H$ : l'hypoténuse est la rampe $[SP]$ , $4, 2$ m. Par rapport à $P$ , la hauteur $[H S]$ est le côté opposé. Opposé et hypoténuse : le sinus. Dans le triangle $P H S$ rectangle en $H$ , $sin P = \frac{H S}{SP} =$ $\frac{0 , 35}{4 , 2}$ . $P = sin^{- 1} (\frac{0 , 35}{4 , 2}) \approx$ $4, 8°$ . Je tape la division DANS la parenthèse, sans l'arrondir. b) $sin^{- 1} (0, 08) \approx$ $4, 6°$ : l'élève se trompe de $0, 2°$ au dixième demandé. ⛔ Le piège : l'arrondi pris trop tôt. $0, 35 \div 4, 2 =$ $0, 0833 \dots$ ; en coupant à $0, 08$ , on perd $4$ % de la valeur, et l'angle change. Réponse : la rampe fait un angle d'environ $4, 8°$ avec le sol.
12
Le triangle $A BC$ est rectangle en $B$ , avec $A B = 5, 3$ cm et $BC = 3, 8$ cm. a) Calculer $A$ au dixième de degré. b) En déduire $C A$ au centième avec le sinus. c) Vérifier avec le théorème de Pythagore.
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a) L'angle droit est en $B$ : l'hypoténuse est $[C A]$ . Par rapport à $A$ , le côté adjacent est $[A B]$ et le côté opposé est $[BC]$ . Opposé et adjacent : la tangente. $tan A = \frac{BC}{A B} =$ $\frac{3 , 8}{5 , 3}$ , donc $A = tan^{- 1} (\frac{3 , 8}{5 , 3}) \approx$ $35, 6°$ . b) $sin A =$ $\frac{BC}{C A}$ : l'inconnue est en bas, je divise. $C A =$ $\frac{3 , 8}{sin A}$ . Je garde en mémoire la valeur EXACTE de l'angle (touche « Ans ») : $C A \approx 6, 52$ cm. c) $C A^{2} = 5, 3^{2} + 3, 8^{2} = 28, 09 + 14, 44 =$ $42, 53$ , et $42, 53 \approx 6, 52$ cm. Les deux chemins donnent le même centième. ⛔ Le piège : l'arrondi pris trop tôt. Avec $36°$ on trouve $3, 8 \div sin 36° \approx 6, 46$ cm, avec $35, 6°$ on trouve $6, 53$ cm : deux centièmes faux. Réponse : $A \approx 35, 6°$ et $C A \approx 6, 52$ cm.
13
Dans le triangle $A BC$ , $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$ : $H$ est sur $[BC]$ et $(A H)$ est perpendiculaire à $(BC)$ . On donne $A H = 6$ cm, $B = 42°$ et $C =$ $28°$ . a) Calculer $B H$ et $H C$ au centième. b) En déduire $BC$ au dixième.
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Le triangle $A BC$ n'est pas rectangle : je ne peux pas y appliquer la trigonométrie. Mais la hauteur le coupe en DEUX triangles rectangles en $H$ : $A B H$ et $A C H$ . a) Dans le triangle $A B H$ rectangle en $H$ , par rapport à $B$ , $[A H]$ est opposé et $[B H]$ adjacent : la tangente. $tan 42° =$ $\frac{6}{B H}$ , donc $B H = \frac{6}{tan 42°} \approx 6, 66$ cm. Dans le triangle $A C H$ rectangle en $H$ , de même : $H C = \frac{6}{tan 28°} \approx 11, 28$ cm. b) $H$ est entre $B$ et $C$ : $BC = B H +$ $H C$ . Avec les valeurs de la calculatrice, $BC \approx$ $17, 95$ , soit $17, 9$ cm au dixième. ⛔ Le piège : arrondir chaque morceau au dixième avant d'additionner, $6, 7 + 11, 3 = 18, 0$ cm. Deux petits arrondis vers le haut se cumulent. Réponse : $B H \approx 6, 66$ cm, $H C \approx 11, 28$ cm, $BC \approx 17, 9$ cm.
14
Le triangle $J K L$ est rectangle en $K$ , avec $J K = 5, 6$ cm et $L J = 8$ cm. Un élève veut $J$ : il calcule $5, 6 \div 8 =$ $0, 7$ , puis tape « 1 ÷ cos(0,7) » et trouve $1, 0001$ . a) Où est l'erreur ? b) Calculer $J$ au dixième de degré.
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a) Son début est juste : l'angle droit est en $K$ , l'hypoténuse est $[L J]$ , et $[J K]$ est adjacent à $J$ ; donc $cos J = \frac{5 , 6}{8} =$ $0, 7$ . L'erreur est à la fin : il a lu $cos^{- 1}$ comme « 1 divisé par cos ». Il a calculé l'inverse du cosinus de l'angle $0, 7°$ , un nombre qui n'a rien à voir avec un angle. b) $cos^{- 1}$ est la fonction qui REMONTE : elle part du cosinus, $0, 7$ , et rend l'angle. $J = cos^{- 1} (0, 7) \approx$ $45, 6°$ . ⭐ Contrôle : je repars de l'angle, $cos 45, 6° \approx$ $0, 70$ . La boucle est bouclée. ⛔ Le piège : $cos^{- 1}$ n'est PAS $\frac{1}{cos}$ . Le petit « $- 1$ » veut dire « la touche réciproque », comme remonter un escalier qu'on vient de descendre. Réponse : $J \approx$ $45, 6°$ .
15
Le fil d'un cerf-volant, bien tendu, mesure $14$ m entre la main $M$ et le cerf-volant $V$ . Il fait un angle de $48°$ avec l'horizontale. On note $H$ le point à la hauteur de la main, à la verticale de $V$ . a) Calculer la hauteur $H V$ du cerf-volant au-dessus de la main, au dixième. b) Un camarade trouve $- 10, 76$ m. Que s'est-il passé ?
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a) Le triangle $M H V$ est rectangle en $H$ (verticale et horizontale). L'hypoténuse est le fil $[V M]$ , $14$ m. Par rapport à $M$ , le côté opposé est $[H V]$ . Opposé cherché, hypoténuse connue : le sinus. $sin 48° =$ $\frac{H V}{14}$ , donc $H V = 14 \times sin 48° \approx 10, 4$ m. b) Sa calculatrice est en RADIANS : elle a calculé le sinus de $48$ radians, et $14 \times sin 48 \approx$ $- 10, 76$ . Une hauteur négative est absurde : c'est le signal d'alarme. ⛔ Le piège : la calculatrice en radians. Je règle le mode DEGRÉS, et je teste avec un angle connu : $sin 30°$ doit donner $0, 5$ . Réponse : le cerf-volant vole à environ $10, 4$ m au-dessus de la main.
16
Pour chaque triangle, choisir le rapport, puis calculer. a) $EFG$ est rectangle en $F$ , $E = 20°$ et $FG = 3, 5$ cm. Calculer $EF$ au dixième. b) $RST$ est rectangle en $S$ , $RS = 9$ cm et $TR = 12$ cm. Calculer $R$ au dixième de degré.
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Pour chacun, je nomme d'abord les deux côtés qui comptent par rapport à l'angle, PUIS je choisis. a) L'angle droit est en $F$ : l'hypoténuse est $[GE]$ . Par rapport à $E$ , $[FG]$ est l'opposé (connu) et $[EF]$ l'adjacent (cherché). Opposé et adjacent : TOA. $tan 20° =$ $\frac{3 , 5}{EF}$ ; l'inconnue est en bas, je divise : $EF = \frac{3 , 5}{tan 20°} \approx 9, 6$ cm. b) L'angle droit est en $S$ : l'hypoténuse est $[TR]$ , $12$ cm. Par rapport à $R$ , $[RS]$ est l'adjacent. Adjacent et hypoténuse : CAH. $cos R = \frac{9}{12} =$ $0, 75$ , donc $R = cos^{- 1} (0, 75) \approx$ $41, 4°$ . ⛔ Le piège : choisir le rapport à l'aveugle, ou prendre toujours le cosinus. Au a), l'hypoténuse n'apparaît NULLE PART : ni le cosinus ni le sinus ne peuvent servir. Réponse : a) $EF \approx 9, 6$ cm ; b) $R \approx$ $41, 4°$ .

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Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Des situations réelles. Je trouve le triangle rectangle caché, je le dessine, je choisis le rapport, puis une phrase de réponse.

Rappel de cours

L'angle droit se cache dans le monde : un mur ou une tour verticale sur un sol horizontal, la verticale d'un avion au-dessus de la piste.
L'angle d'élévation se mesure à partir de l'HORIZONTALE, en levant les yeux ; une pente en % est une TANGENTE : 10 % veut dire 10 m de montée pour 100 m à l'horizontale.
Je vérifie l'ordre de grandeur : une échelle ne dépasse pas sa longueur, une tour de 300 m ne mesure pas 3 km.

17La hauteur de la tour Eiffel
Posée au sol à $400$ m du pied $P$ de la tour Eiffel, en $O$ , une élève vise le sommet $S$ avec un clinomètre : l'angle d'élévation $O$ mesure $39, 5°$ . a) Calculer la hauteur $PS$ de la tour, au dixième de mètre. La hauteur officielle est de $330$ m : la mesure est-elle bonne ? b) À quelle distance $SO$ du sommet est-elle, au mètre ? c) Un camarade calcule $400 \times$ $sin 39, 5°$ . Qu'a-t-il confondu ?
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La tour est verticale, le sol horizontal : le triangle $OPS$ est rectangle en $P$ . Par rapport à $O$ , $[OP]$ ( $400$ m) est l'adjacent, la hauteur $[PS]$ l'opposé, et la ligne de visée $[SO]$ l'hypoténuse. a) Adjacent connu, opposé cherché : la tangente. $tan 39, 5° =$ $\frac{PS}{400}$ , donc $PS = 400 \times tan 39, 5° \approx 329, 7$ m. À $27$ cm près sur $330$ m : la mesure est excellente. b) Adjacent connu, hypoténuse cherchée : le cosinus, inconnue en bas. $SO = \frac{400}{cos 39 , 5°} \approx 518$ m. c) Il a pris la distance au sol pour l'hypoténuse : $400 \times sin 39, 5° \approx 254$ m, une tour trop petite de $76$ m. ⛔ Le piège : l'hypoténuse prise pour l'adjacent. La distance au SOL touche l'angle et l'angle droit : c'est l'adjacent ; l'hypoténuse est la ligne de visée, en face de l'angle droit. Réponse : la tour mesure environ $329, 7$ m, en accord avec les $330$ m officiels ; le sommet est à environ $518$ m de l'élève.
18L'échelle bien posée
Une échelle de $7$ m est appuyée contre un mur vertical. Pour qu'elle ne glisse pas et ne bascule pas, on recommande un angle d'environ $75°$ avec le sol. a) À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ? Arrondir au centimètre. b) À quelle distance du mur faut-il poser le pied ? Arrondir au centimètre. c) Une autre règle dit : « le pied à un quart de la longueur du mur ». Les deux règles sont-elles d'accord ?
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Le mur est vertical, le sol horizontal : le pied de l'échelle $P$ , le bas du mur $M$ et le haut $H$ forment un triangle rectangle en $M$ . L'échelle $[H P]$ est l'hypoténuse, $7$ m. Par rapport à $P =$ $75°$ , le mur $[M H]$ est l'opposé et le sol $[PM]$ l'adjacent. a) Opposé cherché, hypoténuse connue : le sinus. $M H = 7 \times sin 75° \approx 6, 76$ m. b) Adjacent cherché, hypoténuse connue : le cosinus. $PM = 7 \times cos 75° \approx 1, 81$ m. c) Un quart de $7$ m, c'est $7 \div 4 = 1, 75$ m. $1, 81$ m et $1, 75$ m : à $6$ cm près, les deux règles disent la même chose. ⭐ Contrôle : $6, 76 < 7$ et $1, 81 <$ $7$ , les deux côtés de l'angle droit sont plus courts que l'échelle. ⛔ Le piège : échanger sinus et cosinus. Le mur est EN FACE de l'angle au sol : c'est l'opposé, donc le sinus. Réponse : l'échelle touche le mur à environ $6, 76$ m, le pied est à environ $1, 81$ m du mur, et les deux règles concordent.
19La rue la plus pentue du monde
Un panneau routier annonce une descente à $10$ %. Baldwin Street, à Dunedin (Nouvelle-Zélande), a une pente d'environ $35$ %. a) Quel angle avec l'horizontale correspond à une pente de $10$ % ? Au dixième de degré. b) Même question pour $35$ %. c) Une voiture parcourt $2$ km sur la route à $10$ %. De combien descend-elle, au mètre ? d) Un élève dit : « $10$ %, c'est $10°$ ». A-t-il raison ?
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Une pente de $10$ % : $10$ m de dénivelé pour $100$ m à l'horizontale. Dénivelé et horizontale forment un angle droit ; par rapport à l'angle de la route, le dénivelé est l'opposé et l'horizontale l'adjacent. La pente est donc une TANGENTE. a) $tan α = \frac{10}{100} =$ $0, 1$ , donc $α = tan^{- 1} (0, 1) \approx$ $5, 7°$ . b) $tan β =$ $0, 35$ , donc $β = tan^{- 1} (0, 35) \approx$ $19, 3°$ . La rue la plus pentue du monde ne fait même pas $20°$ . c) Les $2000$ m se mesurent SUR la route : c'est l'hypoténuse. Le dénivelé est l'opposé : le sinus. $2000 \times sin α \approx 199$ m, avec la valeur exacte de $α$ gardée en mémoire. d) Non. Un angle de $10°$ donne $tan 10° \approx$ $0, 176$ , soit une pente de $17, 6$ % : presque le double. ⛔ Le piège : confondre le pourcentage de pente et l'angle en degrés. Le pourcentage est une tangente, pas un angle. Réponse : $10$ % correspond à environ $5, 7°$ , $35$ % à environ $19, 3°$ ; la voiture descend d'environ $199$ m.
20La descente de l'avion
Pour atterrir, un avion de ligne descend en ligne droite vers le point de toucher $T$ de la piste, en suivant une pente de $3°$ avec l'horizontale. On note $A$ l'avion et $B$ le point du sol à sa verticale. L'avion vole à $900$ m d'altitude. a) À quelle distance horizontale $TB$ de la piste est-il ? Au dixième de kilomètre. b) Quelle altitude devrait-il avoir à $5$ km de la piste, à l'horizontale ? Au mètre. c) Calculer la longueur $A T$ du trajet de descente au mètre, et la comparer à $TB$ .
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Le triangle $TB A$ est rectangle en $B$ : l'altitude est verticale, le sol horizontal. Par rapport à $T =$ $3°$ , l'altitude $[B A]$ est l'opposé, la distance au sol $[TB]$ l'adjacent, le trajet $[A T]$ l'hypoténuse. a) Opposé connu, adjacent cherché : la tangente, inconnue en bas. $TB = \frac{900}{tan 3°} \approx 17173$ m, soit environ $17, 2$ km. b) Adjacent connu ( $5000$ m), opposé cherché : $5000 \times tan 3° \approx 262$ m. c) Opposé connu, hypoténuse cherchée : le sinus. $A T = \frac{900}{sin 3°} \approx 17197$ m. C'est seulement $24$ m de plus que $TB$ : avec un angle aussi petit, l'hypoténuse et l'adjacent sont presque égaux. ⛔ Le piège : prendre le trajet pour la distance au sol. Ici l'écart est petit, mais le raisonnement serait faux : on garde le bon côté, et le bon rapport. Réponse : l'avion est à environ $17, 2$ km de la piste ; à $5$ km, il devrait voler à environ $262$ m ; il parcourt environ $17197$ m avant de toucher le sol.

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : la trigonométrie : cosinus, sinus, tangente, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. Je repère d'abord l'angle droit : il est en $E$ . a) L'hypoténuse est en face de l'angle droit, c'est le seul côté qui ne touche pas $E$ : l'hypoténuse est $[F D]$ . b) Je me place en $D$ . Deux côtés touchent $D$ : $[F D]$ , déjà pris par l'hypoténuse, et $[D E]$ . Le côté adjacent est $[D E]$ . Le côté qui ne touche pas $D$ est en face : le côté opposé est $[EF]$ . c) Je me place maintenant en $F$ : les rôles s'échangent. Le côté adjacent à $F$ est $[EF]$ et le côté opposé à $F$ est $[D E]$ . d) L'hypoténuse : elle ne dépend que de l'angle droit. ⛔ Le piège : apprendre « l'adjacent, c'est le côté du bas ». Adjacent et opposé n'existent que PAR RAPPORT à un angle : je change d'angle, ils changent de côté. Réponse : hypoténuse $[F D]$ ; pour $D$ , adjacent $[D E]$ et opposé $[EF]$ ; pour $F$ , c'est l'inverse.
2. L'angle droit est en $L$ : l'hypoténuse est $[M K]$ , $25$ cm. Par rapport à $K$ , le côté adjacent est $[K L]$ et le côté opposé est $[L M]$ . a) CAH : $cos K = \frac{K L}{M K} = \frac{24}{25} =$ $0, 96$ . SOH : $sin K = \frac{L M}{M K} = \frac{7}{25} =$ $0, 28$ . TOA : $tan K = \frac{L M}{K L} = \frac{7}{24} \approx$ $0, 29$ . b) Je me place en $M$ : l'adjacent devient $[L M]$ . $cos M = \frac{L M}{M K} = \frac{7}{25} =$ $0, 28$ . ⭐ C'est $sin K$ : ce qui est opposé à $K$ est adjacent à $M$ . Le cosinus d'un angle aigu est le sinus de l'autre. ⛔ Le piège : garder les rôles de $K$ pour calculer $cos M$ , et trouver $0, 96$ encore. Réponse : $cos K =$ $0, 96$ , $sin K =$ $0, 28$ , $tan K \approx$ $0, 29$ ; $cos M =$ $0, 28$ .
3. L'angle droit est en $B$ : l'hypoténuse est $[C A]$ , $8$ cm. Par rapport à $A$ , le côté adjacent est $[A B]$ : il touche $A$ et ce n'est pas l'hypoténuse. Je connais l'hypoténuse, je cherche l'adjacent : CAH, le cosinus. $cos A =$ $\frac{A B}{C A}$ , donc $cos 52° =$ $\frac{A B}{8}$ . Je multiplie les deux membres par $8$ : $A B = 8 \times cos 52° \approx 4, 9$ cm (la calculatrice affiche $4, 925 \dots$ ). ⭐ Contrôle : $4, 9 <$ $8$ ; un côté de l'angle droit est toujours plus court que l'hypoténuse. ⛔ Le piège : la calculatrice en radians. Elle affiche $8 \times cos 52 \approx$ $- 1, 30$ , une longueur NÉGATIVE. Avant tout calcul, je vérifie le « D » ou « DEG » à l'écran. Réponse : $A B \approx 4, 9$ cm.
4. L'angle droit est en $Q$ : l'hypoténuse est $[RP]$ , $15$ cm. Par rapport à $P$ , $[QR]$ ne touche pas $P$ : le côté opposé est $[QR]$ . Je connais l'hypoténuse, je cherche l'opposé : SOH, le sinus. $sin P =$ $\frac{QR}{RP}$ , donc $sin 23° =$ $\frac{QR}{15}$ . $QR = 15 \times sin 23° \approx 5, 9$ cm (la calculatrice affiche $5, 860 \dots$ ). ⭐ Contrôle : un angle de $23°$ est petit, le côté en face de lui est court. ⛔ Le piège : prendre le cosinus par habitude de 4e. $15 \times cos 23° \approx 13, 8$ cm, c'est la longueur de l'ADJACENT $[PQ]$ , pas celle de $[QR]$ . Réponse : $QR \approx 5, 9$ cm.
5. L'angle droit est en $V$ : l'hypoténuse est $[W U]$ , mais je ne la connais pas et je ne la cherche pas. Par rapport à $U$ , le côté adjacent est $[U V]$ et le côté opposé est $[VW]$ . Opposé et adjacent, sans hypoténuse : TOA, la tangente. $tan U =$ $\frac{VW}{U V}$ , donc $tan 38° =$ $\frac{VW}{6 , 5}$ . $VW = 6, 5 \times tan 38° \approx 5, 1$ cm (la calculatrice affiche $5, 078 \dots$ ). ⭐ Contrôle : $38°$ est un peu moins que la moitié d'un angle droit, l'opposé est donc un peu plus court que l'adjacent. ⛔ Le piège : renverser le rapport, « adjacent sur opposé », et calculer $6, 5 \div tan 38° \approx 8, 3$ cm. TOA : l'Opposé est en HAUT. Réponse : $VW \approx 5, 1$ cm.
6. L'angle droit est en $F$ : l'hypoténuse est $[GE]$ . Par rapport à $E$ , le côté adjacent est $[EF]$ , $9$ cm. Adjacent connu, hypoténuse cherchée : CAH, le cosinus. $cos 34° = \frac{EF}{GE} =$ $\frac{9}{GE}$ . Cette fois, l'inconnue est EN BAS. Je multiplie par $GE$ : $GE \times cos 34° =$ $9$ , puis je divise par $cos 34°$ : $GE = \frac{9}{cos 34°} \approx 10, 9$ cm (la calculatrice affiche $10, 855 \dots$ ). ⭐ Contrôle : $10, 9 >$ $9$ ; l'hypoténuse est le plus long côté. ⛔ Le piège : multiplier par réflexe, $9 \times cos 34° \approx 7, 5$ cm. Une hypoténuse plus courte que l'adjacent, c'est impossible. Réponse : $GE \approx 10, 9$ cm.
7. L'angle droit est en $Y$ : l'hypoténuse est $[ZX]$ , $11$ cm. Par rapport à $X$ , le côté adjacent est $[X Y]$ , $7$ cm. Adjacent et hypoténuse : le cosinus. $cos X = \frac{X Y}{ZX} =$ $\frac{7}{11}$ . Je connais le cosinus, je veux l'angle : j'utilise la touche $cos^{- 1}$ (parfois « Arccos », ou « seconde » puis « cos »). $X = cos^{- 1} (\frac{7}{11}) \approx$ $50, 5°$ . ⭐ Contrôle : l'autre angle aigu vaut $90° - 50, 5° =$ $39, 5°$ , un angle aigu ; tout est cohérent. ⛔ Le piège : lire $cos^{- 1}$ comme « 1 divisé par cos ». $1 \div cos (7 \div 11)$ donne $\approx$ $1, 0001$ : ce n'est pas un angle. $cos^{- 1}$ est la touche qui REMONTE du cosinus à l'angle. Réponse : $X \approx$ $50, 5°$ .
8. L'angle droit est en $S$ : l'hypoténuse est $[TR]$ , que je ne connais pas. Par rapport à $R$ , le côté adjacent est $[RS]$ et le côté opposé est $[ST]$ . Opposé et adjacent : la tangente. $tan R = \frac{ST}{RS} = \frac{4 , 2}{7 , 5} =$ $0, 56$ . $R = tan^{- 1} (0, 56) \approx$ $29, 2°$ . ⛔ Le piège : se placer en $T$ sans le vouloir, et écrire $\frac{7 , 5}{4 , 2}$ . On trouve alors $tan^{- 1} (\frac{7 , 5}{4 , 2}) \approx$ $60, 8°$ : c'est l'angle $T$ , pas $R$ . D'ailleurs $29, 2° + 60, 8° =$ $90°$ . Réponse : $R \approx$ $29, 2°$ .
9. a) L'angle droit est en $T$ : l'hypoténuse est $[U S]$ . Par rapport à $S$ , le côté opposé est $[T U]$ (il ne touche pas $S$ ), et le côté adjacent est $[ST]$ . Je connais l'hypoténuse, je cherche l'opposé : SOH, le sinus. Le cosinus relie l'ADJACENT $[ST]$ à l'hypoténuse : il ne parle pas de $[T U]$ . b) Dans le triangle $ST U$ rectangle en $T$ , $sin S =$ $\frac{T U}{U S}$ . Donc $sin 27° = \frac{T U}{13}$ et $T U = 13 \times sin 27° \approx 5, 9$ cm. ⛔ Le piège : prendre l'hypoténuse pour l'adjacent parce qu'elle touche aussi $S$ . Avec le cosinus, $13 \times cos 27° \approx 11, 6$ cm : c'est $ST$ , l'autre côté. Réponse : $T U \approx 5, 9$ cm.
10. Je me place en $I$ , l'angle connu. L'angle droit est en $H$ : l'hypoténuse est $[G I]$ . Par rapport à $I$ , le côté adjacent est $[I H]$ et le côté opposé est $[H G]$ . Opposé connu, adjacent cherché : TOA, la tangente. Dans le triangle $G H I$ rectangle en $H$ , $tan I =$ $\frac{H G}{I H}$ , donc $tan 61° =$ $\frac{7 , 4}{I H}$ . L'inconnue est en BAS : $I H \times tan 61° =$ $7, 4$ , donc $I H = \frac{7 , 4}{tan 61°} \approx 4, 1$ cm. ⭐ Contrôle : $61°$ est plus grand que la moitié d'un angle droit, donc l'opposé ( $7, 4$ cm) est plus long que l'adjacent. $4, 1 <$ $7, 4$ : c'est cohérent. ⛔ Le piège : multiplier, $7, 4 \times tan 61° \approx 13, 3$ cm. Ce serait vrai si l'inconnue était en haut. Réponse : $I H \approx 4, 1$ cm.
11. a) Je convertis : $35$ cm $= 0, 35$ m. L'angle droit est en $H$ : l'hypoténuse est la rampe $[SP]$ , $4, 2$ m. Par rapport à $P$ , la hauteur $[H S]$ est le côté opposé. Opposé et hypoténuse : le sinus. Dans le triangle $P H S$ rectangle en $H$ , $sin P = \frac{H S}{SP} =$ $\frac{0 , 35}{4 , 2}$ . $P = sin^{- 1} (\frac{0 , 35}{4 , 2}) \approx$ $4, 8°$ . Je tape la division DANS la parenthèse, sans l'arrondir. b) $sin^{- 1} (0, 08) \approx$ $4, 6°$ : l'élève se trompe de $0, 2°$ au dixième demandé. ⛔ Le piège : l'arrondi pris trop tôt. $0, 35 \div 4, 2 =$ $0, 0833 \dots$ ; en coupant à $0, 08$ , on perd $4$ % de la valeur, et l'angle change. Réponse : la rampe fait un angle d'environ $4, 8°$ avec le sol.
12. a) L'angle droit est en $B$ : l'hypoténuse est $[C A]$ . Par rapport à $A$ , le côté adjacent est $[A B]$ et le côté opposé est $[BC]$ . Opposé et adjacent : la tangente. $tan A = \frac{BC}{A B} =$ $\frac{3 , 8}{5 , 3}$ , donc $A = tan^{- 1} (\frac{3 , 8}{5 , 3}) \approx$ $35, 6°$ . b) $sin A =$ $\frac{BC}{C A}$ : l'inconnue est en bas, je divise. $C A =$ $\frac{3 , 8}{sin A}$ . Je garde en mémoire la valeur EXACTE de l'angle (touche « Ans ») : $C A \approx 6, 52$ cm. c) $C A^{2} = 5, 3^{2} + 3, 8^{2} = 28, 09 + 14, 44 =$ $42, 53$ , et $42, 53 \approx 6, 52$ cm. Les deux chemins donnent le même centième. ⛔ Le piège : l'arrondi pris trop tôt. Avec $36°$ on trouve $3, 8 \div sin 36° \approx 6, 46$ cm, avec $35, 6°$ on trouve $6, 53$ cm : deux centièmes faux. Réponse : $A \approx 35, 6°$ et $C A \approx 6, 52$ cm.
13. Le triangle $A BC$ n'est pas rectangle : je ne peux pas y appliquer la trigonométrie. Mais la hauteur le coupe en DEUX triangles rectangles en $H$ : $A B H$ et $A C H$ . a) Dans le triangle $A B H$ rectangle en $H$ , par rapport à $B$ , $[A H]$ est opposé et $[B H]$ adjacent : la tangente. $tan 42° =$ $\frac{6}{B H}$ , donc $B H = \frac{6}{tan 42°} \approx 6, 66$ cm. Dans le triangle $A C H$ rectangle en $H$ , de même : $H C = \frac{6}{tan 28°} \approx 11, 28$ cm. b) $H$ est entre $B$ et $C$ : $BC = B H +$ $H C$ . Avec les valeurs de la calculatrice, $BC \approx$ $17, 95$ , soit $17, 9$ cm au dixième. ⛔ Le piège : arrondir chaque morceau au dixième avant d'additionner, $6, 7 + 11, 3 = 18, 0$ cm. Deux petits arrondis vers le haut se cumulent. Réponse : $B H \approx 6, 66$ cm, $H C \approx 11, 28$ cm, $BC \approx 17, 9$ cm.
14. a) Son début est juste : l'angle droit est en $K$ , l'hypoténuse est $[L J]$ , et $[J K]$ est adjacent à $J$ ; donc $cos J = \frac{5 , 6}{8} =$ $0, 7$ . L'erreur est à la fin : il a lu $cos^{- 1}$ comme « 1 divisé par cos ». Il a calculé l'inverse du cosinus de l'angle $0, 7°$ , un nombre qui n'a rien à voir avec un angle. b) $cos^{- 1}$ est la fonction qui REMONTE : elle part du cosinus, $0, 7$ , et rend l'angle. $J = cos^{- 1} (0, 7) \approx$ $45, 6°$ . ⭐ Contrôle : je repars de l'angle, $cos 45, 6° \approx$ $0, 70$ . La boucle est bouclée. ⛔ Le piège : $cos^{- 1}$ n'est PAS $\frac{1}{cos}$ . Le petit « $- 1$ » veut dire « la touche réciproque », comme remonter un escalier qu'on vient de descendre. Réponse : $J \approx$ $45, 6°$ .
15. a) Le triangle $M H V$ est rectangle en $H$ (verticale et horizontale). L'hypoténuse est le fil $[V M]$ , $14$ m. Par rapport à $M$ , le côté opposé est $[H V]$ . Opposé cherché, hypoténuse connue : le sinus. $sin 48° =$ $\frac{H V}{14}$ , donc $H V = 14 \times sin 48° \approx 10, 4$ m. b) Sa calculatrice est en RADIANS : elle a calculé le sinus de $48$ radians, et $14 \times sin 48 \approx$ $- 10, 76$ . Une hauteur négative est absurde : c'est le signal d'alarme. ⛔ Le piège : la calculatrice en radians. Je règle le mode DEGRÉS, et je teste avec un angle connu : $sin 30°$ doit donner $0, 5$ . Réponse : le cerf-volant vole à environ $10, 4$ m au-dessus de la main.
16. Pour chacun, je nomme d'abord les deux côtés qui comptent par rapport à l'angle, PUIS je choisis. a) L'angle droit est en $F$ : l'hypoténuse est $[GE]$ . Par rapport à $E$ , $[FG]$ est l'opposé (connu) et $[EF]$ l'adjacent (cherché). Opposé et adjacent : TOA. $tan 20° =$ $\frac{3 , 5}{EF}$ ; l'inconnue est en bas, je divise : $EF = \frac{3 , 5}{tan 20°} \approx 9, 6$ cm. b) L'angle droit est en $S$ : l'hypoténuse est $[TR]$ , $12$ cm. Par rapport à $R$ , $[RS]$ est l'adjacent. Adjacent et hypoténuse : CAH. $cos R = \frac{9}{12} =$ $0, 75$ , donc $R = cos^{- 1} (0, 75) \approx$ $41, 4°$ . ⛔ Le piège : choisir le rapport à l'aveugle, ou prendre toujours le cosinus. Au a), l'hypoténuse n'apparaît NULLE PART : ni le cosinus ni le sinus ne peuvent servir. Réponse : a) $EF \approx 9, 6$ cm ; b) $R \approx$ $41, 4°$ .
17. La hauteur de la tour Eiffel La tour est verticale, le sol horizontal : le triangle $OPS$ est rectangle en $P$ . Par rapport à $O$ , $[OP]$ ( $400$ m) est l'adjacent, la hauteur $[PS]$ l'opposé, et la ligne de visée $[SO]$ l'hypoténuse. a) Adjacent connu, opposé cherché : la tangente. $tan 39, 5° =$ $\frac{PS}{400}$ , donc $PS = 400 \times tan 39, 5° \approx 329, 7$ m. À $27$ cm près sur $330$ m : la mesure est excellente. b) Adjacent connu, hypoténuse cherchée : le cosinus, inconnue en bas. $SO = \frac{400}{cos 39 , 5°} \approx 518$ m. c) Il a pris la distance au sol pour l'hypoténuse : $400 \times sin 39, 5° \approx 254$ m, une tour trop petite de $76$ m. ⛔ Le piège : l'hypoténuse prise pour l'adjacent. La distance au SOL touche l'angle et l'angle droit : c'est l'adjacent ; l'hypoténuse est la ligne de visée, en face de l'angle droit. Réponse : la tour mesure environ $329, 7$ m, en accord avec les $330$ m officiels ; le sommet est à environ $518$ m de l'élève.
18. L'échelle bien posée Le mur est vertical, le sol horizontal : le pied de l'échelle $P$ , le bas du mur $M$ et le haut $H$ forment un triangle rectangle en $M$ . L'échelle $[H P]$ est l'hypoténuse, $7$ m. Par rapport à $P =$ $75°$ , le mur $[M H]$ est l'opposé et le sol $[PM]$ l'adjacent. a) Opposé cherché, hypoténuse connue : le sinus. $M H = 7 \times sin 75° \approx 6, 76$ m. b) Adjacent cherché, hypoténuse connue : le cosinus. $PM = 7 \times cos 75° \approx 1, 81$ m. c) Un quart de $7$ m, c'est $7 \div 4 = 1, 75$ m. $1, 81$ m et $1, 75$ m : à $6$ cm près, les deux règles disent la même chose. ⭐ Contrôle : $6, 76 < 7$ et $1, 81 <$ $7$ , les deux côtés de l'angle droit sont plus courts que l'échelle. ⛔ Le piège : échanger sinus et cosinus. Le mur est EN FACE de l'angle au sol : c'est l'opposé, donc le sinus. Réponse : l'échelle touche le mur à environ $6, 76$ m, le pied est à environ $1, 81$ m du mur, et les deux règles concordent.
19. La rue la plus pentue du monde Une pente de $10$ % : $10$ m de dénivelé pour $100$ m à l'horizontale. Dénivelé et horizontale forment un angle droit ; par rapport à l'angle de la route, le dénivelé est l'opposé et l'horizontale l'adjacent. La pente est donc une TANGENTE. a) $tan α = \frac{10}{100} =$ $0, 1$ , donc $α = tan^{- 1} (0, 1) \approx$ $5, 7°$ . b) $tan β =$ $0, 35$ , donc $β = tan^{- 1} (0, 35) \approx$ $19, 3°$ . La rue la plus pentue du monde ne fait même pas $20°$ . c) Les $2000$ m se mesurent SUR la route : c'est l'hypoténuse. Le dénivelé est l'opposé : le sinus. $2000 \times sin α \approx 199$ m, avec la valeur exacte de $α$ gardée en mémoire. d) Non. Un angle de $10°$ donne $tan 10° \approx$ $0, 176$ , soit une pente de $17, 6$ % : presque le double. ⛔ Le piège : confondre le pourcentage de pente et l'angle en degrés. Le pourcentage est une tangente, pas un angle. Réponse : $10$ % correspond à environ $5, 7°$ , $35$ % à environ $19, 3°$ ; la voiture descend d'environ $199$ m.
20. La descente de l'avion Le triangle $TB A$ est rectangle en $B$ : l'altitude est verticale, le sol horizontal. Par rapport à $T =$ $3°$ , l'altitude $[B A]$ est l'opposé, la distance au sol $[TB]$ l'adjacent, le trajet $[A T]$ l'hypoténuse. a) Opposé connu, adjacent cherché : la tangente, inconnue en bas. $TB = \frac{900}{tan 3°} \approx 17173$ m, soit environ $17, 2$ km. b) Adjacent connu ( $5000$ m), opposé cherché : $5000 \times tan 3° \approx 262$ m. c) Opposé connu, hypoténuse cherchée : le sinus. $A T = \frac{900}{sin 3°} \approx 17197$ m. C'est seulement $24$ m de plus que $TB$ : avec un angle aussi petit, l'hypoténuse et l'adjacent sont presque égaux. ⛔ Le piège : prendre le trajet pour la distance au sol. Ici l'écart est petit, mais le raisonnement serait faux : on garde le bon côté, et le bon rapport. Réponse : l'avion est à environ $17, 2$ km de la piste ; à $5$ km, il devrait voler à environ $262$ m ; il parcourt environ $17197$ m avant de toucher le sol.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : la trigonométrie : cosinus, sinus, tangente, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3