Périmètres : faire le tour d'une figure : 20 exercices corrigésmaths 4e — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices, du calcul seul au problème : le tour d'un rectangle, d'un carré, d'un triangle, remonter du périmètre à un côté, suivre le contour d'une figure composée sans compter les côtés cachés, trouver le côté qui manque avec Pythagore. Puis un terrain de football, un court de tennis, un flocon de neige dont le tour grandit sans fin, et la clôture d'un pré. Un rappel de cours avant chaque niveau. Cherche d'abord au brouillon, puis ouvre la correction : elle est écrite étape par étape, avec la figure dessinée à l'échelle, son contour repassé en orange, et le piège nommé.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice. Je fais le tour de la figure, et je vérifie l'unité : une longueur, jamais des cm².

Rappel de cours

Le PÉRIMÈTRE d'une figure est la longueur de son contour : la ficelle qu'il faut pour en faire le tour. C'est une longueur, en mm, cm, m ou km.
Rectangle : $P = 2 \times (L +$ $l)$ . Carré : $P = 4 \times$ $c$ . Triangle : $P = a + b +$ $c$ , la somme de ses trois côtés.
Remonter à un côté : pour un carré, je divise le périmètre par $4$ ; pour un rectangle, je divise par $2$ , puis je retire l'autre dimension.
Avant d'additionner, toutes les longueurs dans la MÊME unité.

1
Pour chaque situation, dire si l'on cherche un périmètre ou une aire. a) Coller une baguette tout autour d'un cadre photo. b) Couvrir le fond du cadre d'un papier de couleur. c) Faire courir une guirlande autour d'une fenêtre. d) Tondre une pelouse. e) Le cadre est un rectangle de $15$ cm sur $10$ cm. Quelle longueur de baguette faut-il ?
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Je me pose une seule question : est-ce que je fais le TOUR, ou est-ce que je RECOUVRE ? a) La baguette fait le tour du cadre : c'est un périmètre, en cm. b) Le papier recouvre le fond : c'est une aire, en cm². c) La guirlande fait le tour de la fenêtre : un périmètre, en m. d) La tondeuse passe sur toute la pelouse : une aire, en m². e) Je fais le tour du cadre : $15 + 10 + 15 + 10 = 50$ cm. Avec la formule : $2 \times (15 + 10) = 50$ cm. ⛔ Le piège : calculer $15 \times 10 =$ $150$ . C'est l'aire du cadre, en cm² : la quantité de papier, pas la longueur de baguette. Réponse : a) et c) sont des périmètres, b) et d) des aires ; il faut $50$ cm de baguette.
2
Calculer le périmètre de chaque rectangle. a) Un rectangle de $14$ cm sur $6, 5$ cm. b) Un rectangle de $1, 2$ m sur $45$ cm. Donner le résultat en cm, puis en m.
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a) Sur le tour d'un rectangle, la longueur et la largeur passent chacune DEUX fois. $P = 2 \times (14 + 6, 5) = 2 \times 20, 5 = 41$ cm. Je vérifie en faisant le tour : $14 + 6, 5 + 14 + 6, 5 =$ $41$ . b) Les deux longueurs ne sont pas dans la même unité : je convertis d'abord. $1, 2$ m $= 120$ cm. $P = 2 \times (120 + 45) = 2 \times 165 = 330$ cm, soit $3, 3$ m. ⛔ Le piège au b) : calculer $2 \times (1, 2 + 45) =$ $92, 4$ . Ce nombre mélange des mètres et des centimètres : il ne veut rien dire. Réponse : $41$ cm ; $330$ cm, soit $3, 3$ m.
3
a) Calculer le périmètre d'un carré de côté $7, 5$ cm. b) Un carré a un périmètre de $46$ m. Quelle est la longueur de son côté ?
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a) Les quatre côtés d'un carré sont égaux : $P = 4 \times 7, 5 = 30$ cm. b) Cette fois, je connais le tour et je cherche le côté : je remonte le calcul. Le tour contient QUATRE côtés égaux, donc je divise par $4$ : $46 \div 4 = 11, 5$ m. Je vérifie : $4 \times 11, 5 =$ $46$ . ⛔ Le piège au b) : diviser par $2$ , comme pour un rectangle, et trouver $46 \div 2 = 23$ m. Un carré de côté $23$ m aurait un tour de $92$ m. Réponse : $30$ cm ; le côté mesure $11, 5$ m.
4
Calculer le périmètre de chaque triangle. a) Un triangle de côtés $9$ cm, $6, 5$ cm et $11$ cm. b) Un triangle équilatéral de côté $8, 5$ cm.
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a) Un triangle n'a pas de formule raccourcie : j'additionne ses trois côtés, sans en sauter. $9 + 6, 5 + 11 = 26, 5$ cm. b) « Équilatéral » veut dire que les trois côtés sont égaux. $P = 3 \times 8, 5 = 25, 5$ cm. ⛔ Le piège au b) : répondre $8, 5$ cm parce qu'un seul nombre est écrit. L'énoncé donne UN côté, mais le triangle en a trois, tous de $8, 5$ cm. Réponse : $26, 5$ cm ; $25, 5$ cm.
5
Un triangle isocèle a un périmètre de $31$ cm. Sa base mesure $9$ cm. Calculer la longueur de chacun des deux côtés égaux.
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Je fais le tour : la base, puis deux côtés égaux. Le tour vaut $31$ cm. Je retire d'abord la base : $31 - 9 = 22$ cm. Il reste les DEUX côtés égaux ensemble. Je partage en deux : $22 \div 2 = 11$ cm. Je vérifie : $9 + 11 + 11 =$ $31$ . ⛔ Le piège : s'arrêter à $22$ cm. Ce nombre est la somme des deux côtés égaux, pas la longueur d'un seul. Réponse : chacun des deux côtés égaux mesure $11$ cm.
6
Un rectangle a un périmètre de $52$ m et une largeur de $9, 5$ m. Quelle est sa longueur ?
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Le tour d'un rectangle, c'est une longueur et une largeur, DEUX fois. La moitié du périmètre donne donc une longueur plus une largeur : $52 \div 2 = 26$ m. Puis je retire la largeur : $26 - 9, 5 = 16, 5$ m. Je vérifie : $2 \times (16, 5 + 9, 5) = 2 \times 26 =$ $52$ . ⛔ Le piège : calculer $52 - 9, 5 = 42, 5$ m. On n'a retiré qu'UNE largeur, alors que le tour en contient deux, et il reste deux longueurs. Réponse : la longueur mesure $16, 5$ m.
7
On pose un triangle équilatéral de côté $6, 5$ cm sur un carré de côté $6, 5$ cm : la figure ressemble à une maison. a) Combien de côtés a le contour de la maison ? b) Calculer son périmètre.
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a) Je suis le contour du doigt : trois côtés du carré (le bas et les deux murs), puis les deux côtés du toit. Le côté du haut du carré est COLLÉ au triangle : il est à l'intérieur, il n'est plus sur le tour. Le contour a $5$ côtés. b) Les cinq côtés mesurent tous $6, 5$ cm : $5 \times 6, 5 = 32, 5$ cm. ⛔ Le piège : additionner les deux périmètres, $4 \times 6, 5 + 3 \times 6, 5 = 26 + 19, 5 = 45, 5$ cm. Le côté caché est alors compté deux fois, une pour chaque figure : $45, 5 - 2 \times 6, 5 =$ $32, 5$ . Réponse : le contour a $5$ côtés, et la maison a un périmètre de $32, 5$ cm.
8
Un quadrilatère a pour côtés $0, 4$ m, $25$ cm, $300$ mm et $2, 2$ dm. Calculer son périmètre, en centimètres puis en mètres.
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On n'additionne que des longueurs écrites dans la MÊME unité. Je convertis tout en centimètres. $0, 4$ m $= 40$ cm, car $1$ m $= 100$ cm. $300$ mm $= 30$ cm, car $10$ mm $= 1$ cm. $2, 2$ dm $= 22$ cm, car $1$ dm $= 10$ cm. Puis je fais le tour : $40 + 25 + 30 + 22 = 117$ cm, soit $1, 17$ m. ⛔ Le piège : additionner les nombres tels quels, $0, 4 + 25 + 300 + 2, 2 =$ $327, 6$ . Ce résultat mélange quatre unités : il ne veut rien dire. Réponse : le périmètre vaut $117$ cm, soit $1, 17$ m.

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Plusieurs étapes, comme en devoir. Je suis le contour morceau par morceau, et je retrouve les longueurs qui manquent.

Rappel de cours

Figure composée : je SUIS le contour et j'additionne ce que je rencontre. Un côté caché, collé entre deux morceaux, ne compte pas.
Une longueur qui manque se déduit des autres : sur un contour en escalier, ce qui part vers la droite revient vers la gauche.
Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore donne le troisième côté : $hypot \overset{e}{ˊ} nuse^{2} = a^{2} +$ $b^{2}$ .
Un cercle de rayon $r$ mesure $2 \times π \times$ $r$ ; un quart de cercle en est le quart.

9
Un escalier vu de côté a la forme ci-dessous : $12$ cm de base, $9$ cm de haut, et trois marches identiques. a) Calculer la largeur et la hauteur d'une marche. b) Calculer le périmètre de la figure. c) Comparer avec le périmètre d'un rectangle de $12$ cm sur $9$ cm.
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a) Les trois marches se partagent la base et la hauteur. Largeur d'une marche : $12 \div 3 = 4$ cm. Hauteur d'une marche : $9 \div 3 = 3$ cm. b) Je fais le tour à partir du coin en bas à gauche : $12$ cm en bas, puis trois fois « je monte de $3$ , je recule de $4$ », puis $9$ cm pour redescendre. $12 + 3 + 4 + 3 + 4 + 3 + 4 + 9 = 42$ cm. c) $2 \times (12 + 9) = 42$ cm : le même ! Les trois « montées » font ensemble $9$ cm, comme le côté droit du rectangle, et les trois « reculs » font $12$ cm, comme son côté du haut. ⛔ Le piège : n'additionner que les longueurs écrites, $12 + 9 = 21$ cm. Les côtés sans nombre sont sur le contour : ils comptent, il faut les retrouver. Réponse : une marche fait $4$ cm de large et $3$ cm de haut ; le périmètre vaut $42$ cm, autant que le rectangle.
10
Le triangle $A BC$ est rectangle en $B$ , avec $A B = 15$ cm et $BC = 8$ cm. a) Calculer la longueur $A C$ . b) En déduire le périmètre du triangle.
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a) Il manque un côté : je ne peux pas encore faire le tour. Le triangle est rectangle en $B$ , donc son hypoténuse est $[A C]$ , le côté en face de l'angle droit. Le théorème de Pythagore donne : $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = 1 5^{2} + 8^{2} = 225 + 64 =$ $289$ . Donc $A C = 289 = 17$ cm. b) Je fais le tour : $15 + 8 + 17 = 40$ cm. ⛔ Le piège : s'arrêter à $15 + 8 = 23$ cm. Un triangle a TROIS côtés ; celui qu'on ne connaît pas est sur le contour, lui aussi. Réponse : $A C = 17$ cm, et le périmètre vaut $40$ cm.
11
Une figure est un quart de disque de rayon $8$ cm. a) Calculer la longueur de l'arc (la partie courbe), arrondie au centième. b) Calculer le périmètre de toute la figure, arrondi au centième.
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a) L'arc est le quart d'un cercle de rayon $8$ cm. Le cercle entier mesure $2 \times π \times 8 = 16 π$ cm ; l'arc en est le quart : $16 π \div 4 = 4 π \approx 12, 57$ cm. b) Je suis le contour : un rayon, l'arc, puis l'autre rayon qui revient au centre. $8 + 4 π + 8 = 16 + 4 π \approx 28, 57$ cm. ⭐ Je garde $4 π$ dans la calculatrice et j'arrondis à la fin. ⛔ Le piège : s'arrêter à l'arc au b). Les deux rayons ferment la figure : ils sont sur le contour. Réponse : l'arc mesure environ $12, 57$ cm, la figure environ $28, 57$ cm.
12
Un triangle équilatéral de côté $14$ cm et un rectangle ont le même périmètre. La longueur du rectangle est le double de sa largeur. a) Calculer le périmètre du triangle. b) Calculer les dimensions du rectangle.
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a) Trois côtés égaux : $3 \times 14 = 42$ cm. b) Le rectangle a donc un tour de $42$ cm. J'appelle $l$ sa largeur ; sa longueur vaut $2 l$ . En faisant le tour : $l + 2 l + l + 2 l =$ $6 l$ . Donc $6 l =$ $42$ , et $l = 42 \div 6 = 7$ cm. La longueur vaut $2 \times 7 = 14$ cm. Je vérifie : $2 \times (14 + 7) =$ $42$ . ⛔ Le piège : écrire $3 l =$ $42$ , en comptant la longueur et la largeur une seule fois. On trouve $l = 14$ et un rectangle de $28$ cm sur $14$ cm, dont le tour fait $84$ cm. Réponse : $42$ cm ; le rectangle mesure $14$ cm sur $7$ cm.
13
Un potager a la forme d'un trapèze rectangle : ses deux côtés parallèles mesurent $7$ m et $4$ m, et le côté perpendiculaire à ces deux-là mesure $4$ m. a) Calculer la longueur du côté oblique. b) On pose une bordure tout autour, vendue $3, 25$ € le mètre. Quel est le prix de la bordure ?
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a) Je trace la hauteur depuis le haut du côté oblique (en pointillés). Elle découpe un triangle rectangle : un côté de l'angle droit vaut la hauteur, $4$ m ; l'autre vaut ce qui dépasse en bas, $7 - 4 = 3$ m. Le côté oblique est l'hypoténuse. Par le théorème de Pythagore : $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 =$ $25$ , donc le côté oblique mesure $25 = 5$ m. b) Je fais le tour : $7 + 5 + 4 + 4 = 20$ m. Prix : $20 \times 3, 25 = 65$ €. ⛔ Le piège : prendre le côté oblique pour la hauteur, $4$ m. Un côté penché est plus LONG que la hauteur : $5$ m, pas $4$ . Réponse : le côté oblique mesure $5$ m ; la bordure fait $20$ m et coûte $65$ €.
14
Un rectangle mesure $5, 5$ cm sur $3, 5$ cm. On l'agrandit : toutes ses longueurs sont multipliées par $3$ . a) Calculer les dimensions du nouveau rectangle. b) Calculer les deux périmètres. Par combien le périmètre est-il multiplié ?
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a) $5, 5 \times 3 = 16, 5$ cm et $3, 5 \times 3 = 10, 5$ cm. b) Avant : $2 \times (5, 5 + 3, 5) = 2 \times 9 = 18$ cm. Après : $2 \times (16, 5 + 10, 5) = 2 \times 27 = 54$ cm. Et $54 \div 18 =$ $3$ : le périmètre est multiplié par $3$ , comme chaque côté. C'est normal : le périmètre est une SOMME de côtés, et chaque côté a été multiplié par $3$ . ⭐ L'aire, elle, n'obéit pas à la même règle : elle passe de $19, 25$ cm² à $173, 25$ cm², elle est multipliée par $9$ . ⛔ Le piège : AJOUTER $3$ au lieu de multiplier. Le rectangle de $8, 5$ cm sur $6, 5$ cm n'a plus la même forme, et son tour fait $30$ cm. Réponse : $16, 5$ cm sur $10, 5$ cm ; $18$ cm puis $54$ cm, le périmètre est multiplié par $3$ .
15
Une croix est formée de cinq carrés de $3$ cm de côté : un au centre, et un collé sur chacun de ses quatre côtés. a) Combien de côtés de $3$ cm y a-t-il sur le contour de la croix ? b) Calculer son périmètre. c) Comparer avec le périmètre du plus petit carré qui contient la croix.
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a) Je suis le contour : chaque bras de la croix montre trois côtés (deux sur les flancs, un au bout). Quatre bras : $4 \times 3 = 12$ côtés. Le carré du centre, lui, n'a aucun côté sur le contour : ses quatre côtés sont collés aux bras. b) $12 \times 3 = 36$ cm. c) Le plus petit carré qui contient la croix a pour côté $3 + 3 + 3 = 9$ cm, et pour périmètre $4 \times 9 = 36$ cm : le même ! Dans chaque coin, la croix remplace un « aller » de $3$ cm par un « détour » de $3$ cm : le tour ne change pas. ⛔ Le piège : additionner les périmètres des cinq carrés, $5 \times 12 = 60$ cm. Les huit côtés collés sont alors comptés, alors qu'ils sont À L'INTÉRIEUR : $60 - 8 \times 3 =$ $36$ . Réponse : $12$ côtés ; le périmètre vaut $36$ cm, autant que le carré de $9$ cm.
16
Un panneau a la forme d'un octogone régulier (huit côtés égaux) de $30$ cm de côté. On colle un ruban réfléchissant sur tout son bord. a) Quelle longueur de ruban faut-il, en cm puis en m ? b) Un panneau en forme de triangle équilatéral a le même périmètre. Quel est son côté ? c) Même question pour un panneau carré.
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a) « Octo » veut dire huit : le bord a $8$ côtés de $30$ cm. $8 \times 30 = 240$ cm, soit $2, 4$ m. b) Le triangle a le même tour, $240$ cm, partagé en $3$ côtés égaux : $240 \div 3 = 80$ cm. c) Le carré : $240 \div 4 = 60$ cm. ⭐ Moins il y a de côtés, plus chacun est long, pour un même tour. ⛔ Le piège : diviser toujours par $4$ , par habitude du carré. Au b), $240 \div 4 = 60$ cm donnerait un triangle de $180$ cm de tour. Réponse : $240$ cm, soit $2, 4$ m ; $80$ cm ; $60$ cm.

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Des situations réelles. Je dessine la figure, je repasse son contour, je calcule, puis une phrase de réponse.

Rappel de cours

Je dessine la figure et je repasse son contour en couleur : seuls les morceaux coloriés comptent.
Un côté qui manque se retrouve : par soustraction, ou par le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle.
Un nombre de tours, de rouleaux ou de poteaux se compte en ENTIERS : je regarde s'il faut arrondir au-dessus.

17Le tour du terrain de football
Un terrain de football mesure $105$ m de long et $68$ m de large. Pour s'échauffer, une joueuse court le long des lignes qui le bordent. a) Quelle distance parcourt-elle en un tour ? b) Combien de tours complets doit-elle faire pour courir au moins $5$ km ? c) Le rond central a un rayon de $9, 15$ m. Quelle est la longueur de sa ligne, au centième ?
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a) Le bord du terrain est un rectangle : $P = 2 \times (105 + 68) = 2 \times 173 = 346$ m. b) $5$ km $= 5000$ m. $5000 \div 346 \approx$ $14, 45$ . Quatorze tours ne font que $14 \times 346 = 4844$ m : il manque un peu. Il faut $15$ tours, soit $5190$ m. c) Le rond central est un cercle : $2 \times π \times 9, 15 = 18, 3 π \approx 57, 49$ m. ⛔ Le piège : calculer $105 \times 68 =$ $7140$ . C'est l'aire du terrain, en m² : la pelouse à tondre, pas la distance d'un tour. ⛔ Et la ligne médiane, en pointillés, est À L'INTÉRIEUR : la joueuse ne court pas dessus. Réponse : $346$ m par tour, $15$ tours pour dépasser $5$ km, et environ $57, 49$ m pour le rond central.
18Le court de tennis
Un court de tennis mesure $23, 77$ m de long. Il est large de $10, 97$ m pour le double, mais le simple se joue dans un couloir plus étroit, de $8, 23$ m. a) Calculer le périmètre du court de double. b) Calculer le périmètre du court de simple. c) Calculer l'écart entre les deux, et l'expliquer à l'aide des largeurs.
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a) Double : $2 \times (23, 77 + 10, 97) = 2 \times 34, 74 = 69, 48$ m. b) Simple : $2 \times (23, 77 + 8, 23) = 2 \times 32 = 64$ m. c) $69, 48 - 64 = 5, 48$ m. Les longueurs sont les mêmes ; seules les largeurs changent, de $10, 97 - 8, 23 = 2, 74$ m. Et une largeur passe DEUX fois dans le tour : $2 \times 2, 74 = 5, 48$ m. ⛔ Le piège : répondre $2, 74$ m, l'écart d'une seule largeur. Le tour contient deux largeurs, l'écart est doublé. Réponse : $69, 48$ m pour le double, $64$ m pour le simple, soit $5, 48$ m d'écart.
19Le flocon de neige
On part d'un triangle équilatéral de $27$ cm de côté (étape 0). À chaque étape, on coupe chaque segment du contour en trois parts égales, et on remplace la part du milieu par deux segments de même longueur, qui forment une pointe vers l'extérieur. a) Calculer le périmètre à l'étape 0. b) À l'étape 1, combien le contour a-t-il de segments, et de quelle longueur ? Calculer le périmètre. c) Même question aux étapes 2 et 3. d) Par combien le périmètre est-il multiplié à chaque étape ? En déduire le périmètre à l'étape 4.
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a) Trois côtés de $27$ cm : $3 \times 27 = 81$ cm. b) Chaque côté devient $4$ segments de $27 \div 3 = 9$ cm : j'en enlève un (le milieu), j'en ajoute deux (la pointe). Le contour a $3 \times 4 = 12$ segments : $12 \times 9 = 108$ cm. c) Étape 2 : $12 \times 4 = 48$ segments de $9 \div 3 = 3$ cm, soit $48 \times 3 = 144$ cm. Étape 3 : $48 \times 4 = 192$ segments de $1$ cm, soit $192$ cm. d) À chaque étape, chaque segment est remplacé par $4$ segments trois fois plus courts : le périmètre est multiplié par $\frac{4}{3}$ . Je vérifie : $81 \times \frac{4}{3} =$ $108$ . À l'étape 4 : $192 \times \frac{4}{3} = 256$ cm. ⭐ La figure reste toujours dans le même cadre, et pourtant son tour grandit sans fin. C'est le « paradoxe de la côte » : plus on mesure une côte rocheuse de près, plus elle paraît longue. ⛔ Le piège : croire que le tour ne change pas, puisqu'on enlève un segment de $9$ cm pour en mettre deux de $9$ cm. On enlève UN segment et on en ajoute DEUX : chaque côté gagne $9$ cm, $81 + 3 \times 9 =$ $108$ . Réponse : $81$ cm, $108$ cm, $144$ cm, $192$ cm, puis $256$ cm à l'étape 4 ; le périmètre est multiplié par $\frac{4}{3}$ à chaque étape.
20La clôture du pré
Un pré a la forme d'un triangle rectangle dont les deux côtés de l'angle droit mesurent $60$ m et $45$ m. On veut le clôturer. a) Calculer la longueur du troisième côté. b) Calculer la longueur de grillage nécessaire. c) On plante un poteau tous les $2, 5$ m, en commençant par un coin. Combien faut-il de poteaux ? d) Le grillage coûte $2, 40$ € le mètre et un poteau $4, 50$ €. Quel est le prix total ?
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a) Le troisième côté est l'hypoténuse. Par le théorème de Pythagore : $6 0^{2} + 4 5^{2} = 3600 + 2025 =$ $5625$ , donc il mesure $5625 = 75$ m. b) Je fais le tour : $60 + 45 + 75 = 180$ m de grillage. c) Sur un tour FERMÉ, chaque intervalle de $2, 5$ m commence par un poteau : $180 \div 2, 5 = 72$ poteaux. Et chaque côté tombe juste, avec un poteau à chaque coin : $60 \div 2, 5 =$ $24$ , $45 \div 2, 5 =$ $18$ , $75 \div 2, 5 =$ $30$ , et $24 + 18 + 30 =$ $72$ . d) Grillage : $180 \times 2, 40 = 432$ €. Poteaux : $72 \times 4, 50 = 324$ €. Total : $432 + 324 = 756$ €. ⛔ Le piège au c) : compter $72 + 1 = 73$ poteaux, comme le long d'une route. Ici, on revient au point de départ : le dernier poteau est le premier. Réponse : $75$ m ; $180$ m de grillage ; $72$ poteaux ; $756$ € en tout.

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : périmètres : faire le tour d'une figure, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. Je me pose une seule question : est-ce que je fais le TOUR, ou est-ce que je RECOUVRE ? a) La baguette fait le tour du cadre : c'est un périmètre, en cm. b) Le papier recouvre le fond : c'est une aire, en cm². c) La guirlande fait le tour de la fenêtre : un périmètre, en m. d) La tondeuse passe sur toute la pelouse : une aire, en m². e) Je fais le tour du cadre : $15 + 10 + 15 + 10 = 50$ cm. Avec la formule : $2 \times (15 + 10) = 50$ cm. ⛔ Le piège : calculer $15 \times 10 =$ $150$ . C'est l'aire du cadre, en cm² : la quantité de papier, pas la longueur de baguette. Réponse : a) et c) sont des périmètres, b) et d) des aires ; il faut $50$ cm de baguette.
2. a) Sur le tour d'un rectangle, la longueur et la largeur passent chacune DEUX fois. $P = 2 \times (14 + 6, 5) = 2 \times 20, 5 = 41$ cm. Je vérifie en faisant le tour : $14 + 6, 5 + 14 + 6, 5 =$ $41$ . b) Les deux longueurs ne sont pas dans la même unité : je convertis d'abord. $1, 2$ m $= 120$ cm. $P = 2 \times (120 + 45) = 2 \times 165 = 330$ cm, soit $3, 3$ m. ⛔ Le piège au b) : calculer $2 \times (1, 2 + 45) =$ $92, 4$ . Ce nombre mélange des mètres et des centimètres : il ne veut rien dire. Réponse : $41$ cm ; $330$ cm, soit $3, 3$ m.
3. a) Les quatre côtés d'un carré sont égaux : $P = 4 \times 7, 5 = 30$ cm. b) Cette fois, je connais le tour et je cherche le côté : je remonte le calcul. Le tour contient QUATRE côtés égaux, donc je divise par $4$ : $46 \div 4 = 11, 5$ m. Je vérifie : $4 \times 11, 5 =$ $46$ . ⛔ Le piège au b) : diviser par $2$ , comme pour un rectangle, et trouver $46 \div 2 = 23$ m. Un carré de côté $23$ m aurait un tour de $92$ m. Réponse : $30$ cm ; le côté mesure $11, 5$ m.
4. a) Un triangle n'a pas de formule raccourcie : j'additionne ses trois côtés, sans en sauter. $9 + 6, 5 + 11 = 26, 5$ cm. b) « Équilatéral » veut dire que les trois côtés sont égaux. $P = 3 \times 8, 5 = 25, 5$ cm. ⛔ Le piège au b) : répondre $8, 5$ cm parce qu'un seul nombre est écrit. L'énoncé donne UN côté, mais le triangle en a trois, tous de $8, 5$ cm. Réponse : $26, 5$ cm ; $25, 5$ cm.
5. Je fais le tour : la base, puis deux côtés égaux. Le tour vaut $31$ cm. Je retire d'abord la base : $31 - 9 = 22$ cm. Il reste les DEUX côtés égaux ensemble. Je partage en deux : $22 \div 2 = 11$ cm. Je vérifie : $9 + 11 + 11 =$ $31$ . ⛔ Le piège : s'arrêter à $22$ cm. Ce nombre est la somme des deux côtés égaux, pas la longueur d'un seul. Réponse : chacun des deux côtés égaux mesure $11$ cm.
6. Le tour d'un rectangle, c'est une longueur et une largeur, DEUX fois. La moitié du périmètre donne donc une longueur plus une largeur : $52 \div 2 = 26$ m. Puis je retire la largeur : $26 - 9, 5 = 16, 5$ m. Je vérifie : $2 \times (16, 5 + 9, 5) = 2 \times 26 =$ $52$ . ⛔ Le piège : calculer $52 - 9, 5 = 42, 5$ m. On n'a retiré qu'UNE largeur, alors que le tour en contient deux, et il reste deux longueurs. Réponse : la longueur mesure $16, 5$ m.
7. a) Je suis le contour du doigt : trois côtés du carré (le bas et les deux murs), puis les deux côtés du toit. Le côté du haut du carré est COLLÉ au triangle : il est à l'intérieur, il n'est plus sur le tour. Le contour a $5$ côtés. b) Les cinq côtés mesurent tous $6, 5$ cm : $5 \times 6, 5 = 32, 5$ cm. ⛔ Le piège : additionner les deux périmètres, $4 \times 6, 5 + 3 \times 6, 5 = 26 + 19, 5 = 45, 5$ cm. Le côté caché est alors compté deux fois, une pour chaque figure : $45, 5 - 2 \times 6, 5 =$ $32, 5$ . Réponse : le contour a $5$ côtés, et la maison a un périmètre de $32, 5$ cm.
8. On n'additionne que des longueurs écrites dans la MÊME unité. Je convertis tout en centimètres. $0, 4$ m $= 40$ cm, car $1$ m $= 100$ cm. $300$ mm $= 30$ cm, car $10$ mm $= 1$ cm. $2, 2$ dm $= 22$ cm, car $1$ dm $= 10$ cm. Puis je fais le tour : $40 + 25 + 30 + 22 = 117$ cm, soit $1, 17$ m. ⛔ Le piège : additionner les nombres tels quels, $0, 4 + 25 + 300 + 2, 2 =$ $327, 6$ . Ce résultat mélange quatre unités : il ne veut rien dire. Réponse : le périmètre vaut $117$ cm, soit $1, 17$ m.
9. a) Les trois marches se partagent la base et la hauteur. Largeur d'une marche : $12 \div 3 = 4$ cm. Hauteur d'une marche : $9 \div 3 = 3$ cm. b) Je fais le tour à partir du coin en bas à gauche : $12$ cm en bas, puis trois fois « je monte de $3$ , je recule de $4$ », puis $9$ cm pour redescendre. $12 + 3 + 4 + 3 + 4 + 3 + 4 + 9 = 42$ cm. c) $2 \times (12 + 9) = 42$ cm : le même ! Les trois « montées » font ensemble $9$ cm, comme le côté droit du rectangle, et les trois « reculs » font $12$ cm, comme son côté du haut. ⛔ Le piège : n'additionner que les longueurs écrites, $12 + 9 = 21$ cm. Les côtés sans nombre sont sur le contour : ils comptent, il faut les retrouver. Réponse : une marche fait $4$ cm de large et $3$ cm de haut ; le périmètre vaut $42$ cm, autant que le rectangle.
10. a) Il manque un côté : je ne peux pas encore faire le tour. Le triangle est rectangle en $B$ , donc son hypoténuse est $[A C]$ , le côté en face de l'angle droit. Le théorème de Pythagore donne : $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = 1 5^{2} + 8^{2} = 225 + 64 =$ $289$ . Donc $A C = 289 = 17$ cm. b) Je fais le tour : $15 + 8 + 17 = 40$ cm. ⛔ Le piège : s'arrêter à $15 + 8 = 23$ cm. Un triangle a TROIS côtés ; celui qu'on ne connaît pas est sur le contour, lui aussi. Réponse : $A C = 17$ cm, et le périmètre vaut $40$ cm.
11. a) L'arc est le quart d'un cercle de rayon $8$ cm. Le cercle entier mesure $2 \times π \times 8 = 16 π$ cm ; l'arc en est le quart : $16 π \div 4 = 4 π \approx 12, 57$ cm. b) Je suis le contour : un rayon, l'arc, puis l'autre rayon qui revient au centre. $8 + 4 π + 8 = 16 + 4 π \approx 28, 57$ cm. ⭐ Je garde $4 π$ dans la calculatrice et j'arrondis à la fin. ⛔ Le piège : s'arrêter à l'arc au b). Les deux rayons ferment la figure : ils sont sur le contour. Réponse : l'arc mesure environ $12, 57$ cm, la figure environ $28, 57$ cm.
12. a) Trois côtés égaux : $3 \times 14 = 42$ cm. b) Le rectangle a donc un tour de $42$ cm. J'appelle $l$ sa largeur ; sa longueur vaut $2 l$ . En faisant le tour : $l + 2 l + l + 2 l =$ $6 l$ . Donc $6 l =$ $42$ , et $l = 42 \div 6 = 7$ cm. La longueur vaut $2 \times 7 = 14$ cm. Je vérifie : $2 \times (14 + 7) =$ $42$ . ⛔ Le piège : écrire $3 l =$ $42$ , en comptant la longueur et la largeur une seule fois. On trouve $l = 14$ et un rectangle de $28$ cm sur $14$ cm, dont le tour fait $84$ cm. Réponse : $42$ cm ; le rectangle mesure $14$ cm sur $7$ cm.
13. a) Je trace la hauteur depuis le haut du côté oblique (en pointillés). Elle découpe un triangle rectangle : un côté de l'angle droit vaut la hauteur, $4$ m ; l'autre vaut ce qui dépasse en bas, $7 - 4 = 3$ m. Le côté oblique est l'hypoténuse. Par le théorème de Pythagore : $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 =$ $25$ , donc le côté oblique mesure $25 = 5$ m. b) Je fais le tour : $7 + 5 + 4 + 4 = 20$ m. Prix : $20 \times 3, 25 = 65$ €. ⛔ Le piège : prendre le côté oblique pour la hauteur, $4$ m. Un côté penché est plus LONG que la hauteur : $5$ m, pas $4$ . Réponse : le côté oblique mesure $5$ m ; la bordure fait $20$ m et coûte $65$ €.
14. a) $5, 5 \times 3 = 16, 5$ cm et $3, 5 \times 3 = 10, 5$ cm. b) Avant : $2 \times (5, 5 + 3, 5) = 2 \times 9 = 18$ cm. Après : $2 \times (16, 5 + 10, 5) = 2 \times 27 = 54$ cm. Et $54 \div 18 =$ $3$ : le périmètre est multiplié par $3$ , comme chaque côté. C'est normal : le périmètre est une SOMME de côtés, et chaque côté a été multiplié par $3$ . ⭐ L'aire, elle, n'obéit pas à la même règle : elle passe de $19, 25$ cm² à $173, 25$ cm², elle est multipliée par $9$ . ⛔ Le piège : AJOUTER $3$ au lieu de multiplier. Le rectangle de $8, 5$ cm sur $6, 5$ cm n'a plus la même forme, et son tour fait $30$ cm. Réponse : $16, 5$ cm sur $10, 5$ cm ; $18$ cm puis $54$ cm, le périmètre est multiplié par $3$ .
15. a) Je suis le contour : chaque bras de la croix montre trois côtés (deux sur les flancs, un au bout). Quatre bras : $4 \times 3 = 12$ côtés. Le carré du centre, lui, n'a aucun côté sur le contour : ses quatre côtés sont collés aux bras. b) $12 \times 3 = 36$ cm. c) Le plus petit carré qui contient la croix a pour côté $3 + 3 + 3 = 9$ cm, et pour périmètre $4 \times 9 = 36$ cm : le même ! Dans chaque coin, la croix remplace un « aller » de $3$ cm par un « détour » de $3$ cm : le tour ne change pas. ⛔ Le piège : additionner les périmètres des cinq carrés, $5 \times 12 = 60$ cm. Les huit côtés collés sont alors comptés, alors qu'ils sont À L'INTÉRIEUR : $60 - 8 \times 3 =$ $36$ . Réponse : $12$ côtés ; le périmètre vaut $36$ cm, autant que le carré de $9$ cm.
16. a) « Octo » veut dire huit : le bord a $8$ côtés de $30$ cm. $8 \times 30 = 240$ cm, soit $2, 4$ m. b) Le triangle a le même tour, $240$ cm, partagé en $3$ côtés égaux : $240 \div 3 = 80$ cm. c) Le carré : $240 \div 4 = 60$ cm. ⭐ Moins il y a de côtés, plus chacun est long, pour un même tour. ⛔ Le piège : diviser toujours par $4$ , par habitude du carré. Au b), $240 \div 4 = 60$ cm donnerait un triangle de $180$ cm de tour. Réponse : $240$ cm, soit $2, 4$ m ; $80$ cm ; $60$ cm.
17. Le tour du terrain de football a) Le bord du terrain est un rectangle : $P = 2 \times (105 + 68) = 2 \times 173 = 346$ m. b) $5$ km $= 5000$ m. $5000 \div 346 \approx$ $14, 45$ . Quatorze tours ne font que $14 \times 346 = 4844$ m : il manque un peu. Il faut $15$ tours, soit $5190$ m. c) Le rond central est un cercle : $2 \times π \times 9, 15 = 18, 3 π \approx 57, 49$ m. ⛔ Le piège : calculer $105 \times 68 =$ $7140$ . C'est l'aire du terrain, en m² : la pelouse à tondre, pas la distance d'un tour. ⛔ Et la ligne médiane, en pointillés, est À L'INTÉRIEUR : la joueuse ne court pas dessus. Réponse : $346$ m par tour, $15$ tours pour dépasser $5$ km, et environ $57, 49$ m pour le rond central.
18. Le court de tennis a) Double : $2 \times (23, 77 + 10, 97) = 2 \times 34, 74 = 69, 48$ m. b) Simple : $2 \times (23, 77 + 8, 23) = 2 \times 32 = 64$ m. c) $69, 48 - 64 = 5, 48$ m. Les longueurs sont les mêmes ; seules les largeurs changent, de $10, 97 - 8, 23 = 2, 74$ m. Et une largeur passe DEUX fois dans le tour : $2 \times 2, 74 = 5, 48$ m. ⛔ Le piège : répondre $2, 74$ m, l'écart d'une seule largeur. Le tour contient deux largeurs, l'écart est doublé. Réponse : $69, 48$ m pour le double, $64$ m pour le simple, soit $5, 48$ m d'écart.
19. Le flocon de neige a) Trois côtés de $27$ cm : $3 \times 27 = 81$ cm. b) Chaque côté devient $4$ segments de $27 \div 3 = 9$ cm : j'en enlève un (le milieu), j'en ajoute deux (la pointe). Le contour a $3 \times 4 = 12$ segments : $12 \times 9 = 108$ cm. c) Étape 2 : $12 \times 4 = 48$ segments de $9 \div 3 = 3$ cm, soit $48 \times 3 = 144$ cm. Étape 3 : $48 \times 4 = 192$ segments de $1$ cm, soit $192$ cm. d) À chaque étape, chaque segment est remplacé par $4$ segments trois fois plus courts : le périmètre est multiplié par $\frac{4}{3}$ . Je vérifie : $81 \times \frac{4}{3} =$ $108$ . À l'étape 4 : $192 \times \frac{4}{3} = 256$ cm. ⭐ La figure reste toujours dans le même cadre, et pourtant son tour grandit sans fin. C'est le « paradoxe de la côte » : plus on mesure une côte rocheuse de près, plus elle paraît longue. ⛔ Le piège : croire que le tour ne change pas, puisqu'on enlève un segment de $9$ cm pour en mettre deux de $9$ cm. On enlève UN segment et on en ajoute DEUX : chaque côté gagne $9$ cm, $81 + 3 \times 9 =$ $108$ . Réponse : $81$ cm, $108$ cm, $144$ cm, $192$ cm, puis $256$ cm à l'étape 4 ; le périmètre est multiplié par $\frac{4}{3}$ à chaque étape.
20. La clôture du pré a) Le troisième côté est l'hypoténuse. Par le théorème de Pythagore : $6 0^{2} + 4 5^{2} = 3600 + 2025 =$ $5625$ , donc il mesure $5625 = 75$ m. b) Je fais le tour : $60 + 45 + 75 = 180$ m de grillage. c) Sur un tour FERMÉ, chaque intervalle de $2, 5$ m commence par un poteau : $180 \div 2, 5 = 72$ poteaux. Et chaque côté tombe juste, avec un poteau à chaque coin : $60 \div 2, 5 =$ $24$ , $45 \div 2, 5 =$ $18$ , $75 \div 2, 5 =$ $30$ , et $24 + 18 + 30 =$ $72$ . d) Grillage : $180 \times 2, 40 = 432$ €. Poteaux : $72 \times 4, 50 = 324$ €. Total : $432 + 324 = 756$ €. ⛔ Le piège au c) : compter $72 + 1 = 73$ poteaux, comme le long d'une route. Ici, on revient au point de départ : le dernier poteau est le premier. Réponse : $75$ m ; $180$ m de grillage ; $72$ poteaux ; $756$ € en tout.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : périmètres : faire le tour d'une figure, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3