Les aires : rectangle, triangle, parallélogramme et figures composées : 20 exercices corrigésmaths 4e — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices, du calcul seul au problème : compter des carreaux sans compter le tour, calculer l'aire d'un rectangle, d'un carré, d'un triangle et d'un parallélogramme en prenant la VRAIE hauteur, remonter de l'aire à un côté, découper une figure en L, une flèche, un fanion. Un terrain de basket et sa bande de sécurité, un toit qui recueille la pluie, un parking en épi, un champ à partager entre deux sœurs. Un rappel de cours avant chaque niveau. Cherche d'abord au brouillon, puis ouvre la correction : étape par étape, avec le pourquoi, le piège nommé, et la figure dessinée à l'échelle, la surface ombrée.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une formule par exercice. Je repère la base et la hauteur sur la figure, puis je calcule, avec l'unité d'aire.

Rappel de cours

Une AIRE mesure la surface occupée : le nombre de carrés unités qui la recouvrent. Elle s'écrit en unités CARRÉES, cm² ou m², jamais en cm.
RECTANGLE : $A = L \times$ $ℓ$ . CARRÉ : $A = c \times c =$ $c^{2}$ .
PARALLÉLOGRAMME : $A = b \times$ $h$ . TRIANGLE : $A =$ $\frac{b \times h}{2}$ , la moitié d'un rectangle.
La hauteur $h$ est PERPENDICULAIRE à la base $b$ : ce n'est presque jamais le côté penché.

1
Sur ce quadrillage, chaque carreau est un carré de $1$ cm de côté. a) Combien de carreaux la figure recouvre-t-elle ? Quelle est son aire ? b) Léo annonce $22$ . Qu'a-t-il mesuré ?
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Une aire, c'est le nombre de carrés unités qui recouvrent la figure, sans trou ni chevauchement. a) Je découpe la figure en deux rectangles de carreaux. En bas : $2$ rangées de $6$ carreaux, soit $2 \times 6 =$ $12$ . En haut à gauche : $3$ rangées de $2$ carreaux, soit $3 \times 2 =$ $6$ . En tout : $12 + 6 = 18$ carreaux. Chaque carreau a une aire de $1$ cm², donc l'aire de la figure vaut $18$ cm². b) Léo a suivi le bord : $6 + 2 + 4 + 3 + 2 + 5 =$ $22$ . C'est le PÉRIMÈTRE, une longueur en cm, pas une aire. ⛔ Le piège : compter le tour au lieu de l'intérieur. Le tour se mesure en cm, la surface en cm². Réponse : $18$ carreaux, soit une aire de $18$ cm² ; Léo a mesuré le périmètre, $22$ cm.
2
Une carte postale rectangulaire mesure $15$ cm sur $10, 5$ cm. Calculer son aire.
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Un rectangle se remplit par rangées de carreaux : son aire est longueur × largeur. $A = 15 \times$ $10, 5$ . Je calcule en deux morceaux : $15 \times 10 = 150$ et $15 \times 0, 5 =$ $7, 5$ , donc $A = 150 + 7, 5 = 157, 5$ cm². ⭐ Contrôle : la carte est à peine plus grande qu'un rectangle de $15$ cm sur $10$ cm, qui fait $150$ cm². $157, 5$ est plausible. ⛔ Le piège : ADDITIONNER les deux côtés, $15 + 10, 5 =$ $25, 5$ . Une addition de longueurs donne une longueur, pas une surface. Réponse : $A = 157, 5$ cm².
3
Une salle de classe rectangulaire a une aire de $56$ m². Elle mesure $8$ m de long. Quelle est sa largeur ?
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Je connais l'aire et la longueur : je défais la multiplication $A = L \times$ $ℓ$ . $8 \times ℓ =$ $56$ , donc $ℓ = 56 \div 8 = 7$ m. Contrôle : $8 \times 7 = 56$ m², c'est bien l'aire annoncée. ⛔ Le piège : soustraire, $56 - 8 = 48$ m. L'aire vient d'une MULTIPLICATION : on revient en arrière par une DIVISION. Réponse : la salle mesure $7$ m de large.
4
Calculer l'aire d'un carré de $3, 5$ cm de côté.
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Un carré est un rectangle dont la longueur et la largeur sont égales : $A = c \times c =$ $c^{2}$ . $A = 3, 5 \times$ $3, 5$ . Je calcule en deux morceaux : $3 \times 3, 5 = 10, 5$ et $0, 5 \times 3, 5 =$ $1, 75$ , donc $A = 10, 5 + 1, 75 = 12, 25$ cm². ⛔ Le piège : lire $3, 5^{2}$ comme $3, 5 \times 2 =$ $7$ . Le carré, c'est le côté multiplié par LUI-MÊME. Et $4 \times 3, 5 = 14$ cm, c'est le périmètre, pas l'aire. Réponse : $A = 12, 25$ cm².
5
Un carré a une aire de $144$ cm². Combien mesure son côté ?
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Je cherche le nombre qui, multiplié par LUI-MÊME, donne $144$ . $10 \times 10 =$ $100$ : trop petit. $12 \times 12 =$ $144$ : c'est lui. Donc le côté mesure $12$ cm. ⛔ Le piège : diviser par $4$ , comme pour un périmètre : $144 \div 4 =$ $36$ . Mais un carré de $36$ cm de côté aurait une aire de $36 \times 36 = 1296$ cm², neuf fois trop. Réponse : le côté mesure $12$ cm.
6
Le triangle $A BC$ a une base $[A B]$ de $11$ cm. La hauteur issue de $C$ mesure $4$ cm. Calculer son aire.
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La hauteur issue de $C$ est perpendiculaire à $[A B]$ : la base et la hauteur vont ensemble. Le triangle tient dans un rectangle de $11$ cm sur $4$ cm (en pointillés), d'aire $11 \times 4 = 44$ cm². Il en occupe exactement la moitié. $A = \frac{11 \times 4}{2} = \frac{44}{2} = 22$ cm². ⛔ Le piège : oublier le $\div 2$ et répondre $44$ cm², l'aire du rectangle entier. Réponse : $A = 22$ cm².
7
Le triangle $RST$ est rectangle en $R$ , avec $RS = 6$ cm, $RT = 4, 5$ cm et $ST = 7, 5$ cm. Calculer son aire.
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Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit sont perpendiculaires : l'un sert de base, l'autre de hauteur. $A = \frac{RS \times RT}{2} = \frac{6 \times 4 , 5}{2} = \frac{27}{2} = 13, 5$ cm². ⭐ Le côté $[ST]$ , en face de l'angle droit, ne sert pas : il n'est perpendiculaire à aucun des deux autres. ⛔ Le piège : prendre le plus grand côté, $\frac{6 \times 7 , 5}{2} = 22, 5$ cm². $[ST]$ est penché : ce n'est pas une hauteur. Réponse : $A = 13, 5$ cm².
8
Le parallélogramme $EFG H$ a une base $[EF]$ de $6$ cm et une hauteur de $3, 5$ cm. Son côté $[E H]$ mesure $3, 7$ cm. Calculer son aire.
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L'aire d'un parallélogramme est base × hauteur. La hauteur est la distance PERPENDICULAIRE entre $[EF]$ et le côté opposé $[H G]$ . $A = 6 \times 3, 5 = 21$ cm². Pourquoi pas de $\div 2$ ? Je coupe le petit triangle de gauche le long de la hauteur et je le recolle à droite (en pointillés) : j'obtiens un rectangle de $6$ cm sur $3, 5$ cm. ⛔ Le piège : prendre le côté penché, $6 \times 3, 7 = 22, 2$ cm². Le côté $[E H]$ est plus long que la hauteur : il gonfle l'aire. Réponse : $A = 21$ cm².

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Découper la figure, calculer chaque morceau, additionner ou soustraire, puis une phrase de réponse avec l'unité d'aire.

Rappel de cours

FIGURE COMPOSÉE : je la DÉCOUPE en rectangles et en triangles. J'ADDITIONNE les morceaux, ou je SOUSTRAIS un trou.
Une longueur qui manque se calcule souvent par différence, sur le dessin.
De l'aire à une longueur : je DÉFAIS la multiplication par une division (et pour un triangle, je défais d'abord le $\div 2$ ).
$1$ m² $= 100 \times 100 = 10000$ cm², jamais $100$ .

9
Le parallélogramme $A BC D$ a pour côtés $A B = 12$ cm et $A D = 10$ cm. La distance entre les droites $(A B)$ et $(C D)$ est de $8$ cm. a) Calculer l'aire de $A BC D$ . b) $H$ est le pied de la hauteur issue de $B$ sur la droite $(A D)$ . Calculer $B H$ .
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a) La hauteur relative à la base $[A B]$ est la distance entre $(A B)$ et $(C D)$ : $8$ cm. $A = A B \times 8 = 12 \times 8 = 96$ cm². b) Je change de base : je prends $[A D]$ . La hauteur qui va avec est $[B H]$ , perpendiculaire à $(A D)$ . La surface, elle, n'a pas changé : $A D \times B H =$ $96$ , donc $10 \times B H = 96$ et $B H = 96 \div 10 = 9, 6$ cm. ⭐ Contrôle : $B H = 9, 6$ cm est plus court que $A B = 12$ cm : le chemin perpendiculaire est toujours le plus court. ⛔ Le piège : multiplier les deux côtés, $12 \times 10 = 120$ cm². Aucun des deux n'est perpendiculaire à l'autre. Réponse : $A = 96$ cm² et $B H = 9, 6$ cm.
10
Une pièce a la forme d'un L : $9$ m de long en bas, $7$ m de haut à gauche, $4$ m sur le côté droit et $5$ m en haut. Calculer son aire.
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Je découpe le L en deux rectangles, par un trait horizontal. Le rectangle du bas mesure $9$ m sur $4$ m : $A_{1} = 9 \times 4 = 36$ m². Le rectangle du haut mesure $5$ m de large. Sa hauteur ne se lit pas : c'est ce qui reste des $7$ m quand on enlève les $4$ m du bas, $7 - 4 = 3$ m. $A_{2} = 5 \times 3 = 15$ m². J'additionne : $A = 36 + 15 = 51$ m². ⭐ Autre chemin : le grand rectangle de $9$ m sur $7$ m, moins le coin vide de $4$ m sur $3$ m : $63 - 12 = 51$ m². Les deux chemins se rejoignent. ⛔ Le piège : calculer $9 \times 7 = 63$ m², comme si le coin vide faisait partie de la pièce. Réponse : la pièce a une aire de $51$ m².
11
Un fanion est un rectangle de $10$ cm sur $6$ cm, dans lequel on a découpé une encoche triangulaire : sa base est le côté de $6$ cm, et sa pointe s'enfonce de $4$ cm dans le fanion. Calculer l'aire du fanion.
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Le fanion, c'est le rectangle PLEIN, moins le triangle découpé : je soustrais. Le rectangle : $10 \times 6 = 60$ cm². Le triangle a pour base le côté de $6$ cm, et pour hauteur la profondeur de l'encoche, $4$ cm, perpendiculaire à ce côté : $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm². $A = 60 - 12 = 48$ cm². ⛔ Le piège : oublier le $\div 2$ du triangle, $60 - 24 = 36$ cm², ou AJOUTER l'encoche, $60 + 12 = 72$ cm². Le trou enlève de la surface. Réponse : le fanion a une aire de $48$ cm².
12
Sur ce quadrillage de carreaux de $1$ cm, les sommets du triangle $A BC$ sont sur des nœuds. Aucun de ses côtés ne suit les lignes du quadrillage. Calculer l'aire du triangle $A BC$ .
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Aucun côté n'est horizontal ou vertical : je ne lis ni base ni hauteur. Je contourne l'obstacle : j'entoure le triangle d'un rectangle qui suit le quadrillage. Le rectangle mesure $6$ cm sur $5$ cm : $6 \times 5 = 30$ cm². Autour du triangle, il reste trois triangles rectangles. Leurs côtés de l'angle droit suivent le quadrillage : ils sont faciles. En bas : $\frac{6 \times 2}{2} = 6$ cm². En haut à droite : $\frac{4 \times 3}{2} = 6$ cm². À gauche : $\frac{2 \times 5}{2} = 5$ cm². Je les enlève : $A = 30 - (6 + 6 + 5) = 30 - 17 = 13$ cm². ⛔ Le piège : oublier les $\div 2$ des coins : $30 - (12 + 12 + 10) =$ $- 4$ . Une aire négative, c'est le signal d'une erreur. Réponse : $A = 13$ cm².
13
Un triangle a une aire de $30$ cm², et l'un de ses côtés mesure $7, 5$ cm. Quelle est la hauteur relative à ce côté ?
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Je pars de la formule : $\frac{b \times h}{2} =$ $A$ , donc $\frac{7 , 5 \times h}{2} =$ $30$ . Je défais le $\div 2$ : $7, 5 \times h = 30 \times 2 =$ $60$ . Je défais le $\times 7, 5$ : $h = 60 \div 7, 5 = 8$ cm. Contrôle : $\frac{7 , 5 \times 8}{2} = \frac{60}{2} = 30$ cm². ⛔ Le piège : diviser directement, $30 \div 7, 5 = 4$ cm. C'est oublier que le triangle est la MOITIÉ d'un rectangle : avec $4$ cm, l'aire ne serait que $15$ cm². Réponse : la hauteur mesure $8$ cm.
14
On carrelle le sol d'une pièce rectangulaire de $4$ m sur $3$ m avec des carreaux carrés de $50$ cm de côté. a) Calculer l'aire de la pièce en m², puis en cm². b) Calculer l'aire d'un carreau en cm². c) Combien faut-il de carreaux, sans compter les chutes ?
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a) $A = 4 \times 3 = 12$ m². Un mètre carré est un carré de $100$ cm sur $100$ cm : $1$ m² $= 100 \times 100 = 10000$ cm². Donc $12$ m² $= 120000$ cm². b) Un carreau est un carré : $A = 50 \times 50 = 2500$ cm². c) $120000 \div 2500 = 48$ carreaux. ⭐ Contrôle par les longueurs : $400 \div 50 = 8$ carreaux sur la longueur, $300 \div 50 = 6$ sur la largeur, et $8 \times 6 =$ $48$ . Le quadrillage du dessin les montre. ⛔ Le piège : convertir avec $100$ au lieu de $10000$ : $12$ m² deviendraient $1200$ cm², moins qu'un seul carreau ! Ou diviser l'aire par une longueur, $12 \div 0, 5 =$ $24$ . Réponse : $12$ m² $= 120000$ cm² ; $2500$ cm² par carreau ; $48$ carreaux.
15
Une flèche de signalisation est formée d'un rectangle de $6$ cm sur $2$ cm, prolongé par un triangle. La base de ce triangle mesure $4$ cm, et sa pointe est à $3$ cm de cette base. Calculer l'aire de la flèche.
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Je découpe la flèche en deux figures connues : le rectangle (le corps) et le triangle (la pointe). Le rectangle : $A_{1} = 6 \times 2 = 12$ cm². Le triangle a pour base le côté de $4$ cm et pour hauteur $3$ cm, la distance perpendiculaire de la pointe à cette base : $A_{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ cm². Les deux morceaux ne se chevauchent pas : $A = 12 + 6 = 18$ cm². ⛔ Le piège : oublier le $\div 2$ de la pointe, $12 + 12 = 24$ cm². Réponse : la flèche a une aire de $18$ cm².
16
Les triangles $A BC$ , $A B D$ et $A BE$ ont la même base $[A B]$ de $6$ cm. Leurs sommets $C$ , $D$ et $E$ sont sur une droite parallèle à $(A B)$ , à $4$ cm d'elle. a) Calculer l'aire de chaque triangle. b) Le triangle $A BE$ , très étiré, a-t-il une plus grande aire ?
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a) Pour les trois, la base est $[A B]$ , et la hauteur est la distance du sommet à la droite $(A B)$ . Les trois sommets sont sur la même parallèle, à $4$ cm : les trois hauteurs mesurent $4$ cm. Pour $A BE$ , la hauteur tombe en dehors du triangle, sur le prolongement de $[A B]$ : elle reste perpendiculaire à la droite $(A B)$ et mesure toujours $4$ cm. $A = \frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm², pour chacun des trois. b) Non : les trois triangles ont la même aire, $12$ cm². Leurs formes sont différentes, mais ils ont la même base et la même hauteur. ⛔ Le piège : se fier à l'œil, ou prendre le long côté $[A E]$ , qui mesure presque $10$ cm, pour une hauteur. On trouverait $\frac{6 \times 10}{2} = 30$ cm², plus du double. Réponse : $12$ cm² pour chacun ; l'aire ne dépend que de la base et de la hauteur.

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Des situations réelles. Je dessine, je découpe en figures connues, je calcule, puis une phrase de réponse.

Rappel de cours

Je dessine la situation, je repère les rectangles et les triangles, et je mets toutes les longueurs dans la même unité avant de multiplier.
La hauteur se mesure toujours PERPENDICULAIREMENT à la base, même quand elle tombe en dehors de la figure.
$1$ ha $= 10000$ m² : un carré de $100$ m de côté.

17Le terrain de basket et sa bande
Un terrain de basket-ball de compétition mesure $28$ m sur $15$ m. Tout autour, le règlement demande une bande libre d'au moins $2$ m de large. a) Calculer l'aire du terrain. b) Calculer l'aire totale du terrain et de sa bande de $2$ m. c) En déduire l'aire de la bande. d) On peint la bande d'une autre couleur. Un pot de peinture couvre $25$ m². Combien de pots faut-il acheter ?
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a) Le terrain est un rectangle : $A = 28 \times 15 = 420$ m². b) La bande ajoute $2$ m de CHAQUE côté : à gauche et à droite, en haut et en bas. Le grand rectangle mesure $28 + 2 + 2 = 32$ m sur $15 + 2 + 2 = 19$ m, donc $32 \times 19 = 608$ m². c) La bande, c'est le grand rectangle MOINS le terrain : $608 - 420 = 188$ m². d) $188 \div 25 =$ $7, 52$ : sept pots ne suffisent pas, il en faut $8$ . ⛔ Le piège : n'ajouter les $2$ m qu'une fois par dimension, $30 \times 17 = 510$ m², ce qui donnerait une bande de $90$ m² seulement, moins de la moitié de la vraie. Réponse : $420$ m² de terrain, $608$ m² en tout, $188$ m² de bande, donc $8$ pots.
18Le toit et la pluie
Une maison a un toit à deux pans. Vue de dessus, elle occupe un rectangle de $10$ m sur $8$ m. Chaque pan du toit est un rectangle penché de $10$ m sur $5$ m. a) Calculer l'aire des tuiles, c'est-à-dire des deux pans. b) Calculer l'aire au sol couverte par le toit. c) À Paris, il tombe environ $640$ mm de pluie par an. Une pluie de $1$ mm dépose $1$ litre d'eau sur chaque m² de SOL. Combien de litres le toit peut-il recueillir en un an ?
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a) Deux pans de $10 \times 5 = 50$ m² chacun : $2 \times 50 = 100$ m² de tuiles. b) Vu d'en haut, le toit recouvre le rectangle de la maison : $10 \times 8 = 80$ m². Pourquoi moins que les tuiles ? Chaque pan est penché : ses $5$ m de pente ne couvrent que $4$ m au sol, la moitié des $8$ m. Sur le pignon dessiné, $5$ m de pente, $4$ m au sol et $3$ m de haut. c) La pluie tombe verticalement : le toit reçoit ce qui tomberait sur les $80$ m² de sol qu'il abrite. Chaque m² reçoit $640$ L par an, donc $80 \times 640 = 51200$ L. ⛔ Le piège : compter l'aire des tuiles, $100 \times 640 = 64000$ L. Un toit penché ne reçoit pas plus de pluie qu'un toit plat de même surface au sol. Réponse : $100$ m² de tuiles, $80$ m² au sol, et environ $51200$ L d'eau par an.
19Le parking en épi
Sur un parking, les places « en épi » sont des parallélogrammes, alignés le long d'une allée. Chaque place mesure $2, 9$ m le long de l'allée, et $5$ m de profondeur, mesurés perpendiculairement à l'allée. Son côté penché mesure environ $5, 4$ m. a) Calculer l'aire d'une place. b) L'allée mesure $58$ m. Combien de places peut-on y tracer ? c) Calculer l'aire totale des places, de deux façons.
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a) Une place est un parallélogramme de base $2, 9$ m (le long de l'allée) et de hauteur $5$ m (la profondeur, perpendiculaire à l'allée) : $A = 2, 9 \times 5 = 14, 5$ m². b) Les places se suivent le long de l'allée, $2, 9$ m chacune : $58 \div 2, 9 = 20$ places. c) Premier chemin : $20 \times 14, 5 = 290$ m². Deuxième chemin : collées les unes aux autres, les vingt places forment un grand parallélogramme de base $58$ m et de même hauteur $5$ m : $58 \times 5 = 290$ m². Les deux chemins se rejoignent. ⛔ Le piège : prendre le côté penché, $2, 9 \times 5, 4 = 15, 66$ m² par place. La profondeur se mesure perpendiculairement à l'allée. Réponse : $14, 5$ m² par place, $20$ places, $290$ m² en tout.
20Le champ des deux sœurs
Deux sœurs héritent d'un champ triangulaire. Un côté, le long de la route, mesure $120$ m ; le sommet opposé est à $80$ m de la route. a) Calculer l'aire du champ en m², puis en hectares. b) Lina propose de couper le champ en ligne droite, du sommet jusqu'au MILIEU du côté de la route. Les deux parts ont-elles la même aire ? c) Sarah propose plutôt une clôture parallèle à la route, à mi-chemin du sommet, donc à $40$ m de la route. Calculer l'aire de la part du haut. Ce partage est-il juste ?
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a) La base est le côté de la route, $120$ m, et la hauteur la distance du sommet à la route, $80$ m : $A = \frac{120 \times 80}{2} = 4800$ m². Un hectare est un carré de $100$ m de côté, soit $10000$ m² : $4800 \div 10000 = 0, 48$ ha. b) Chaque part est un triangle de base $120 \div 2 = 60$ m et de MÊME hauteur $80$ m (même sommet, même route) : $\frac{60 \times 80}{2} = 2400$ m² chacune. Oui, ce partage est juste : $2400 + 2400 =$ $4800$ . c) La part du haut est un petit triangle. Sa base, la clôture, relie les milieux des deux autres côtés : elle mesure la moitié de $120$ m, soit $60$ m. Sa hauteur est ce qui reste au-dessus de la clôture, $80 - 40 = 40$ m : $\frac{60 \times 40}{2} = 1200$ m². La part du bas : $4800 - 1200 = 3600$ m², trois fois plus. Ce partage n'est pas juste. ⛔ Le piège : croire que couper à mi-hauteur coupe l'aire en deux. En haut, le champ est étroit : la moitié de la hauteur ne porte qu'un quart de la surface. Réponse : $4800$ m², soit $0, 48$ ha ; la coupe de Lina donne deux parts de $2400$ m² ; la clôture de Sarah donne $1200$ m² et $3600$ m², un partage injuste.

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : les aires : rectangle, triangle, parallélogramme et figures composées, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. Une aire, c'est le nombre de carrés unités qui recouvrent la figure, sans trou ni chevauchement. a) Je découpe la figure en deux rectangles de carreaux. En bas : $2$ rangées de $6$ carreaux, soit $2 \times 6 =$ $12$ . En haut à gauche : $3$ rangées de $2$ carreaux, soit $3 \times 2 =$ $6$ . En tout : $12 + 6 = 18$ carreaux. Chaque carreau a une aire de $1$ cm², donc l'aire de la figure vaut $18$ cm². b) Léo a suivi le bord : $6 + 2 + 4 + 3 + 2 + 5 =$ $22$ . C'est le PÉRIMÈTRE, une longueur en cm, pas une aire. ⛔ Le piège : compter le tour au lieu de l'intérieur. Le tour se mesure en cm, la surface en cm². Réponse : $18$ carreaux, soit une aire de $18$ cm² ; Léo a mesuré le périmètre, $22$ cm.
2. Un rectangle se remplit par rangées de carreaux : son aire est longueur × largeur. $A = 15 \times$ $10, 5$ . Je calcule en deux morceaux : $15 \times 10 = 150$ et $15 \times 0, 5 =$ $7, 5$ , donc $A = 150 + 7, 5 = 157, 5$ cm². ⭐ Contrôle : la carte est à peine plus grande qu'un rectangle de $15$ cm sur $10$ cm, qui fait $150$ cm². $157, 5$ est plausible. ⛔ Le piège : ADDITIONNER les deux côtés, $15 + 10, 5 =$ $25, 5$ . Une addition de longueurs donne une longueur, pas une surface. Réponse : $A = 157, 5$ cm².
3. Je connais l'aire et la longueur : je défais la multiplication $A = L \times$ $ℓ$ . $8 \times ℓ =$ $56$ , donc $ℓ = 56 \div 8 = 7$ m. Contrôle : $8 \times 7 = 56$ m², c'est bien l'aire annoncée. ⛔ Le piège : soustraire, $56 - 8 = 48$ m. L'aire vient d'une MULTIPLICATION : on revient en arrière par une DIVISION. Réponse : la salle mesure $7$ m de large.
4. Un carré est un rectangle dont la longueur et la largeur sont égales : $A = c \times c =$ $c^{2}$ . $A = 3, 5 \times$ $3, 5$ . Je calcule en deux morceaux : $3 \times 3, 5 = 10, 5$ et $0, 5 \times 3, 5 =$ $1, 75$ , donc $A = 10, 5 + 1, 75 = 12, 25$ cm². ⛔ Le piège : lire $3, 5^{2}$ comme $3, 5 \times 2 =$ $7$ . Le carré, c'est le côté multiplié par LUI-MÊME. Et $4 \times 3, 5 = 14$ cm, c'est le périmètre, pas l'aire. Réponse : $A = 12, 25$ cm².
5. Je cherche le nombre qui, multiplié par LUI-MÊME, donne $144$ . $10 \times 10 =$ $100$ : trop petit. $12 \times 12 =$ $144$ : c'est lui. Donc le côté mesure $12$ cm. ⛔ Le piège : diviser par $4$ , comme pour un périmètre : $144 \div 4 =$ $36$ . Mais un carré de $36$ cm de côté aurait une aire de $36 \times 36 = 1296$ cm², neuf fois trop. Réponse : le côté mesure $12$ cm.
6. La hauteur issue de $C$ est perpendiculaire à $[A B]$ : la base et la hauteur vont ensemble. Le triangle tient dans un rectangle de $11$ cm sur $4$ cm (en pointillés), d'aire $11 \times 4 = 44$ cm². Il en occupe exactement la moitié. $A = \frac{11 \times 4}{2} = \frac{44}{2} = 22$ cm². ⛔ Le piège : oublier le $\div 2$ et répondre $44$ cm², l'aire du rectangle entier. Réponse : $A = 22$ cm².
7. Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit sont perpendiculaires : l'un sert de base, l'autre de hauteur. $A = \frac{RS \times RT}{2} = \frac{6 \times 4 , 5}{2} = \frac{27}{2} = 13, 5$ cm². ⭐ Le côté $[ST]$ , en face de l'angle droit, ne sert pas : il n'est perpendiculaire à aucun des deux autres. ⛔ Le piège : prendre le plus grand côté, $\frac{6 \times 7 , 5}{2} = 22, 5$ cm². $[ST]$ est penché : ce n'est pas une hauteur. Réponse : $A = 13, 5$ cm².
8. L'aire d'un parallélogramme est base × hauteur. La hauteur est la distance PERPENDICULAIRE entre $[EF]$ et le côté opposé $[H G]$ . $A = 6 \times 3, 5 = 21$ cm². Pourquoi pas de $\div 2$ ? Je coupe le petit triangle de gauche le long de la hauteur et je le recolle à droite (en pointillés) : j'obtiens un rectangle de $6$ cm sur $3, 5$ cm. ⛔ Le piège : prendre le côté penché, $6 \times 3, 7 = 22, 2$ cm². Le côté $[E H]$ est plus long que la hauteur : il gonfle l'aire. Réponse : $A = 21$ cm².
9. a) La hauteur relative à la base $[A B]$ est la distance entre $(A B)$ et $(C D)$ : $8$ cm. $A = A B \times 8 = 12 \times 8 = 96$ cm². b) Je change de base : je prends $[A D]$ . La hauteur qui va avec est $[B H]$ , perpendiculaire à $(A D)$ . La surface, elle, n'a pas changé : $A D \times B H =$ $96$ , donc $10 \times B H = 96$ et $B H = 96 \div 10 = 9, 6$ cm. ⭐ Contrôle : $B H = 9, 6$ cm est plus court que $A B = 12$ cm : le chemin perpendiculaire est toujours le plus court. ⛔ Le piège : multiplier les deux côtés, $12 \times 10 = 120$ cm². Aucun des deux n'est perpendiculaire à l'autre. Réponse : $A = 96$ cm² et $B H = 9, 6$ cm.
10. Je découpe le L en deux rectangles, par un trait horizontal. Le rectangle du bas mesure $9$ m sur $4$ m : $A_{1} = 9 \times 4 = 36$ m². Le rectangle du haut mesure $5$ m de large. Sa hauteur ne se lit pas : c'est ce qui reste des $7$ m quand on enlève les $4$ m du bas, $7 - 4 = 3$ m. $A_{2} = 5 \times 3 = 15$ m². J'additionne : $A = 36 + 15 = 51$ m². ⭐ Autre chemin : le grand rectangle de $9$ m sur $7$ m, moins le coin vide de $4$ m sur $3$ m : $63 - 12 = 51$ m². Les deux chemins se rejoignent. ⛔ Le piège : calculer $9 \times 7 = 63$ m², comme si le coin vide faisait partie de la pièce. Réponse : la pièce a une aire de $51$ m².
11. Le fanion, c'est le rectangle PLEIN, moins le triangle découpé : je soustrais. Le rectangle : $10 \times 6 = 60$ cm². Le triangle a pour base le côté de $6$ cm, et pour hauteur la profondeur de l'encoche, $4$ cm, perpendiculaire à ce côté : $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm². $A = 60 - 12 = 48$ cm². ⛔ Le piège : oublier le $\div 2$ du triangle, $60 - 24 = 36$ cm², ou AJOUTER l'encoche, $60 + 12 = 72$ cm². Le trou enlève de la surface. Réponse : le fanion a une aire de $48$ cm².
12. Aucun côté n'est horizontal ou vertical : je ne lis ni base ni hauteur. Je contourne l'obstacle : j'entoure le triangle d'un rectangle qui suit le quadrillage. Le rectangle mesure $6$ cm sur $5$ cm : $6 \times 5 = 30$ cm². Autour du triangle, il reste trois triangles rectangles. Leurs côtés de l'angle droit suivent le quadrillage : ils sont faciles. En bas : $\frac{6 \times 2}{2} = 6$ cm². En haut à droite : $\frac{4 \times 3}{2} = 6$ cm². À gauche : $\frac{2 \times 5}{2} = 5$ cm². Je les enlève : $A = 30 - (6 + 6 + 5) = 30 - 17 = 13$ cm². ⛔ Le piège : oublier les $\div 2$ des coins : $30 - (12 + 12 + 10) =$ $- 4$ . Une aire négative, c'est le signal d'une erreur. Réponse : $A = 13$ cm².
13. Je pars de la formule : $\frac{b \times h}{2} =$ $A$ , donc $\frac{7 , 5 \times h}{2} =$ $30$ . Je défais le $\div 2$ : $7, 5 \times h = 30 \times 2 =$ $60$ . Je défais le $\times 7, 5$ : $h = 60 \div 7, 5 = 8$ cm. Contrôle : $\frac{7 , 5 \times 8}{2} = \frac{60}{2} = 30$ cm². ⛔ Le piège : diviser directement, $30 \div 7, 5 = 4$ cm. C'est oublier que le triangle est la MOITIÉ d'un rectangle : avec $4$ cm, l'aire ne serait que $15$ cm². Réponse : la hauteur mesure $8$ cm.
14. a) $A = 4 \times 3 = 12$ m². Un mètre carré est un carré de $100$ cm sur $100$ cm : $1$ m² $= 100 \times 100 = 10000$ cm². Donc $12$ m² $= 120000$ cm². b) Un carreau est un carré : $A = 50 \times 50 = 2500$ cm². c) $120000 \div 2500 = 48$ carreaux. ⭐ Contrôle par les longueurs : $400 \div 50 = 8$ carreaux sur la longueur, $300 \div 50 = 6$ sur la largeur, et $8 \times 6 =$ $48$ . Le quadrillage du dessin les montre. ⛔ Le piège : convertir avec $100$ au lieu de $10000$ : $12$ m² deviendraient $1200$ cm², moins qu'un seul carreau ! Ou diviser l'aire par une longueur, $12 \div 0, 5 =$ $24$ . Réponse : $12$ m² $= 120000$ cm² ; $2500$ cm² par carreau ; $48$ carreaux.
15. Je découpe la flèche en deux figures connues : le rectangle (le corps) et le triangle (la pointe). Le rectangle : $A_{1} = 6 \times 2 = 12$ cm². Le triangle a pour base le côté de $4$ cm et pour hauteur $3$ cm, la distance perpendiculaire de la pointe à cette base : $A_{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ cm². Les deux morceaux ne se chevauchent pas : $A = 12 + 6 = 18$ cm². ⛔ Le piège : oublier le $\div 2$ de la pointe, $12 + 12 = 24$ cm². Réponse : la flèche a une aire de $18$ cm².
16. a) Pour les trois, la base est $[A B]$ , et la hauteur est la distance du sommet à la droite $(A B)$ . Les trois sommets sont sur la même parallèle, à $4$ cm : les trois hauteurs mesurent $4$ cm. Pour $A BE$ , la hauteur tombe en dehors du triangle, sur le prolongement de $[A B]$ : elle reste perpendiculaire à la droite $(A B)$ et mesure toujours $4$ cm. $A = \frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm², pour chacun des trois. b) Non : les trois triangles ont la même aire, $12$ cm². Leurs formes sont différentes, mais ils ont la même base et la même hauteur. ⛔ Le piège : se fier à l'œil, ou prendre le long côté $[A E]$ , qui mesure presque $10$ cm, pour une hauteur. On trouverait $\frac{6 \times 10}{2} = 30$ cm², plus du double. Réponse : $12$ cm² pour chacun ; l'aire ne dépend que de la base et de la hauteur.
17. Le terrain de basket et sa bande a) Le terrain est un rectangle : $A = 28 \times 15 = 420$ m². b) La bande ajoute $2$ m de CHAQUE côté : à gauche et à droite, en haut et en bas. Le grand rectangle mesure $28 + 2 + 2 = 32$ m sur $15 + 2 + 2 = 19$ m, donc $32 \times 19 = 608$ m². c) La bande, c'est le grand rectangle MOINS le terrain : $608 - 420 = 188$ m². d) $188 \div 25 =$ $7, 52$ : sept pots ne suffisent pas, il en faut $8$ . ⛔ Le piège : n'ajouter les $2$ m qu'une fois par dimension, $30 \times 17 = 510$ m², ce qui donnerait une bande de $90$ m² seulement, moins de la moitié de la vraie. Réponse : $420$ m² de terrain, $608$ m² en tout, $188$ m² de bande, donc $8$ pots.
18. Le toit et la pluie a) Deux pans de $10 \times 5 = 50$ m² chacun : $2 \times 50 = 100$ m² de tuiles. b) Vu d'en haut, le toit recouvre le rectangle de la maison : $10 \times 8 = 80$ m². Pourquoi moins que les tuiles ? Chaque pan est penché : ses $5$ m de pente ne couvrent que $4$ m au sol, la moitié des $8$ m. Sur le pignon dessiné, $5$ m de pente, $4$ m au sol et $3$ m de haut. c) La pluie tombe verticalement : le toit reçoit ce qui tomberait sur les $80$ m² de sol qu'il abrite. Chaque m² reçoit $640$ L par an, donc $80 \times 640 = 51200$ L. ⛔ Le piège : compter l'aire des tuiles, $100 \times 640 = 64000$ L. Un toit penché ne reçoit pas plus de pluie qu'un toit plat de même surface au sol. Réponse : $100$ m² de tuiles, $80$ m² au sol, et environ $51200$ L d'eau par an.
19. Le parking en épi a) Une place est un parallélogramme de base $2, 9$ m (le long de l'allée) et de hauteur $5$ m (la profondeur, perpendiculaire à l'allée) : $A = 2, 9 \times 5 = 14, 5$ m². b) Les places se suivent le long de l'allée, $2, 9$ m chacune : $58 \div 2, 9 = 20$ places. c) Premier chemin : $20 \times 14, 5 = 290$ m². Deuxième chemin : collées les unes aux autres, les vingt places forment un grand parallélogramme de base $58$ m et de même hauteur $5$ m : $58 \times 5 = 290$ m². Les deux chemins se rejoignent. ⛔ Le piège : prendre le côté penché, $2, 9 \times 5, 4 = 15, 66$ m² par place. La profondeur se mesure perpendiculairement à l'allée. Réponse : $14, 5$ m² par place, $20$ places, $290$ m² en tout.
20. Le champ des deux sœurs a) La base est le côté de la route, $120$ m, et la hauteur la distance du sommet à la route, $80$ m : $A = \frac{120 \times 80}{2} = 4800$ m². Un hectare est un carré de $100$ m de côté, soit $10000$ m² : $4800 \div 10000 = 0, 48$ ha. b) Chaque part est un triangle de base $120 \div 2 = 60$ m et de MÊME hauteur $80$ m (même sommet, même route) : $\frac{60 \times 80}{2} = 2400$ m² chacune. Oui, ce partage est juste : $2400 + 2400 =$ $4800$ . c) La part du haut est un petit triangle. Sa base, la clôture, relie les milieux des deux autres côtés : elle mesure la moitié de $120$ m, soit $60$ m. Sa hauteur est ce qui reste au-dessus de la clôture, $80 - 40 = 40$ m : $\frac{60 \times 40}{2} = 1200$ m². La part du bas : $4800 - 1200 = 3600$ m², trois fois plus. Ce partage n'est pas juste. ⛔ Le piège : croire que couper à mi-hauteur coupe l'aire en deux. En haut, le champ est étroit : la moitié de la hauteur ne porte qu'un quart de la surface. Réponse : $4800$ m², soit $0, 48$ ha ; la coupe de Lina donne deux parts de $2400$ m² ; la clôture de Sarah donne $1200$ m² et $3600$ m², un partage injuste.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : les aires : rectangle, triangle, parallélogramme et figures composées, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3