Fractions et nombres rationnels : 20 exercices corrigésmaths 4e — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : fractions et nombres rationnels, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. a) Je regarde comment on passe de $5$ à $20$ : $5\times 4=$$20$. Je fais la même chose en haut : $3\times 4=$$12$. Donc $\frac{3}{5}=$$\frac{12}{20}$. b) Cette fois, je regarde en haut : $4\times 3=$$12$. Je multiplie aussi en bas par $3$ : $7\times 3=$$21$. Donc $\frac{4}{7}=$$\frac{12}{21}$. c) $9\times 5=$$45$, donc en haut $2\times 5=$$10$ : $\frac{2}{9}=$$\frac{10}{45}$. ⛔ Le piège : AJOUTER au lieu de multiplier. De $5$ à $20$, on ajoute $15$ ; mais $\frac{3+15}{20}=$$\frac{18}{20}$, qui vaut $0,9$, alors que $\frac{3}{5}$ vaut $0,6$. Ce n'est plus le même nombre. Réponse : $\frac{3}{5}=$$\frac{12}{20}$ ; $\frac{4}{7}=$$\frac{12}{21}$ ; $\frac{2}{9}=$$\frac{10}{45}$.
2. 2. Je simplifie chaque fraction au maximum, puis je compare le résultat à $\frac{2}{3}$. $\frac{8}{12}$ : je divise en haut et en bas par $4$, $\frac{8}{12}=$$\frac{2}{3}$. $\frac{10}{15}$ : je divise par $5$, $\frac{10}{15}=$$\frac{2}{3}$. $\frac{6}{10}$ : je divise par $2$, $\frac{6}{10}=$$\frac{3}{5}$. Ce n'est pas $\frac{2}{3}$. $\frac{14}{21}$ : je divise par $7$, $\frac{14}{21}=$$\frac{2}{3}$. ⛔ Le piège : chercher « le même écart » entre le haut et le bas. $\frac{2}{3}$ et $\frac{5}{6}$ ont le même écart, $1$, et pourtant $\frac{5}{6}$ est plus grand. On multiplie ou on divise, on n'ajoute jamais. Réponse : $\frac{8}{12}$, $\frac{10}{15}$ et $\frac{14}{21}$ sont égales à $\frac{2}{3}$ ; $\frac{6}{10}$ ne l'est pas.

   fraction	8/12	10/15	6/10	14/21
   simplifiée	2/3	2/3	3/5	2/3

3. 3. $30$ et $42$ sont pairs : je divise en haut et en bas par $2$. $\frac{30}{42}=$$\frac{15}{21}$. $15=3\times 5$ et $21=3\times$$7$ : je divise encore par $3$. $\frac{15}{21}=$$\frac{5}{7}$. $5$ et $7$ n'ont plus aucun diviseur commun à part $1$ : je m'arrête, $\frac{5}{7}$ est irréductible. ⭐ Plus court : $6$ divise $30$ et $42$. En divisant d'un coup par $6$, je tombe directement sur $\frac{5}{7}$. ⛔ Le piège : s'arrêter à $\frac{15}{21}$. Elle est plus simple, mais pas irréductible : $3$ divise encore les deux nombres. Réponse : $\frac{30}{42}=$$\frac{5}{7}$.

   	numérateur	dénominateur
   au départ	30	42
   ÷ 2	15	21
   ÷ 3	5	7

4. 4. Simplifier, c'est DIVISER le numérateur et le dénominateur par un même nombre. Barrer un chiffre n'est pas une division. Je cherche un diviseur commun : $39=3\times$$13$. Donc $13$ divise à la fois $13$ et $39$. Je divise en haut et en bas par $13$ : $13÷13=1$ et $39÷13=$$3$. Donc $\frac{13}{39}=$$\frac{1}{3}$. ⭐ Contrôle : $\frac{1}{9}\approx 0,11$ et $\frac{1}{3}\approx$$0,33$. Mila a trouvé un nombre trois fois trop petit. ⛔ Le piège : « barrer » les chiffres identiques en haut et en bas. On ne simplifie pas des CHIFFRES, on divise des NOMBRES. Réponse : Mila a tort ; $\frac{13}{39}=$$\frac{1}{3}$.
5. 5. Une fraction est un quotient : je divise le numérateur par le dénominateur. a) $9÷20=$$0,45$. Autre chemin : je multiplie en haut et en bas par $5$, $\frac{9}{20}=$$\frac{45}{100}$, quarante-cinq centièmes. b) $11÷4=$$2,75$. En effet, $4\times 2=$$8$, il reste $3$, et $3÷4=$$0,75$. c) $7÷5=$$1,4$. ⛔ Le piège : lire la barre de fraction comme une virgule, et écrire $7,5$ pour $\frac{7}{5}$. Or cinq cinquièmes font déjà $1$ : $\frac{7}{5}$ est à peine plus grand que $1$. Réponse : $\frac{9}{20}=$$0,45$ ; $\frac{11}{4}=$$2,75$ ; $\frac{7}{5}=$$1,4$.
6. 6. Je lis le rang du dernier chiffre, j'écris la fraction sur $10$, $100$ ou $1000$, puis je simplifie. a) Trois chiffres après la virgule : des millièmes. $0,125=$$\frac{125}{1000}$. $125$ divise $1000$ ($125\times$$8=$$1000$) : je divise par $125$, $\frac{125}{1000}=$$\frac{1}{8}$. b) Un chiffre après la virgule : des dixièmes. $2,4=\frac{24}{10}=$$\frac{12}{5}$, en divisant par $2$. c) Deux chiffres après la virgule : des centièmes. $0,06=\frac{6}{100}=$$\frac{3}{50}$, en divisant par $2$. ⛔ Le piège : écrire $0,06=$$\frac{6}{10}$. Or $\frac{6}{10}=$$0,6$ : dix fois trop. Le zéro après la virgule compte. Réponse : $0,125=$$\frac{1}{8}$ ; $2,4=$$\frac{12}{5}$ ; $0,06=$$\frac{3}{50}$.

   décimal	0,125	2,4	0,06
   irréductible	1/8	12/5	3/50

7. 7. Un nombre est rationnel s'il s'écrit $\frac{a}{b}$, avec $a$ et $b$ entiers et $b\ne$$0$. a) Un entier, c'est un quotient par $1$ : $-9=$$\frac{-9}{1}$. b) Des centièmes : $1,75=\frac{175}{100}=$$\frac{7}{4}$, en divisant par $25$. c) Des dixièmes : $-0,3=$$\frac{-3}{10}$. d) $\frac{22}{7}$ est DÉJÀ un quotient de deux entiers : il est rationnel. Mais $22÷7=3,142857\dots$ alors que $\pi =$$3,14159\dots$ : ils diffèrent dès le troisième chiffre après la virgule. $\frac{22}{7}$ n'est qu'une valeur approchée de $\pi$. ⛔ Le piège : croire qu'un entier ou un nombre négatif « n'a pas de fraction ». Il en a une : il suffit de l'écrire. Réponse : $-9=$$\frac{-9}{1}$, $1,75=$$\frac{7}{4}$, $-0,3=\frac{-3}{10}$ et $\frac{22}{7}$ sont rationnels ; $\frac{22}{7}$ n'est pas égal à $\pi$.

   nombre	−9	1,75	−0,3	22/7
   a/b	−9/1	7/4	−3/10	22/7

8. 8. a) Même dénominateur : les parts ont la même taille, ce sont des treizièmes. $11$ parts contre $9$ : $\frac{11}{13}>$$\frac{9}{13}$. b) Même numérateur : je prends $4$ parts dans les deux cas. Mais en partageant en $9$, les parts sont plus petites qu'en partageant en $7$. Quatre petites parts font moins que quatre grandes : $\frac{4}{9}<$$\frac{4}{7}$. ⭐ Contrôle : $\frac{4}{9}=0,444\dots$ et $\frac{4}{7}=0,571\dots$ ⛔ Le piège : conclure que $\frac{4}{9}$ est la plus grande parce que $9>$$7$. Un grand dénominateur fait de PETITES parts. Réponse : $\frac{11}{13}>\frac{9}{13}$ et $\frac{4}{9}<$$\frac{4}{7}$.
9. 9. Les dénominateurs $6$, $4$, $12$ et $3$ divisent tous $12$ : je mets tout en douzièmes. $\frac{5}{6}=$$\frac{10}{12}$ ; $\frac{3}{4}=$$\frac{9}{12}$ ; $\frac{1}{3}=$$\frac{4}{12}$ ; $\frac{7}{12}$ ne bouge pas. Même dénominateur : je range les numérateurs, $4<7<9<$$10$. ⛔ Le piège : ranger d'après les numérateurs de départ, $1$, $3$, $5$, $7$. On mettrait $\frac{7}{12}$ en dernier, alors qu'il est deuxième : ses parts sont des douzièmes, bien plus petites. Réponse : $\frac{1}{3}<\frac{7}{12}<\frac{3}{4}<$$\frac{5}{6}$.
10. 10. a) Je cherche un dénominateur commun à $10$ et $6$ : $30$. $\frac{7}{10}=\frac{21}{30}$ et $\frac{5}{6}=$$\frac{25}{30}$. $21<$$25$, donc $\frac{7}{10}<$$\frac{5}{6}$. b) $-\frac{5}{6}$ est plus LOIN de zéro que $-\frac{7}{10}$. Chez les négatifs, le plus loin de zéro est le plus petit : $-\frac{5}{6}<$$-\frac{7}{10}$. c) $\frac{1}{5}$ est le seul positif : il est le plus grand. $-1=-\frac{30}{30}$ est le plus loin de zéro : il est le plus petit. ⛔ Le piège : garder l'ordre des positifs. $\frac{7}{10}<$$\frac{5}{6}$, mais $-\frac{7}{10}>$$-\frac{5}{6}$. Réponse : $-1<-\frac{5}{6}<-\frac{7}{10}<$$\frac{1}{5}$.
11. 11. a) Léa : $\frac{17}{20}$. Pour avoir des centièmes, je multiplie en haut et en bas par $5$ : $\frac{17}{20}=\frac{85}{100}=$$0,85$. Inès : $\frac{9}{10}$. Je multiplie en haut et en bas par $10$ : $\frac{9}{10}=\frac{90}{100}=$$0,9$. b) Deux fractions sur $100$ : je compare les numérateurs. $85<$$90$, donc $\frac{17}{20}<$$\frac{9}{10}$. ⛔ Le piège : comparer les nombres de cibles touchées. Léa en touche $17$, Inès seulement $9$ ; mais Inès n'avait que $10$ cibles. Ce qui compte, c'est la PART des cibles touchées. Réponse : Inès a le meilleur taux de réussite, $90$ % contre $85$ % pour Léa.

    Léa : 17/20 = 85/100

    Inès : 9/10 = 90/100

12. 12. a) $3÷8=$$0,375$ : le reste finit par valoir $0$, la division s'arrête. b) $7÷25=$$0,28$ : elle s'arrête. Autre chemin : $\frac{7}{25}=$$\frac{28}{100}$, en multipliant par $4$. c) $5÷12=$$0,41666\dots$ : à partir du troisième chiffre, le reste vaut toujours $8$, et le chiffre $6$ revient sans fin. d) $4÷15=$$0,2666\dots$ : le reste vaut toujours $10$, le $6$ revient sans fin. ⭐ Pourquoi : $8\times 125=1000$ et $25\times 4=$$100$, donc $\frac{3}{8}$ et $\frac{7}{25}$ s'écrivent en millièmes ou en centièmes. $12$ et $15$ sont des multiples de $3$, et $3$ ne divise ni $10$, ni $100$, ni $1000$ : impossible d'y arriver. ⛔ Le piège : croire qu'un nombre sans écriture décimale exacte n'est pas rationnel. $\frac{5}{12}$ est un quotient de deux entiers : il est rationnel, même si on n'écrit de lui qu'une valeur approchée. Réponse : $\frac{3}{8}$ et $\frac{7}{25}$ ont une écriture décimale exacte, $\frac{5}{12}$ et $\frac{4}{15}$ non ; les quatre sont des nombres rationnels.

    fraction	3/8	7/25	5/12	4/15
    décimal	0,375	0,28	0,4166…	0,266…

13. 13. a) $45=15\times 3$ et $105=15\times$$7$ : je divise en haut et en bas par $15$, $\frac{45}{105}=$$\frac{3}{7}$. $36=12\times 3$ et $84=12\times$$7$ : je divise par $12$, $\frac{36}{84}=$$\frac{3}{7}$. Les deux fractions ont la même forme irréductible : elles sont égales. b) Deux fractions $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ sont égales quand $a\times d=b\times$$c$. Ici, $45\times 84=3780$ et $105\times 36=$$3780$ : les produits sont égaux. ⛔ Le piège : croire deux fractions différentes parce qu'elles n'ont aucun nombre en commun. Une même valeur a une infinité d'écritures. Réponse : $\frac{45}{105}=\frac{36}{84}=$$\frac{3}{7}$.

    	45/105	36/84
    on divise par	15	12
    il reste	3/7	3/7

14. 14. a) $65$ %, ce sont $65$ centièmes : $\frac{65}{100}$. $65$ et $100$ sont divisibles par $5$ : $\frac{65}{100}=$$\frac{13}{20}$. $13$ est premier et ne divise pas $20$ : c'est irréductible. En décimal, $\frac{65}{100}=$$0,65$. b) Je compare $\frac{13}{20}$ et $\frac{2}{3}$ en soixantièmes : $\frac{13}{20}=\frac{39}{60}$ et $\frac{2}{3}=$$\frac{40}{60}$. $39<$$40$ : $65$ % est un peu MOINS que les deux tiers, de très peu. c) $\frac{3}{5}=\frac{60}{100}=$$0,6$, et $0,65>$$0,6$. Oui, c'est vrai. ⛔ Le piège : lire « près des deux tiers » comme « plus des deux tiers ». « Près de » ne dit pas de quel côté ; le calcul, si. Réponse : $65$ %, c'est $\frac{13}{20}$, soit $0,65$ ; c'est un peu moins que les deux tiers, et plus que les trois cinquièmes.

    le nucléaire : 65/100 = 13/20

15. 15. Pour placer une fraction, je passe par son écriture décimale. $\frac{7}{4}=7÷4=$$1,75$ ; $\frac{3}{5}=3÷5=$$0,6$ ; $\frac{6}{5}=6÷5=$$1,2$. $\frac{3}{5}$ et $0,6$ tombent au MÊME point : ce sont deux écritures d'un seul nombre. $\frac{6}{5}$ et $\frac{7}{4}$ sont plus grands que $1$ : leur numérateur dépasse leur dénominateur. ⛔ Le piège : croire qu'une fraction est toujours plus petite que $1$, et placer $\frac{6}{5}$ avant $1$. Cinq cinquièmes font déjà $1$ ; six cinquièmes, c'est plus. Réponse : de gauche à droite, $\frac{3}{5}=$$0,6$, puis $\frac{6}{5}=$$1,2$, puis $\frac{7}{4}=$$1,75$.
16. 16. En septièmes, il n'y a aucun entier entre $3$ et $4$ : je redécoupe plus fin. En quatorzièmes : $\frac{3}{7}=\frac{6}{14}$ et $\frac{4}{7}=$$\frac{8}{14}$. Une seule fraction entre les deux : $\frac{7}{14}=$$\frac{1}{2}$. Pour en avoir trois, je découpe en vingt-huitièmes : $\frac{3}{7}=\frac{12}{28}$ et $\frac{4}{7}=$$\frac{16}{28}$. Entre $12$ et $16$, il y a $13$, $14$ et $15$ : $\frac{13}{28}$, $\frac{14}{28}=\frac{1}{2}$ et $\frac{15}{28}$. ⛔ Le piège : conclure qu'il n'y a « rien » entre $\frac{3}{7}$ et $\frac{4}{7}$ parce que $3$ et $4$ se suivent. Il suffit de redécouper. Réponse : $\frac{3}{7}<\frac{13}{28}<\frac{1}{2}<\frac{15}{28}<$$\frac{4}{7}$ ; et il y en a une infinité d'autres.
17. 17. Les lancers francs a) Awa : $\frac{42}{48}$ ; je divise par $6$, $\frac{42}{48}=$$\frac{7}{8}$. Julie : $\frac{35}{40}$ ; je divise par $5$, $\frac{35}{40}=$$\frac{7}{8}$. Nina : $\frac{27}{30}$ ; je divise par $3$, $\frac{27}{30}=$$\frac{9}{10}$. b) Awa et Julie ont la même fraction irréductible, $\frac{7}{8}$ : le même taux, même si elles n'ont pas réussi le même nombre de lancers. c) $\frac{7}{8}=7÷8=0,875$ et $\frac{9}{10}=$$0,9$. $0,875<$$0,900$. d) C'est Nina : $9$ lancers réussis sur $10$. ⛔ Le piège : désigner Awa parce qu'elle a réussi le plus de lancers, $42$. Elle en a aussi tiré le plus : c'est la PART réussie qui compte. Réponse : Awa et Julie réussissent $\frac{7}{8}$ de leurs lancers, soit $0,875$ ; Nina en réussit $\frac{9}{10}$, soit $0,9$ : Nina est la meilleure tireuse.
18. 18. L'échappée a) Paul a fait $150$ km sur $200$ : $\frac{150}{200}$. Je divise en haut et en bas par $50$ : $\frac{150}{200}=$$\frac{3}{4}$. b) Paul : $\frac{3}{4}=$$0,75$. Marc : $\frac{7}{10}=$$0,7$. Tom : $0,72$. c) Pour comparer, j'écris tout en centièmes : $0,75$ ; $0,70$ ; $0,72$. Donc $0,70<0,72<$$0,75$. d) $0,72=$$\frac{72}{100}$. Je divise par $4$ : $\frac{72}{100}=$$\frac{18}{25}$. ⛔ Le piège : lire $0,7$ et $0,72$ comme « $7$ » et « $72$ », et croire Tom loin devant Marc ; ou l'inverse, croire $0,7$ plus grand parce qu'il est « plus court ». J'écris $0,7=$$0,70$ : $70$ centièmes contre $72$, Tom devance Marc de très peu. Réponse : Paul est en tête avec les $\frac{3}{4}$ de l'étape, puis Tom avec $\frac{18}{25}$, puis Marc avec $\frac{7}{10}$.
19. 19. Les braquets du vélo a) $\frac{50}{20}$ : je divise par $10$, $\frac{50}{20}=\frac{5}{2}=$$2,5$. Deux tours et demi de roue par tour de pédale. $\frac{34}{17}$ : $34=2\times$$17$, donc $\frac{34}{17}=$$2$. Exactement deux tours de roue. b) $\frac{34}{20}=\frac{17}{10}=1,7$ et $\frac{50}{28}=$$\frac{25}{14}$, avec $25÷14=1,785\dots$ Pour en être sûr sans arrondi, les produits en croix : $34\times 28=952$ et $20\times 50=$$1000$. $952<$$1000$, donc $\frac{34}{20}<$$\frac{50}{28}$. c) $50÷11=$$4,545454\dots$ : les chiffres $4$ et $5$ reviennent sans fin, l'écriture décimale ne s'arrête pas. Mais $\frac{50}{11}$ est un quotient de deux entiers : c'est un nombre rationnel. ⛔ Le piège : croire que $\frac{34}{20}$ gagne parce que son pignon est plus petit, $20$ dents contre $28$. C'est oublier le plateau : on compare des FRACTIONS, pas un seul de leurs nombres. Réponse : $\frac{50}{20}=2,5$ et $\frac{34}{17}=$$2$ ; $\frac{50}{28}$ est plus grand que $\frac{34}{20}$ ; $\frac{50}{11}$ n'a pas d'écriture décimale exacte, mais c'est un rationnel.

    braquet	décimal
    50/20	2,5
    34/17	2
    34/20	1,7
    50/28	1,785…
    50/11	4,5454…

    braquet	50/20	34/17	34/20	50/28	50/11
    décimal	2,5	2	1,7	1,785…	4,5454…

20. 20. Qui vient le plus à vélo ? a) 4e A : $\frac{12}{28}$ ; je divise par $4$, $\frac{12}{28}=$$\frac{3}{7}$. 4e B : $\frac{13}{30}$ ; $13$ est premier et ne divise pas $30$, elle est déjà irréductible. b) $3÷7=0,428571\dots$ et $13÷30=$$0,4333\dots$ : aucune ne s'arrête. Au millième : $0,429$ et $0,433$. c) Même dénominateur : $7\times 30=$$210$. $\frac{3}{7}=\frac{90}{210}$ et $\frac{13}{30}=$$\frac{91}{210}$. $90<$$91$, donc $\frac{3}{7}<$$\frac{13}{30}$. d) $\frac{2}{5}=$$\frac{84}{210}$, plus petit que $\frac{90}{210}$ et que $\frac{91}{210}$. Elle a raison. ⛔ Le piège : arrondir trop tôt. Au dixième, les deux parts valent $0,4$ et semblent égales ; il faut aller au millième, ou mieux, écrire les fractions avec le même dénominateur. Réponse : la 4e B a la plus grande part de cyclistes, $\frac{13}{30}$ contre $\frac{3}{7}$, de très peu ; et dans les deux classes, plus de $2$ élèves sur $5$ viennent à vélo.