La factorisation : 20 exercices corrigésmaths 4e — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices, du geste seul au problème : repérer le facteur commun, factoriser par un nombre, par une lettre ou par les deux, factoriser le plus possible, mettre un nombre négatif en facteur, et toujours vérifier en développant. Du calcul mental, les maillots d'un club de basket, des périmètres, une fresque, trois nombres qui se suivent, un jardin agrandi, un relais. Un rappel de cours avant chaque niveau. Cherche d'abord au brouillon, puis ouvre la correction : étape par étape, avec le pourquoi, le piège nommé, et un dessin.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice. Je cherche d'abord ce qui est commun à tous les termes.

Rappel de cours

Factoriser, c'est écrire une somme sous la forme d'un PRODUIT : c'est le développement lu à l'envers.
$ka + kb = k (a +$ $b)$ : le facteur commun $k$ peut être un nombre, une lettre, ou les deux.
Le facteur commun divise TOUS les termes. « Factorise » veut dire : avec le plus grand possible.
Je vérifie toujours en développant : je dois retrouver l'expression de départ.

1
Pour chaque expression, écris chaque terme comme un produit, puis donne le plus grand facteur commun aux deux termes. a) $7 a + 7 b$ b) $4 y + 28$ c) $11 t - 11$ d) $ab + 6 a$
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Un facteur commun est un nombre, ou une lettre, qui multiplie CHAQUE terme. J'écris chaque terme comme un produit. a) $7 a = 7 \times a$ et $7 b = 7 \times$ $b$ : le facteur commun est $7$ . b) $4 y = 4 \times y$ et $28 = 4 \times$ $7$ : le plus grand facteur commun est $4$ . Le dessin le montre : un rectangle de hauteur $4$ , coupé en deux morceaux d'aires $4 y$ et $28$ . c) $11 t = 11 \times t$ et $11 = 11 \times$ $1$ : le facteur commun est $11$ . d) $ab = a \times b$ et $6 a = 6 \times$ $a$ : la lettre $a$ est dans les deux termes, le facteur commun est $a$ . ⛔ Le piège du c) : croire que le $11$ tout seul n'a pas de partenaire. Un nombre est toujours égal à lui-même fois $1$ : $11 = 11 \times$ $1$ . Réponse : a) $7$ ; b) $4$ ; c) $11$ ; d) $a$ .
2
Factorise. a) $5 x + 35$ b) $8 y - 24$ c) $21 + 7 t$ d) $9 n - 45$
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Je trouve le facteur commun, puis je divise CHAQUE terme par lui : ce qui reste va dans la parenthèse. a) $5 x \div 5 = x$ et $35 \div 5 =$ $7$ : $5 x + 35 = 5 (x +$ $7)$ . b) $8 y \div 8 = y$ et $24 \div 8 =$ $3$ ; le signe moins reste dans la parenthèse : $8 y - 24 = 8 (y -$ $3)$ . c) $21 \div 7 = 3$ et $7 t \div 7 =$ $t$ : $21 + 7 t = 7 (3 +$ $t)$ . d) $9 n \div 9 = n$ et $45 \div 9 =$ $5$ : $9 n - 45 = 9 (n -$ $5)$ . ⭐ Contrôle du b) : $8 \times y - 8 \times 3 = 8 y -$ $24$ . ⛔ Le piège : écrire $8 (y -$ $24)$ , en oubliant de diviser le second terme. En développant, on trouverait $8 y -$ $192$ . Réponse : a) $5 (x +$ $7)$ ; b) $8 (y -$ $3)$ ; c) $7 (3 +$ $t)$ ; d) $9 (n -$ $5)$ .
3
Quatre élèves ont factorisé $18 x +$ $24$ . Inès : $2 (9 x +$ $12)$ . Malo : $3 (6 x +$ $8)$ . Yanis : $6 (3 x +$ $4)$ . Léa : $1, 5 (12 x +$ $16)$ . a) Développe chaque écriture. Sont-elles toutes égales à $18 x +$ $24$ ? b) La consigne était « factorise ». Qui a vraiment terminé ? Pourquoi ? c) Factorise le plus possible : $20 t -$ $30$ , puis $24 n +$ $16$ .
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a) Je développe : $2 (9 x + 12) = 18 x +$ $24$ ; $3 (6 x + 8) = 18 x +$ $24$ ; $6 (3 x + 4) = 18 x +$ $24$ ; $1, 5 (12 x + 16) = 18 x +$ $24$ . Les quatre écritures sont égales à $18 x +$ $24$ . b) « Factorise » veut dire : factorise LE PLUS POSSIBLE, avec le plus grand facteur commun entier. Dans $9 x +$ $12$ , il reste le facteur $3$ ; dans $6 x +$ $8$ , il reste $2$ . Dans $3 x +$ $4$ , plus rien n'est commun : seul Yanis a terminé. Léa a pris un nombre décimal : on met en facteur un nombre entier, le plus grand qui divise $18$ et $24$ , c'est-à-dire $6$ . c) Le plus grand nombre qui divise $20$ et $30$ est $10$ : $20 t - 30 = 10 (2 t -$ $3)$ . Le plus grand nombre qui divise $24$ et $16$ est $8$ : $24 n + 16 = 8 (3 n +$ $2)$ . ⛔ Le piège : s'arrêter au premier facteur trouvé, comme Inès avec $2$ . Son écriture est juste, mais pas finie : je vérifie toujours que plus rien n'est commun dans la parenthèse. Réponse : a) oui, toutes ; b) seul Yanis, avec $6 (3 x +$ $4)$ ; c) $10 (2 t - 3)$ et $8 (3 n +$ $2)$ .
écriture développée finie ?
2(9x + 12) 18x + 24 non
3(6x + 8) 18x + 24 non
6(3x + 4) 18x + 24 oui
1,5(12x + 16) 18x + 24 non
4
Cette fois, le facteur commun est une lettre. Factorise. a) $x^{2} + 9 x$ b) $y^{2} - 4 y$ c) $7 t + t^{2}$ d) $ab - 3 b$
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$x^{2}$ , c'est $x \times$ $x$ : au a), la lettre $x$ est dans les deux termes. Je divise chaque terme par la lettre commune. a) $x^{2} \div x = x$ et $9 x \div x =$ $9$ : $x^{2} + 9 x = x (x +$ $9)$ . Sur le dessin, le rectangle a pour hauteur $x$ et pour longueur $x +$ $9$ . b) $y^{2} \div y = y$ et $4 y \div y =$ $4$ : $y^{2} - 4 y = y (y -$ $4)$ . c) $7 t \div t = 7$ et $t^{2} \div t =$ $t$ : $7 t + t^{2} = t (7 +$ $t)$ . d) $ab \div b = a$ et $3 b \div b =$ $3$ : $ab - 3 b = b (a -$ $3)$ . ⭐ Contrôle du a) : $x \times x + x \times 9 = x^{2} +$ $9 x$ . ⛔ Le piège : écrire $x (x +$ $9 x)$ , en gardant la lettre dans le second terme. En développant, on trouverait $x^{2} +$ $9 x^{2}$ : ce n'est pas l'expression de départ. Réponse : a) $x (x +$ $9)$ ; b) $y (y -$ $4)$ ; c) $t (7 +$ $t)$ ; d) $b (a -$ $3)$ .
5
Le facteur commun est un nombre ET une lettre. Factorise le plus possible. a) $4 x^{2} + 10 x$ b) $9 y^{2} - 12 y$ c) $15 t + 5 t^{2}$ d) $8 a^{2} - 8 a$
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Je cherche d'abord le plus grand nombre qui divise les coefficients, puis la lettre présente dans tous les termes. Le facteur commun est leur produit. a) $2$ divise $4$ et $10$ ; $x$ est dans les deux termes : le facteur commun est $2 x$ . $4 x^{2} \div 2 x = 2 x$ et $10 x \div 2 x =$ $5$ : $4 x^{2} + 10 x = 2 x (2 x +$ $5)$ . b) $3$ et $y$ : le facteur commun est $3 y$ . $9 y^{2} \div 3 y = 3 y$ et $12 y \div 3 y =$ $4$ : $9 y^{2} - 12 y = 3 y (3 y -$ $4)$ . c) $5$ et $t$ : $15 t \div 5 t = 3$ et $5 t^{2} \div 5 t =$ $t$ : $15 t + 5 t^{2} = 5 t (3 +$ $t)$ . d) $8$ et $a$ : $8 a^{2} \div 8 a = a$ et $8 a \div 8 a =$ $1$ : $8 a^{2} - 8 a = 8 a (a -$ $1)$ . ⛔ Le piège du b) : s'arrêter à $3 (3 y^{2} -$ $4 y)$ . C'est juste, mais $y$ est encore dans les deux termes de la parenthèse : ce n'est pas fini. Réponse : a) $2 x (2 x +$ $5)$ ; b) $3 y (3 y -$ $4)$ ; c) $5 t (3 +$ $t)$ ; d) $8 a (a -$ $1)$ .
6
Vérifie chaque factorisation en développant. Corrige celles qui sont fausses. a) $15 x + 20 = 5 (3 x + 4)$ b) $7 y + 7 = 7 y$ c) $x^{2} - 6 x = x (x - 6 x)$ d) $16 a - 8 = 8 (2 a - 8)$
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Pour vérifier, je DÉVELOPPE le produit, puis je compare à l'expression de départ. a) $5 \times 3 x + 5 \times 4 = 15 x +$ $20$ : c'est l'expression de départ. Juste. b) $7 y$ n'est pas l'expression de départ : pour $y =$ $1$ , $7 y + 7$ vaut $14$ alors que $7 y$ vaut $7$ . Faux. Le second terme est $7 = 7 \times$ $1$ : $7 y + 7 = 7 (y +$ $1)$ . c) Je développe : $x \times x - x \times 6 x$ donne $x^{2} -$ $6 x^{2}$ , pas $x^{2} -$ $6 x$ . Faux. $6 x \div x =$ $6$ : $x^{2} - 6 x = x (x -$ $6)$ . d) Je développe : $8 \times 2 a - 8 \times 8$ donne $16 a -$ $64$ . Faux. $8 \div 8 =$ $1$ : $16 a - 8 = 8 (2 a -$ $1)$ . ⛔ Le piège du b) et du d) : faire disparaître le terme qui EST le facteur commun. Il ne disparaît pas : il devient $1$ dans la parenthèse. Réponse : a) juste ; b) $7 (y +$ $1)$ ; c) $x (x -$ $6)$ ; d) $8 (2 a -$ $1)$ .
7
Calcule de tête, en mettant en facteur le nombre qui se répète. a) $17 \times 23 + 17 \times 77$ b) $2, 8 \times 64 + 2, 8 \times 36$ c) $46 \times 13 - 46 \times 3$ d) $25 \times 39 + 25$
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$k \times a + k \times b = k \times (a +$ $b)$ : je mets en facteur le nombre qui se répète, et la parenthèse donne un nombre rond. a) $17 \times 23 + 17 \times 77 = 17 \times (23 + 77) = 17 \times 100 =$ $1700$ . Le dessin le montre : deux rectangles de hauteur $17$ collés font un rectangle de longueur $100$ . b) $2, 8 \times 64 + 2, 8 \times 36 = 2, 8 \times (64 + 36) = 2, 8 \times 100 =$ $280$ . c) $46 \times 13 - 46 \times 3 = 46 \times (13 - 3) = 46 \times 10 =$ $460$ . d) $25 = 25 \times$ $1$ , donc $25 \times 39 + 25 = 25 \times (39 + 1) = 25 \times 40 =$ $1000$ . ⛔ Le piège du d) : croire que le $25$ tout seul n'a pas de partenaire, et compter $39$ fois $25$ . Le $25$ seul compte pour $25 \times$ $1$ : c'est $40$ fois $25$ . Réponse : a) $1700$ ; b) $280$ ; c) $460$ ; d) $1000$ .
8
Vrai ou faux ? Justifie. a) $5 x + 3$ peut se factoriser par un nombre entier autre que $1$ . b) Dans $10 x +$ $15$ , le plus grand facteur commun est $5$ . c) $x^{2} + 4 x$ et $x (x + 4)$ sont égaux pour toutes les valeurs de $x$ . d) La factorisation de $2 x + 10 y$ est $2 (x +$ $10 y)$ .
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a) Faux. Les nombres qui divisent $5$ sont $1$ et $5$ , et $5$ ne divise pas $3$ . Il n'y a pas de facteur commun autre que $1$ : $5 x + 3$ ne se factorise pas. b) Vrai. $10 = 5 \times 2$ et $15 = 5 \times$ $3$ , et dans $2 x + 3$ plus rien n'est commun : $10 x + 15 = 5 (2 x +$ $3)$ . Sur le dessin : $5$ paquets identiques de $2$ barres et $3$ carrés. c) Vrai. Je développe : $x (x + 4) = x^{2} +$ $4 x$ . Un développement juste prouve l'égalité pour TOUTES les valeurs. d) Faux. Le $2$ doit diviser les DEUX termes : $10 y \div 2 =$ $5 y$ , donc $2 x + 10 y = 2 (x +$ $5 y)$ . En développant $2 (x +$ $10 y)$ , on trouve $2 x +$ $20 y$ . ⛔ Le piège du d) : mettre $2$ en facteur sans diviser le second terme. Réponse : a) faux ; b) vrai ; c) vrai ; d) faux, c'est $2 (x +$ $5 y)$ .

écriture	développée	finie ?
2(9x + 12)	18x + 24	non
3(6x + 8)	18x + 24	non
6(3x + 4)	18x + 24	oui
1,5(12x + 16)	18x + 24	non

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Plusieurs étapes. Je trouve le plus grand facteur commun, je factorise, puis je développe pour vérifier.

Rappel de cours

Le facteur commun : le plus grand nombre qui divise tous les coefficients, fois les lettres présentes dans TOUS les termes.
Je divise chaque terme par le facteur commun : autant de termes dans la parenthèse qu'au départ, et un $1$ quand un terme est le facteur lui-même.
Je contrôle : plus rien n'est commun dans la parenthèse, et le développement redonne l'expression de départ.
Avec un facteur NÉGATIF, chaque terme change de signe dans la parenthèse : $- 2 a - 6 = - 2 (a +$ $3)$ .

9
Factorise le plus possible, puis vérifie en développant. a) $8 x + 12 y - 4$ b) $7 x^{2} - 14 x + 21$ c) $10 t^{2} + 25 t$
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Avec trois termes, le facteur commun doit diviser les TROIS. a) $4$ divise $8$ , $12$ et $4$ ; aucune lettre n'est dans les trois termes. $8 x \div 4 =$ $2 x$ , $12 y \div 4 = 3 y$ et $4 \div 4 =$ $1$ : $8 x + 12 y - 4 = 4 (2 x + 3 y -$ $1)$ . Vérification : $4 \times 2 x + 4 \times 3 y - 4 \times 1 = 8 x + 12 y -$ $4$ . b) $7$ divise $7$ , $14$ et $21$ ; le dernier terme n'a pas de $x$ , donc $x$ n'est pas commun. $7 x^{2} - 14 x + 21 = 7 (x^{2} - 2 x +$ $3)$ . Vérification : $7 \times x^{2} - 7 \times 2 x + 7 \times 3 = 7 x^{2} - 14 x +$ $21$ . c) $5$ divise $10$ et $25$ , et $t$ est dans les deux termes : le facteur commun est $5 t$ . $10 t^{2} + 25 t = 5 t (2 t +$ $5)$ . Vérification : $5 t \times 2 t + 5 t \times 5 = 10 t^{2} +$ $25 t$ . ⛔ Le piège du a) : écrire $4 (2 x +$ $3 y)$ , en perdant le dernier terme. Il y a trois termes au départ : il en faut trois dans la parenthèse. ⛔ Le piège du b) : mettre $7 x$ en facteur. $21$ n'a pas de $x$ : la lettre n'est pas commune aux trois termes. Réponse : a) $4 (2 x + 3 y -$ $1)$ ; b) $7 (x^{2} - 2 x +$ $3)$ ; c) $5 t (2 t +$ $5)$ .
10
Réduis d'abord, puis factorise le plus possible. a) $3 x + 9 + 5 x + 15$ b) $2 y^{2} + 7 y + 3 y^{2} - 2 y$ c) $11 a + 4 - 2 a + 14$
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Je factorise une expression rangée : je regroupe d'abord les termes semblables. a) $3 x + 5 x = 8 x$ et $9 + 15 =$ $24$ . Puis $8$ divise $8 x$ et $24$ : $3 x + 9 + 5 x + 15 = 8 x + 24 = 8 (x +$ $3)$ . b) $2 y^{2} + 3 y^{2} = 5 y^{2}$ et $7 y - 2 y =$ $5 y$ . Le facteur commun est $5 y$ : $2 y^{2} + 7 y + 3 y^{2} - 2 y = 5 y^{2} + 5 y = 5 y (y +$ $1)$ . c) $11 a - 2 a = 9 a$ et $4 + 14 =$ $18$ : $11 a + 4 - 2 a + 14 = 9 a + 18 = 9 (a +$ $2)$ . ⭐ Contrôle du a) avec $x =$ $1$ : au départ, $3 + 9 + 5 + 15 =$ $32$ ; à la fin, $8 \times (1 + 3) =$ $32$ . ⛔ Le piège : factoriser trop tôt, morceau par morceau, par exemple $3 (x + 3) + 5 x +$ $15$ . C'est juste, mais ce n'est pas un produit : la somme est toujours là. ⛔ Le piège du b) : oublier le $1$ dans la parenthèse, quand $5 y$ est le facteur commun lui-même. Réponse : a) $8 (x +$ $3)$ ; b) $5 y (y +$ $1)$ ; c) $9 (a +$ $2)$ .
11
Un club de basket équipe ses $12$ joueuses. Pour chacune, il achète un maillot à $x$ € et une paire de chaussettes à $6$ €. Le trésorier écrit la dépense : $12 x +$ $72$ . a) Que représentent $12 x$ et $72$ ? b) Factorise $12 x +$ $72$ . Que représente la parenthèse ? c) Un maillot coûte $25$ €. Calcule la dépense avec chacune des deux écritures.
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a) $12 x$ , c'est $12$ maillots à $x$ € : le prix des maillots. $72$ , c'est $12 \times$ $6$ : le prix des $12$ paires de chaussettes. b) Le plus grand nombre qui divise $12$ et $72$ est $12$ , car $72 = 12 \times$ $6$ . Donc $12 x + 72 = 12 (x +$ $6)$ . La parenthèse $x +$ $6$ , c'est le prix de l'équipement d'UNE joueuse : un maillot et une paire de chaussettes. c) Avec la somme : $12 \times 25 + 72 = 300 + 72 =$ $372$ . Avec le produit : $12 \times (25 + 6) = 12 \times 31 =$ $372$ . Les deux donnent $372$ €. ⛔ Le piège du b) : mettre seulement $6$ en facteur, et écrire $6 (2 x +$ $12)$ . C'est juste, mais $2 x + 12$ a encore $2$ en commun ; et la parenthèse ne dit plus rien de la situation. Réponse : a) le prix des maillots et celui des chaussettes ; b) $12 (x +$ $6)$ , le prix pour une joueuse ; c) $372$ €.
12
Complète chaque factorisation, puis vérifie en développant. a) $18 x + 30 = 6 (\dots + \dots)$ b) $14 y - 21 = \dots (2 y - 3)$ c) $x^{2} - 10 x = x (\dots)$ d) $20 a^{2} + 8 a = 4 a (\dots)$
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a) Je divise chaque terme par $6$ : $18 x \div 6 = 3 x$ et $30 \div 6 =$ $5$ . Donc $18 x + 30 = 6 (3 x +$ $5)$ . b) Je cherche le nombre qui, multiplié par $2 y$ , donne $14 y$ : c'est $7$ . Et $7 \times 3 =$ $21$ : ça marche aussi pour le second terme. $14 y - 21 = 7 (2 y -$ $3)$ . c) $x^{2} \div x = x$ et $10 x \div x =$ $10$ : $x^{2} - 10 x = x (x -$ $10)$ . d) $20 a^{2} \div 4 a = 5 a$ et $8 a \div 4 a =$ $2$ : $20 a^{2} + 8 a = 4 a (5 a +$ $2)$ . Vérification du d) : $4 a \times 5 a + 4 a \times 2 = 20 a^{2} +$ $8 a$ . ⛔ Le piège du b) : chercher le facteur avec un seul terme. Je contrôle toujours avec l'autre : $7 \times 3 =$ $21$ . Réponse : a) $3 x +$ $5$ ; b) $7$ ; c) $x -$ $10$ ; d) $5 a +$ $2$ .
13
Programme A : choisir un nombre ; le multiplier par $6$ ; ajouter $15$ . Programme B : choisir un nombre ; le multiplier par $2$ ; ajouter $5$ ; multiplier le résultat par $3$ . a) Applique les deux programmes à $4$ , puis à $10$ . b) On choisit un nombre $x$ . Écris le résultat du programme A. c) Factorise ce résultat, et explique pourquoi les deux programmes donnent toujours le même nombre.
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a) Avec $4$ : A donne $4 \times 6 + 15 =$ $39$ ; B donne $(4 \times 2 + 5) \times 3 = 13 \times 3 =$ $39$ . Avec $10$ : A donne $10 \times 6 + 15 =$ $75$ ; B donne $(10 \times 2 + 5) \times 3 = 25 \times 3 =$ $75$ . b) $x$ multiplié par $6$ , puis $15$ de plus : $6 x +$ $15$ . c) $3$ divise $6$ et $15$ : $6 x + 15 = 3 (2 x +$ $5)$ . Or le programme B calcule exactement $3 \times (2 x +$ $5)$ : d'abord $2 x +$ $5$ , puis fois $3$ . Les deux programmes donnent le même nombre, pour TOUT nombre $x$ . ⛔ Le piège : croire que les deux essais du a) prouvent la règle. Ils donnent une idée ; c'est la factorisation qui la prouve pour tous les nombres. Réponse : a) $39$ et $39$ , puis $75$ et $75$ ; b) $6 x +$ $15$ ; c) $6 x + 15 = 3 (2 x +$ $5)$ , c'est le programme B.
x programme A programme B
4 39 39
10 75 75
14
L'aire d'un rectangle est $3 x^{2} + 21 x$ (en cm²). a) Sa largeur est $3 x$ . Quelle est sa longueur ? b) Un autre rectangle a la même aire et une largeur de $3$ . Quelle est sa longueur ? c) Un troisième a la même aire et une largeur de $x$ . Quelle est sa longueur ? d) Laquelle des trois écritures est factorisée le plus possible ?
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L'aire d'un rectangle est largeur × longueur : je trouve la longueur en divisant chaque terme de l'aire par la largeur. a) $3 x^{2} \div 3 x = x$ et $21 x \div 3 x =$ $7$ : $3 x^{2} + 21 x = 3 x (x +$ $7)$ . La longueur est $x +$ $7$ . b) $3 x^{2} \div 3 = x^{2}$ et $21 x \div 3 =$ $7 x$ : $3 x^{2} + 21 x = 3 (x^{2} +$ $7 x)$ . La longueur est $x^{2} +$ $7 x$ . c) $3 x^{2} \div x = 3 x$ et $21 x \div x =$ $21$ : $3 x^{2} + 21 x = x (3 x +$ $21)$ . La longueur est $3 x +$ $21$ . d) Dans $x^{2} +$ $7 x$ , il reste $x$ en commun ; dans $3 x +$ $21$ , il reste $3$ . Dans $x +$ $7$ , plus rien : $3 x (x + 7)$ est factorisée le plus possible. ⭐ Contrôle pour $x =$ $3$ : l'aire vaut $3 \times 9 + 21 \times 3 =$ $90$ , et le rectangle du a) mesure $9$ sur $10$ : $9 \times 10 =$ $90$ . ⛔ Le piège : croire qu'une expression n'a qu'une seule factorisation. Elle en a plusieurs ; « factorise » demande la plus poussée. Réponse : a) $x +$ $7$ ; b) $x^{2} +$ $7 x$ ; c) $3 x +$ $21$ ; d) $3 x (x +$ $7)$ .
15
Les côtés d'un polygone régulier sont tous égaux. a) Un triangle équilatéral a pour périmètre $9 x + 6$ (en cm). Quelle est la longueur d'un côté ? b) Un carré a pour périmètre $12 x +$ $28$ . Quelle est la longueur d'un côté ? c) Un hexagone régulier (six côtés) a pour périmètre $24 x +$ $30$ . Quelle est la longueur d'un côté ? d) Calcule le côté du carré pour $x =$ $2$ .
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Le périmètre d'un polygone régulier, c'est le nombre de côtés FOIS un côté. Je mets donc en facteur le nombre de côtés : la parenthèse est le côté. a) $9 x \div 3 = 3 x$ et $6 \div 3 =$ $2$ : $9 x + 6 = 3 (3 x +$ $2)$ . Un côté mesure $3 x +$ $2$ . b) $12 x \div 4 = 3 x$ et $28 \div 4 =$ $7$ : $12 x + 28 = 4 (3 x +$ $7)$ . Un côté mesure $3 x +$ $7$ . c) $24 x \div 6 = 4 x$ et $30 \div 6 =$ $5$ : $24 x + 30 = 6 (4 x +$ $5)$ . Un côté mesure $4 x +$ $5$ . ⭐ Ici, le nombre de côtés est justement le plus grand facteur commun. d) Pour $x =$ $2$ : $3 \times 2 + 7 =$ $13$ . Le côté mesure $13$ cm. Contrôle : $12 \times 2 + 28 = 52$ et $4 \times 13 =$ $52$ . ⛔ Le piège : diviser seulement le premier terme, et répondre $3 x + 6$ pour le triangle. Le périmètre serait alors $3 \times (3 x +$ $6)$ , soit $9 x +$ $18$ . Réponse : a) $3 x +$ $2$ ; b) $3 x +$ $7$ ; c) $4 x +$ $5$ ; d) $13$ cm.
16
Cette fois, on met un nombre NÉGATIF en facteur. a) Factorise $- 5 x - 15$ en mettant $- 5$ en facteur. b) Factorise $- 4 x + 12$ en mettant $- 4$ en facteur. c) Factorise $- 6 x^{2} - 9 x$ en mettant $- 3 x$ en facteur. d) Factorise $- 2 y + 14$ en mettant un nombre négatif en facteur. Vérifie chaque réponse en redéveloppant.
Voir la correction
Je divise CHAQUE terme par le facteur négatif, avec la règle des signes : diviser par un nombre négatif change le signe de chaque terme. a) $- 5 x \div (- 5) = x$ et $- 15 \div (- 5) =$ $3$ : $- 5 x - 15 = - 5 (x +$ $3)$ . Les deux termes étaient négatifs ; dans la parenthèse, ils deviennent positifs. b) $- 4 x \div (- 4) = x$ et $12 \div (- 4) =$ $- 3$ : $- 4 x + 12 = - 4 (x -$ $3)$ . c) $- 6 x^{2} \div (- 3 x) = 2 x$ et $- 9 x \div (- 3 x) =$ $3$ : $- 6 x^{2} - 9 x = - 3 x (2 x +$ $3)$ . d) Je prends $- 2$ , qui divise $- 2$ et $14$ : $- 2 y \div (- 2) = y$ et $14 \div (- 2) =$ $- 7$ , donc $- 2 y + 14 = - 2 (y -$ $7)$ . Vérification du b) en redéveloppant : $(- 4) \times x + (- 4) \times (- 3) = - 4 x +$ $12$ . Et du a) : $(- 5) \times x + (- 5) \times 3 = - 5 x -$ $15$ . ⛔ Le piège du a) : écrire $- 5 (x -$ $3)$ , en gardant le signe moins du $- 15$ . Or $- 15 \div (- 5) =$ $3$ : moins divisé par moins donne plus. En redéveloppant $- 5 (x -$ $3)$ , on trouverait $- 5 x +$ $15$ , pas l'expression de départ. Réponse : a) $- 5 (x +$ $3)$ ; b) $- 4 (x -$ $3)$ ; c) $- 3 x (2 x +$ $3)$ ; d) $- 2 (y -$ $7)$ .

x	programme A	programme B
4	39	39
10	75	75

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Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Une situation, plusieurs questions. J'écris la somme, je la factorise, et je réponds par une phrase.

Rappel de cours

Je traduis la situation par une somme, puis je la réduis.
Je factorise pour faire apparaître ce qui se répète : la parenthèse a souvent un sens, une longueur ou un prix pour un.
Je vérifie en développant, ou en calculant avec un nombre.

17La fresque du collège
Des élèves peignent une fresque sur un mur de $3$ m de haut. Elle a trois panneaux côte à côte, de même hauteur : un de $x$ m de long, un de $2 x$ m, et un de $4$ m. a) Écris l'aire de chaque panneau, puis l'aire totale, réduite. b) Factorise l'aire totale. Que représente la parenthèse ? c) Pour $x =$ $2, 5$ , calcule la longueur de la fresque, puis son aire de deux façons. d) Un pot de peinture couvre $6$ m². Combien de pots faut-il pour $x =$ $2, 5$ ?
Voir la correction
a) L'aire d'un rectangle, c'est hauteur × longueur. Les panneaux : $3 \times x =$ $3 x$ ; $3 \times 2 x =$ $6 x$ ; $3 \times 4 = 12$ (en m²). L'aire totale : $3 x + 6 x + 12 = 9 x +$ $12$ . b) $3$ divise $9$ et $12$ : $9 x + 12 = 3 (3 x +$ $4)$ . La hauteur est $3$ m, donc la parenthèse $3 x + 4$ est la longueur totale de la fresque : $x + 2 x +$ $4$ . c) La longueur : $3 \times 2, 5 + 4 = 11, 5$ m. L'aire avec la somme : $9 \times 2, 5 + 12 =$ $34, 5$ . Avec le produit : $3 \times 11, 5 =$ $34, 5$ . L'aire est $34, 5$ m². d) $34, 5 \div 6 =$ $5, 75$ : $5$ pots ne suffisent pas, il en faut $6$ . ⛔ Le piège du b) : lire $3 x + 4$ comme une aire. C'est une longueur : l'aire, c'est $3$ fois cette longueur. Réponse : a) $3 x$ , $6 x$ et $12$ ; $9 x +$ $12$ ; b) $3 (3 x +$ $4)$ , la longueur ; c) $11, 5$ m et $34, 5$ m² ; d) $6$ pots.
18Trois nombres qui se suivent
Hugo choisit trois nombres entiers qui se suivent, et les additionne. a) Fais-le avec $8$ , $9$ et $10$ , puis avec $41$ , $42$ et $43$ . Divise chaque somme par $3$ : que remarques-tu ? b) On appelle $n$ le plus petit des trois nombres. Écris les deux autres, puis la somme, réduite. c) Factorise la somme. Explique pourquoi elle est toujours un multiple de $3$ , et égale à $3$ fois le nombre du milieu. d) Trois nombres qui se suivent ont pour somme $132$ . Lesquels ?
Voir la correction
a) $8 + 9 + 10 = 27$ et $27 \div 3 =$ $9$ . $41 + 42 + 43 = 126$ et $126 \div 3 =$ $42$ . Chaque fois, la somme divisée par $3$ donne le nombre du milieu. b) Les deux autres sont $n + 1$ et $n +$ $2$ . La somme : $n + n + 1 + n + 2 = 3 n +$ $3$ . c) $3 n + 3 = 3 (n +$ $1)$ . C'est $3$ fois un nombre entier : un multiple de $3$ . Et $n + 1$ est le nombre du milieu. Le dessin le montre : les trois barres et les trois carrés se rangent en $3$ paquets identiques d'une barre et d'un carré. d) $132 \div 3 =$ $44$ : le nombre du milieu est $44$ . Les nombres sont $43$ , $44$ et $45$ . Contrôle : $43 + 44 + 45 =$ $132$ . ⛔ Le piège : croire que deux exemples prouvent la règle. C'est la factorisation qui la prouve, pour tous les nombres $n$ . Réponse : a) $27$ et $126$ , le nombre du milieu ; b) $3 n +$ $3$ ; c) $3 (n +$ $1)$ ; d) $43$ , $44$ et $45$ .
19Le jardin agrandi
Un jardin carré a des côtés de $x$ m. On l'agrandit d'une bande de $3$ m de large, le long d'un de ses côtés, pour y planter des framboisiers. a) Écris l'aire du carré, celle de la bande, puis l'aire totale. b) Factorise l'aire totale. Quelles sont les dimensions du nouveau jardin ? c) Pour $x =$ $12$ , calcule l'aire totale avec les deux écritures. d) Écris le périmètre du nouveau jardin, puis factorise-le.
Voir la correction
a) Le carré : $x \times x =$ $x^{2}$ . La bande : un rectangle de $x$ m sur $3$ m, d'aire $3 x$ . L'aire totale : $x^{2} + 3 x$ (en m²). b) $x$ est dans les deux termes : $x^{2} + 3 x = x (x +$ $3)$ . Le nouveau jardin est un rectangle de $x$ m sur $x + 3$ m : c'est ce que montre le dessin. c) Avec la somme : $1 2^{2} + 3 \times 12 = 144 + 36 =$ $180$ . Avec le produit : $12 \times (12 + 3) = 12 \times 15 =$ $180$ . L'aire est $180$ m². d) Le périmètre : $x + (x + 3) + x + (x + 3) = 4 x +$ $6$ . Puis $4 x + 6 = 2 (2 x +$ $3)$ : c'est deux fois la somme de la largeur $x$ et de la longueur $x +$ $3$ . ⛔ Le piège du d) : écrire $4 (x +$ $6)$ . Le $4$ ne divise pas $6$ : le plus grand facteur commun de $4$ et de $6$ est $2$ . Réponse : a) $x^{2}$ , $3 x$ et $x^{2} +$ $3 x$ ; b) $x (x +$ $3)$ , un rectangle de $x$ m sur $x + 3$ m ; c) $180$ m² ; d) $4 x + 6 = 2 (2 x +$ $3)$ .
20Le relais solidaire
Pour une course solidaire, chaque équipe compte $4$ relayeurs. Chacun court la même distance : $x$ m sur la piste, puis $250$ m dans le parc. a) Écris la distance parcourue par l'équipe de deux façons : développée, puis factorisée. b) Vérifie en développant. c) L'équipe parcourt $5000$ m en tout. Quelle distance court chaque relayeur ? Combien de mètres sur la piste ? d) Mila écrit la distance $2 (2 x +$ $500)$ . A-t-elle raison ? Sa factorisation est-elle finie ?
Voir la correction
a) Chaque relayeur court $x + 250$ m, et ils sont $4$ : la distance est $4 (x +$ $250)$ . Développée : $4 x +$ $1000$ . b) $4 \times x + 4 \times 250 = 4 x +$ $1000$ : c'est bien la même distance. c) Les $5000$ m, c'est $4$ fois la distance d'un relayeur : $5000 \div 4 = 1250$ m par relayeur. Sur la piste : $1250 - 250 = 1000$ m. d) $2 (2 x + 500) = 4 x +$ $1000$ : son écriture est juste. Mais $2 x + 500$ a encore $2$ en commun : $2 (2 x + 500) = 4 (x +$ $250)$ . Sa factorisation n'est pas finie. ⭐ Le dessin montre les $4$ bandes identiques : la factorisation fait voir ce qui se répète. ⛔ Le piège du c) : enlever les $250$ m une seule fois, sur le total. Les $250$ m du parc reviennent pour CHAQUE relayeur. Réponse : a) $4 x + 1000$ et $4 (x +$ $250)$ ; c) $1250$ m par relayeur, dont $1000$ m sur la piste ; d) juste, mais pas finie : $4 (x +$ $250)$ .

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Corrigés : la factorisation, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. Un facteur commun est un nombre, ou une lettre, qui multiplie CHAQUE terme. J'écris chaque terme comme un produit. a) $7 a = 7 \times a$ et $7 b = 7 \times$ $b$ : le facteur commun est $7$ . b) $4 y = 4 \times y$ et $28 = 4 \times$ $7$ : le plus grand facteur commun est $4$ . Le dessin le montre : un rectangle de hauteur $4$ , coupé en deux morceaux d'aires $4 y$ et $28$ . c) $11 t = 11 \times t$ et $11 = 11 \times$ $1$ : le facteur commun est $11$ . d) $ab = a \times b$ et $6 a = 6 \times$ $a$ : la lettre $a$ est dans les deux termes, le facteur commun est $a$ . ⛔ Le piège du c) : croire que le $11$ tout seul n'a pas de partenaire. Un nombre est toujours égal à lui-même fois $1$ : $11 = 11 \times$ $1$ . Réponse : a) $7$ ; b) $4$ ; c) $11$ ; d) $a$ .
2. Je trouve le facteur commun, puis je divise CHAQUE terme par lui : ce qui reste va dans la parenthèse. a) $5 x \div 5 = x$ et $35 \div 5 =$ $7$ : $5 x + 35 = 5 (x +$ $7)$ . b) $8 y \div 8 = y$ et $24 \div 8 =$ $3$ ; le signe moins reste dans la parenthèse : $8 y - 24 = 8 (y -$ $3)$ . c) $21 \div 7 = 3$ et $7 t \div 7 =$ $t$ : $21 + 7 t = 7 (3 +$ $t)$ . d) $9 n \div 9 = n$ et $45 \div 9 =$ $5$ : $9 n - 45 = 9 (n -$ $5)$ . ⭐ Contrôle du b) : $8 \times y - 8 \times 3 = 8 y -$ $24$ . ⛔ Le piège : écrire $8 (y -$ $24)$ , en oubliant de diviser le second terme. En développant, on trouverait $8 y -$ $192$ . Réponse : a) $5 (x +$ $7)$ ; b) $8 (y -$ $3)$ ; c) $7 (3 +$ $t)$ ; d) $9 (n -$ $5)$ .
3. a) Je développe : $2 (9 x + 12) = 18 x +$ $24$ ; $3 (6 x + 8) = 18 x +$ $24$ ; $6 (3 x + 4) = 18 x +$ $24$ ; $1, 5 (12 x + 16) = 18 x +$ $24$ . Les quatre écritures sont égales à $18 x +$ $24$ . b) « Factorise » veut dire : factorise LE PLUS POSSIBLE, avec le plus grand facteur commun entier. Dans $9 x +$ $12$ , il reste le facteur $3$ ; dans $6 x +$ $8$ , il reste $2$ . Dans $3 x +$ $4$ , plus rien n'est commun : seul Yanis a terminé. Léa a pris un nombre décimal : on met en facteur un nombre entier, le plus grand qui divise $18$ et $24$ , c'est-à-dire $6$ . c) Le plus grand nombre qui divise $20$ et $30$ est $10$ : $20 t - 30 = 10 (2 t -$ $3)$ . Le plus grand nombre qui divise $24$ et $16$ est $8$ : $24 n + 16 = 8 (3 n +$ $2)$ . ⛔ Le piège : s'arrêter au premier facteur trouvé, comme Inès avec $2$ . Son écriture est juste, mais pas finie : je vérifie toujours que plus rien n'est commun dans la parenthèse. Réponse : a) oui, toutes ; b) seul Yanis, avec $6 (3 x +$ $4)$ ; c) $10 (2 t - 3)$ et $8 (3 n +$ $2)$ .
écriture développée finie ?
2(9x + 12) 18x + 24 non
3(6x + 8) 18x + 24 non
6(3x + 4) 18x + 24 oui
1,5(12x + 16) 18x + 24 non
4. $x^{2}$ , c'est $x \times$ $x$ : au a), la lettre $x$ est dans les deux termes. Je divise chaque terme par la lettre commune. a) $x^{2} \div x = x$ et $9 x \div x =$ $9$ : $x^{2} + 9 x = x (x +$ $9)$ . Sur le dessin, le rectangle a pour hauteur $x$ et pour longueur $x +$ $9$ . b) $y^{2} \div y = y$ et $4 y \div y =$ $4$ : $y^{2} - 4 y = y (y -$ $4)$ . c) $7 t \div t = 7$ et $t^{2} \div t =$ $t$ : $7 t + t^{2} = t (7 +$ $t)$ . d) $ab \div b = a$ et $3 b \div b =$ $3$ : $ab - 3 b = b (a -$ $3)$ . ⭐ Contrôle du a) : $x \times x + x \times 9 = x^{2} +$ $9 x$ . ⛔ Le piège : écrire $x (x +$ $9 x)$ , en gardant la lettre dans le second terme. En développant, on trouverait $x^{2} +$ $9 x^{2}$ : ce n'est pas l'expression de départ. Réponse : a) $x (x +$ $9)$ ; b) $y (y -$ $4)$ ; c) $t (7 +$ $t)$ ; d) $b (a -$ $3)$ .
5. Je cherche d'abord le plus grand nombre qui divise les coefficients, puis la lettre présente dans tous les termes. Le facteur commun est leur produit. a) $2$ divise $4$ et $10$ ; $x$ est dans les deux termes : le facteur commun est $2 x$ . $4 x^{2} \div 2 x = 2 x$ et $10 x \div 2 x =$ $5$ : $4 x^{2} + 10 x = 2 x (2 x +$ $5)$ . b) $3$ et $y$ : le facteur commun est $3 y$ . $9 y^{2} \div 3 y = 3 y$ et $12 y \div 3 y =$ $4$ : $9 y^{2} - 12 y = 3 y (3 y -$ $4)$ . c) $5$ et $t$ : $15 t \div 5 t = 3$ et $5 t^{2} \div 5 t =$ $t$ : $15 t + 5 t^{2} = 5 t (3 +$ $t)$ . d) $8$ et $a$ : $8 a^{2} \div 8 a = a$ et $8 a \div 8 a =$ $1$ : $8 a^{2} - 8 a = 8 a (a -$ $1)$ . ⛔ Le piège du b) : s'arrêter à $3 (3 y^{2} -$ $4 y)$ . C'est juste, mais $y$ est encore dans les deux termes de la parenthèse : ce n'est pas fini. Réponse : a) $2 x (2 x +$ $5)$ ; b) $3 y (3 y -$ $4)$ ; c) $5 t (3 +$ $t)$ ; d) $8 a (a -$ $1)$ .
6. Pour vérifier, je DÉVELOPPE le produit, puis je compare à l'expression de départ. a) $5 \times 3 x + 5 \times 4 = 15 x +$ $20$ : c'est l'expression de départ. Juste. b) $7 y$ n'est pas l'expression de départ : pour $y =$ $1$ , $7 y + 7$ vaut $14$ alors que $7 y$ vaut $7$ . Faux. Le second terme est $7 = 7 \times$ $1$ : $7 y + 7 = 7 (y +$ $1)$ . c) Je développe : $x \times x - x \times 6 x$ donne $x^{2} -$ $6 x^{2}$ , pas $x^{2} -$ $6 x$ . Faux. $6 x \div x =$ $6$ : $x^{2} - 6 x = x (x -$ $6)$ . d) Je développe : $8 \times 2 a - 8 \times 8$ donne $16 a -$ $64$ . Faux. $8 \div 8 =$ $1$ : $16 a - 8 = 8 (2 a -$ $1)$ . ⛔ Le piège du b) et du d) : faire disparaître le terme qui EST le facteur commun. Il ne disparaît pas : il devient $1$ dans la parenthèse. Réponse : a) juste ; b) $7 (y +$ $1)$ ; c) $x (x -$ $6)$ ; d) $8 (2 a -$ $1)$ .
7. $k \times a + k \times b = k \times (a +$ $b)$ : je mets en facteur le nombre qui se répète, et la parenthèse donne un nombre rond. a) $17 \times 23 + 17 \times 77 = 17 \times (23 + 77) = 17 \times 100 =$ $1700$ . Le dessin le montre : deux rectangles de hauteur $17$ collés font un rectangle de longueur $100$ . b) $2, 8 \times 64 + 2, 8 \times 36 = 2, 8 \times (64 + 36) = 2, 8 \times 100 =$ $280$ . c) $46 \times 13 - 46 \times 3 = 46 \times (13 - 3) = 46 \times 10 =$ $460$ . d) $25 = 25 \times$ $1$ , donc $25 \times 39 + 25 = 25 \times (39 + 1) = 25 \times 40 =$ $1000$ . ⛔ Le piège du d) : croire que le $25$ tout seul n'a pas de partenaire, et compter $39$ fois $25$ . Le $25$ seul compte pour $25 \times$ $1$ : c'est $40$ fois $25$ . Réponse : a) $1700$ ; b) $280$ ; c) $460$ ; d) $1000$ .
8. a) Faux. Les nombres qui divisent $5$ sont $1$ et $5$ , et $5$ ne divise pas $3$ . Il n'y a pas de facteur commun autre que $1$ : $5 x + 3$ ne se factorise pas. b) Vrai. $10 = 5 \times 2$ et $15 = 5 \times$ $3$ , et dans $2 x + 3$ plus rien n'est commun : $10 x + 15 = 5 (2 x +$ $3)$ . Sur le dessin : $5$ paquets identiques de $2$ barres et $3$ carrés. c) Vrai. Je développe : $x (x + 4) = x^{2} +$ $4 x$ . Un développement juste prouve l'égalité pour TOUTES les valeurs. d) Faux. Le $2$ doit diviser les DEUX termes : $10 y \div 2 =$ $5 y$ , donc $2 x + 10 y = 2 (x +$ $5 y)$ . En développant $2 (x +$ $10 y)$ , on trouve $2 x +$ $20 y$ . ⛔ Le piège du d) : mettre $2$ en facteur sans diviser le second terme. Réponse : a) faux ; b) vrai ; c) vrai ; d) faux, c'est $2 (x +$ $5 y)$ .
9. Avec trois termes, le facteur commun doit diviser les TROIS. a) $4$ divise $8$ , $12$ et $4$ ; aucune lettre n'est dans les trois termes. $8 x \div 4 =$ $2 x$ , $12 y \div 4 = 3 y$ et $4 \div 4 =$ $1$ : $8 x + 12 y - 4 = 4 (2 x + 3 y -$ $1)$ . Vérification : $4 \times 2 x + 4 \times 3 y - 4 \times 1 = 8 x + 12 y -$ $4$ . b) $7$ divise $7$ , $14$ et $21$ ; le dernier terme n'a pas de $x$ , donc $x$ n'est pas commun. $7 x^{2} - 14 x + 21 = 7 (x^{2} - 2 x +$ $3)$ . Vérification : $7 \times x^{2} - 7 \times 2 x + 7 \times 3 = 7 x^{2} - 14 x +$ $21$ . c) $5$ divise $10$ et $25$ , et $t$ est dans les deux termes : le facteur commun est $5 t$ . $10 t^{2} + 25 t = 5 t (2 t +$ $5)$ . Vérification : $5 t \times 2 t + 5 t \times 5 = 10 t^{2} +$ $25 t$ . ⛔ Le piège du a) : écrire $4 (2 x +$ $3 y)$ , en perdant le dernier terme. Il y a trois termes au départ : il en faut trois dans la parenthèse. ⛔ Le piège du b) : mettre $7 x$ en facteur. $21$ n'a pas de $x$ : la lettre n'est pas commune aux trois termes. Réponse : a) $4 (2 x + 3 y -$ $1)$ ; b) $7 (x^{2} - 2 x +$ $3)$ ; c) $5 t (2 t +$ $5)$ .
10. Je factorise une expression rangée : je regroupe d'abord les termes semblables. a) $3 x + 5 x = 8 x$ et $9 + 15 =$ $24$ . Puis $8$ divise $8 x$ et $24$ : $3 x + 9 + 5 x + 15 = 8 x + 24 = 8 (x +$ $3)$ . b) $2 y^{2} + 3 y^{2} = 5 y^{2}$ et $7 y - 2 y =$ $5 y$ . Le facteur commun est $5 y$ : $2 y^{2} + 7 y + 3 y^{2} - 2 y = 5 y^{2} + 5 y = 5 y (y +$ $1)$ . c) $11 a - 2 a = 9 a$ et $4 + 14 =$ $18$ : $11 a + 4 - 2 a + 14 = 9 a + 18 = 9 (a +$ $2)$ . ⭐ Contrôle du a) avec $x =$ $1$ : au départ, $3 + 9 + 5 + 15 =$ $32$ ; à la fin, $8 \times (1 + 3) =$ $32$ . ⛔ Le piège : factoriser trop tôt, morceau par morceau, par exemple $3 (x + 3) + 5 x +$ $15$ . C'est juste, mais ce n'est pas un produit : la somme est toujours là. ⛔ Le piège du b) : oublier le $1$ dans la parenthèse, quand $5 y$ est le facteur commun lui-même. Réponse : a) $8 (x +$ $3)$ ; b) $5 y (y +$ $1)$ ; c) $9 (a +$ $2)$ .
11. a) $12 x$ , c'est $12$ maillots à $x$ € : le prix des maillots. $72$ , c'est $12 \times$ $6$ : le prix des $12$ paires de chaussettes. b) Le plus grand nombre qui divise $12$ et $72$ est $12$ , car $72 = 12 \times$ $6$ . Donc $12 x + 72 = 12 (x +$ $6)$ . La parenthèse $x +$ $6$ , c'est le prix de l'équipement d'UNE joueuse : un maillot et une paire de chaussettes. c) Avec la somme : $12 \times 25 + 72 = 300 + 72 =$ $372$ . Avec le produit : $12 \times (25 + 6) = 12 \times 31 =$ $372$ . Les deux donnent $372$ €. ⛔ Le piège du b) : mettre seulement $6$ en facteur, et écrire $6 (2 x +$ $12)$ . C'est juste, mais $2 x + 12$ a encore $2$ en commun ; et la parenthèse ne dit plus rien de la situation. Réponse : a) le prix des maillots et celui des chaussettes ; b) $12 (x +$ $6)$ , le prix pour une joueuse ; c) $372$ €.
12. a) Je divise chaque terme par $6$ : $18 x \div 6 = 3 x$ et $30 \div 6 =$ $5$ . Donc $18 x + 30 = 6 (3 x +$ $5)$ . b) Je cherche le nombre qui, multiplié par $2 y$ , donne $14 y$ : c'est $7$ . Et $7 \times 3 =$ $21$ : ça marche aussi pour le second terme. $14 y - 21 = 7 (2 y -$ $3)$ . c) $x^{2} \div x = x$ et $10 x \div x =$ $10$ : $x^{2} - 10 x = x (x -$ $10)$ . d) $20 a^{2} \div 4 a = 5 a$ et $8 a \div 4 a =$ $2$ : $20 a^{2} + 8 a = 4 a (5 a +$ $2)$ . Vérification du d) : $4 a \times 5 a + 4 a \times 2 = 20 a^{2} +$ $8 a$ . ⛔ Le piège du b) : chercher le facteur avec un seul terme. Je contrôle toujours avec l'autre : $7 \times 3 =$ $21$ . Réponse : a) $3 x +$ $5$ ; b) $7$ ; c) $x -$ $10$ ; d) $5 a +$ $2$ .
13. a) Avec $4$ : A donne $4 \times 6 + 15 =$ $39$ ; B donne $(4 \times 2 + 5) \times 3 = 13 \times 3 =$ $39$ . Avec $10$ : A donne $10 \times 6 + 15 =$ $75$ ; B donne $(10 \times 2 + 5) \times 3 = 25 \times 3 =$ $75$ . b) $x$ multiplié par $6$ , puis $15$ de plus : $6 x +$ $15$ . c) $3$ divise $6$ et $15$ : $6 x + 15 = 3 (2 x +$ $5)$ . Or le programme B calcule exactement $3 \times (2 x +$ $5)$ : d'abord $2 x +$ $5$ , puis fois $3$ . Les deux programmes donnent le même nombre, pour TOUT nombre $x$ . ⛔ Le piège : croire que les deux essais du a) prouvent la règle. Ils donnent une idée ; c'est la factorisation qui la prouve pour tous les nombres. Réponse : a) $39$ et $39$ , puis $75$ et $75$ ; b) $6 x +$ $15$ ; c) $6 x + 15 = 3 (2 x +$ $5)$ , c'est le programme B.
x programme A programme B
4 39 39
10 75 75
14. L'aire d'un rectangle est largeur × longueur : je trouve la longueur en divisant chaque terme de l'aire par la largeur. a) $3 x^{2} \div 3 x = x$ et $21 x \div 3 x =$ $7$ : $3 x^{2} + 21 x = 3 x (x +$ $7)$ . La longueur est $x +$ $7$ . b) $3 x^{2} \div 3 = x^{2}$ et $21 x \div 3 =$ $7 x$ : $3 x^{2} + 21 x = 3 (x^{2} +$ $7 x)$ . La longueur est $x^{2} +$ $7 x$ . c) $3 x^{2} \div x = 3 x$ et $21 x \div x =$ $21$ : $3 x^{2} + 21 x = x (3 x +$ $21)$ . La longueur est $3 x +$ $21$ . d) Dans $x^{2} +$ $7 x$ , il reste $x$ en commun ; dans $3 x +$ $21$ , il reste $3$ . Dans $x +$ $7$ , plus rien : $3 x (x + 7)$ est factorisée le plus possible. ⭐ Contrôle pour $x =$ $3$ : l'aire vaut $3 \times 9 + 21 \times 3 =$ $90$ , et le rectangle du a) mesure $9$ sur $10$ : $9 \times 10 =$ $90$ . ⛔ Le piège : croire qu'une expression n'a qu'une seule factorisation. Elle en a plusieurs ; « factorise » demande la plus poussée. Réponse : a) $x +$ $7$ ; b) $x^{2} +$ $7 x$ ; c) $3 x +$ $21$ ; d) $3 x (x +$ $7)$ .
15. Le périmètre d'un polygone régulier, c'est le nombre de côtés FOIS un côté. Je mets donc en facteur le nombre de côtés : la parenthèse est le côté. a) $9 x \div 3 = 3 x$ et $6 \div 3 =$ $2$ : $9 x + 6 = 3 (3 x +$ $2)$ . Un côté mesure $3 x +$ $2$ . b) $12 x \div 4 = 3 x$ et $28 \div 4 =$ $7$ : $12 x + 28 = 4 (3 x +$ $7)$ . Un côté mesure $3 x +$ $7$ . c) $24 x \div 6 = 4 x$ et $30 \div 6 =$ $5$ : $24 x + 30 = 6 (4 x +$ $5)$ . Un côté mesure $4 x +$ $5$ . ⭐ Ici, le nombre de côtés est justement le plus grand facteur commun. d) Pour $x =$ $2$ : $3 \times 2 + 7 =$ $13$ . Le côté mesure $13$ cm. Contrôle : $12 \times 2 + 28 = 52$ et $4 \times 13 =$ $52$ . ⛔ Le piège : diviser seulement le premier terme, et répondre $3 x + 6$ pour le triangle. Le périmètre serait alors $3 \times (3 x +$ $6)$ , soit $9 x +$ $18$ . Réponse : a) $3 x +$ $2$ ; b) $3 x +$ $7$ ; c) $4 x +$ $5$ ; d) $13$ cm.
16. Je divise CHAQUE terme par le facteur négatif, avec la règle des signes : diviser par un nombre négatif change le signe de chaque terme. a) $- 5 x \div (- 5) = x$ et $- 15 \div (- 5) =$ $3$ : $- 5 x - 15 = - 5 (x +$ $3)$ . Les deux termes étaient négatifs ; dans la parenthèse, ils deviennent positifs. b) $- 4 x \div (- 4) = x$ et $12 \div (- 4) =$ $- 3$ : $- 4 x + 12 = - 4 (x -$ $3)$ . c) $- 6 x^{2} \div (- 3 x) = 2 x$ et $- 9 x \div (- 3 x) =$ $3$ : $- 6 x^{2} - 9 x = - 3 x (2 x +$ $3)$ . d) Je prends $- 2$ , qui divise $- 2$ et $14$ : $- 2 y \div (- 2) = y$ et $14 \div (- 2) =$ $- 7$ , donc $- 2 y + 14 = - 2 (y -$ $7)$ . Vérification du b) en redéveloppant : $(- 4) \times x + (- 4) \times (- 3) = - 4 x +$ $12$ . Et du a) : $(- 5) \times x + (- 5) \times 3 = - 5 x -$ $15$ . ⛔ Le piège du a) : écrire $- 5 (x -$ $3)$ , en gardant le signe moins du $- 15$ . Or $- 15 \div (- 5) =$ $3$ : moins divisé par moins donne plus. En redéveloppant $- 5 (x -$ $3)$ , on trouverait $- 5 x +$ $15$ , pas l'expression de départ. Réponse : a) $- 5 (x +$ $3)$ ; b) $- 4 (x -$ $3)$ ; c) $- 3 x (2 x +$ $3)$ ; d) $- 2 (y -$ $7)$ .
17. La fresque du collège a) L'aire d'un rectangle, c'est hauteur × longueur. Les panneaux : $3 \times x =$ $3 x$ ; $3 \times 2 x =$ $6 x$ ; $3 \times 4 = 12$ (en m²). L'aire totale : $3 x + 6 x + 12 = 9 x +$ $12$ . b) $3$ divise $9$ et $12$ : $9 x + 12 = 3 (3 x +$ $4)$ . La hauteur est $3$ m, donc la parenthèse $3 x + 4$ est la longueur totale de la fresque : $x + 2 x +$ $4$ . c) La longueur : $3 \times 2, 5 + 4 = 11, 5$ m. L'aire avec la somme : $9 \times 2, 5 + 12 =$ $34, 5$ . Avec le produit : $3 \times 11, 5 =$ $34, 5$ . L'aire est $34, 5$ m². d) $34, 5 \div 6 =$ $5, 75$ : $5$ pots ne suffisent pas, il en faut $6$ . ⛔ Le piège du b) : lire $3 x + 4$ comme une aire. C'est une longueur : l'aire, c'est $3$ fois cette longueur. Réponse : a) $3 x$ , $6 x$ et $12$ ; $9 x +$ $12$ ; b) $3 (3 x +$ $4)$ , la longueur ; c) $11, 5$ m et $34, 5$ m² ; d) $6$ pots.
18. Trois nombres qui se suivent a) $8 + 9 + 10 = 27$ et $27 \div 3 =$ $9$ . $41 + 42 + 43 = 126$ et $126 \div 3 =$ $42$ . Chaque fois, la somme divisée par $3$ donne le nombre du milieu. b) Les deux autres sont $n + 1$ et $n +$ $2$ . La somme : $n + n + 1 + n + 2 = 3 n +$ $3$ . c) $3 n + 3 = 3 (n +$ $1)$ . C'est $3$ fois un nombre entier : un multiple de $3$ . Et $n + 1$ est le nombre du milieu. Le dessin le montre : les trois barres et les trois carrés se rangent en $3$ paquets identiques d'une barre et d'un carré. d) $132 \div 3 =$ $44$ : le nombre du milieu est $44$ . Les nombres sont $43$ , $44$ et $45$ . Contrôle : $43 + 44 + 45 =$ $132$ . ⛔ Le piège : croire que deux exemples prouvent la règle. C'est la factorisation qui la prouve, pour tous les nombres $n$ . Réponse : a) $27$ et $126$ , le nombre du milieu ; b) $3 n +$ $3$ ; c) $3 (n +$ $1)$ ; d) $43$ , $44$ et $45$ .
19. Le jardin agrandi a) Le carré : $x \times x =$ $x^{2}$ . La bande : un rectangle de $x$ m sur $3$ m, d'aire $3 x$ . L'aire totale : $x^{2} + 3 x$ (en m²). b) $x$ est dans les deux termes : $x^{2} + 3 x = x (x +$ $3)$ . Le nouveau jardin est un rectangle de $x$ m sur $x + 3$ m : c'est ce que montre le dessin. c) Avec la somme : $1 2^{2} + 3 \times 12 = 144 + 36 =$ $180$ . Avec le produit : $12 \times (12 + 3) = 12 \times 15 =$ $180$ . L'aire est $180$ m². d) Le périmètre : $x + (x + 3) + x + (x + 3) = 4 x +$ $6$ . Puis $4 x + 6 = 2 (2 x +$ $3)$ : c'est deux fois la somme de la largeur $x$ et de la longueur $x +$ $3$ . ⛔ Le piège du d) : écrire $4 (x +$ $6)$ . Le $4$ ne divise pas $6$ : le plus grand facteur commun de $4$ et de $6$ est $2$ . Réponse : a) $x^{2}$ , $3 x$ et $x^{2} +$ $3 x$ ; b) $x (x +$ $3)$ , un rectangle de $x$ m sur $x + 3$ m ; c) $180$ m² ; d) $4 x + 6 = 2 (2 x +$ $3)$ .
20. Le relais solidaire a) Chaque relayeur court $x + 250$ m, et ils sont $4$ : la distance est $4 (x +$ $250)$ . Développée : $4 x +$ $1000$ . b) $4 \times x + 4 \times 250 = 4 x +$ $1000$ : c'est bien la même distance. c) Les $5000$ m, c'est $4$ fois la distance d'un relayeur : $5000 \div 4 = 1250$ m par relayeur. Sur la piste : $1250 - 250 = 1000$ m. d) $2 (2 x + 500) = 4 x +$ $1000$ : son écriture est juste. Mais $2 x + 500$ a encore $2$ en commun : $2 (2 x + 500) = 4 (x +$ $250)$ . Sa factorisation n'est pas finie. ⭐ Le dessin montre les $4$ bandes identiques : la factorisation fait voir ce qui se répète. ⛔ Le piège du c) : enlever les $250$ m une seule fois, sur le total. Les $250$ m du parc reviennent pour CHAQUE relayeur. Réponse : a) $4 x + 1000$ et $4 (x +$ $250)$ ; c) $1250$ m par relayeur, dont $1000$ m sur la piste ; d) juste, mais pas finie : $4 (x +$ $250)$ .

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : la factorisation, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3