Nombres premiers et décomposition : 20 exercices corrigésmaths 4e — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : nombres premiers et décomposition, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. Je compte les diviseurs : un nombre premier en a EXACTEMENT deux, $1$ et lui-même. a) Le seul produit égal à $17$ est $1\times$$17$. Les diviseurs de $17$ sont $1$ et $17$ : deux diviseurs, $17$ est premier. b) $25=1\times 25=5\times$$5$. Les diviseurs de $25$ sont $1$, $5$ et $25$ : trois diviseurs, $25$ n'est pas premier. c) Le seul diviseur de $1$ est $1$ : un seul diviseur, $1$ n'est pas premier. d) $33=1\times 33=3\times$$11$. Les diviseurs de $33$ sont $1$, $3$, $11$ et $33$ : quatre diviseurs, $33$ n'est pas premier. ⛔ Le piège : dire que $1$ est premier parce qu'il n'est divisible « que par $1$ et par lui-même ». Ici, « $1$ » et « lui-même » sont le même nombre : cela fait UN diviseur, pas deux. Réponse : seul $17$ est premier ; $25$, $1$ et $33$ ne le sont pas.

   nombre	ses diviseurs	combien	premier ?
   17	1, 17	2	oui
   25	1, 5, 25	3	non
   1	1	1	non
   33	1, 3, 11, 33	4	non

2. 2. Je garde $2$ et je barre tous ses multiples : $4$, $6$, $8$… Je garde $3$ et je barre ses multiples qui restent : $9$, $15$, $21$, $27$. Je garde $5$ et je barre $25$. Je peux m'arrêter là : $7\times 7=49$ dépasse $30$. a) Il reste $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$ et $29$. b) Il y en a $10$. Cette liste est à savoir par cœur. c) $2$ est le seul nombre premier pair : tous les autres nombres pairs sont des multiples de $2$. d) $1$ n'a qu'un seul diviseur, lui-même. Il en faut exactement deux. ⛔ Le piège : garder $25$, qui n'est ni pair ni multiple de $3$. Il se barre avec $5$ : $25=5\times$$5$. Réponse : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$ et $29$, soit $10$ nombres premiers.
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   10

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3. 3. Un rectangle de $r$ rangées de $j$ jetons contient $r\times j$ jetons : je dois écrire le nombre de jetons comme un produit. a) $10=2\times$$5$ : $2$ rangées de $5$ jetons (ou $5$ rangées de $2$, le même rectangle tourné). b) $11$ ne s'écrit que $1\times$$11$ : ni $2$, ni $3$, ni $4$, ni $5$ ne divisent $11$. Aucun rectangle n'est possible, les jetons restent sur une seule ligne. c) Si le nombre de jetons est premier, ses seuls diviseurs sont $1$ et lui-même : le seul rangement est une ligne. $11$ est premier, $10$ ne l'est pas. ⛔ Le piège : compter $1\times 11$ comme un rectangle. Une seule rangée, c'est une ligne, et l'énoncé demande au moins $2$ rangées. Réponse : a) $2$ rangées de $5$ ; b) aucun rectangle ; c) avec un nombre premier de jetons, aucun rectangle n'est possible.

4. 4. a) J'essaie les nombres premiers $2$, $3$, $5$, $7$… tant que leur carré ne dépasse pas $89$. $7\times 7=49$ ne dépasse pas $89$, mais $11\times 11=121$ le dépasse : j'essaie $2$, $3$, $5$ et $7$, et je m'arrête. Pourquoi : si $89$ s'écrivait $a\times$$b$, l'un des deux facteurs vaudrait au plus $9$, car $10\times 10=100$ dépasse $89$. Et un nombre de $2$ à $9$ est divisible par $2$, $3$, $5$ ou $7$. b) Par $2$ : $89$ est impair, non. Par $3$ : $8+9=$$17$, pas dans la table de $3$, non. Par $5$ : il ne finit ni par $0$ ni par $5$, non. Par $7$ : $89=7\times 12+$$5$, reste $5$, non. Aucun essai ne tombe juste : $89$ est premier. ⛔ Le piège : essayer tous les nombres jusqu'à $88$. Quatre essais suffisent, parce que $11\times 11$ dépasse $89$. Réponse : on essaie $2$, $3$, $5$ et $7$ ; $89$ est premier.

   essai	division	reste
   2	89 = 2 × 44 + 1	1
   3	89 = 3 × 29 + 2	2
   5	89 = 5 × 17 + 4	4
   7	89 = 7 × 12 + 5	5

5. 5. Tous ces nombres sont plus petits que $100$ : j'essaie $2$, $3$, $5$ et $7$. $51$ : $5+1=$$6$, il est divisible par $3$. $51=3\times$$17$, pas premier. $57$ : $5+7=$$12$, il est divisible par $3$. $57=3\times$$19$, pas premier. $59$ : impair ; $5+9=$$14$, pas par $3$ ; il ne finit ni par $0$ ni par $5$ ; $59=7\times 8+$$3$, pas par $7$. Il est premier. $65$ finit par $5$ : $65=5\times$$13$, pas premier. $85$ finit par $5$ : $85=5\times$$17$, pas premier. ⛔ Le piège : croire $51$ et $57$ premiers parce qu'ils sont impairs et « ont l'air seuls ». La somme des chiffres les démasque en une seconde. Réponse : seul $59$ est premier.

   nombre	plus petit diviseur premier	premier ?
   51	3	non
   57	3	non
   59	aucun	oui
   65	5	non
   85	5	non

6. 6. Je barre d'abord les nombres pairs : ils sont divisibles par $2$. Restent $31$, $33$, $35$, $37$, $39$, $41$, $43$, $45$, $47$ et $49$. Par $3$ (somme des chiffres) : $33$, $39$ et $45$, barrés. Par $5$ : $35$, barré ($45$ l'est déjà). Par $7$ : $49=7\times$$7$, barré. Je m'arrête : $11\times 11=121$ dépasse $50$. a) Il reste $31$, $37$, $41$, $43$ et $47$. b) $49$ passe les essais par $2$, $3$ et $5$, et pourtant $49=7\times$$7$. Comme $7\times 7$ ne dépasse pas $50$, l'essai par $7$ est obligatoire. ⛔ Le piège : garder $49$ parce qu'il est impair et que ni $3$ ni $5$ ne le divisent. Réponse : $31$, $37$, $41$, $43$ et $47$.
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   50
7. 7. Je divise par le plus petit nombre premier possible, puis je recommence avec le quotient, jusqu'à $1$. a) $76÷2=$$38$, $38÷2=$$19$, et $19$ est premier : $19÷19=$$1$. Donc $76=2\times 2\times 19=2^2\times$$19$. b) $98÷2=$$49$, $49÷7=$$7$, $7÷7=$$1$. Donc $98=2\times 7\times 7=2\times$$7^2$. c) $117$ est impair, et $1+1+7=$$9$ : il est divisible par $3$. $117÷3=$$39$, $39÷3=$$13$, $13÷13=$$1$. Donc $117=3\times 3\times 13=3^2\times$$13$. ⭐ Contrôle : je remultiplie. $9\times 13=$$117$. ⛔ Le piège : écrire $117=9\times 13$ et s'arrêter. $9=3\times 3$ n'est pas premier : la décomposition n'est finie que lorsque TOUS les facteurs le sont. Réponse : $76=2^2\times$$19$ ; $98=2\times$$7^2$ ; $117=3^2\times$$13$.

   76	2
   38	2
   19	19
   1

   98	2
   49	7
   7	7
   1

   117	3
   39	3
   13	13
   1

8. 8. Dans un arbre, j'écris sous chaque nombre deux facteurs dont il est le produit, et je continue tant qu'un facteur n'est pas premier. Les facteurs premiers sont les feuilles de l'arbre. a) Tom : $4=2\times 2$ et $25=5\times$$5$. Inès : chaque $10$ donne $2\times$$5$. b) Tom : $100=2\times 2\times 5\times$$5$. Inès : $100=2\times 5\times 2\times$$5$. En rangeant les facteurs, c'est la même écriture : $100=2^2\times$$5^2$. ⭐ Quel que soit le premier pas, on arrive à la même décomposition : elle est UNIQUE, à l'ordre des facteurs près. ⛔ Le piège : s'arrêter à $100=10\times$$10$. $10$ n'est pas premier ; l'arbre n'est fini que lorsque toutes ses feuilles sont des nombres premiers. Réponse : les deux arbres donnent $100=2^2\times$$5^2$.

9. 9. a) $2024$ est pair : $2024÷2=$$1012$, $1012÷2=$$506$, $506÷2=$$253$. $253$ est impair, $2+5+3=10$ (pas par $3$), il ne finit ni par $0$ ni par $5$, et $253=7\times 36+1$ (pas par $7$). J'essaie $11$ : $253=11\times$$23$, et $23$ est premier. Donc $2024=2\times 2\times 2\times 11\times 23=2^3\times 11\times$$23$. b) $2025$ est impair et $2+0+2+5=$$9$ : je commence par $3$. $2025÷3=$$675$, $675÷3=$$225$, $225÷3=$$75$, $75÷3=$$25$, $25÷5=$$5$, $5÷5=$$1$. Donc $2025=3\times 3\times 3\times 3\times 5\times 5=3^4\times$$5^2$. c) Je fais deux paquets identiques : $(3\times 3\times 5)\times (3\times 3\times 5)=45\times$$45$. Donc $2025=$$45^2$. ⭐ Contrôle : $45\times 45=$$2025$. ⛔ Le piège au a) : croire $253$ premier parce que ni $2$, ni $3$, ni $5$, ni $7$ ne le divisent. $253$ dépasse $100$ : il faut aussi essayer $11$, car $11\times 11=121$ ne dépasse pas $253$. Réponse : $2024=2^3\times 11\times$$23$ ; $2025=3^4\times 5^2=$$45^2$.

   2024	2
   1012	2
   506	2
   253	11
   23	23
   1

   2025	3
   675	3
   225	3
   75	3
   25	5
   5	5
   1

10. 10. Je décompose le haut et le bas, puis je barre les facteurs premiers communs, un par un. a) $105=3\times 5\times 7$ et $147=3\times 7\times$$7$. En commun : un $3$ et un $7$. Je les barre : $\frac{105}{147}=$$\frac{5}{7}$. b) $182=2\times 7\times 13$ et $286=2\times 11\times$$13$. En commun : $2$ et $13$. Je les barre : $\frac{182}{286}=$$\frac{7}{11}$. ⭐ Contrôle : $5$ et $7$ n'ont plus de facteur commun, ni $7$ et $11$ : les deux fractions sont irréductibles. ⛔ Le piège au b) : simplifier par $2$ et s'arrêter à $\frac{91}{143}$, qui a l'air irréductible. Or $91=7\times 13$ et $143=11\times$$13$ : il reste un $13$ à barrer. Réponse : $\frac{5}{7}$ et $\frac{7}{11}$.

    nombre	facteurs premiers
    105	3 × 5 × 7
    147	3 × 7 × 7
    il reste	5 / 7
    182	2 × 7 × 13
    286	2 × 11 × 13
    il reste	7 / 11

11. 11. a) Je barre les nombres pairs. Parmi les impairs, je barre par $3$ : $45$, $51$, $57$, $63$, $69$, $75$ ; par $5$ : $55$ et $65$ ; par $7$ : $49$. Je m'arrête : $11\times 11=121$ dépasse $75$. Il reste $41$, $43$, $47$, $53$, $59$, $61$, $67$, $71$ et $73$. b) Je cherche dans la liste deux nombres séparés de $2$ : $41$ et $43$, $59$ et $61$, $71$ et $73$. c) Deux nombres premiers plus grands que $2$ sont impairs. Entre deux nombres impairs qui se suivent, il y a toujours un nombre pair : $42$, $60$, $72$. ⛔ Le piège : prendre $47$ et $49$. $49=7\times 7$ n'est pas premier : il faut l'essai par $7$. Réponse : $41$ et $43$, $59$ et $61$, $71$ et $73$.
    40

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    70

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    75
12. 12. Pour montrer qu'une phrase est FAUSSE, un seul contre-exemple suffit. Pour montrer qu'elle est VRAIE, il faut une explication qui marche pour tous les nombres. a) FAUX. $35$ est impair, et $35=5\times$$7$ : il n'est pas premier. b) VRAI. Un nombre pair plus grand que $2$ est divisible par $1$, par $2$ et par lui-même : il a au moins trois diviseurs, il n'est pas premier. c) FAUX. $3$ et $5$ sont premiers, mais $3+5=8$ ne l'est pas. d) VRAI. Si $p$ et $q$ sont premiers, $p\times q$ est divisible par $1$, par $p$ et par lui-même : au moins trois diviseurs, puisque $p$ n'est ni $1$ ni $p\times$$q$. ⛔ Le piège au c) : essayer $2+3=5$ et conclure « vrai ». Un exemple qui marche ne prouve rien ; un contre-exemple, lui, suffit à dire faux. Réponse : a) faux ; b) vrai ; c) faux ; d) vrai.

    phrase	exemple testé	verdict
    a) impair, donc premier	35 = 5 × 7	faux
    b) seul premier pair	2	vrai
    c) somme de premiers	3 + 5 = 8	faux
    d) produit de premiers	3 × 5 = 15	vrai

13. 13. a) $40=2\times 2\times 2\times 5=2^3\times$$5$ ; $30=2\times 3\times$$5$ ; $81=3\times 3\times 3\times 3=$$3^4$. b) Un diviseur se fabrique en choisissant combien de fois je prends chaque facteur premier, de zéro fois jusqu'à son nombre d'apparitions. $40$ : le $2$ apparaît $3$ fois, donc $4$ choix (zéro, une, deux ou trois fois) ; le $5$ apparaît $1$ fois, donc $2$ choix. $4\times 2=8$ diviseurs. $30$ : trois facteurs qui apparaissent chacun $1$ fois, donc $2$ choix chacun. $2\times 2\times 2=8$ diviseurs. $81$ : le $3$ apparaît $4$ fois, donc $5$ choix. $5$ diviseurs. c) Les diviseurs de $40$ sont $1$, $2$, $4$, $5$, $8$, $10$, $20$ et $40$ : il y en a bien $8$. d) Non : $81$ est le plus grand, mais il n'a que $5$ diviseurs, contre $8$ pour $40$ et pour $30$. ⛔ Le piège : oublier le choix « zéro fois ». Pour $40$, on trouverait $3\times 1=3$ diviseurs, alors que $1$ (aucun facteur pris) en est un. Réponse : $40$ et $30$ ont $8$ diviseurs chacun, $81$ en a $5$.

    nombre	décomposition	choix	diviseurs
    40	2³ × 5	4 × 2	8
    30	2 × 3 × 5	2 × 2 × 2	8
    81	3⁴	5	5

14. 14. a) $N=2\times 9\times 11=18\times 11=$$198$. b) Un nombre divise $N$ quand tous ses facteurs premiers se trouvent dans $2\times 3\times 3\times$$11$, avec au moins autant d'exemplaires. $22=2\times$$11$ : les deux y sont. Oui, $198=22\times$$9$. $4=2\times 2$ demande deux $2$ ; $N$ n'en a qu'un. Non. $33=3\times$$11$ : les deux y sont. Oui, $198=33\times$$6$. $27=3\times 3\times 3$ demande trois $3$ ; $N$ n'en a que deux. Non. c) $6=2\times$$3$ : j'ajoute ses facteurs à ceux de $N$. $6\times N=2\times 3\times 2\times 3^2\times 11=2^2\times 3^3\times$$11$, soit $1188$. ⛔ Le piège au b) : dire oui pour $4$ parce que $2$ divise $N$. Il faut AUTANT de $2$ que $4$ en demande. Réponse : $N=$$198$ ; divisible par $22$ et par $33$, pas par $4$ ni par $27$ ; $6\times N=2^2\times 3^3\times$$11$.

    198	2
    99	3
    33	3
    11	11
    1

    1188	2
    594	2
    297	3
    99	3
    33	3
    11	11
    1

15. 15. a) Les essais s'arrêtent quand le carré du nombre premier essayé dépasse le nombre testé. Pour un nombre plus petit que $100$, $11\times 11=121$ dépasse toujours : $2$, $3$, $5$ et $7$ suffisent. Mais $121$ ne dépasse pas $143$ : il faut aussi essayer $11$. b) Par $11$ : $143=11\times$$13$. $143$ n'est pas premier. c) $11\times 11=121$ ne dépasse pas $149$, mais $13\times 13=169$ le dépasse : j'essaie $2$, $3$, $5$, $7$ et $11$. Par $2$ : impair. Par $3$ : $1+4+9=$$14$, non. Par $5$ : non. Par $7$ : $149=7\times 21+$$2$, non. Par $11$ : $149=11\times 13+$$6$, non. Aucun essai ne tombe juste : $149$ est premier. ⛔ Le piège : appliquer « $2$, $3$, $5$, $7$ » comme une recette. Elle ne vaut que jusqu'à $120$ ; au-delà, je continue tant que le carré de l'essai ne dépasse pas le nombre. Réponse : $143=11\times 13$ n'est pas premier ; $149$ est premier (essais jusqu'à $11$).

    essai	reste pour 143	reste pour 149
    2	1	1
    3	2	2
    5	3	4
    7	3	2
    11	0	6

16. 16. a) Diviseurs de $4$ : $1$, $2$, $4$. De $9$ : $1$, $3$, $9$. De $25$ : $1$, $5$, $25$. Chacun en a trois. b) Si $p$ est premier, $p\times p$ ne contient que le facteur $p$, deux fois. Un diviseur prend $p$ zéro, une ou deux fois : c'est $1$, $p$ ou $p\times$$p$. Trois choix, donc trois diviseurs. c) Le nombre de diviseurs est un produit de « nombres de choix ». Pour obtenir $3$, qui est premier, il faut un seul facteur premier, présent deux fois : le nombre est le carré d'un nombre premier. $2\times 2=$$4$, $3\times 3=$$9$, $5\times 5=$$25$, $7\times 7=$$49$ ; puis $11\times 11=121$ dépasse $100$. ⛔ Le piège : prendre n'importe quel carré. $16=2^4$ est un carré, mais il a cinq diviseurs : $1$, $2$, $4$, $8$ et $16$. Réponse : $4$, $9$, $25$ et $49$.

    nombre	diviseurs	combien
    4	1, 2, 4	3
    9	1, 3, 9	3
    25	1, 5, 25	3
    49	1, 7, 49	3
    16	1, 2, 4, 8, 16	5

17. 17. Les cigales à cycle premier a) $12=2^2\times$$3$ ; $13$ est premier ; $14=2\times$$7$ ; $15=3\times$$5$ ; $16=$$2^4$ ; $17$ est premier ; $18=2\times$$3^2$. b) Un prédateur est au rendez-vous si son cycle divise celui des cigales, donc si ses facteurs premiers se trouvent dans la décomposition. $12$ : $2$, $3$, $4$ et $6$. $13$ : aucun. $14$ : $2$. $15$ : $3$ et $5$. $16$ : $2$ et $4$. $17$ : aucun. $18$ : $2$, $3$ et $6$. c) Seuls $13$ et $17$ n'ont aucun prédateur à chaque sortie. Ce sont les deux nombres premiers de la liste : leurs seuls diviseurs sont $1$ et eux-mêmes, donc aucun cycle de $2$ à $6$ ans ne peut les diviser. ⛔ Le piège au b) : oublier $6$ pour $12$ ou pour $18$. $6=2\times$$3$, et $2$ et $3$ sont tous deux dans $12$ et dans $18$. Réponse : $13$ et $17$, les deux nombres premiers entre $12$ et $18$, échappent à tous les prédateurs.

    cycle	décomposition	prédateurs
    12	2² × 3	2, 3, 4, 6
    13	premier	aucun
    14	2 × 7	2
    15	3 × 5	3, 5
    16	2⁴	2, 4
    17	premier	aucun
    18	2 × 3²	2, 3, 6

18. 18. La photo du Tour de France a) $184÷2=$$92$, $92÷2=$$46$, $46÷2=$$23$, et $23$ est premier. Donc $184=2^3\times$$23$. b) Le nombre de rangs doit diviser $184$ : il se fabrique avec les facteurs $2$, $2$, $2$ et $23$. Avec plus de coureurs par rang que de rangs : $2$ rangs de $92$, $4$ rangs de $46$, $8$ rangs de $23$. Je m'arrête : $23$ rangs de $8$, c'est le dernier rectangle, tourné. c) $182÷2=$$91$, $91÷7=$$13$ : $182=2\times 7\times$$13$. Les rangs possibles : $2$ rangs de $91$, $7$ rangs de $26$, $13$ rangs de $14$. Le plus proche d'un carré : $13$ rangs de $14$ coureurs. ⛔ Le piège au b) : oublier $4$ rangs de $46$, en ne prenant que les facteurs premiers $2$ et $23$. Un nombre de rangs peut être un PRODUIT de facteurs premiers : $4=2\times 2$ et $8=2\times 2\times$$2$. Réponse : $184=2^3\times$$23$ ; $2$ rangs de $92$, $4$ de $46$ ou $8$ de $23$ ; avec $182$ coureurs, $2$ rangs de $91$, $7$ de $26$ ou $13$ de $14$, le plus proche d'un carré.

    coureurs	rangs	par rang
    184	2	92
    184	4	46
    184	8	23
    182	2	91
    182	7	26
    182	13	14

19. 19. Les vitesses du vélo a) $50=2\times$$5^2$ ; $34=2\times$$17$ ; $15=3\times$$5$ ; $24=2^3\times$$3$ ; $27=$$3^3$. b) Je barre les facteurs communs au haut et au bas. $\frac{50}{15}=\frac{2\times 5\times 5}{3\times 5}=$$\frac{10}{3}$ : un $5$ en commun. $\frac{34}{24}=\frac{2\times 17}{2\times 2\times 2\times 3}=$$\frac{17}{12}$ : un $2$ en commun. $\frac{34}{27}$ : $34$ n'a que les facteurs $2$ et $17$, $27$ n'a que des $3$. Aucun facteur commun : $\frac{34}{27}$ est déjà irréductible. c) $\frac{50}{15}=$$\frac{10}{3}$ : pour $3$ tours de pédalier, la roue fait exactement $10$ tours. Avec $1$ ou $2$ tours de pédalier, elle en fait $\frac{10}{3}$ ou $\frac{20}{3}$, qui ne sont pas des nombres entiers. ⛔ Le piège au b) : chercher à « simplifier » $\frac{34}{27}$ à tout prix. Les décompositions montrent d'un coup qu'il n'y a rien à barrer. Réponse : $\frac{10}{3}$, $\frac{17}{12}$ et $\frac{34}{27}$ ; il faut $3$ tours de pédalier, et la roue en fait alors $10$.

    rapport	plateau	pignon	irréductible
    50/15	2 × 5 × 5	3 × 5	10/3
    34/24	2 × 17	2 × 2 × 2 × 3	17/12
    34/27	2 × 17	3 × 3 × 3	34/27

20. 20. Le cadenas des sites Internet a) $13\times 29=$$377$ : un seul calcul. b) Dans l'autre sens, je dois chercher. J'essaie les nombres premiers dans l'ordre. Par $2$ : impair. Par $3$ : $3+9+1=$$13$, non. Par $5$ : non. Par $7$ : $391=7\times 55+$$6$. Par $11$ : $391=11\times 35+$$6$. Par $13$ : $391=13\times 30+$$1$. Par $17$ : $391=17\times$$23$, reste $0$. $17$ et $23$ sont premiers : $391=17\times$$23$. c) $20\times 20=400$ dépasse $391$. Si les deux facteurs valaient au moins $20$, leur produit dépasserait $391$ : le plus petit des deux est donc plus petit que $20$. d) $1$ n'est pas un nombre premier, et $391$ non plus, puisque $391=17\times$$23$. ⭐ Il a fallu sept essais pour un nombre de trois chiffres. Pour un nombre de $617$ chiffres, même un ordinateur n'y arrive pas : c'est ce déséquilibre qui protège les paiements en ligne. ⛔ Le piège : s'arrêter après $2$, $3$, $5$ et $7$ en concluant « $391$ est premier ». $17\times 17=289$ ne dépasse pas $391$ : il faut pousser les essais plus loin. Réponse : $13\times 29=$$377$ ; $391=17\times$$23$.

    essai	division	reste
    2	391 = 2 × 195 + 1	1
    3	391 = 3 × 130 + 1	1
    5	391 = 5 × 78 + 1	1
    7	391 = 7 × 55 + 6	6
    11	391 = 11 × 35 + 6	6
    13	391 = 13 × 30 + 1	1
    17	391 = 17 × 23 + 0	0