Ordres de grandeur et préfixes : 20 exercices corrigésmaths 4e — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices, du préfixe seul au problème : nano, micro, milli, kilo, méga, giga, l'ordre de grandeur d'un objet et d'un calcul, et l'art de juger un résultat sans le refaire. La taille d'un virus, la masse d'une baleine, le CO₂ de l'air, un fil d'une nanoseconde, les arbres de la Terre. Un rappel de cours avant chaque niveau. Cherche d'abord au brouillon, puis ouvre la correction : étape par étape, avec le pourquoi, le piège nommé, et chaque grandeur placée sur l'échelle des puissances de dix.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Un geste par exercice. Je remplace chaque préfixe ou chaque nombre par sa puissance de dix, puis je compte les rangs.

Rappel de cours

Un préfixe est une puissance de dix écrite en un mot : nano $1 0^{- 9}$ , micro $1 0^{- 6}$ , milli $1 0^{- 3}$ , kilo $1 0^{3}$ , méga $1 0^{6}$ , giga $1 0^{9}$ . De trois rangs en trois rangs.
Pour convertir, je garde le nombre devant et je remplace le préfixe : $8$ km $= 8 \times 1 0^{3}$ m.
L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de dix la plus proche : $0, 8$ est entre $1 0^{- 1}$ et $1 0^{0}$ , bien plus près de $1 0^{0} =$ $1$ .
Pour estimer, j'arrondis PUIS je calcule : $1 0^{a} \times 1 0^{b} = 1 0^{a + b}$ et $1 0^{a} \div 1 0^{b} =$ $1 0^{a - b}$ .

1
Écris chaque grandeur avec une puissance de dix, dans l'unité demandée. a) $1$ km en mètres b) $1$ ns (une nanoseconde) en secondes c) $1$ MW (un mégawatt) en watts d) $1$ µg (un microgramme) en grammes
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Je remplace chaque préfixe par sa puissance de dix ; l'unité reste la même. a) Kilo vaut mille : $1$ km $= 1 0^{3}$ m. b) Nano vaut un milliardième : $1$ ns $= 1 0^{- 9}$ s. c) Méga vaut un million : $1$ MW $= 1 0^{6}$ W. d) Micro vaut un millionième : $1$ µg $= 1 0^{- 6}$ g. ⛔ Le piège : lire « micro » comme « très petit » et répondre au hasard. En maths, micro vaut EXACTEMENT $1 0^{- 6}$ , ni plus ni moins. Réponse : $1 0^{3}$ m ; $1 0^{- 9}$ s ; $1 0^{6}$ W ; $1 0^{- 6}$ g.
2
Convertis dans l'unité sans préfixe, d'abord avec une puissance de dix, puis en écriture décimale. a) $7$ GW en watts b) $25$ µm en mètres c) $0, 4$ mg en grammes
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Je garde le nombre devant, et je remplace seulement le préfixe par sa puissance de dix. a) Giga vaut $1 0^{9}$ : $7$ GW $= 7 \times 1 0^{9}$ W $= 7000000000$ W, sept milliards de watts. b) Micro vaut $1 0^{- 6}$ : $25$ µm $= 25 \times 1 0^{- 6}$ m $= 0, 000025$ m. c) Milli vaut $1 0^{- 3}$ : $0, 4$ mg $= 0, 4 \times 1 0^{- 3}$ g $= 0, 0004$ g. ⛔ Le piège : perdre le nombre devant, et écrire $1 0^{9}$ W pour $7$ GW. Le $7$ reste : seul le préfixe devient une puissance de dix. Réponse : $7000000000$ W ; $0, 000025$ m ; $0, 0004$ g.
Grandeur Préfixe Sans préfixe
7 GW × 10⁹ 7 000 000 000 W
25 µm × 10⁻⁶ 0,000025 m
0,4 mg × 10⁻³ 0,0004 g
3
a) Combien de micromètres y a-t-il dans un millimètre ? b) Combien de mégaoctets dans un gigaoctet ? c) Combien de milligrammes dans un kilogramme ?
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Pour passer d'un préfixe à l'autre, je soustrais leurs exposants : l'écart dit combien de rangs les séparent. a) Milli $1 0^{- 3}$ , micro $1 0^{- 6}$ : écart $- 3 - (- 6) =$ $3$ . Un millimètre contient $1 0^{3} = 1000$ micromètres. b) Giga $1 0^{9}$ , méga $1 0^{6}$ : écart $9 - 6 =$ $3$ . Un gigaoctet contient $1 0^{3} = 1000$ mégaoctets. c) Kilo $1 0^{3}$ , milli $1 0^{- 3}$ : écart $3 - (- 3) =$ $6$ . Un kilogramme contient $1 0^{6} = 1000000$ milligrammes. ⛔ Le piège : au c), s'arrêter à $1000$ . Du kilo au milli, il y a DEUX sauts de mille, en passant par l'unité : $1 0^{3} \times 1 0^{3} =$ $1 0^{6}$ . Réponse : $1000$ µm ; $1000$ Mo ; $1000000$ mg.
4
Associe à chaque longueur son ordre de grandeur, en mètres, parmi : $1 0^{- 9}$ ; $1 0^{- 3}$ ; $1 0^{2}$ ; $1 0^{4}$ ; $1 0^{7}$ . a) l'épaisseur d'une carte bancaire : $0, 76$ mm b) la hauteur de l'Everest : $8849$ m c) la largeur de la double hélice d'ADN : environ $2$ nm d) la longueur d'un terrain de football : $105$ m e) le diamètre de la Terre : environ $12700$ km
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Je convertis d'abord en mètres, puis j'encadre entre deux puissances de dix et je prends la plus proche. a) $0, 76$ mm $= 0, 00076$ m, entre $1 0^{- 4}$ et $1 0^{- 3}$ , plus près de $0, 001$ : $1 0^{- 3}$ m. b) $8849$ m est entre $1 0^{3}$ et $1 0^{4}$ , bien plus près de $10000$ : $1 0^{4}$ m. c) $2$ nm $= 2 \times 1 0^{- 9}$ m : $1 0^{- 9}$ m. d) $105$ m est tout près de $100$ : $1 0^{2}$ m. e) $12700$ km $= 12700000$ m, entre $1 0^{7}$ et $1 0^{8}$ , tout près de dix millions : $1 0^{7}$ m. ⛔ Le piège : oublier de convertir. Le diamètre de la Terre n'est pas « de l'ordre de $1 0^{4}$ » : ça, ce sont des kilomètres. Un ordre de grandeur se donne dans UNE unité. Réponse : a) $1 0^{- 3}$ m ; b) $1 0^{4}$ m ; c) $1 0^{- 9}$ m ; d) $1 0^{2}$ m ; e) $1 0^{7}$ m.
5
Donne l'ordre de grandeur de chaque nombre. a) $9600$ b) $0, 0012$ c) $1850000$ d) $0, 09$
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J'encadre chaque nombre entre deux puissances de dix qui se suivent, puis je prends la plus proche. a) $1 0^{3} < 9600 <$ $1 0^{4}$ , et $9600$ n'est qu'à $400$ de $10000$ : l'ordre de grandeur est $1 0^{4}$ . b) $1 0^{- 3} < 0, 0012 <$ $1 0^{- 2}$ , et $0, 0012$ est tout près de $0, 001$ : $1 0^{- 3}$ . c) $1 0^{6} < 1850000 <$ $1 0^{7}$ , et $1850000$ est bien plus près d'un million que de dix millions : $1 0^{6}$ . d) $1 0^{- 2} < 0, 09 <$ $1 0^{- 1}$ , et $0, 09$ est tout près de $0, 1$ : $1 0^{- 1}$ . ⛔ Le piège : compter les chiffres sans regarder, et répondre $1 0^{3}$ pour $9600$ parce qu'il a quatre chiffres « comme mille ». $9600$ , c'est presque dix mille. Réponse : $1 0^{4}$ ; $1 0^{- 3}$ ; $1 0^{6}$ ; $1 0^{- 1}$ .
Nombre Entre et Le plus proche
9 600 10³ 10⁴ 10⁴
0,0012 10⁻³ 10⁻² 10⁻³
1 850 000 10⁶ 10⁷ 10⁶
0,09 10⁻² 10⁻¹ 10⁻¹
6
Donne l'ordre de grandeur de chaque produit, sans calculatrice. a) $2100 \times 89000$ b) $0, 012 \times 980$ c) $1200000 \times 0, 0009$
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J'arrondis chaque facteur à sa puissance de dix, PUIS j'ajoute les exposants. a) $2100 \approx 1 0^{3}$ et $89000 \approx$ $1 0^{5}$ , donc $1 0^{3} \times 1 0^{5} = 1 0^{3 + 5} =$ $1 0^{8}$ . b) $0, 012 \approx 1 0^{- 2}$ et $980 \approx$ $1 0^{3}$ , donc $1 0^{- 2} \times 1 0^{3} = 1 0^{- 2 + 3} =$ $1 0^{1}$ . c) $1200000 \approx 1 0^{6}$ et $0, 0009 \approx$ $1 0^{- 3}$ , donc $1 0^{6} \times 1 0^{- 3} = 1 0^{6 + (- 3)} =$ $1 0^{3}$ . ⭐ Contrôle à la calculatrice : les produits exacts valent $186900000$ , $11, 76$ et $1080$ ; chacun est bien du rang annoncé. ⛔ Le piège : MULTIPLIER les exposants, et trouver $1 0^{15}$ au a). Pour un produit de puissances de dix, on les AJOUTE. Réponse : $1 0^{8}$ ; $1 0^{1}$ ; $1 0^{3}$ .
Calcul Arrondis Ordre Exact
a) 10³ × 10⁵ 10⁸ 186 900 000
b) 10⁻² × 10³ 10¹ 11,76
c) 10⁶ × 10⁻³ 10³ 1 080
7
Donne l'ordre de grandeur de chaque quotient, sans calculatrice. a) $8900000 \div 1100$ b) $0, 0021 \div 0, 0009$ c) $12000 \div 0, 011$
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Pour un quotient, j'arrondis, puis je SOUSTRAIS les exposants : celui du haut moins celui du bas. a) $8900000 \approx 1 0^{7}$ et $1100 \approx$ $1 0^{3}$ , donc $1 0^{7} \div 1 0^{3} = 1 0^{7 - 3} =$ $1 0^{4}$ . b) $0, 0021 \approx 1 0^{- 3}$ et $0, 0009 \approx$ $1 0^{- 3}$ , donc $1 0^{- 3} \div 1 0^{- 3} = 1 0^{0} =$ $1$ . c) $12000 \approx 1 0^{4}$ et $0, 011 \approx$ $1 0^{- 2}$ , donc $1 0^{4} \div 1 0^{- 2} = 1 0^{4 - (- 2)} =$ $1 0^{6}$ . ⭐ Diviser par un centième, c'est multiplier par cent : le résultat du c) est PLUS GRAND que $12000$ . ⛔ Le piège : au c), calculer $4 - 2 = 2$ et répondre $1 0^{2}$ . Soustraire $- 2$ , c'est ajouter $2$ . Réponse : $1 0^{4}$ ; $1 0^{0}$ , soit $1$ ; $1 0^{6}$ .
Calcul Arrondis Ordre Exact
a) 10⁷ ÷ 10³ 10⁴ ≈ 8 091
b) 10⁻³ ÷ 10⁻³ 10⁰ ≈ 2,33
c) 10⁴ ÷ 10⁻² 10⁶ ≈ 1 090 909
8
Sans poser l'opération, dis si chaque résultat annoncé est plausible. Arrondis chaque nombre à un seul chiffre non nul. a) $312 \times 29 = 90480$ b) $4870 \div 52 = 9, 4$ c) $0, 21 \times 0, 48 = 0, 1008$
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J'arrondis chaque nombre à un seul chiffre non nul : le calcul se fait de tête, et il suffit pour repérer un facteur $10$ . a) $312 \times 29 \approx 300 \times 30 =$ $9000$ . L'annonce, $90480$ , est environ $10$ fois trop grande : NON plausible. Le vrai résultat est $9048$ : un zéro de trop. b) $4870 \div 52 \approx 5000 \div 50 =$ $100$ . L'annonce, $9, 4$ , est environ $10$ fois trop petite : NON plausible. Le vrai résultat est environ $93, 7$ : une virgule mal placée. c) $0, 21 \times 0, 48 \approx 0, 2 \times 0, 5 =$ $0, 1$ . L'annonce, $0, 1008$ , est du même rang : plausible, et même exacte. ⛔ Le piège : croire qu'un produit est toujours plus grand que ses facteurs. Au c), multiplier par $0, 48$ , c'est prendre à peu près la moitié : le résultat est plus PETIT que $0, 21$ . Réponse : a) non ; b) non ; c) oui.
Calcul Estimation Annoncé Verdict
a) 9 000 90 480 faux, × 10
b) 100 9,4 faux, ÷ 10
c) 0,1 0,1008 plausible

Grandeur	Préfixe	Sans préfixe
7 GW	× 10⁹	7 000 000 000 W
25 µm	× 10⁻⁶	0,000025 m
0,4 mg	× 10⁻³	0,0004 g

Nombre	Entre	et	Le plus proche
9 600	10³	10⁴	10⁴
0,0012	10⁻³	10⁻²	10⁻³
1 850 000	10⁶	10⁷	10⁶
0,09	10⁻²	10⁻¹	10⁻¹

Calcul	Arrondis	Ordre	Exact
a)	10³ × 10⁵	10⁸	186 900 000
b)	10⁻² × 10³	10¹	11,76
c)	10⁶ × 10⁻³	10³	1 080

Calcul	Arrondis	Ordre	Exact
a)	10⁷ ÷ 10³	10⁴	≈ 8 091
b)	10⁻³ ÷ 10⁻³	10⁰	≈ 2,33
c)	10⁴ ÷ 10⁻²	10⁶	≈ 1 090 909

Calcul	Estimation	Annoncé	Verdict
a)	9 000	90 480	faux, × 10
b)	100	9,4	faux, ÷ 10
c)	0,1	0,1008	plausible

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Plusieurs étapes, comme au contrôle. Je convertis dans une seule unité, j'estime le rang, puis je compare au résultat exact.

Rappel de cours

Comparer deux grandeurs, c'est les diviser. Je les écris d'abord dans la MÊME unité, sinon la division ne veut rien dire.
Entre deux préfixes, je soustrais les exposants : de méga ( $1 0^{6}$ ) à giga ( $1 0^{9}$ ), il y a $3$ rangs, un facteur $1000$ .
Pour une estimation plus fine qu'un rang, j'arrondis chaque nombre à un seul chiffre non nul : $365 \approx$ $400$ .
Pour juger un résultat, je cherche le FACTEUR entre mon estimation et l'annonce : $10$ , $100$ ou $1000$ désigne l'erreur.

9
Une ampoule LED consomme $9$ W. Une éolienne terrestre récente a une puissance d'environ $3$ MW. Un réacteur nucléaire du modèle le plus répandu en France a une puissance de $900$ MW. a) Écris ces trois puissances en watts, avec une puissance de dix. b) Combien d'éoliennes de $3$ MW faut-il pour égaler un réacteur ? c) Combien d'ampoules de $9$ W le réacteur pourrait-il allumer en même temps ?
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a) Je remplace chaque préfixe : l'ampoule reste à $9$ W ; $3$ MW $= 3 \times 1 0^{6}$ W ; $900$ MW $= 900 \times 1 0^{6}$ W $= 9 \times 1 0^{8}$ W. b) Même préfixe des deux côtés : je divise directement, $900 \div 3 =$ $300$ . Il faut $300$ éoliennes, quand le vent souffle à plein. c) Je divise en watts : $\frac{9 \times 1 0 ^{8}}{9} =$ $1 0^{8}$ . Le réacteur alimente cent millions d'ampoules. ⭐ Sur l'échelle, huit rangs séparent l'ampoule du réacteur : c'est le facteur $1 0^{8}$ du c). ⛔ Le piège : diviser $900$ par $9$ sans convertir, et répondre $100$ ampoules. Des mégawatts et des watts ne se divisent pas entre eux : j'écris tout en watts d'abord. Réponse : a) $9$ W, $3 \times 1 0^{6}$ W et $9 \times 1 0^{8}$ W ; b) $300$ éoliennes ; c) $1 0^{8}$ ampoules.
10
Quatre masses du monde vivant : une abeille ouvrière, environ $0, 1$ g ; le colibri d'Hélène, le plus petit oiseau du monde, environ $2$ g ; un éléphant d'Afrique, environ $6$ t ; une baleine bleue, environ $150$ t. a) Écris chaque masse en kilogrammes, puis donne son ordre de grandeur. b) Avec les ordres de grandeur, combien de fois la baleine est-elle plus lourde que le colibri ? c) Vérifie avec les valeurs de l'énoncé.
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a) $1$ g $= 1 0^{- 3}$ kg et $1$ t $= 1 0^{3}$ kg. Abeille : $0, 1$ g $= 0, 0001$ kg $= 1 0^{- 4}$ kg. Colibri : $2$ g $= 0, 002$ kg, tout près de $0, 001$ : ordre de grandeur $1 0^{- 3}$ kg. Éléphant : $6$ t $= 6000$ kg, plus près de $10000$ que de $1000$ : $1 0^{4}$ kg. Baleine : $150$ t $= 150000$ kg, tout près de $100000$ : $1 0^{5}$ kg. b) $1 0^{5} \div 1 0^{- 3} = 1 0^{5 - (- 3)} =$ $1 0^{8}$ : environ cent millions de fois. c) $150000 \div 0, 002 =$ $75000000$ , soit $7, 5 \times$ $1 0^{7}$ : c'est bien le rang de $1 0^{8}$ . ⛔ Le piège : comparer $150$ et $2$ sans convertir, et répondre $75$ fois. Des tonnes et des grammes ne se comparent pas : une seule unité d'abord. Réponse : la baleine est environ $1 0^{8}$ fois plus lourde que le colibri, exactement $75$ millions de fois avec ces valeurs.
11
a) Estime le nombre de secondes dans une année de $365$ jours, en arrondissant chaque nombre à un seul chiffre non nul. b) Calcule le nombre exact, et compare. c) Un milliard de secondes, c'est environ combien d'années ?
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a) Une heure compte $60 \times 60 = 3600$ secondes. Une année compte donc $365 \times 24 \times 3600$ secondes. J'arrondis : $365 \approx$ $400$ , $24 \approx$ $20$ , $3600 \approx$ $4000$ . $400 \times 20 \times 4000 =$ $32000000$ , environ $3 \times 1 0^{7}$ secondes. b) $365 \times 24 = 8760$ heures, puis $8760 \times 3600 = 31536000$ secondes. L'estimation, $32$ millions, est à moins de $2$ % du résultat exact. c) Un milliard, c'est $1 0^{9}$ . $1 0^{9} \div 31536000 \approx$ $31, 7$ : un milliard de secondes, c'est environ $32$ ans. ⭐ Un million de secondes, mille fois moins, dure environ $11, 6$ jours. Du million au milliard, on passe de deux semaines à une vie d'adulte. ⛔ Le piège : compter $60$ secondes par heure. $365 \times 24 \times 60 =$ $525600$ : c'est le nombre de MINUTES d'une année, soixante fois moins. Réponse : environ $3 \times 1 0^{7}$ s dans une année, $31536000$ exactement ; un milliard de secondes, c'est environ $32$ ans.
Facteur Exact Arrondi
jours 365 400
heures 24 20
secondes 3 600 4 000
produit 31 536 000 32 000 000
12
En 2024, l'air contenait en moyenne environ $420$ ppm de dioxyde de carbone, le CO₂. « ppm » veut dire « partie par million » : $1$ ppm $=$ $1 0^{- 6}$ , un millionième. a) Écris $420$ ppm avec une puissance de dix, puis en écriture décimale. b) Écris cette proportion en pourcentage. c) Un exposé affirme : « l'air contient $4, 2$ % de CO₂ ». Est-ce plausible ? De quel facteur se trompe-t-il ?
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a) $420$ ppm $= 420 \times 1 0^{- 6} =$ $0, 00042$ . Une partie par million, c'est le « micro » des préfixes. b) Un pourcentage compte en centièmes : $0, 00042 \times 100 =$ $0, 042$ , donc $420$ ppm $= 0, 042$ %. c) $4, 2 \div 0, 042 =$ $100$ : l'exposé annonce $100$ fois trop, deux rangs. Ce n'est PAS plausible : à $4$ % de CO₂, l'air devient dangereux à respirer. ⛔ Le piège : lire « par million » comme « par cent ». $1$ % $= 1 0^{- 2}$ et $1$ ppm $=$ $1 0^{- 6}$ : quatre rangs d'écart. Réponse : $420$ ppm $= 420 \times 1 0^{- 6} =$ $0, 00042$ , soit $0, 042$ % ; l'exposé se trompe d'un facteur $100$ .
13
Regarder un film en streaming en ultra haute définition consomme environ $7$ Go de données par heure. a) Écris la consommation d'un film de $2$ h en octets, avec une puissance de dix. b) Combien d'heures de film tiennent sur une clé USB de $64$ Go ? c) Un camarade affirme qu'un film de $2$ h en ultra HD pèse $14$ Mo. Quel facteur le sépare de la bonne valeur ? D'où vient l'erreur ?
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a) $2 \times 7 = 14$ Go. Giga vaut $1 0^{9}$ : $14$ Go $= 14 \times 1 0^{9}$ octets, soit $1, 4 \times 1 0^{10}$ octets. b) Même unité des deux côtés : $64 \div 7 \approx$ $9, 1$ . Environ $9$ heures de film. c) $14$ Go et $14$ Mo ont le même nombre devant ; seul le préfixe change. Giga $1 0^{9}$ , méga $1 0^{6}$ : écart $9 - 6 = 3$ rangs, un facteur $1000$ . Le camarade a confondu giga et méga. ⭐ Contrôle du sens : à $7$ Go par heure, $14$ Mo ne dureraient qu'environ $7$ secondes. ⛔ Le piège : croire que Mo et Go, « c'est pareil, en gros ». Entre les deux, il y a exactement mille. Réponse : $1, 4 \times 1 0^{10}$ octets ; environ $9$ heures ; un facteur $1000$ , méga pris pour giga.
14
Au repos, le cœur d'un adulte bat environ $70$ fois par minute. On garde cette valeur pour toute la vie. a) Calcule le nombre de battements en un jour. b) Estime le nombre de battements en $80$ ans, en arrondissant à chaque étape. c) Une affiche annonce : « votre cœur battra $3$ millions de fois dans votre vie ». Est-ce plausible ?
Voir la correction
a) Une journée compte $24 \times 60 = 1440$ minutes. $70 \times 1440 = 100800$ battements par jour, environ $1 0^{5}$ . b) En un an : $1 0^{5} \times$ $365$ . J'arrondis $365 \approx$ $400$ : environ $4 \times 1 0^{7}$ battements. En $80$ ans : $4 \times 1 0^{7} \times 80 = 320 \times 1 0^{7} = 3, 2 \times 1 0^{9}$ battements, environ trois milliards. ⭐ Le calcul exact, $100800 \times 365 \times 80 =$ $2943360000$ , tombe bien dans le même rang : quelques milliards. c) $3$ millions, c'est $3 \times$ $1 0^{6}$ ; l'estimation dit $3 \times$ $1 0^{9}$ . Écart : $9 - 6 = 3$ rangs, un facteur $1000$ . L'affiche n'est PAS plausible : trois millions de battements, c'est à peine un mois de vie. ⛔ Le piège : confondre million et milliard. Ils se ressemblent à l'oreille, mais il y a mille entre eux. Réponse : $100800$ battements par jour, environ $3 \times 1 0^{9}$ en $80$ ans ; l'affiche se trompe d'un facteur $1000$ .
Durée Estimation Exact
1 jour 10⁵ 100 800
1 an 4 × 10⁷ 36 792 000
80 ans 3,2 × 10⁹ 2 943 360 000
15
Un cheveu a une épaisseur d'environ $70$ µm. Le virus de la grippe mesure environ $100$ nm. a) Écris ces deux longueurs en mètres, avec une puissance de dix, et donne leur ordre de grandeur. b) Avec les ordres de grandeur, combien de virus côte à côte faudrait-il pour couvrir l'épaisseur du cheveu ? c) Fais le calcul avec les valeurs de l'énoncé.
Voir la correction
a) Cheveu : $70$ µm $= 70 \times 1 0^{- 6}$ m $= 7 \times 1 0^{- 5}$ m, plus près de $1 0^{- 4}$ que de $1 0^{- 5}$ : ordre de grandeur $1 0^{- 4}$ m. Virus : $100$ nm $= 100 \times 1 0^{- 9}$ m $= 1 0^{- 7}$ m. b) Je divise : $1 0^{- 4} \div 1 0^{- 7} = 1 0^{- 4 - (- 7)} =$ $1 0^{3}$ . Environ mille virus. c) $\frac{7 \times 1 0 ^{- 5}}{1 0 ^{- 7}} = 7 \times 1 0^{- 5 + 7} = 7 \times 1 0^{2} = 700$ virus. ⭐ $700$ et $1000$ sont du même rang : l'ordre de grandeur donne le rang, le calcul donne le chiffre. ⛔ Le piège : calculer $- 4 - 7 = - 11$ et trouver un nombre minuscule. Un cheveu est PLUS GROS qu'un virus : le résultat doit dépasser $1$ . Soustraire $- 7$ , c'est ajouter $7$ . Réponse : environ $700$ virus, de l'ordre de $1 0^{3}$ .
16
Trois élèves ont converti une grandeur. Pour chacun, trouve le facteur entre sa réponse et la bonne, puis l'erreur probable. a) $3, 5$ kg en mg : Léa trouve $3500$ mg. b) $45$ µs en s : Noé trouve $0, 045$ s. c) $2$ GW en W : Inès trouve $2 \times 1 0^{6}$ W.
Voir la correction
Je fais la conversion juste, puis je compare les deux réponses : le facteur dit combien de rangs ont été perdus. a) Du kilo au milli : $3 - (- 3) = 6$ rangs. $3, 5$ kg $= 3, 5 \times 1 0^{6}$ mg $= 3500000$ mg. Facteur : $3500000 \div 3500 =$ $1000$ . Léa s'est arrêtée aux grammes : une conversion sur deux. b) Micro vaut $1 0^{- 6}$ : $45$ µs $= 45 \times 1 0^{- 6}$ s $= 0, 000045$ s. Facteur : $0, 045 \div 0, 000045 =$ $1000$ . Noé a pris micro pour milli. c) Giga vaut $1 0^{9}$ : $2$ GW $= 2 \times 1 0^{9}$ W. Facteur : $1 0^{9} \div 1 0^{6} =$ $1000$ . Inès a pris giga pour méga. ⭐ Trois fois le facteur $1000$ : c'est la signature d'un préfixe voisin confondu, ou d'une conversion oubliée, puisque les préfixes vont de trois rangs en trois rangs. ⛔ Le piège : tout recommencer sans chercher le facteur. Le facteur montre OÙ est l'erreur. Réponse : les trois réponses sont fausses d'un facteur $1000$ .
Élève Réponse Juste Facteur
Léa 3 500 mg 3 500 000 mg × 1 000
Noé 0,045 s 0,000045 s ÷ 1 000
Inès 2 × 10⁶ W 2 × 10⁹ W × 1 000

Facteur	Exact	Arrondi
jours	365	400
heures	24	20
secondes	3 600	4 000
produit	31 536 000	32 000 000

Durée	Estimation	Exact
1 jour	10⁵	100 800
1 an	4 × 10⁷	36 792 000
80 ans	3,2 × 10⁹	2 943 360 000

Élève	Réponse	Juste	Facteur
Léa	3 500 mg	3 500 000 mg	× 1 000
Noé	0,045 s	0,000045 s	÷ 1 000
Inès	2 × 10⁶ W	2 × 10⁹ W	× 1 000

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Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Des situations réelles. Je convertis, j'estime le rang, je calcule, puis je juge si le résultat est vraisemblable.

Rappel de cours

J'écris toutes les grandeurs dans la MÊME unité, avec une puissance de dix.
J'estime d'abord le rang, je calcule ensuite : si le calcul tombe loin de l'estimation, je cherche l'erreur avant d'aller plus loin.
Une maquette à l'échelle divise TOUTES les longueurs par le même nombre.

17Le système solaire dans la cour
Diamètre de la Terre : environ $1, 3 \times 1 0^{4}$ km. Diamètre du Soleil : environ $1, 4 \times 1 0^{6}$ km. Distance de la Terre au Soleil : environ $1, 5 \times 1 0^{8}$ km. On construit une maquette où $1$ cm représente $1 0^{4}$ km. a) Donne l'ordre de grandeur de ces trois longueurs. Que remarques-tu ? b) Calcule chaque longueur sur la maquette. c) La maquette tient-elle dans une salle de classe d'environ $10$ m ? Sur un terrain de football d'environ $100$ m ?
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a) $1, 3 \times$ $1 0^{4}$ : ordre $1 0^{4}$ km. $1, 4 \times$ $1 0^{6}$ : ordre $1 0^{6}$ km. $1, 5 \times$ $1 0^{8}$ : ordre $1 0^{8}$ km. Deux rangs à chaque fois : le Soleil est environ $100$ fois plus large que la Terre, et la distance vaut environ $100$ diamètres du Soleil. b) Je divise chaque longueur par $1 0^{4}$ km, la longueur que représente $1$ cm. Terre : $\frac{1 , 3 \times 1 0 ^{4}}{1 0 ^{4}} = 1, 3$ cm, une bille. Soleil : $\frac{1 , 4 \times 1 0 ^{6}}{1 0 ^{4}} = 1, 4 \times 1 0^{2} = 140$ cm, une boule de la taille d'un enfant de dix ans. Distance : $\frac{1 , 5 \times 1 0 ^{8}}{1 0 ^{4}} = 1, 5 \times 1 0^{4} = 15000$ cm, soit $150$ m. c) $150 \div 10 =$ $15$ : il faudrait $15$ salles de classe bout à bout. Et $150$ m, c'est un terrain de football et demi. ⛔ Le piège : imaginer le Soleil et la Terre côte à côte, comme sur les images des livres. À l'échelle, une bille à $150$ m d'une boule de $1, 4$ m : le système solaire, c'est surtout du VIDE. Réponse : Terre $1, 3$ cm, Soleil $140$ cm, distance $150$ m ; la maquette ne tient pas dans la classe, il faut un terrain et demi.
Longueur Réelle Maquette
Terre 1,3 × 10⁴ km 1,3 cm
Soleil 1,4 × 10⁶ km 140 cm
Distance 1,5 × 10⁸ km 15 000 cm
18Un fil d'une nanoseconde
La lumière parcourt environ $3 \times 1 0^{8}$ mètres par seconde. L'informaticienne Grace Hopper distribuait à ses élèves des bouts de fil électrique d'une trentaine de centimètres, en disant : « voici une nanoseconde ». a) Quelle distance la lumière parcourt-elle en $1$ ns ? Explique le fil de Grace Hopper. b) Un processeur cadencé à $3$ GHz effectue $3 \times 1 0^{9}$ cycles par seconde. Quelle distance la lumière parcourt-elle pendant un cycle ? c) Un élève affirme : « en une microseconde, la lumière parcourt $300$ km ». Vrai ou faux ? Corrige.
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a) Distance $=$ vitesse $\times$ durée, avec $1$ ns $= 1 0^{- 9}$ s : $3 \times 1 0^{8} \times 1 0^{- 9} = 3 \times 1 0^{8 + (- 9)} = 3 \times 1 0^{- 1}$ m $= 0, 3$ m, soit $30$ cm. Le fil a la longueur que parcourt la lumière en une nanoseconde : Grace Hopper faisait TOUCHER une durée. b) En une seconde, $3 \times 1 0^{9}$ cycles : pendant un cycle, la lumière parcourt $\frac{3 \times 1 0 ^{8}}{3 \times 1 0 ^{9}} = 1 0^{8 - 9} = 1 0^{- 1}$ m, soit $10$ cm. Pendant un cycle, même la lumière n'a pas le temps de traverser l'ordinateur. c) $1$ µs $= 1 0^{- 6}$ s : $3 \times 1 0^{8} \times 1 0^{- 6} = 3 \times 1 0^{2} = 300$ m. L'élève annonce $300$ km, mille fois trop : c'est FAUX. $300$ km, c'est la distance parcourue en une MILLIseconde. ⛔ Le piège : confondre micro et milli. Ils se suivent sur l'échelle des préfixes, à trois rangs l'un de l'autre : un facteur $1000$ . Réponse : $30$ cm en une nanoseconde ; $10$ cm pendant un cycle ; en une microseconde, $300$ m et non $300$ km.
Durée En secondes Distance de la lumière
1 ns 10⁻⁹ s 30 cm
1 µs 10⁻⁶ s 300 m
1 ms 10⁻³ s 300 km
1 s 10⁰ s 300 000 km
19Les arbres de la Terre
En 2015, une équipe de chercheurs a estimé qu'il y a environ $3 \times 1 0^{12}$ arbres sur Terre, et que l'humanité en abat environ $1, 5 \times 1 0^{10}$ chaque année. On compte environ $8 \times 1 0^{9}$ êtres humains. a) Donne l'ordre de grandeur de ces trois nombres, puis estime le nombre d'arbres par être humain. b) Calcule-le avec les valeurs de l'énoncé. c) Si aucun arbre ne repoussait, en combien d'années toutes les forêts auraient-elles disparu ? d) Un site titre : « $15$ millions d'arbres abattus chaque année dans le monde ». Est-ce vraisemblable ?
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a) $3 \times$ $1 0^{12}$ : ordre $1 0^{12}$ . $1, 5 \times$ $1 0^{10}$ : ordre $1 0^{10}$ . $8 \times$ $1 0^{9}$ , huit milliards, est plus près de dix milliards que d'un milliard : ordre $1 0^{10}$ . Arbres par humain : $1 0^{12} \div 1 0^{10} =$ $1 0^{2}$ , de l'ordre de la centaine. b) $\frac{3 \times 1 0 ^{12}}{8 \times 1 0 ^{9}} = \frac{3}{8} \times 1 0^{12 - 9} = 0, 375 \times 1 0^{3} = 375$ arbres par être humain : des centaines, comme prévu. c) $\frac{3 \times 1 0 ^{12}}{1 , 5 \times 1 0 ^{10}} = 2 \times 1 0^{2} = 200$ ans. ⭐ En vrai, des arbres repoussent et on en plante : $200$ ans n'est pas une prévision. C'est une MESURE de la vitesse de l'abattage. d) $15$ millions $= 1, 5 \times$ $1 0^{7}$ . Les chercheurs disent $1, 5 \times$ $1 0^{10}$ : écart $10 - 7 = 3$ rangs, un facteur $1000$ . Le titre n'est pas vraisemblable : il a écrit millions au lieu de milliards. ⛔ Le piège : comparer « $15$ » et « $1, 5$ » en oubliant les puissances de dix. Deux nombres ne se comparent qu'écrits de la même façon. Réponse : environ $375$ arbres par humain ; $200$ ans sans repousse ; le titre se trompe d'un facteur $1000$ .
20Les gouttes d'un bassin olympique
Un bassin olympique mesure $50$ m de long, $25$ m de large et au moins $2$ m de profondeur. Un compte-gouttes de pharmacie délivre $20$ gouttes d'eau par millilitre. a) Calcule le volume d'un bassin de $2$ m de profondeur, en m³, puis en litres. On rappelle que $1$ m³ $= 1000$ L. b) Combien de gouttes d'eau contient-il ? Écris le résultat avec une puissance de dix, puis en mots. c) Un élève trouve $5 \times 1 0^{7}$ gouttes. Quel facteur le sépare du bon résultat ? Quelle conversion a-t-il oubliée ?
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a) $V = 50 \times 25 \times 2 = 2500$ m³. Puis $2500 \times 1000 = 2500000$ L, soit $2, 5 \times 1 0^{6}$ L. b) Un litre vaut $1000$ mL, donc $1000 \times 20 = 20000$ gouttes par litre, soit $2 \times$ $1 0^{4}$ . Nombre de gouttes : $2, 5 \times 1 0^{6} \times 2 \times 1 0^{4} = 5 \times$ $1 0^{10}$ , cinquante milliards de gouttes. c) $\frac{5 \times 1 0 ^{10}}{5 \times 1 0 ^{7}} =$ $1 0^{3}$ : un facteur $1000$ . L'élève a compté $20$ gouttes par LITRE au lieu de $20$ par millilitre : il a oublié le passage des litres aux millilitres. ⭐ Pour sentir ce nombre : à une goutte par seconde, vider le bassin prendrait $5 \times 1 0^{10}$ secondes, plus de $1500$ ans. ⛔ Le piège : enchaîner les conversions sans les écrire. Chaque « milli » oublié coûte trois rangs d'un coup. Réponse : $2500$ m³, soit $2, 5 \times 1 0^{6}$ L ; $5 \times 1 0^{10}$ gouttes, cinquante milliards ; l'élève se trompe d'un facteur $1000$ .
Étape Calcul Résultat
volume 50 × 25 × 2 2 500 m³
en litres 2 500 × 1 000 2,5 × 10⁶ L
gouttes par litre 1 000 × 20 2 × 10⁴
gouttes 2,5 × 10⁶ × 2 × 10⁴ 5 × 10¹⁰

Longueur	Réelle	Maquette
Terre	1,3 × 10⁴ km	1,3 cm
Soleil	1,4 × 10⁶ km	140 cm
Distance	1,5 × 10⁸ km	15 000 cm

Durée	En secondes	Distance de la lumière
1 ns	10⁻⁹ s	30 cm
1 µs	10⁻⁶ s	300 m
1 ms	10⁻³ s	300 km
1 s	10⁰ s	300 000 km

Étape	Calcul	Résultat
volume	50 × 25 × 2	2 500 m³
en litres	2 500 × 1 000	2,5 × 10⁶ L
gouttes par litre	1 000 × 20	2 × 10⁴
gouttes	2,5 × 10⁶ × 2 × 10⁴	5 × 10¹⁰

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : ordres de grandeur et préfixes, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. Je remplace chaque préfixe par sa puissance de dix ; l'unité reste la même. a) Kilo vaut mille : $1$ km $= 1 0^{3}$ m. b) Nano vaut un milliardième : $1$ ns $= 1 0^{- 9}$ s. c) Méga vaut un million : $1$ MW $= 1 0^{6}$ W. d) Micro vaut un millionième : $1$ µg $= 1 0^{- 6}$ g. ⛔ Le piège : lire « micro » comme « très petit » et répondre au hasard. En maths, micro vaut EXACTEMENT $1 0^{- 6}$ , ni plus ni moins. Réponse : $1 0^{3}$ m ; $1 0^{- 9}$ s ; $1 0^{6}$ W ; $1 0^{- 6}$ g.
2. Je garde le nombre devant, et je remplace seulement le préfixe par sa puissance de dix. a) Giga vaut $1 0^{9}$ : $7$ GW $= 7 \times 1 0^{9}$ W $= 7000000000$ W, sept milliards de watts. b) Micro vaut $1 0^{- 6}$ : $25$ µm $= 25 \times 1 0^{- 6}$ m $= 0, 000025$ m. c) Milli vaut $1 0^{- 3}$ : $0, 4$ mg $= 0, 4 \times 1 0^{- 3}$ g $= 0, 0004$ g. ⛔ Le piège : perdre le nombre devant, et écrire $1 0^{9}$ W pour $7$ GW. Le $7$ reste : seul le préfixe devient une puissance de dix. Réponse : $7000000000$ W ; $0, 000025$ m ; $0, 0004$ g.
Grandeur Préfixe Sans préfixe
7 GW × 10⁹ 7 000 000 000 W
25 µm × 10⁻⁶ 0,000025 m
0,4 mg × 10⁻³ 0,0004 g
3. Pour passer d'un préfixe à l'autre, je soustrais leurs exposants : l'écart dit combien de rangs les séparent. a) Milli $1 0^{- 3}$ , micro $1 0^{- 6}$ : écart $- 3 - (- 6) =$ $3$ . Un millimètre contient $1 0^{3} = 1000$ micromètres. b) Giga $1 0^{9}$ , méga $1 0^{6}$ : écart $9 - 6 =$ $3$ . Un gigaoctet contient $1 0^{3} = 1000$ mégaoctets. c) Kilo $1 0^{3}$ , milli $1 0^{- 3}$ : écart $3 - (- 3) =$ $6$ . Un kilogramme contient $1 0^{6} = 1000000$ milligrammes. ⛔ Le piège : au c), s'arrêter à $1000$ . Du kilo au milli, il y a DEUX sauts de mille, en passant par l'unité : $1 0^{3} \times 1 0^{3} =$ $1 0^{6}$ . Réponse : $1000$ µm ; $1000$ Mo ; $1000000$ mg.
4. Je convertis d'abord en mètres, puis j'encadre entre deux puissances de dix et je prends la plus proche. a) $0, 76$ mm $= 0, 00076$ m, entre $1 0^{- 4}$ et $1 0^{- 3}$ , plus près de $0, 001$ : $1 0^{- 3}$ m. b) $8849$ m est entre $1 0^{3}$ et $1 0^{4}$ , bien plus près de $10000$ : $1 0^{4}$ m. c) $2$ nm $= 2 \times 1 0^{- 9}$ m : $1 0^{- 9}$ m. d) $105$ m est tout près de $100$ : $1 0^{2}$ m. e) $12700$ km $= 12700000$ m, entre $1 0^{7}$ et $1 0^{8}$ , tout près de dix millions : $1 0^{7}$ m. ⛔ Le piège : oublier de convertir. Le diamètre de la Terre n'est pas « de l'ordre de $1 0^{4}$ » : ça, ce sont des kilomètres. Un ordre de grandeur se donne dans UNE unité. Réponse : a) $1 0^{- 3}$ m ; b) $1 0^{4}$ m ; c) $1 0^{- 9}$ m ; d) $1 0^{2}$ m ; e) $1 0^{7}$ m.
5. J'encadre chaque nombre entre deux puissances de dix qui se suivent, puis je prends la plus proche. a) $1 0^{3} < 9600 <$ $1 0^{4}$ , et $9600$ n'est qu'à $400$ de $10000$ : l'ordre de grandeur est $1 0^{4}$ . b) $1 0^{- 3} < 0, 0012 <$ $1 0^{- 2}$ , et $0, 0012$ est tout près de $0, 001$ : $1 0^{- 3}$ . c) $1 0^{6} < 1850000 <$ $1 0^{7}$ , et $1850000$ est bien plus près d'un million que de dix millions : $1 0^{6}$ . d) $1 0^{- 2} < 0, 09 <$ $1 0^{- 1}$ , et $0, 09$ est tout près de $0, 1$ : $1 0^{- 1}$ . ⛔ Le piège : compter les chiffres sans regarder, et répondre $1 0^{3}$ pour $9600$ parce qu'il a quatre chiffres « comme mille ». $9600$ , c'est presque dix mille. Réponse : $1 0^{4}$ ; $1 0^{- 3}$ ; $1 0^{6}$ ; $1 0^{- 1}$ .
Nombre Entre et Le plus proche
9 600 10³ 10⁴ 10⁴
0,0012 10⁻³ 10⁻² 10⁻³
1 850 000 10⁶ 10⁷ 10⁶
0,09 10⁻² 10⁻¹ 10⁻¹
6. J'arrondis chaque facteur à sa puissance de dix, PUIS j'ajoute les exposants. a) $2100 \approx 1 0^{3}$ et $89000 \approx$ $1 0^{5}$ , donc $1 0^{3} \times 1 0^{5} = 1 0^{3 + 5} =$ $1 0^{8}$ . b) $0, 012 \approx 1 0^{- 2}$ et $980 \approx$ $1 0^{3}$ , donc $1 0^{- 2} \times 1 0^{3} = 1 0^{- 2 + 3} =$ $1 0^{1}$ . c) $1200000 \approx 1 0^{6}$ et $0, 0009 \approx$ $1 0^{- 3}$ , donc $1 0^{6} \times 1 0^{- 3} = 1 0^{6 + (- 3)} =$ $1 0^{3}$ . ⭐ Contrôle à la calculatrice : les produits exacts valent $186900000$ , $11, 76$ et $1080$ ; chacun est bien du rang annoncé. ⛔ Le piège : MULTIPLIER les exposants, et trouver $1 0^{15}$ au a). Pour un produit de puissances de dix, on les AJOUTE. Réponse : $1 0^{8}$ ; $1 0^{1}$ ; $1 0^{3}$ .
Calcul Arrondis Ordre Exact
a) 10³ × 10⁵ 10⁸ 186 900 000
b) 10⁻² × 10³ 10¹ 11,76
c) 10⁶ × 10⁻³ 10³ 1 080
7. Pour un quotient, j'arrondis, puis je SOUSTRAIS les exposants : celui du haut moins celui du bas. a) $8900000 \approx 1 0^{7}$ et $1100 \approx$ $1 0^{3}$ , donc $1 0^{7} \div 1 0^{3} = 1 0^{7 - 3} =$ $1 0^{4}$ . b) $0, 0021 \approx 1 0^{- 3}$ et $0, 0009 \approx$ $1 0^{- 3}$ , donc $1 0^{- 3} \div 1 0^{- 3} = 1 0^{0} =$ $1$ . c) $12000 \approx 1 0^{4}$ et $0, 011 \approx$ $1 0^{- 2}$ , donc $1 0^{4} \div 1 0^{- 2} = 1 0^{4 - (- 2)} =$ $1 0^{6}$ . ⭐ Diviser par un centième, c'est multiplier par cent : le résultat du c) est PLUS GRAND que $12000$ . ⛔ Le piège : au c), calculer $4 - 2 = 2$ et répondre $1 0^{2}$ . Soustraire $- 2$ , c'est ajouter $2$ . Réponse : $1 0^{4}$ ; $1 0^{0}$ , soit $1$ ; $1 0^{6}$ .
Calcul Arrondis Ordre Exact
a) 10⁷ ÷ 10³ 10⁴ ≈ 8 091
b) 10⁻³ ÷ 10⁻³ 10⁰ ≈ 2,33
c) 10⁴ ÷ 10⁻² 10⁶ ≈ 1 090 909
8. J'arrondis chaque nombre à un seul chiffre non nul : le calcul se fait de tête, et il suffit pour repérer un facteur $10$ . a) $312 \times 29 \approx 300 \times 30 =$ $9000$ . L'annonce, $90480$ , est environ $10$ fois trop grande : NON plausible. Le vrai résultat est $9048$ : un zéro de trop. b) $4870 \div 52 \approx 5000 \div 50 =$ $100$ . L'annonce, $9, 4$ , est environ $10$ fois trop petite : NON plausible. Le vrai résultat est environ $93, 7$ : une virgule mal placée. c) $0, 21 \times 0, 48 \approx 0, 2 \times 0, 5 =$ $0, 1$ . L'annonce, $0, 1008$ , est du même rang : plausible, et même exacte. ⛔ Le piège : croire qu'un produit est toujours plus grand que ses facteurs. Au c), multiplier par $0, 48$ , c'est prendre à peu près la moitié : le résultat est plus PETIT que $0, 21$ . Réponse : a) non ; b) non ; c) oui.
Calcul Estimation Annoncé Verdict
a) 9 000 90 480 faux, × 10
b) 100 9,4 faux, ÷ 10
c) 0,1 0,1008 plausible
9. a) Je remplace chaque préfixe : l'ampoule reste à $9$ W ; $3$ MW $= 3 \times 1 0^{6}$ W ; $900$ MW $= 900 \times 1 0^{6}$ W $= 9 \times 1 0^{8}$ W. b) Même préfixe des deux côtés : je divise directement, $900 \div 3 =$ $300$ . Il faut $300$ éoliennes, quand le vent souffle à plein. c) Je divise en watts : $\frac{9 \times 1 0 ^{8}}{9} =$ $1 0^{8}$ . Le réacteur alimente cent millions d'ampoules. ⭐ Sur l'échelle, huit rangs séparent l'ampoule du réacteur : c'est le facteur $1 0^{8}$ du c). ⛔ Le piège : diviser $900$ par $9$ sans convertir, et répondre $100$ ampoules. Des mégawatts et des watts ne se divisent pas entre eux : j'écris tout en watts d'abord. Réponse : a) $9$ W, $3 \times 1 0^{6}$ W et $9 \times 1 0^{8}$ W ; b) $300$ éoliennes ; c) $1 0^{8}$ ampoules.
10. a) $1$ g $= 1 0^{- 3}$ kg et $1$ t $= 1 0^{3}$ kg. Abeille : $0, 1$ g $= 0, 0001$ kg $= 1 0^{- 4}$ kg. Colibri : $2$ g $= 0, 002$ kg, tout près de $0, 001$ : ordre de grandeur $1 0^{- 3}$ kg. Éléphant : $6$ t $= 6000$ kg, plus près de $10000$ que de $1000$ : $1 0^{4}$ kg. Baleine : $150$ t $= 150000$ kg, tout près de $100000$ : $1 0^{5}$ kg. b) $1 0^{5} \div 1 0^{- 3} = 1 0^{5 - (- 3)} =$ $1 0^{8}$ : environ cent millions de fois. c) $150000 \div 0, 002 =$ $75000000$ , soit $7, 5 \times$ $1 0^{7}$ : c'est bien le rang de $1 0^{8}$ . ⛔ Le piège : comparer $150$ et $2$ sans convertir, et répondre $75$ fois. Des tonnes et des grammes ne se comparent pas : une seule unité d'abord. Réponse : la baleine est environ $1 0^{8}$ fois plus lourde que le colibri, exactement $75$ millions de fois avec ces valeurs.
11. a) Une heure compte $60 \times 60 = 3600$ secondes. Une année compte donc $365 \times 24 \times 3600$ secondes. J'arrondis : $365 \approx$ $400$ , $24 \approx$ $20$ , $3600 \approx$ $4000$ . $400 \times 20 \times 4000 =$ $32000000$ , environ $3 \times 1 0^{7}$ secondes. b) $365 \times 24 = 8760$ heures, puis $8760 \times 3600 = 31536000$ secondes. L'estimation, $32$ millions, est à moins de $2$ % du résultat exact. c) Un milliard, c'est $1 0^{9}$ . $1 0^{9} \div 31536000 \approx$ $31, 7$ : un milliard de secondes, c'est environ $32$ ans. ⭐ Un million de secondes, mille fois moins, dure environ $11, 6$ jours. Du million au milliard, on passe de deux semaines à une vie d'adulte. ⛔ Le piège : compter $60$ secondes par heure. $365 \times 24 \times 60 =$ $525600$ : c'est le nombre de MINUTES d'une année, soixante fois moins. Réponse : environ $3 \times 1 0^{7}$ s dans une année, $31536000$ exactement ; un milliard de secondes, c'est environ $32$ ans.
Facteur Exact Arrondi
jours 365 400
heures 24 20
secondes 3 600 4 000
produit 31 536 000 32 000 000
12. a) $420$ ppm $= 420 \times 1 0^{- 6} =$ $0, 00042$ . Une partie par million, c'est le « micro » des préfixes. b) Un pourcentage compte en centièmes : $0, 00042 \times 100 =$ $0, 042$ , donc $420$ ppm $= 0, 042$ %. c) $4, 2 \div 0, 042 =$ $100$ : l'exposé annonce $100$ fois trop, deux rangs. Ce n'est PAS plausible : à $4$ % de CO₂, l'air devient dangereux à respirer. ⛔ Le piège : lire « par million » comme « par cent ». $1$ % $= 1 0^{- 2}$ et $1$ ppm $=$ $1 0^{- 6}$ : quatre rangs d'écart. Réponse : $420$ ppm $= 420 \times 1 0^{- 6} =$ $0, 00042$ , soit $0, 042$ % ; l'exposé se trompe d'un facteur $100$ .
13. a) $2 \times 7 = 14$ Go. Giga vaut $1 0^{9}$ : $14$ Go $= 14 \times 1 0^{9}$ octets, soit $1, 4 \times 1 0^{10}$ octets. b) Même unité des deux côtés : $64 \div 7 \approx$ $9, 1$ . Environ $9$ heures de film. c) $14$ Go et $14$ Mo ont le même nombre devant ; seul le préfixe change. Giga $1 0^{9}$ , méga $1 0^{6}$ : écart $9 - 6 = 3$ rangs, un facteur $1000$ . Le camarade a confondu giga et méga. ⭐ Contrôle du sens : à $7$ Go par heure, $14$ Mo ne dureraient qu'environ $7$ secondes. ⛔ Le piège : croire que Mo et Go, « c'est pareil, en gros ». Entre les deux, il y a exactement mille. Réponse : $1, 4 \times 1 0^{10}$ octets ; environ $9$ heures ; un facteur $1000$ , méga pris pour giga.
14. a) Une journée compte $24 \times 60 = 1440$ minutes. $70 \times 1440 = 100800$ battements par jour, environ $1 0^{5}$ . b) En un an : $1 0^{5} \times$ $365$ . J'arrondis $365 \approx$ $400$ : environ $4 \times 1 0^{7}$ battements. En $80$ ans : $4 \times 1 0^{7} \times 80 = 320 \times 1 0^{7} = 3, 2 \times 1 0^{9}$ battements, environ trois milliards. ⭐ Le calcul exact, $100800 \times 365 \times 80 =$ $2943360000$ , tombe bien dans le même rang : quelques milliards. c) $3$ millions, c'est $3 \times$ $1 0^{6}$ ; l'estimation dit $3 \times$ $1 0^{9}$ . Écart : $9 - 6 = 3$ rangs, un facteur $1000$ . L'affiche n'est PAS plausible : trois millions de battements, c'est à peine un mois de vie. ⛔ Le piège : confondre million et milliard. Ils se ressemblent à l'oreille, mais il y a mille entre eux. Réponse : $100800$ battements par jour, environ $3 \times 1 0^{9}$ en $80$ ans ; l'affiche se trompe d'un facteur $1000$ .
Durée Estimation Exact
1 jour 10⁵ 100 800
1 an 4 × 10⁷ 36 792 000
80 ans 3,2 × 10⁹ 2 943 360 000
15. a) Cheveu : $70$ µm $= 70 \times 1 0^{- 6}$ m $= 7 \times 1 0^{- 5}$ m, plus près de $1 0^{- 4}$ que de $1 0^{- 5}$ : ordre de grandeur $1 0^{- 4}$ m. Virus : $100$ nm $= 100 \times 1 0^{- 9}$ m $= 1 0^{- 7}$ m. b) Je divise : $1 0^{- 4} \div 1 0^{- 7} = 1 0^{- 4 - (- 7)} =$ $1 0^{3}$ . Environ mille virus. c) $\frac{7 \times 1 0 ^{- 5}}{1 0 ^{- 7}} = 7 \times 1 0^{- 5 + 7} = 7 \times 1 0^{2} = 700$ virus. ⭐ $700$ et $1000$ sont du même rang : l'ordre de grandeur donne le rang, le calcul donne le chiffre. ⛔ Le piège : calculer $- 4 - 7 = - 11$ et trouver un nombre minuscule. Un cheveu est PLUS GROS qu'un virus : le résultat doit dépasser $1$ . Soustraire $- 7$ , c'est ajouter $7$ . Réponse : environ $700$ virus, de l'ordre de $1 0^{3}$ .
16. Je fais la conversion juste, puis je compare les deux réponses : le facteur dit combien de rangs ont été perdus. a) Du kilo au milli : $3 - (- 3) = 6$ rangs. $3, 5$ kg $= 3, 5 \times 1 0^{6}$ mg $= 3500000$ mg. Facteur : $3500000 \div 3500 =$ $1000$ . Léa s'est arrêtée aux grammes : une conversion sur deux. b) Micro vaut $1 0^{- 6}$ : $45$ µs $= 45 \times 1 0^{- 6}$ s $= 0, 000045$ s. Facteur : $0, 045 \div 0, 000045 =$ $1000$ . Noé a pris micro pour milli. c) Giga vaut $1 0^{9}$ : $2$ GW $= 2 \times 1 0^{9}$ W. Facteur : $1 0^{9} \div 1 0^{6} =$ $1000$ . Inès a pris giga pour méga. ⭐ Trois fois le facteur $1000$ : c'est la signature d'un préfixe voisin confondu, ou d'une conversion oubliée, puisque les préfixes vont de trois rangs en trois rangs. ⛔ Le piège : tout recommencer sans chercher le facteur. Le facteur montre OÙ est l'erreur. Réponse : les trois réponses sont fausses d'un facteur $1000$ .
Élève Réponse Juste Facteur
Léa 3 500 mg 3 500 000 mg × 1 000
Noé 0,045 s 0,000045 s ÷ 1 000
Inès 2 × 10⁶ W 2 × 10⁹ W × 1 000
17. Le système solaire dans la cour a) $1, 3 \times$ $1 0^{4}$ : ordre $1 0^{4}$ km. $1, 4 \times$ $1 0^{6}$ : ordre $1 0^{6}$ km. $1, 5 \times$ $1 0^{8}$ : ordre $1 0^{8}$ km. Deux rangs à chaque fois : le Soleil est environ $100$ fois plus large que la Terre, et la distance vaut environ $100$ diamètres du Soleil. b) Je divise chaque longueur par $1 0^{4}$ km, la longueur que représente $1$ cm. Terre : $\frac{1 , 3 \times 1 0 ^{4}}{1 0 ^{4}} = 1, 3$ cm, une bille. Soleil : $\frac{1 , 4 \times 1 0 ^{6}}{1 0 ^{4}} = 1, 4 \times 1 0^{2} = 140$ cm, une boule de la taille d'un enfant de dix ans. Distance : $\frac{1 , 5 \times 1 0 ^{8}}{1 0 ^{4}} = 1, 5 \times 1 0^{4} = 15000$ cm, soit $150$ m. c) $150 \div 10 =$ $15$ : il faudrait $15$ salles de classe bout à bout. Et $150$ m, c'est un terrain de football et demi. ⛔ Le piège : imaginer le Soleil et la Terre côte à côte, comme sur les images des livres. À l'échelle, une bille à $150$ m d'une boule de $1, 4$ m : le système solaire, c'est surtout du VIDE. Réponse : Terre $1, 3$ cm, Soleil $140$ cm, distance $150$ m ; la maquette ne tient pas dans la classe, il faut un terrain et demi.
Longueur Réelle Maquette
Terre 1,3 × 10⁴ km 1,3 cm
Soleil 1,4 × 10⁶ km 140 cm
Distance 1,5 × 10⁸ km 15 000 cm
18. Un fil d'une nanoseconde a) Distance $=$ vitesse $\times$ durée, avec $1$ ns $= 1 0^{- 9}$ s : $3 \times 1 0^{8} \times 1 0^{- 9} = 3 \times 1 0^{8 + (- 9)} = 3 \times 1 0^{- 1}$ m $= 0, 3$ m, soit $30$ cm. Le fil a la longueur que parcourt la lumière en une nanoseconde : Grace Hopper faisait TOUCHER une durée. b) En une seconde, $3 \times 1 0^{9}$ cycles : pendant un cycle, la lumière parcourt $\frac{3 \times 1 0 ^{8}}{3 \times 1 0 ^{9}} = 1 0^{8 - 9} = 1 0^{- 1}$ m, soit $10$ cm. Pendant un cycle, même la lumière n'a pas le temps de traverser l'ordinateur. c) $1$ µs $= 1 0^{- 6}$ s : $3 \times 1 0^{8} \times 1 0^{- 6} = 3 \times 1 0^{2} = 300$ m. L'élève annonce $300$ km, mille fois trop : c'est FAUX. $300$ km, c'est la distance parcourue en une MILLIseconde. ⛔ Le piège : confondre micro et milli. Ils se suivent sur l'échelle des préfixes, à trois rangs l'un de l'autre : un facteur $1000$ . Réponse : $30$ cm en une nanoseconde ; $10$ cm pendant un cycle ; en une microseconde, $300$ m et non $300$ km.
Durée En secondes Distance de la lumière
1 ns 10⁻⁹ s 30 cm
1 µs 10⁻⁶ s 300 m
1 ms 10⁻³ s 300 km
1 s 10⁰ s 300 000 km
19. Les arbres de la Terre a) $3 \times$ $1 0^{12}$ : ordre $1 0^{12}$ . $1, 5 \times$ $1 0^{10}$ : ordre $1 0^{10}$ . $8 \times$ $1 0^{9}$ , huit milliards, est plus près de dix milliards que d'un milliard : ordre $1 0^{10}$ . Arbres par humain : $1 0^{12} \div 1 0^{10} =$ $1 0^{2}$ , de l'ordre de la centaine. b) $\frac{3 \times 1 0 ^{12}}{8 \times 1 0 ^{9}} = \frac{3}{8} \times 1 0^{12 - 9} = 0, 375 \times 1 0^{3} = 375$ arbres par être humain : des centaines, comme prévu. c) $\frac{3 \times 1 0 ^{12}}{1 , 5 \times 1 0 ^{10}} = 2 \times 1 0^{2} = 200$ ans. ⭐ En vrai, des arbres repoussent et on en plante : $200$ ans n'est pas une prévision. C'est une MESURE de la vitesse de l'abattage. d) $15$ millions $= 1, 5 \times$ $1 0^{7}$ . Les chercheurs disent $1, 5 \times$ $1 0^{10}$ : écart $10 - 7 = 3$ rangs, un facteur $1000$ . Le titre n'est pas vraisemblable : il a écrit millions au lieu de milliards. ⛔ Le piège : comparer « $15$ » et « $1, 5$ » en oubliant les puissances de dix. Deux nombres ne se comparent qu'écrits de la même façon. Réponse : environ $375$ arbres par humain ; $200$ ans sans repousse ; le titre se trompe d'un facteur $1000$ .
20. Les gouttes d'un bassin olympique a) $V = 50 \times 25 \times 2 = 2500$ m³. Puis $2500 \times 1000 = 2500000$ L, soit $2, 5 \times 1 0^{6}$ L. b) Un litre vaut $1000$ mL, donc $1000 \times 20 = 20000$ gouttes par litre, soit $2 \times$ $1 0^{4}$ . Nombre de gouttes : $2, 5 \times 1 0^{6} \times 2 \times 1 0^{4} = 5 \times$ $1 0^{10}$ , cinquante milliards de gouttes. c) $\frac{5 \times 1 0 ^{10}}{5 \times 1 0 ^{7}} =$ $1 0^{3}$ : un facteur $1000$ . L'élève a compté $20$ gouttes par LITRE au lieu de $20$ par millilitre : il a oublié le passage des litres aux millilitres. ⭐ Pour sentir ce nombre : à une goutte par seconde, vider le bassin prendrait $5 \times 1 0^{10}$ secondes, plus de $1500$ ans. ⛔ Le piège : enchaîner les conversions sans les écrire. Chaque « milli » oublié coûte trois rangs d'un coup. Réponse : $2500$ m³, soit $2, 5 \times 1 0^{6}$ L ; $5 \times 1 0^{10}$ gouttes, cinquante milliards ; l'élève se trompe d'un facteur $1000$ .
Étape Calcul Résultat
volume 50 × 25 × 2 2 500 m³
en litres 2 500 × 1 000 2,5 × 10⁶ L
gouttes par litre 1 000 × 20 2 × 10⁴
gouttes 2,5 × 10⁶ × 2 × 10⁴ 5 × 10¹⁰

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : ordres de grandeur et préfixes, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3