Proportionnalité : tableaux, coefficient, produit en croix : 20 exercices corrigésmaths 4e — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : proportionnalité : tableaux, coefficient, produit en croix, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. Je divise chaque nombre de la série par la valeur de $x$ sur la même ligne. Proportionnel veut dire : le même quotient partout. a) Série A : $10,5÷3=$$3,5$ ; $17,5÷5=$$3,5$ ; $28÷8=$$3,5$. Les trois quotients sont égaux : la série A est proportionnelle à $x$, avec le coefficient $3,5$. b) Série B : $7÷3\approx 2,33$ et $11÷5=$$2,2$. Deux quotients différents suffisent : la série B n'est pas proportionnelle à $x$. ⛔ Le piège : la série B est très RÉGULIÈRE (quand $x$ augmente de $2$, elle augmente de $4$), et pourtant elle n'est pas proportionnelle. Régulier ne veut pas dire proportionnel. Réponse : a) oui, coefficient $3,5$ ; b) non.

   x	A ÷ x	B ÷ x
   3	3,5	2,33…
   5	3,5	2,2
   8	3,5	2,125

2. 2. Une situation de proportionnalité a pour graphique des points ALIGNÉS avec l'ORIGINE : il faut les deux conditions. (d1) est une droite qui passe par l'origine : c'est une situation de proportionnalité. Je le vérifie : $(1;2)$, $(2;4)$, $(5;10)$, et à chaque fois $y=2\times$$x$. (d2) est une droite, mais elle coupe l'axe vertical en $3$, pas à l'origine : pas proportionnelle. (d3) passe par l'origine, mais ce n'est pas une droite, elle se courbe : pas proportionnelle. ⛔ Le piège : dire « (d2) est une droite, donc c'est proportionnel ». Une droite qui ne passe pas par l'origine ne représente pas une situation de proportionnalité. Réponse : seule (d1).
3. 3. Le coefficient : je divise un prix par sa masse, sur une colonne complète. $6,40÷2=$$3,2$. Pour passer de la masse au prix, je multiplie par $3,2$. $5\times 3,2=16$ et $7,5\times 3,2=$$24$. Dans la dernière colonne, je connais le prix : je fais le chemin inverse, je DIVISE. $41,60÷3,2=$$13$. ⛔ Le piège : multiplier $41,60$ par $3,2$. Pour remonter du prix à la masse, on divise par le coefficient. Réponse : le coefficient est $3,2$ ; les cases valent $16$ €, $24$ € et $13$ kg.

   Masse (kg)	Prix (€)
   2	6,40
   5	16
   7,5	24
   13	41,60

   → × 3,2

   Masse (kg)	2	5	7,5	13	↓ × 3,2
   Prix (€)	6,40	16	24	41,60

4. 4. Je reviens d'abord à l'unité : le prix d'UNE pile. a) $9,60÷8=$$1,2$. Une pile coûte $1,20$ €. b) $5\times 1,2=6$ et $14\times 1,2=$$16,8$. ⭐ Contrôle : $14$ piles, c'est $8+5+1$ piles, et $9,60+6+1,20=$$16,80$. ⛔ Le piège : chercher le prix de $5$ piles en enlevant $3$ € au prix du lot, « parce qu'il y a $3$ piles de moins ». Il faut passer par le prix d'une pile. Réponse : a) $1,20$ € ; b) $6$ € et $16,80$ €.

   piles	prix (€)
   8	9,60
   1	1,20
   5	6
   14	16,80

5. 5. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux. Je multiplie les deux nombres de la diagonale complète, puis je divise par le nombre qui reste. a) $x=\frac{12\times 7}{4}=$$21$. b) $x=\frac{25\times 6}{15}=$$10$. c) $x=\frac{7\times 9}{2,5}=$$25,2$. ⭐ Contrôle du b) : $6÷15=0,4$ et $10÷25=$$0,4$. Même coefficient. ⛔ Le piège : multiplier les deux nombres d'une même COLONNE, par exemple $15\times$$6$. Les nombres qu'on multiplie sont en DIAGONALE. Réponse : a) $21$ ; b) $10$ ; c) $25,2$.
6. 6. a) Le graphique est une droite qui passe par l'origine : le volume est proportionnel à la durée. b) Je pars de $4$ sur l'axe HORIZONTAL (les minutes), je monte jusqu'à la droite, puis je lis sur l'axe vertical : $6$ litres. c) Le coefficient : $6÷4=1,5$ litre par minute. $30\times 1,5=45$ litres. d) Je fais le chemin inverse : $60÷1,5=40$ minutes. e) Le coefficient est $1,5$ : je multiplie toujours la durée par $1,5$. La relation s'écrit $V=1,5\times$$t$. Contrôle sur le graphique : pour $t=$$4$, $1,5\times 4=$$6$. ⛔ Le piège du b) : partir de $4$ sur l'axe vertical, et lire $2,7$ environ. Les minutes sont sur l'axe horizontal. Réponse : a) une droite par l'origine ; b) $6$ L ; c) $45$ L ; d) $40$ minutes ; e) $V=1,5\times$$t$.
7. 7. Léo se trompe : dans une situation de proportionnalité, on MULTIPLIE, on n'ajoute pas. Passer de $3$ à $5$ personnes ne fait pas ajouter $2$ g. Zoé a raison. $6$ personnes, c'est le double de $3$ : $240\times 2=480$ g. La part d'une personne : $240÷3=80$ g. Pour $5$ personnes : $480-80=400$ g. Ou directement : $5\times 80=400$ g. ⛔ Le piège : ajouter l'écart, comme Léo. $242$ g pour $5$ personnes, ce serait presque la même quantité que pour $3$ ! Réponse : Zoé a raison ; il faut $400$ g de farine.

   personnes	farine (g)
   3	240
   1	80
   5	400
   6	480

   → × 80

   personnes	3	1	5	6	↓ × 80
   farine (g)	240	80	400	480

8. 8. a) Oui : chaque litre coûte le même prix. Le coefficient est le prix d'un litre. b) Non : pour $10$ minutes je paie $1+10\times 0,25=3,5$ €, pour $20$ minutes $1+20\times 0,25=6$ €. La durée double, le prix ne double pas, à cause du $1$ € de départ. c) Oui : le périmètre vaut toujours $4\times$ le côté. Le coefficient est $4$. d) Non : un côté de $1$ cm donne $1$ cm², un côté de $2$ cm donne $4$ cm², un côté de $3$ cm donne $9$ cm². Les quotients $1$, $2$ et $3$ ne sont pas égaux. ⛔ Le piège du d) : « quand le côté augmente, l'aire augmente, donc c'est proportionnel ». Deux grandeurs qui grandissent ensemble ne sont pas forcément proportionnelles. Réponse : a) oui ; b) non ; c) oui ; d) non.

   côté (cm)	aire (cm²)	aire ÷ côté
   1	1	1
   2	4	2
   3	9	3

9. 9. a) $500$ flyers, c'est $2$ fois $250$ : $35\times 2=70$ €. $750=250+$$500$ : j'additionne les colonnes, $35+70=105$ €. $1250=500+$$750$ : $70+105=175$ €. b) Le coefficient : $35÷250=$$0,14$. Un flyer coûte $0,14$ €. Vérification : $500\times 0,14=$$70$ ; $750\times 0,14=$$105$ ; $1250\times 0,14=$$175$. ⛔ Le piège : calculer le coefficient « à l'envers », $250÷35\approx$$7,14$. Le coefficient qui passe du haut au bas se calcule : bas divisé par haut. Réponse : $70$ €, $105$ € et $175$ € ; le coefficient est $0,14$.

   flyers	prix (€)
   250	35
   500	70
   750	105
   1 250	175

   → × 0,14

   flyers	250	500	750	1 250	↓ × 0,14
   prix (€)	35	70	105	175

10. 10. D'abord la même unité : $2$ h $30$ min, c'est $2,5$ h, car $30$ min est une demi-heure. Puis le produit en croix : $2,5$ h correspond à $38$ g, $4$ h correspond à $x$ g. $x=\frac{4\times 38}{2,5}=$$60,8$. ⭐ Contrôle : en $1$ h, $38÷2,5=15,2$ g ; en $4$ h, $4\times 15,2=60,8$ g. ⛔ Le piège : écrire $2,30$ h. $30$ minutes ne font pas $0,30$ h : une heure compte $60$ minutes, pas $100$. Réponse : elle utilise $60,8$ g de fil en $4$ h.
11. 11. Pour comparer, je ramène les deux pots à la même quantité : $1$ kg, soit $1000$ g. Petit pot : $450$ g, c'est $0,45$ kg. $2,97÷0,45=$$6,6$. Le kilo revient à $6,60$ €. Grand pot : $750$ g, c'est $0,75$ kg. $4,80÷0,75=$$6,4$. Le kilo revient à $6,40$ €. $6,40<$$6,60$ : le grand pot est plus avantageux. ⛔ Le piège : choisir le petit pot « parce qu'il coûte moins cher ». Il coûte moins, mais il contient moins : seul le prix pour la même quantité permet de comparer. Réponse : le pot de $750$ g, à $6,40$ € le kilo.

    pot	masse (kg)	prix au kg (€)
    petit	0,45	6,60
    grand	0,75	6,40

12. 12. a) La droite bleue du tarif A passe par l'origine : le prix A est proportionnel à la durée, avec le coefficient $3$. La droite orange coupe l'axe vertical en $4$ : le prix B n'est pas proportionnel. b) Les droites se croisent au point $(4;12)$. Je vérifie : tarif A, $4\times 3=12$ € ; tarif B, $4+4\times 2=12$ €. Pour $4$ h, les deux coûtent $12$ €. c) Tarif A : $6\times 3=18$ €. Tarif B : $4+6\times 2=16$ €. Je choisis le tarif B. ⛔ Le piège : croire que le tarif proportionnel est toujours le moins cher. Il l'est pour une location courte ; après $4$ h, le tarif B gagne. Réponse : a) le tarif A ; b) $4$ h, pour $12$ € ; c) le tarif B, $16$ € au lieu de $18$ €.
13. 13. a) Produit en croix : $75$ kg de sable correspondent à $25$ kg de ciment, $180$ kg de sable correspondent à $x$ kg. $x=\frac{180\times 25}{75}=$$60$. Il faut $60$ kg de ciment. b) Un sac pèse $25$ kg : $60÷25=2,4$ sacs. On ne peut pas acheter $0,4$ sac : il faut en acheter $3$. ⭐ Contrôle : il y a toujours $3$ fois plus de sable que de ciment, et $3\times 60=$$180$. ⛔ Le piège : arrondir à $2$ sacs. Avec $2$ sacs, soit $50$ kg, il manquerait $10$ kg de ciment. Réponse : a) $60$ kg ; b) $3$ sacs.
14. 14. a) Je calcule allongement divisé par masse pour chaque mesure. $1,2÷50=$$0,024$ ; $2,4÷100=$$0,024$ ; $3,6÷150=$$0,024$ ; $4,8÷200=$$0,024$. Mais $7,5÷250=$$0,03$ : la dernière mesure ne suit pas. Le ressort a été trop étiré : il s'est déformé. Donc l'allongement est proportionnel à la masse jusqu'à $200$ g, pas au-delà. b) Le coefficient est $0,024$ cm par gramme. c) $120$ g est dans la partie proportionnelle : $120\times 0,024=2,88$ cm. ⛔ Le piège : conclure après avoir vérifié deux ou trois colonnes. Il faut TOUTES les vérifier : ici, c'est la dernière qui casse la proportionnalité. Réponse : a) oui jusqu'à $200$ g, non ensuite ; b) $0,024$ ; c) $2,88$ cm.

    masse (g)	allongement ÷ masse
    50 à 200	0,024
    250	0,03

15. 15. Je mets les durées en minutes : $1$ h $20$ min, c'est $60+20=80$ min. a) Produit en croix : $45$ min correspondent à $540$ m, $80$ min correspondent à $x$ m. $x=\frac{80\times 540}{45}=$$960$. Elle gagne $960$ m. b) $540$ m correspondent à $45$ min, $1200$ m correspondent à $t$ min. $t=\frac{1200\times 45}{540}=$$100$. Il lui faut $100$ min, soit $1$ h $40$ min. ⭐ Contrôle : en $1$ min, elle gagne $540÷45=12$ m. Et $12\times 80=$$960$, $12\times 100=$$1200$. ⛔ Le piège : écrire $1$ h $20$ min $=1,20$ h. En heures, c'est $1+$$\frac{20}{60}$, pas $1,20$. Les minutes évitent la question. Réponse : a) $960$ m ; b) $1$ h $40$ min.
16. 16. $18=7+$$11$ : j'additionne les colonnes, $16,8+26,4=$$43,2$. $4=11-$$7$ : je soustrais, $26,4-16,8=$$9,6$. $29=18+$$11$ : $43,2+26,4=$$69,6$. Vérification par le coefficient : $16,8÷7=$$2,4$. Puis $18\times 2,4=$$43,2$ ; $4\times 2,4=$$9,6$ ; $29\times 2,4=$$69,6$. La relation : je multiplie toujours $x$ par $2,4$, donc $y=2,4\times$$x$. ⛔ Le piège : chercher un calcul compliqué. Quand les nombres du haut se combinent, les nombres du bas se combinent de la même façon. Réponse : $43,2$ ; $9,6$ ; $69,6$ ; $y=2,4\times$$x$.

    x	y
    7	16,8
    11	26,4
    18	43,2
    4	9,6
    29	69,6

    → × 2,4

    x	7	11	18	4	29	↓ × 2,4
    y	16,8	26,4	43,2	9,6	69,6

17. 17. La pâte à pain a) Le coefficient qui passe de la recette à sa pâte : $455÷650=$$0,7$. Toutes les masses sont multipliées par $0,7$. Farine : $1000\times 0,7=700$ g. Sel : $18\times 0,7=12,6$ g. Levure : $20\times 0,7=14$ g. b) J'additionne : $1000+650+18+20=1688$ g de pâte. c) $5$ kg, c'est $5000$ g, donc $5$ fois la recette : $1688\times 5=8440$ g de pâte. $8440÷350\approx$$24,1$. Il peut façonner $24$ pains entiers. ⛔ Le piège du c) : oublier de convertir, et multiplier par $5$ en croyant avoir $5$ g de farine. Ou répondre $25$ pains : le $25$e n'aurait pas assez de pâte. Réponse : a) $700$ g de farine, $12,6$ g de sel, $14$ g de levure ; b) $1688$ g ; c) $24$ pains.
18. 18. Les ombres au soleil Le coefficient qui passe de la hauteur à l'ombre : $2,4÷1,5=$$1,6$. L'ombre est $1,6$ fois plus longue que l'objet. a) Je connais l'ombre, je cherche la hauteur : je DIVISE. $14÷1,6=$$8,75$. L'arbre mesure $8,75$ m. b) $1,6\times 1,6=$$2,56$. L'ombre de la personne mesure $2,56$ m. c) $30,4÷1,6=$$19$. La tour mesure $19$ m. ⭐ Pourquoi ça marche : les rayons du soleil arrivent parallèles, et les triangles formés par chaque objet et son ombre ont la même forme. ⛔ Le piège du a) : multiplier $14$ par $1,6$ et trouver un arbre de $22,4$ m, plus grand que son ombre. Or ici, l'ombre est plus longue que l'objet. Réponse : a) $8,75$ m ; b) $2,56$ m ; c) $19$ m.
19. 19. Les panneaux solaires Je reviens à l'unité : $1$ m² produit $2280÷12=190$ kWh par an. a) $20\times 190=3800$ kWh par an. b) Je fais le chemin inverse : $4560÷190=24$ m². ⭐ Contrôle : $4560$, c'est le double de $2280$, donc il faut le double de $12$ m², soit $24$ m². c) $24÷1,7\approx$$14,1$. Avec $14$ panneaux, on n'a que $14\times 1,7=23,8$ m², pas assez. Il faut $15$ panneaux. ⛔ Le piège du c) : répondre $14$ panneaux, ou $14,1$. On ne pose pas un morceau de panneau, et $14$ ne suffisent pas. Réponse : a) $3800$ kWh ; b) $24$ m² ; c) $15$ panneaux.

    surface (m²)	production (kWh)
    12	2 280
    1	190
    20	3 800
    24	4 560

    → × 190

    surface (m²)	12	1	20	24	↓ × 190
    production (kWh)	2 280	190	3 800	4 560

20. 20. Les pompes du bassin a) Deux fois plus de pompes vident deux fois plus vite. $4$ pompes, c'est $2$ fois $2$ pompes : $6÷2=3$ h. $6$ pompes, c'est $2$ fois $3$ pompes : $4÷2=2$ h. b) Non. Les quotients durée divisée par pompes valent $12$, $3$, $1,33\dots$ : ils ne sont pas égaux. Et quand le nombre de pompes augmente, la durée DIMINUE. c) Le PRODUIT pompes fois durée : $1\times 12=$$12$, $2\times 6=$$12$, $3\times 4=$$12$, $4\times 3=$$12$, $6\times 2=$$12$. Il faut toujours $12$ heures de travail d'une pompe. d) $1$ h $30$ min $=1,5$ h. Je cherche le nombre de pompes qui, multiplié par $1,5$, donne $12$ : $12÷1,5=8$ pompes. ⛔ Le piège : utiliser un produit en croix, comme si la durée était proportionnelle au nombre de pompes. On trouverait « plus de pompes, plus de temps », ce qui n'a pas de sens. Réponse : a) $3$ h et $2$ h ; b) non ; c) le produit vaut toujours $12$ ; d) $8$ pompes.