Se repérer : droite graduée, plan, pavé, Terre : 20 exercices corrigésmaths 4e — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : se repérer : droite graduée, plan, pavé, terre, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. Je lis d'abord le pas : de $0$ à $3$, il y a une seule graduation d'écart. Chaque graduation vaut donc $3$. a) $K$ est à gauche de l'origine, à $3$ graduations : $3\times 3=$$9$, et à gauche le signe est moins. L'abscisse de $K$ est $-9$. $L$ est à droite, à $4$ graduations : $4\times 3=$$12$. L'abscisse de $L$ est $12$. b) Je soustrais la plus petite abscisse à la plus grande : $KL=12-(-9)=12+9=$$21$. ⭐ Contrôle sur le dessin : de $K$ à $L$, il y a $7$ graduations de $3$, et $7\times 3=$$21$. ⛔ Le piège : compter les graduations sans multiplier par le pas, et répondre $-3$ et $4$. Ici, une graduation vaut $3$, pas $1$. Réponse : $K$ a pour abscisse $-9$, $L$ a pour abscisse $12$, et $KL=$$21$.

   7 graduations de 3 entre K et L

2. 2. Le SIGNE dit de quel côté de l'origine ; le nombre divisé par le PAS dit combien de graduations. a) $A$ : $2,5÷0,5=$$5$, donc $5$ graduations à droite. $B$ : $1,5÷0,5=$$3$, et le signe est moins : $3$ graduations à gauche. $C$ : $3÷0,5=$$6$, donc $6$ graduations à gauche. b) Plus un point est à gauche, plus son abscisse est petite : $-3<-1,5<0<$$2,5$. De gauche à droite : $C$, $B$, $O$, $A$. ⛔ Le piège : placer $A$ à $2,5$ graduations, comme si chaque graduation valait $1$. Avec un pas de $0,5$, il en faut deux fois plus : $5$. Réponse : $A$ à $5$ graduations à droite, $B$ à $3$ à gauche, $C$ à $6$ à gauche ; de gauche à droite, $C$, $B$, $O$, $A$.

   une petite graduation vaut 0,5

3. 3. Je compte d'abord les parts dans UNE unité, de $0$ à $1$ : il y en a $3$. Chaque part vaut $\frac{1}{3}$, et $3$ sera le dénominateur. $A$ est à $2$ parts à droite de l'origine : son abscisse est $\frac{2}{3}$. $B$ est à $7$ parts à droite ($3$ jusqu'à $1$, $3$ de plus jusqu'à $2$, puis $1$) : son abscisse est $\frac{7}{3}$. $C$ est à $4$ parts à gauche : son abscisse est $-\frac{4}{3}$. ⭐ Contrôle : $\frac{7}{3}$ est bien entre $2$ et $3$, car $7=3\times 2+$$1$. ⛔ Le piège : retourner la fraction et écrire $\frac{3}{2}$ pour $A$. Le dénominateur compte les parts d'UNE unité ; le numérateur, les parts comptées. Réponse : $A$ a pour abscisse $\frac{2}{3}$, $B$ a pour abscisse $\frac{7}{3}$, $C$ a pour abscisse $-\frac{4}{3}$.

   une part vaut 1/3

4. 4. a) Je fais la division euclidienne du numérateur par le dénominateur : $9=4\times 2+$$1$. Le quotient donne l'entier de gauche : $\frac{9}{4}$ est entre $2$ et $3$, une part après $2$. Pour $-\frac{5}{4}$ : $5=4\times 1+$$1$, donc $\frac{5}{4}$ est entre $1$ et $2$ ; son opposé est de l'autre côté, entre $-2$ et $-1$, une part à gauche de $-1$. b) $D$ : $9$ parts à droite de l'origine. $E$ : $5$ parts à gauche. $F$ : $\frac{3}{2}=$$\frac{6}{4}$, donc $6$ parts à droite, au milieu entre $1$ et $2$. ⛔ Le piège : placer $E$ entre $-1$ et $0$, en pensant « $\frac{5}{4}$, c'est un peu plus que $1$, donc un peu plus que $-1$ ». $-\frac{5}{4}=-1,25$ est PLUS PETIT que $-1$ : il est à gauche de $-1$. Réponse : $2<\frac{9}{4}<3$ et $-2<-\frac{5}{4}<$$-1$ ; $D$ à $9$ parts à droite, $E$ à $5$ parts à gauche, $F$ à $6$ parts à droite.

   une part vaut 1/4

5. 5. Pour chaque point, je descends (ou je monte) jusqu'à l'axe horizontal : c'est l'abscisse. Puis je vais jusqu'à l'axe vertical : c'est l'ordonnée. J'écris dans cet ordre. a) $R(2;4)$, $S(-4;3)$, $T(-3;-2)$ et $U(5;-4)$. b) Pour $V(-5;-3)$ : je pars de l'origine, j'avance de $5$ carreaux vers la GAUCHE (abscisse négative), puis je descends de $3$ carreaux (ordonnée négative) : les traits orange. ⭐ $T$ et $V$ ont leurs deux coordonnées négatives : ils sont en bas à gauche. ⛔ Le piège : écrire $S(3;-4)$, en lisant la hauteur d'abord. L'abscisse vient TOUJOURS en premier. Réponse : $R(2;4)$, $S(-4;3)$, $T(-3;-2)$, $U(5;-4)$, et $V$ en bas à gauche.
6. 6. Dans un repère, l'axe des ordonnées MONTE : aller vers le haut AJOUTE à l'ordonnée, aller vers le bas en RETIRE. Aller vers la droite ajoute à l'abscisse. $N$ : l'abscisse ne bouge pas, l'ordonnée gagne $4$ : $1+4=$$5$. Donc $N(-2;5)$. $P$ : l'abscisse gagne $3$, $-2+3=$$1$ ; l'ordonnée perd $6$, $5-6=$$-1$. Donc $P(1;-1)$. ⛔ Le piège : compter comme sur un écran d'ordinateur, où descendre AUGMENTE la coordonnée. On trouverait $N(-2;-3)$ : un point qui descend alors qu'on lui dit de monter. Un repère n'est pas un écran. Réponse : $N(-2;5)$ et $P(1;-1)$.
7. 7. Je lis les trois nombres dans l'ordre : d'abord le long de $[AB]$, puis le long de $[AD]$ (vers le fond), enfin vers le haut, le long de $[AE]$. a) $(6;2;0)$ : j'avance de $6$, tout $[AB]$, puis de $2$, toute la profondeur, sans monter. C'est le sommet $C$, au sol, derrière à droite. $(0;2;3)$ : je n'avance pas, je vais au fond de $2$, je monte de $3$. C'est le sommet $H$, en haut, derrière à gauche. b) $F$ est juste au-dessus de $B$ : $6$, puis $0$, puis $3$. Donc $F(6;0;3)$. c) $B(6;0;0)$ a deux coordonnées nulles : il est sur un axe, celui des abscisses. ⛔ Le piège : lire $(0;2;3)$ dans le désordre, et chercher un point à $3$ de profondeur. Le pavé n'a que $2$ de profondeur : ce point serait dehors. Réponse : $C$ et $H$ ; $F(6;0;3)$ ; deux, $B$ est sur l'axe des abscisses.
8. 8. Le premier nombre est la LATITUDE, l'écart à l'équateur ; le second est la LONGITUDE, l'écart au méridien de Greenwich. a) 23° S : Rio est au sud de l'équateur, dans l'hémisphère Sud. 43° O : elle est à l'ouest de Greenwich. Sur le dessin, les 23° sont un ANGLE mesuré au centre de la Terre, vers le Sud. b) Une latitude va de 0° à 90°, pas plus : au pôle, on ne peut pas aller plus au nord. (95° N ; 20° E) est impossible. Une longitude va de 0° à 180°, vers l'Est ou vers l'Ouest : 200° E est impossible (au-delà de 180°, on revient de l'autre côté, vers l'Ouest). (10° N ; 200° E) est impossible. (40° S ; 170° O) existe : c'est en plein océan Pacifique, à l'est de la Nouvelle-Zélande. (0° ; 180°) aussi : sur l'équateur, sur le méridien opposé à celui de Greenwich. ⛔ Le piège : accepter 95° pour une latitude parce qu'une longitude peut dépasser 90°. La latitude s'arrête à 90° (le pôle), la longitude à 180°. Réponse : Rio est au sud de l'équateur et à l'ouest de Greenwich ; (95° N ; 20° E) et (10° N ; 200° E) sont impossibles.

   en orange l'équateur, en vert le méridien de Greenwich

9. 9. a) Une unité partagée en $5$ : une part vaut $1÷5=$$0,2$. $A$ est à $3$ parts à gauche de $0$ : $3\times 0,2=$$0,6$, donc son abscisse est $-0,6$. $B$ est à $4$ parts à droite : $4\times 0,2=$$0,8$. $C$ est à $2$ parts après $1$ : $1+2\times 0,2=$$1,4$. b) $AC=1,4-(-0,6)=1,4+0,6=$$2$. c) Le milieu est à égale distance des deux bouts : son abscisse est la MOYENNE, $\frac{-0,6+1,4}{2}=\frac{0,8}{2}=$$0,4$. ⭐ Contrôle : de $A$ à $M$, $0,4-(-0,6)=$$1$ ; de $M$ à $C$, $1,4-0,4=$$1$. La moitié de $2$ de chaque côté. ⛔ Le piège : lire chaque part comme un dixième, par habitude, et écrire $-0,3$ pour $A$. Ici l'unité a $5$ parts, pas $10$ : une part vaut $0,2$. Réponse : $A$, $B$ et $C$ ont pour abscisses $-0,6$, $0,8$ et $1,4$ ; $AC=$$2$ ; $M$ a pour abscisse $0,4$.

   une part vaut 0,2 ; M en orange

10. 10. a) Pour placer une fraction, je l'écris avec le dénominateur $6$, le nombre de parts par unité. $\frac{5}{6}$ : $5$ parts à droite. $\frac{4}{3}=$$\frac{8}{6}$ : $8$ parts à droite, entre $1$ et $2$. $-\frac{1}{2}=$$-\frac{3}{6}$ : $3$ parts à gauche. $\frac{11}{6}$ : $11$ parts à droite, une part avant $2$. b) Sur la droite, de gauche à droite : $C$, $A$, $B$, $D$. Donc $-\frac{1}{2}<\frac{5}{6}<\frac{4}{3}<$$\frac{11}{6}$. c) $CD=\frac{11}{6}-\left(-\frac{3}{6}\right)=\frac{14}{6}=$$\frac{7}{3}$ : ce sont les $14$ parts qu'on compte sur le dessin, de $C$ à $D$. ⛔ Le piège : placer $\frac{4}{3}$ à $4$ parts, sans le réécrire en sixièmes. Sur cette droite, une part vaut $\frac{1}{6}$, pas $\frac{1}{3}$. Réponse : $A$ à $5$ parts à droite, $B$ à $8$, $C$ à $3$ parts à gauche, $D$ à $11$ à droite ; $-\frac{1}{2}<\frac{5}{6}<\frac{4}{3}<$$\frac{11}{6}$ ; $CD=$$\frac{7}{3}$.

    une part vaut 1/6

11. 11. a) $A$ et $B$ ont la même ordonnée, $-1$ : le segment $[AB]$ est horizontal. $B$ et $C$ ont la même abscisse, $2$ : le segment $[BC]$ est vertical. Un côté horizontal et un côté vertical forment un angle droit : $ABC$ est rectangle en $B$. b) $D$ doit être à la verticale de $A$ (même abscisse, $-4$) et à la hauteur de $C$ (même ordonnée, $3$). Donc $D(-4;3)$. c) $AB=2-(-4)=6$ carreaux et $BC=3-(-1)=4$ carreaux. Périmètre : $2\times (6+4)=20$ carreaux. Aire : $6\times 4=24$ carreaux. ⛔ Le piège : écrire $D(3;-4)$, les coordonnées à l'envers. Ce point est en bas à droite, loin du rectangle. Réponse : $D(-4;3)$ ; périmètre $20$ carreaux, aire $24$ carreaux.
12. 12. a) La symétrie par rapport à l'axe des abscisses (horizontal) est un pliage le long de cet axe : le point passe de haut en bas. L'abscisse reste, l'ordonnée change de signe : $L(5;-2)$. b) Par rapport à l'axe des ordonnées (vertical), le point passe de droite à gauche. L'ordonnée reste, l'abscisse change de signe : $M(-5;2)$. c) Par rapport à l'origine, c'est un demi-tour : les DEUX coordonnées changent de signe. $N(-5;-2)$. d) Les côtés de $KLNM$ sont horizontaux et verticaux : c'est un rectangle, de $10$ carreaux sur $4$. ⭐ $O$ est le milieu de $[KN]$ : $\frac{5+(-5)}{2}=0$ et $\frac{2+(-2)}{2}=$$0$. ⛔ Le piège : confondre les deux axes et écrire $L(-5;2)$. Plier le long de l'axe HORIZONTAL fait passer le point de haut en bas : c'est l'ordonnée qui change. Réponse : $L(5;-2)$, $M(-5;2)$, $N(-5;-2)$ ; $KLNM$ est un rectangle.
13. 13. a) $G$ est le sommet opposé à $A$ : ses coordonnées sont les trois dimensions du pavé. $G(8;4;6)$. b) $E(0;0;6)$ et $F(8;0;6)$. Le milieu est à mi-chemin sur chaque coordonnée : $\frac{0+8}{2}=$$4$, puis $0$, puis $6$. Donc $M(4;0;6)$. c) Tous les points de la face $BCGF$ ont pour abscisse $8$. Son centre est au milieu de la profondeur, $4÷2=$$2$, et au milieu de la hauteur, $6÷2=$$3$. Donc $N(8;2;3)$. d) Altitude $0$ : au sol. Ordonnée $4$ : tout au fond, sur l'arête $[DC]$. Abscisse $4$ : la moitié de $8$. $P$ est le milieu de l'arête $[DC]$, qui est cachée sur le dessin. ⛔ Le piège au c) : écrire $N(8;3;2)$, la hauteur avant la profondeur. L'ordre est fixe : abscisse, ordonnée, altitude. Réponse : $G(8;4;6)$, $M(4;0;6)$, $N(8;2;3)$ ; $P$ est le milieu de $[DC]$.
14. 14. a) Même latitude, 41° N : New York et Naples sont sur le même PARALLÈLE (en violet), à la même distance de l'équateur. b) Naples est à l'est de Greenwich (E), New York à l'ouest (O) : Naples est la plus à l'est. c) De New York jusqu'à Greenwich, il y a 74° ; de Greenwich jusqu'à Naples, 14° de plus, de l'autre côté. L'écart est $74+14=88$ degrés. d) Lima est au sud de l'équateur (S), New York au nord (N) : Lima est au sud de New York. De part et d'autre de l'équateur, j'additionne : $41+12=53$ degrés. ⛔ Le piège au c) : calculer $74-14=$$60$, comme si les deux villes étaient du même côté de Greenwich. L'une est à l'Ouest, l'autre à l'Est : j'additionne. Réponse : le même parallèle ; Naples ; 88° de longitude ; Lima est au sud, à 53° de latitude de New York.

    Y New York, N Naples, L Lima ; en violet le parallèle 41° N

15. 15. a) Monter ou descendre ne change que l'ORDONNÉE ; aller à droite ou à gauche ne change que l'ABSCISSE. Et dans un repère, monter AJOUTE. Monter de $7$ : $-4+7=$$3$. Le robot est en $(-3;3)$. À droite de $5$ : $-3+5=$$2$. Il est en $(2;3)$. Descendre de $2$ : $3-2=$$1$. Il est en $(2;1)$. À gauche de $8$ : $2-8=$$-6$. Il arrive en $(-6;1)$. b) Son abscisse est juste ; son ordonnée vaut $-4-7+2=$$-9$ : il a RETIRÉ en montant et AJOUTÉ en descendant. C'est la règle d'un écran d'ordinateur, où l'origine est en haut et où descendre augmente la coordonnée. ⛔ Le piège : compter l'ordonnée vers le bas, comme sur un écran. Dans un repère, l'axe des ordonnées MONTE. Réponse : $(-3;3)$, $(2;3)$, $(2;1)$, puis $(-6;1)$ ; l'élève a compté l'ordonnée vers le bas.
16. 16. a) Le milieu : la moyenne des abscisses, puis la moyenne des ordonnées, SÉPARÉMENT. $\frac{-4+2}{2}=\frac{-2}{2}=-1$ et $\frac{3+(-1)}{2}=\frac{2}{2}=$$1$. Donc $I(-1;1)$. b) Pour aller de $A$ à $B$, j'avance de $6$ carreaux vers la droite et je descends de $4$. Comme $B$ est le milieu de $[AC]$, de $B$ à $C$ je refais le même trajet (les flèches) : $2+6=8$ et $-1-4=$$-5$. Donc $C(8;-5)$. ⭐ Contrôle : le milieu de $[AC]$ est $\left(\frac{-4+8}{2};\frac{3+(-5)}{2}\right)$, soit $(2;-1)$ : c'est bien $B$. ⛔ Le piège au a) : faire la moyenne des quatre nombres, $\frac{-4+3+2+(-1)}{4}=$$0$. Abscisses avec abscisses, ordonnées avec ordonnées. Réponse : $I(-1;1)$ et $C(8;-5)$.
17. 17. La course d'orientation Un carreau vaut $100$ m : $400$ m font $4$ carreaux. Le nord est vers le HAUT de la carte, dans le sens de l'axe des ordonnées : aller au nord AJOUTE à l'ordonnée. Aller à l'est ajoute à l'abscisse, aller à l'ouest en retire. a) Départ $D(-5;-3)$. $4$ carreaux au nord : $-3+4=$$1$, on est en $(-5;1)$. $7$ carreaux à l'est : $-5+7=$$2$. La balise est $K(2;1)$. Puis $6$ au nord : $1+6=$$7$, on est en $(2;7)$. Puis $3$ à l'ouest : $2-3=$$-1$. L'arrivée est $A(-1;7)$. b) $400+700+600+300=2000$ m, soit $2$ km. c) De $A(-1;7)$ à $D(-5;-3)$ : l'abscisse passe de $-1$ à $-5$, soit $4$ carreaux vers l'ouest, $400$ m. L'ordonnée passe de $7$ à $-3$, soit $7-(-3)=10$ carreaux vers le sud, $1000$ m. ⭐ Le retour fait $1400$ m, moins que l'aller : à l'aller, Léa a fait un détour vers l'est puis est revenue vers l'ouest. ⛔ Le piège : compter le nord vers le bas, comme les lignes d'un écran. L'arrivée tomberait sous le départ, alors que Léa n'a fait que monter vers le nord. Réponse : $K(2;1)$ et $A(-1;7)$ ; $2$ km ; $400$ m vers l'ouest, puis $1000$ m vers le sud.
18. 18. Les records de température a) Je repère chaque température entre deux graduations de $30$ : $-89,2$ est entre $-90$ et $-60$, tout près de $-90$. $56,7$ est entre $30$ et $60$, près de $60$. $42,6$ est entre $30$ et $60$ aussi. b) L'écart est la plus grande température moins la plus petite : $56,7-(-89,2)=56,7+89,2=145,9$ °C. c) $42,6-(-89,2)=42,6+89,2=131,8$ °C. d) À mi-chemin, c'est le milieu : la moyenne des deux abscisses, $\frac{-89,2+56,7}{2}=\frac{-32,5}{2}=-16,25$ °C (le point orange). ⭐ Contrôle : de $-89,2$ à $-16,25$, il y a $72,95$ degrés, et de $-16,25$ à $56,7$ aussi : la moitié de $145,9$. ⛔ Le piège au b) : calculer $89,2-56,7=32,5$ en oubliant le signe. Il faut remonter de $89,2$ degrés jusqu'à zéro, PUIS monter encore de $56,7$. Réponse : entre $-90$ et $-60$, entre $30$ et $60$, entre $30$ et $60$ ; $145,9$ °C ; $131,8$ °C ; $-16,25$ °C.

    V Vostok, M vallée de la Mort, P Paris ; en orange, le milieu

19. 19. Le Rubik's Cube La valeur $2$ veut dire « au milieu » dans une direction ; $1$ ou $3$, « au bord ». a) Le cube du cœur est au milieu dans les trois directions : $(2;2;2)$. Il ne touche aucune face. b) Deux coordonnées valent $2$, la troisième vaut $1$ ou $3$. Je choisis laquelle n'est pas $2$ ($3$ choix), puis sa valeur ($2$ choix) : $3\times 2=6$ cubes, un au centre de chaque face. Chacun ne montre qu'UNE couleur (en orange sur le dessin). c) Chaque coordonnée vaut $1$ ou $3$ : $2\times 2\times 2=8$ coins. Chacun montre TROIS couleurs (en rouge, le coin $(3;1;3)$). d) Il reste $27-1-6-8=12$ cubes d'arête. Ils ont exactement UNE coordonnée égale à $2$, et montrent deux couleurs (en violet, le cube $(2;1;3)$). ⭐ Contrôle : une coordonnée égale à $2$ ($3$ choix), les deux autres à $1$ ou $3$ ($2\times$$2=4$ choix) : $3\times 4=$$12$. Et les carrés colorés : $6\times 1+12\times 2+8\times 3=$$54$, soit $9$ par face. ⛔ Le piège : compter $6\times 9=54$ petits cubes. Ce sont les CARRÉS colorés qu'on compte ainsi : un cube de coin porte trois carrés, il serait compté trois fois. Réponse : $(2;2;2)$ ; $6$ cubes, d'une seule couleur ; $8$ coins ; $12$ cubes d'arête, avec une seule coordonnée égale à $2$.

    orange (2 ; 1 ; 2) centre de face, violet (2 ; 1 ; 3) arête, rouge (3 ; 1 ; 3) coin

20. 20. Les toits des continents a) La lettre de la latitude donne l'hémisphère : seul le mont Blanc (46° N ; 7° E) est au Nord. La lettre de la longitude dit l'est ou l'ouest : le mont Blanc et le Kilimandjaro (3° S ; 37° E) sont à l'est de Greenwich, l'Aconcagua (33° S ; 70° O) à l'ouest. Le plus proche de l'équateur est le Kilimandjaro, à 3° seulement. b) Le mont Blanc est à 46° au nord de l'équateur, le Kilimandjaro à 3° au sud : de part et d'autre, j'additionne. $46+3=49$ degrés. c) Le sommet est SUR la surface de la Terre : la latitude et la longitude suffisent, le relief donne le reste. L'hélicoptère, lui, peut quitter la surface : il faut un troisième nombre, son altitude. Il vole $5500-4806=694$ m au-dessus du sommet. d) (87° N ; 28° E) voudrait dire 87° au nord de l'équateur : à 3° seulement du pôle Nord, dans l'océan Arctique. Sur un méridien, 1° vaut environ 111 km : ce point est à $(90-87)\times 111=333$ km environ du pôle, à des milliers de kilomètres de l'Himalaya. ⛔ Le piège : inverser latitude et longitude. L'ordre est toujours (latitude ; longitude), et une latitude de 87° place le point presque au pôle. Réponse : le mont Blanc ; le mont Blanc et le Kilimandjaro ; le Kilimandjaro ; 49° ; il faut l'altitude, l'hélicoptère est 694 m au-dessus du sommet ; près du pôle Nord, dans l'océan Arctique.

    B mont Blanc, K Kilimandjaro, A Aconcagua, E Everest