Le théorème de Thalès : 20 exercices corrigésmaths 4e — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices, de la figure seule au problème : reconnaître la configuration, écrire les trois rapports dans le bon ordre, calculer une longueur du petit ou du grand triangle, prouver que deux droites sont parallèles (ou qu'elles ne le sont pas), puis tendre une cordelette dans une tente, servir au tennis, voir la mer avancer sur une plage et mesurer la distance du Soleil pendant une éclipse. Un rappel de cours avant chaque niveau. Cherche d'abord au brouillon, puis ouvre la correction : elle est rédigée étape par étape, avec la figure à l'échelle, souvent le tableau de proportionnalité, et le piège nommé.

Relire le cours — Le théorème de Thalès

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice. Je repère le sommet commun, le petit triangle et le grand.

Rappel de cours

LA CONFIGURATION : un triangle $A BC$ , un point $M$ sur $[A B]$ , un point $N$ sur $[A C]$ , et $(MN) // (BC)$ . Le petit triangle $A MN$ est une réduction du grand triangle $A BC$ .
LE THÉORÈME : alors $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} =$ $\frac{MN}{BC}$ . Le petit triangle en haut, le grand en bas, trois fois de suite.
CALCULER : je garde deux rapports, celui où tout est connu et celui qui contient l'inconnue, puis je fais le produit en croix : je multiplie en diagonale, je divise par le troisième nombre.
LA RÉCIPROQUE : si $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ et si $A$ , $M$ , $B$ et $A$ , $N$ , $C$ sont alignés dans le même ordre, alors $(MN) // (BC)$ .

1
Voici deux figures. Sur la figure a), les chevrons indiquent que $(MN) // (BC)$ . Sur la figure b), il n'y a aucun codage. Pour chaque figure, peut-on utiliser le théorème de Thalès ? Justifier.
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Pour utiliser Thalès, il me faut un triangle, un point sur chacun de deux de ses côtés, et deux droites PARALLÈLES. Figure a) : $M$ est sur $[A B]$ , $N$ est sur $[A C]$ , et les chevrons disent que $(MN) // (BC)$ . C'est une configuration de Thalès : le petit triangle $A MN$ est dans le grand triangle $A BC$ . Figure b) : $S$ est sur $[RT]$ et $U$ sur $[R V]$ , mais rien ne dit que $(S U)$ et $(T V)$ sont parallèles. Je ne peux pas utiliser le théorème. D'ailleurs, elles ne le sont pas : sur le corrigé, $(S U)$ est en rouge, et elle se rapproche de $(T V)$ vers le haut. ⛔ Le piège : « ça a l'air parallèle ». Le parallélisme se lit dans l'énoncé ou sur un codage, jamais à l'œil. Réponse : figure a) oui ; figure b) non, les droites ne sont pas données parallèles.
2
Sur la figure, $E$ est sur $[D F]$ , $G$ est sur $[DH]$ , et $(EG) // (F H)$ . a) Quel est le sommet commun ? Nommer le petit et le grand triangle. b) Écrire les trois rapports égaux donnés par le théorème de Thalès.
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a) Les côtés $[D F]$ et $[DH]$ partent tous les deux de $D$ : c'est le sommet commun. Le petit triangle est $D EG$ , le grand est $D F H$ . b) Je range les côtés face à face : $D E$ va avec $D F$ (même côté), $D G$ avec $DH$ (même côté), et $EG$ avec $F H$ (les deux parallèles). J'écris le petit triangle en haut, le grand en bas, dans le même ordre. ⛔ Le piège : écrire $\frac{D E}{EF}$ . $[EF]$ n'est un côté d'aucun des deux triangles : dans les deux premiers rapports, chaque longueur part de $D$ . Réponse : $\frac{D E}{D F} = \frac{D G}{DH} =$ $\frac{EG}{F H}$ .
3
$M$ est sur $[A B]$ , $N$ est sur $[A C]$ et $(MN) // (BC)$ . On donne $A M = 3, 5$ cm et $MB = 1, 5$ cm. a) Calculer $A B$ . b) Calculer le rapport $\frac{A M}{A B}$ . c) Sans rien mesurer, que vaut $\frac{A N}{A C}$ ?
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a) $M$ est sur le segment $[A B]$ : $A B = A M + MB = 3, 5 + 1, 5 = 5$ cm. b) $\frac{A M}{A B} = \frac{3 , 5}{5} =$ $0, 7$ . Ce rapport compare une PARTIE, $A M$ , au TOUT, $A B$ : $M$ est aux sept dixièmes du chemin de $A$ vers $B$ . c) $(MN) // (BC)$ : d'après le théorème de Thalès, $\frac{A N}{A C} =$ $\frac{A M}{A B}$ , donc $\frac{A N}{A C} =$ $0, 7$ . $N$ est lui aussi aux sept dixièmes de $[A C]$ . ⛔ Le piège : calculer $\frac{A M}{MB} =$ $\frac{3 , 5}{1 , 5}$ . C'est le rapport de deux morceaux, pas celui d'une partie au tout. Réponse : $A B = 5$ cm ; $\frac{A M}{A B} =$ $0, 7$ ; $\frac{A N}{A C} =$ $0, 7$ .
4
Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . On donne $A M = 6$ cm, $A B = 8$ cm et $A C = 10$ cm. Calculer $A N$ .
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Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} =$ $\frac{MN}{BC}$ . Je garde le rapport où tout est connu et celui qui contient $A N$ : $\frac{6}{8} =$ $\frac{A N}{10}$ . C'est un tableau de proportionnalité (sous la figure). Produit en croix : $A N = \frac{10 \times 6}{8} = 7, 5$ cm. ⭐ Contrôle : $A N$ est plus court que $A C$ , normal pour un côté du petit triangle. ⛔ Le piège : écrire $\frac{6}{8} =$ $\frac{10}{A N}$ . Le petit triangle reste en haut dans les DEUX rapports. Réponse : $A N = 7, 5$ cm.
petit AM6 AN7,5 ↑ × 0,75
grand AB8 AC10
5
Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . On donne $A M = 3$ cm, $A B = 7, 5$ cm et $MN = 2$ cm. Calculer $BC$ .
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Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} =$ $\frac{MN}{BC}$ . Je cherche $BC$ , un côté du GRAND triangle : il est en bas du rapport $\frac{MN}{BC}$ . J'écris $\frac{3}{7 , 5} =$ $\frac{2}{BC}$ . Produit en croix : $BC = \frac{7 , 5 \times 2}{3} = 5$ cm. ⭐ Contrôle : $BC$ est plus long que $MN$ , et $\frac{2}{5} =$ $0, 4$ , comme $\frac{3}{7 , 5} =$ $0, 4$ . ⛔ Le piège : croire que Thalès ne donne que les côtés du petit triangle. L'égalité des rapports marche dans les deux sens. Réponse : $BC = 5$ cm.
6
Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . On donne $A N = 4$ cm, $A C = 10$ cm et $BC = 6, 5$ cm. Calculer $MN$ .
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Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} =$ $\frac{MN}{BC}$ . Je cherche $MN$ , et je connais $A N$ , $A C$ et $BC$ : je prends le deuxième et le troisième rapport. $\frac{4}{10} =$ $\frac{MN}{6 , 5}$ . $MN = \frac{6 , 5 \times 4}{10} = 2, 6$ cm. ⛔ Le piège : croire qu'il faut toujours le premier rapport, $\frac{A M}{A B}$ . Ici, je ne connais ni $A M$ ni $A B$ : je prends les deux rapports où tout est connu, sauf l'inconnue. Réponse : $MN = 2, 6$ cm.
7
Les points $A$ , $M$ , $B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $A$ , $N$ , $C$ . On mesure $A M = 2, 4$ cm, $A B = 4$ cm, $A N = 3$ cm et $A C = 5$ cm. a) Calculer $\frac{A M}{A B}$ et $\frac{A N}{A C}$ . b) Ces rapports sont-ils égaux ? Vérifier aussi par les produits en croix.
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Ici, personne ne dit que les droites sont parallèles : je ne peux PAS écrire le théorème. Je calcule chaque rapport tout seul. a) $\frac{A M}{A B} = \frac{2 , 4}{4} = 0, 6$ et $\frac{A N}{A C} = \frac{3}{5} =$ $0, 6$ . b) Ils sont égaux. Par les produits en croix : $2, 4 \times 5 = 12$ et $4 \times 3 =$ $12$ . Même résultat. ⭐ Comme les points sont aussi alignés dans le même ordre, la réciproque du théorème de Thalès permettra de conclure que $(MN) // (BC)$ . ⛔ Le piège : commencer par « d'après le théorème de Thalès ». Le théorème SUPPOSE les droites parallèles ; ici, c'est justement ce qu'on cherche à savoir. Réponse : les deux rapports valent $0, 6$ : ils sont égaux.
8
Les points $A$ , $M$ , $B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $A$ , $N$ , $C$ . On mesure $A M = 4$ cm, $A B = 9$ cm, $A N = 3$ cm et $A C = 7$ cm. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
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Je compare $\frac{A M}{A B} = \frac{4}{9}$ et $\frac{A N}{A C} =$ $\frac{3}{7}$ . Les divisions ne tombent pas juste ( $0, 444 \dots$ et $0, 428 \dots$ ) : je compare par les produits en croix. $4 \times 7 = 28$ et $9 \times 3 =$ $27$ . $28 \neq =$ $27$ : les rapports ne sont pas égaux. Si les droites étaient parallèles, le théorème de Thalès dirait que les rapports sont égaux. Ils ne le sont pas : $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles. ⛔ Le piège : se fier au dessin. Les deux droites font un angle de moins de $2$ degrés : à l'œil, elles ont l'air parallèles. Seul le calcul tranche. Réponse : non, $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

petit	AM6	AN7,5	↑ × 0,75
grand	AB8	AC10

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Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Comme en devoir : la configuration, le nom du théorème, les rapports, puis le calcul.

Rappel de cours

RÉDIGER EN TROIS TEMPS : 1) « Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . » 2) « D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} =$ $\frac{MN}{BC}$ . » 3) Je remplace, je calcule, je conclus avec l'unité.
Thalès est une situation de proportionnalité : dans le tableau petit triangle / grand triangle, le même coefficient fait passer d'une ligne à l'autre.
Pour les parallèles : deux rapports égaux et les points dans le même ordre, alors les droites sont parallèles (la réciproque). Deux rapports différents, alors elles ne le sont pas.

9
Dans le triangle $RST$ , $U \in$ $[RS]$ , $V \in [RT]$ et $(U V) // (ST)$ . On donne $R U = 4, 5$ cm, $RS = 7, 5$ cm, $RT = 9$ cm et $ST = 6$ cm. Calculer $R V$ et $U V$ , en rédigeant.
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Je commence par la configuration, puis le théorème, puis le calcul. Dans le triangle $RST$ , $U \in$ $[RS]$ , $V \in [RT]$ et $(U V) // (ST)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{R U}{RS} = \frac{R V}{RT} =$ $\frac{U V}{ST}$ , soit $\frac{4 , 5}{7 , 5} = \frac{R V}{9} =$ $\frac{U V}{6}$ . Calcul de $R V$ : $R V = \frac{9 \times 4 , 5}{7 , 5} = 5, 4$ cm. Calcul de $U V$ : $U V = \frac{6 \times 4 , 5}{7 , 5} = 3, 6$ cm. ⭐ Le coefficient : $\frac{4 , 5}{7 , 5} =$ $0, 6$ . Chaque côté du petit triangle vaut $0, 6$ fois le côté du grand : $0, 6 \times 9 = 5, 4$ et $0, 6 \times 6 =$ $3, 6$ . ⛔ Le piège : sauter la première phrase. Sans « $(U V) // (ST)$ » écrit, le calcul n'est pas justifié. Réponse : $R V = 5, 4$ cm et $U V = 3, 6$ cm.
10
Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . On donne $A M = 5$ cm, $MB = 3$ cm et $A N = 7, 5$ cm. a) Calculer $A B$ . b) Calculer $A C$ , puis $NC$ .
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a) $M$ est sur le segment $[A B]$ : $A B = A M + MB = 5 + 3 = 8$ cm. b) Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{A N}{A C}$ , soit $\frac{5}{8} =$ $\frac{7 , 5}{A C}$ . Produit en croix : $A C = \frac{8 \times 7 , 5}{5} = 12$ cm. Puis $NC = A C - A N = 12 - 7, 5 = 4, 5$ cm. ⛔ Le piège : écrire $\frac{A M}{MB} =$ $\frac{A N}{A C}$ , avec $MB =$ $3$ . On trouverait $A C = \frac{3 \times 7 , 5}{5} = 4, 5$ cm : plus court que $A N$ , c'est impossible. Chaque longueur des rapports part de $A$ . Réponse : $A B = 8$ cm, $A C = 12$ cm et $NC = 4, 5$ cm.
11
Une rampe de chargement $[A C]$ relie le sol au plateau d'un camion. Le plateau est à $BC = 1$ m du sol, et le pied $A$ de la rampe est à $A B = 4$ m du camion : le triangle $A BC$ est rectangle en $B$ . Un pied de soutien vertical $[MN]$ est placé à $A M = 3$ m de $A$ , entre le sol et la rampe. a) Expliquer pourquoi $(MN) // (BC)$ . b) Calculer la hauteur $MN$ du pied de soutien.
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a) Le pied de soutien $(MN)$ et l'arrière du camion $(BC)$ sont tous les deux perpendiculaires au sol $(A B)$ . Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : $(MN) // (BC)$ . b) Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} =$ $\frac{MN}{BC}$ , soit $\frac{3}{4} =$ $\frac{MN}{1}$ . $MN = \frac{1 \times 3}{4} = 0, 75$ m. ⛔ Le piège : écrire Thalès sans avoir justifié le parallélisme. L'énoncé ne dit pas « $(MN) // (BC)$ » : c'est à moi de le prouver, avant tout calcul. Réponse : les deux droites sont perpendiculaires au sol, donc parallèles ; le pied mesure $0, 75$ m.
12
Les points $A$ , $M$ , $B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $A$ , $N$ , $C$ . On donne $A M = 2, 8$ cm, $A B = 7$ cm, $A N = 3, 4$ cm, $A C = 8, 5$ cm et $BC = 6$ cm. a) Démontrer que $(MN) // (BC)$ . b) En déduire $MN$ .
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a) Je ne sais pas encore si les droites sont parallèles : c'est la réciproque qu'il faut. D'une part, $\frac{A M}{A B} = \frac{2 , 8}{7} =$ $0, 4$ . D'autre part, $\frac{A N}{A C} = \frac{3 , 4}{8 , 5} =$ $0, 4$ . Les rapports sont égaux, et les points $A$ , $M$ , $B$ et $A$ , $N$ , $C$ sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN) // (BC)$ . b) MAINTENANT je sais que les droites sont parallèles : je peux me servir du théorème. Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{MN}{BC}$ , soit $\frac{2 , 8}{7} =$ $\frac{MN}{6}$ . $MN = \frac{6 \times 2 , 8}{7} = 2, 4$ cm. ⛔ Le piège : mélanger les deux. La réciproque PROUVE le parallélisme ; le théorème s'en SERT pour calculer. L'une, puis l'autre. Réponse : $(MN) // (BC)$ , et $MN = 2, 4$ cm.
13
Les points $A$ , $M$ , $B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $A$ , $N$ , $C$ . On donne $A M = 3, 2$ cm, $A B = 8$ cm, $A N = 2, 8$ cm et $A C = 6, 8$ cm. Un élève écrit : « $\frac{A M}{A B} =$ $0, 4$ et $\frac{A N}{A C} \approx$ $0, 4$ , donc $(MN) // (BC)$ . » A-t-il raison ? Rédiger la bonne réponse.
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Je recalcule les deux rapports. $\frac{A M}{A B} = \frac{3 , 2}{8} =$ $0, 4$ , mais $\frac{A N}{A C} = \frac{2 , 8}{6 , 8} \approx$ $0, 41$ : la division ne tombe pas juste. Pour trancher sans arrondi, les produits en croix : $3, 2 \times 6, 8 = 21, 76$ et $8 \times 2, 8 =$ $22, 4$ . Ils sont différents : les rapports ne sont PAS égaux. Si $(MN)$ et $(BC)$ étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait deux rapports égaux. Ce n'est pas le cas : $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles. ⛔ Le piège : arrondir, puis conclure. « Presque égal », ça ne compte pas : la réciproque demande des rapports EXACTEMENT égaux. Réponse : l'élève a tort, $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.
14
Voici la copie d'un élève : « $(MN) // (BC)$ , $A M = 4$ cm, $A B = 10$ cm et $BC = 7$ cm. D'après le théorème de Thalès, $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{BC}{MN}$ , donc $MN = \frac{7 \times 10}{4} = 17, 5$ cm. » a) Sans refaire le calcul, pourquoi ce résultat est-il impossible ? b) Trouver l'erreur, puis corriger.
Voir la correction
a) $[MN]$ est un côté du PETIT triangle $A MN$ , et $[BC]$ le côté qui lui correspond dans le grand : $MN$ doit être plus court que $BC = 7$ cm. $17, 5$ cm, c'est plus du double : impossible. b) L'erreur : dans $\frac{BC}{MN}$ , le grand triangle est en haut, alors que dans $\frac{A M}{A B}$ c'est le petit. Il faut le même ordre partout : $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{MN}{BC}$ , soit $\frac{4}{10} =$ $\frac{MN}{7}$ . $MN = \frac{7 \times 4}{10} = 2, 8$ cm. ⭐ Contrôle : $2, 8$ est bien plus petit que $7$ , et $\frac{2 , 8}{7} =$ $0, 4$ , comme $\frac{4}{10}$ . ⛔ Le piège : le rapport retourné. Petit sur grand, trois fois de suite : jamais un rapport à l'envers. Réponse : $MN = 2, 8$ cm, et non $17, 5$ cm.
15
Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . On connaît les trois côtés du grand triangle, $A B = 10$ cm, $A C = 12$ cm et $BC = 8$ cm, et on sait que $A N = 4, 8$ cm. a) Quel coefficient fait passer du grand triangle au petit ? b) Recopier et compléter le tableau des longueurs.
petit AM? AN4,8 MN?
grand AB10 AC12 BC8
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D'après le théorème de Thalès, les côtés du petit triangle $A MN$ sont proportionnels à ceux du grand triangle $A BC$ : c'est un tableau de proportionnalité. a) La seule colonne complète est celle de $A N$ et $A C$ : le coefficient vaut $\frac{4 , 8}{12} =$ $0, 4$ . b) Je complète chaque colonne par le produit en croix : $A M = \frac{10 \times 4 , 8}{12} = 4$ cm et $MN = \frac{8 \times 4 , 8}{12} = 3, 2$ cm. C'est la même chose que multiplier par $0, 4$ . ⛔ Le piège : prendre le coefficient dans le mauvais sens, $\frac{12}{4 , 8} =$ $2, 5$ . Il fait passer du petit au grand, et donnerait $A M = 25$ cm : plus long que $A B$ . Réponse : le coefficient vaut $0, 4$ ; $A M = 4$ cm et $MN = 3, 2$ cm.
petit AM4 AN4,8 MN3,2 ↑ × 0,4
grand AB10 AC12 BC8
16
Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . Le petit triangle $A MN$ a pour côtés $A M = 3$ cm, $A N = 4, 2$ cm et $MN = 2, 4$ cm, et on sait que $A B = 5$ cm. a) Calculer $A C$ et $BC$ . b) Calculer le périmètre de chacun des deux triangles. c) Le périmètre du petit triangle s'obtient-il avec le même coefficient que ses côtés ?
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a) Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} =$ $\frac{MN}{BC}$ , soit $\frac{3}{5} = \frac{4 , 2}{A C} =$ $\frac{2 , 4}{BC}$ . $A C = \frac{5 \times 4 , 2}{3} = 7$ cm et $BC = \frac{5 \times 2 , 4}{3} = 4$ cm. b) Périmètre de $A MN$ : $3 + 4, 2 + 2, 4 = 9, 6$ cm. Périmètre de $A BC$ : $5 + 7 + 4 = 16$ cm. c) $\frac{9 , 6}{16} =$ $0, 6$ , et le coefficient de Thalès vaut $\frac{3}{5} =$ $0, 6$ . Oui : chaque côté est multiplié par $0, 6$ , donc leur somme aussi. ⛔ Le piège : croire qu'on passe du petit périmètre au grand en ajoutant $MB = 2$ cm. Ce ne sont pas des longueurs qu'on ajoute : tous les côtés sont multipliés. Réponse : $A C = 7$ cm, $BC = 4$ cm ; périmètres $9, 6$ cm et $16$ cm ; oui, le même coefficient $0, 6$ .
petit AM3 AN4,2 MN2,4 ↑ × 0,6
grand AB5 AC7 BC4

petit	AM?	AN4,8	MN?
grand	AB10	AC12	BC8

petit	AM4	AN4,8	MN3,2	↑ × 0,4
grand	AB10	AC12	BC8

petit	AM3	AN4,2	MN2,4	↑ × 0,6
grand	AB5	AC7	BC4

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Des situations réelles. Je cherche les parallèles, puis le sommet commun, et je rédige.

Rappel de cours

Dans une situation réelle, je cherche d'abord les deux droites PARALLÈLES : deux lignes verticales, deux lignes horizontales, deux objets face à face.
Puis le point où se coupent les deux autres droites : c'est le sommet commun. Je nomme les points, je mets toutes les longueurs dans la même unité, et je rédige.

17La cordelette dans la tente
Laura monte sa tente pour un bivouac. Vue de face, la tente est un triangle $A BC$ : le sommet $A$ en haut, le sol $[BC]$ large de $1, 5$ m, et deux pans de toile $[A B]$ et $[A C]$ de $1, 25$ m. Elle tend une cordelette $[MN]$ parallèle au sol, attachée en $M$ sur $[A B]$ et en $N$ sur $[A C]$ , avec $A M = 0, 5$ m. a) Pourquoi est-ce une configuration de Thalès ? b) Quelle est la longueur de la cordelette ? c) Pour faire sécher une serviette, il lui faut $0, 9$ m de cordelette. À quelle distance du sommet, le long de la toile, doit-elle l'attacher ?
Voir la correction
a) $M$ est sur $[A B]$ , $N$ sur $[A C]$ , et la cordelette est parallèle au sol : $(MN) // (BC)$ . Le petit triangle $A MN$ est dans le grand triangle $A BC$ . b) Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} =$ $\frac{MN}{BC}$ , soit $\frac{0 , 5}{1 , 25} =$ $\frac{MN}{1 , 5}$ . $MN = \frac{1 , 5 \times 0 , 5}{1 , 25} = 0, 6$ m. c) Cette fois, je connais $MN = 0, 9$ m et je cherche $A M$ : $\frac{A M}{1 , 25} =$ $\frac{0 , 9}{1 , 5}$ . $A M = \frac{1 , 25 \times 0 , 9}{1 , 5} = 0, 75$ m. ⭐ Plus la cordelette est longue, plus elle est attachée bas : $0, 75$ m, c'est plus loin du sommet que $0, 5$ m. ⛔ Le piège : mesurer depuis le sol. Les longueurs des rapports partent du sommet $A$ : c'est $A M$ , pas $MB$ . Réponse : $0, 6$ m de cordelette ; pour $0, 9$ m, il faut l'attacher à $0, 75$ m du sommet.
18Le service au tennis
Sur un court de tennis, la ligne de fond est à $11, 885$ m du filet, et la ligne de service, de l'autre côté, à $6, 40$ m du filet. Le filet mesure $0, 914$ m de haut en son milieu. On modélise un service « à plat » par une ligne droite : la balle part du point $C$ , à la verticale du point $B$ de la ligne de fond, passe au ras du haut du filet $N$ et touche le sol en $A$ , sur la ligne de service. $M$ est le pied du filet. a) Pourquoi $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? b) À quelle hauteur $BC$ faut-il frapper la balle ? Arrondir au centimètre. c) Un joueur frappe à $2, 40$ m de haut. En ligne droite, à quelle hauteur sa balle passerait-elle au-dessus du pied du filet ? Conclure.
Voir la correction
a) Le filet et la verticale du joueur sont tous les deux perpendiculaires au sol : $(MN) // (BC)$ . $A$ , $M$ , $B$ sont alignés au sol, et $A$ , $N$ , $C$ sur la trajectoire. b) D'abord la distance au sol : $A B = A M + MB = 6, 4 + 11, 885 = 18, 285$ m. Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{MN}{BC}$ , soit $\frac{6 , 4}{18 , 285} =$ $\frac{0 , 914}{BC}$ . $BC = \frac{18 , 285 \times 0 , 914}{6 , 4} \approx 2, 61$ m. c) Cette fois $BC = 2, 4$ m, et je cherche la hauteur de la balle à l'aplomb du filet : $MN = \frac{2 , 4 \times 6 , 4}{18 , 285} \approx 0, 84$ m. $0, 84$ m, c'est moins que $0, 914$ m : en ligne droite, la balle finirait dans le filet. ⭐ Une vraie balle ne suit pas une droite : la pesanteur et l'effet (le « lift ») la font plonger après le filet. C'est pour ça qu'on peut servir sans mesurer $2, 61$ m bras levé. ⛔ Le piège : prendre $11, 885$ m pour $A B$ . La balle voyage de $B$ jusqu'à $A$ , au-delà du filet : $A B = 18, 285$ m. Réponse : il faudrait frapper à environ $2, 61$ m ; à $2, 40$ m, la balle passerait à $0, 84$ m, sous le haut du filet.
19Le trait de côte recule
Selon le GIEC (2021), le niveau moyen des mers pourrait monter de $0, 28$ m à $1, 01$ m d'ici 2100, selon nos émissions. Sur une plage en pente régulière, le pied de la dune $C$ est $3$ m plus haut que la mer, et à $24$ m à l'horizontale du bord de l'eau $A$ : le point $B$ est sous $C$ , au niveau de la mer. Si la mer monte de $MN = 0, 6$ m, le nouveau bord de l'eau est en $N$ , sur la pente, à la verticale du point $M$ de $[A B]$ . a) Pourquoi $(MN) // (BC)$ ? b) De combien de mètres le bord de l'eau avance-t-il (la longueur $A M$ ) ? Quelle largeur de plage reste-t-il devant la dune ? c) Même question si la mer monte de $1$ m.
Voir la correction
a) $(MN)$ et $(BC)$ sont verticales toutes les deux : elles sont parallèles. $A$ , $M$ , $B$ sont sur l'ancien niveau de la mer, et $A$ , $N$ , $C$ sur la pente de la plage. b) Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{MN}{BC}$ , soit $\frac{A M}{24} =$ $\frac{0 , 6}{3}$ . $A M = \frac{24 \times 0 , 6}{3} = 4, 8$ m. Il reste $24 - 4, 8 = 19, 2$ m de plage devant la dune. c) $A M = \frac{24 \times 1}{3} = 8$ m : la mer avance de $8$ m, un tiers de la plage. ⭐ Ici, chaque mètre de hausse fait avancer la mer de $8$ m : c'est le rapport $\frac{24}{3}$ . Sur une plage plus plate, le recul serait encore plus grand. (C'est un modèle simple : les vagues et l'érosion font reculer la côte davantage.) ⛔ Le piège : croire que la mer avance de $0, 6$ m. Elle MONTE de $0, 6$ m, mais elle AVANCE à l'horizontale de bien plus : c'est $A M$ , pas $MN$ . Réponse : la mer avance de $4, 8$ m et il reste $19, 2$ m de plage ; elle avancerait de $8$ m si elle montait de $1$ m.
20L'éclipse totale de Soleil
Pendant une éclipse totale, la Lune cache juste le Soleil. On modélise : l'œil est en $A$ ; le diamètre $[MN]$ de la Lune et le diamètre $[BC]$ du Soleil sont parallèles, avec $A$ , $M$ , $B$ alignés et $A$ , $N$ , $C$ alignés. Valeurs arrondies : la Lune mesure $3500$ km de diamètre et se trouve à $A M = 380000$ km ; le Soleil mesure $1400000$ km de diamètre. a) Combien de fois le Soleil est-il plus large que la Lune ? b) Calculer la distance $A B$ de la Terre au Soleil. c) La vraie distance moyenne est d'environ $150$ millions de km. Le modèle est-il bon ?
Voir la correction
a) $1400000 \div 3500 =$ $400$ : le Soleil est $400$ fois plus large que la Lune. b) Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{MN}{BC}$ , soit $\frac{380 000}{A B} =$ $\frac{3 500}{1 400 000}$ . $A B = \frac{380 000 \times 1 400 000}{3 500} = 152000000$ km. ⭐ Plus simple : le Soleil est $400$ fois plus large, il est donc $400$ fois plus loin, $400 \times 380000 = 152000000$ km. C'est cette coïncidence qui rend les éclipses totales possibles. c) $152$ millions de km contre environ $150$ millions : l'écart est de $2$ millions de km, à peine plus de $1$ %. Avec des valeurs arrondies, c'est un très bon résultat. ⛔ Le piège : écrire $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{BC}{MN}$ . Les deux rapports doivent comparer la Lune (le petit triangle) au Soleil (le grand) dans le même ordre ; sinon on trouverait $A B = 950$ km, plus près que la Lune ! Réponse : $400$ fois ; $A B = 152000000$ km, très proche des $150$ millions de km réels.

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : le théorème de thalès, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. Pour utiliser Thalès, il me faut un triangle, un point sur chacun de deux de ses côtés, et deux droites PARALLÈLES. Figure a) : $M$ est sur $[A B]$ , $N$ est sur $[A C]$ , et les chevrons disent que $(MN) // (BC)$ . C'est une configuration de Thalès : le petit triangle $A MN$ est dans le grand triangle $A BC$ . Figure b) : $S$ est sur $[RT]$ et $U$ sur $[R V]$ , mais rien ne dit que $(S U)$ et $(T V)$ sont parallèles. Je ne peux pas utiliser le théorème. D'ailleurs, elles ne le sont pas : sur le corrigé, $(S U)$ est en rouge, et elle se rapproche de $(T V)$ vers le haut. ⛔ Le piège : « ça a l'air parallèle ». Le parallélisme se lit dans l'énoncé ou sur un codage, jamais à l'œil. Réponse : figure a) oui ; figure b) non, les droites ne sont pas données parallèles.
2. a) Les côtés $[D F]$ et $[DH]$ partent tous les deux de $D$ : c'est le sommet commun. Le petit triangle est $D EG$ , le grand est $D F H$ . b) Je range les côtés face à face : $D E$ va avec $D F$ (même côté), $D G$ avec $DH$ (même côté), et $EG$ avec $F H$ (les deux parallèles). J'écris le petit triangle en haut, le grand en bas, dans le même ordre. ⛔ Le piège : écrire $\frac{D E}{EF}$ . $[EF]$ n'est un côté d'aucun des deux triangles : dans les deux premiers rapports, chaque longueur part de $D$ . Réponse : $\frac{D E}{D F} = \frac{D G}{DH} =$ $\frac{EG}{F H}$ .
3. a) $M$ est sur le segment $[A B]$ : $A B = A M + MB = 3, 5 + 1, 5 = 5$ cm. b) $\frac{A M}{A B} = \frac{3 , 5}{5} =$ $0, 7$ . Ce rapport compare une PARTIE, $A M$ , au TOUT, $A B$ : $M$ est aux sept dixièmes du chemin de $A$ vers $B$ . c) $(MN) // (BC)$ : d'après le théorème de Thalès, $\frac{A N}{A C} =$ $\frac{A M}{A B}$ , donc $\frac{A N}{A C} =$ $0, 7$ . $N$ est lui aussi aux sept dixièmes de $[A C]$ . ⛔ Le piège : calculer $\frac{A M}{MB} =$ $\frac{3 , 5}{1 , 5}$ . C'est le rapport de deux morceaux, pas celui d'une partie au tout. Réponse : $A B = 5$ cm ; $\frac{A M}{A B} =$ $0, 7$ ; $\frac{A N}{A C} =$ $0, 7$ .
4. Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} =$ $\frac{MN}{BC}$ . Je garde le rapport où tout est connu et celui qui contient $A N$ : $\frac{6}{8} =$ $\frac{A N}{10}$ . C'est un tableau de proportionnalité (sous la figure). Produit en croix : $A N = \frac{10 \times 6}{8} = 7, 5$ cm. ⭐ Contrôle : $A N$ est plus court que $A C$ , normal pour un côté du petit triangle. ⛔ Le piège : écrire $\frac{6}{8} =$ $\frac{10}{A N}$ . Le petit triangle reste en haut dans les DEUX rapports. Réponse : $A N = 7, 5$ cm.
petit AM6 AN7,5 ↑ × 0,75
grand AB8 AC10
5. Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} =$ $\frac{MN}{BC}$ . Je cherche $BC$ , un côté du GRAND triangle : il est en bas du rapport $\frac{MN}{BC}$ . J'écris $\frac{3}{7 , 5} =$ $\frac{2}{BC}$ . Produit en croix : $BC = \frac{7 , 5 \times 2}{3} = 5$ cm. ⭐ Contrôle : $BC$ est plus long que $MN$ , et $\frac{2}{5} =$ $0, 4$ , comme $\frac{3}{7 , 5} =$ $0, 4$ . ⛔ Le piège : croire que Thalès ne donne que les côtés du petit triangle. L'égalité des rapports marche dans les deux sens. Réponse : $BC = 5$ cm.
6. Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} =$ $\frac{MN}{BC}$ . Je cherche $MN$ , et je connais $A N$ , $A C$ et $BC$ : je prends le deuxième et le troisième rapport. $\frac{4}{10} =$ $\frac{MN}{6 , 5}$ . $MN = \frac{6 , 5 \times 4}{10} = 2, 6$ cm. ⛔ Le piège : croire qu'il faut toujours le premier rapport, $\frac{A M}{A B}$ . Ici, je ne connais ni $A M$ ni $A B$ : je prends les deux rapports où tout est connu, sauf l'inconnue. Réponse : $MN = 2, 6$ cm.
7. Ici, personne ne dit que les droites sont parallèles : je ne peux PAS écrire le théorème. Je calcule chaque rapport tout seul. a) $\frac{A M}{A B} = \frac{2 , 4}{4} = 0, 6$ et $\frac{A N}{A C} = \frac{3}{5} =$ $0, 6$ . b) Ils sont égaux. Par les produits en croix : $2, 4 \times 5 = 12$ et $4 \times 3 =$ $12$ . Même résultat. ⭐ Comme les points sont aussi alignés dans le même ordre, la réciproque du théorème de Thalès permettra de conclure que $(MN) // (BC)$ . ⛔ Le piège : commencer par « d'après le théorème de Thalès ». Le théorème SUPPOSE les droites parallèles ; ici, c'est justement ce qu'on cherche à savoir. Réponse : les deux rapports valent $0, 6$ : ils sont égaux.
8. Je compare $\frac{A M}{A B} = \frac{4}{9}$ et $\frac{A N}{A C} =$ $\frac{3}{7}$ . Les divisions ne tombent pas juste ( $0, 444 \dots$ et $0, 428 \dots$ ) : je compare par les produits en croix. $4 \times 7 = 28$ et $9 \times 3 =$ $27$ . $28 \neq =$ $27$ : les rapports ne sont pas égaux. Si les droites étaient parallèles, le théorème de Thalès dirait que les rapports sont égaux. Ils ne le sont pas : $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles. ⛔ Le piège : se fier au dessin. Les deux droites font un angle de moins de $2$ degrés : à l'œil, elles ont l'air parallèles. Seul le calcul tranche. Réponse : non, $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.
9. Je commence par la configuration, puis le théorème, puis le calcul. Dans le triangle $RST$ , $U \in$ $[RS]$ , $V \in [RT]$ et $(U V) // (ST)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{R U}{RS} = \frac{R V}{RT} =$ $\frac{U V}{ST}$ , soit $\frac{4 , 5}{7 , 5} = \frac{R V}{9} =$ $\frac{U V}{6}$ . Calcul de $R V$ : $R V = \frac{9 \times 4 , 5}{7 , 5} = 5, 4$ cm. Calcul de $U V$ : $U V = \frac{6 \times 4 , 5}{7 , 5} = 3, 6$ cm. ⭐ Le coefficient : $\frac{4 , 5}{7 , 5} =$ $0, 6$ . Chaque côté du petit triangle vaut $0, 6$ fois le côté du grand : $0, 6 \times 9 = 5, 4$ et $0, 6 \times 6 =$ $3, 6$ . ⛔ Le piège : sauter la première phrase. Sans « $(U V) // (ST)$ » écrit, le calcul n'est pas justifié. Réponse : $R V = 5, 4$ cm et $U V = 3, 6$ cm.
10. a) $M$ est sur le segment $[A B]$ : $A B = A M + MB = 5 + 3 = 8$ cm. b) Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{A N}{A C}$ , soit $\frac{5}{8} =$ $\frac{7 , 5}{A C}$ . Produit en croix : $A C = \frac{8 \times 7 , 5}{5} = 12$ cm. Puis $NC = A C - A N = 12 - 7, 5 = 4, 5$ cm. ⛔ Le piège : écrire $\frac{A M}{MB} =$ $\frac{A N}{A C}$ , avec $MB =$ $3$ . On trouverait $A C = \frac{3 \times 7 , 5}{5} = 4, 5$ cm : plus court que $A N$ , c'est impossible. Chaque longueur des rapports part de $A$ . Réponse : $A B = 8$ cm, $A C = 12$ cm et $NC = 4, 5$ cm.
11. a) Le pied de soutien $(MN)$ et l'arrière du camion $(BC)$ sont tous les deux perpendiculaires au sol $(A B)$ . Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : $(MN) // (BC)$ . b) Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} =$ $\frac{MN}{BC}$ , soit $\frac{3}{4} =$ $\frac{MN}{1}$ . $MN = \frac{1 \times 3}{4} = 0, 75$ m. ⛔ Le piège : écrire Thalès sans avoir justifié le parallélisme. L'énoncé ne dit pas « $(MN) // (BC)$ » : c'est à moi de le prouver, avant tout calcul. Réponse : les deux droites sont perpendiculaires au sol, donc parallèles ; le pied mesure $0, 75$ m.
12. a) Je ne sais pas encore si les droites sont parallèles : c'est la réciproque qu'il faut. D'une part, $\frac{A M}{A B} = \frac{2 , 8}{7} =$ $0, 4$ . D'autre part, $\frac{A N}{A C} = \frac{3 , 4}{8 , 5} =$ $0, 4$ . Les rapports sont égaux, et les points $A$ , $M$ , $B$ et $A$ , $N$ , $C$ sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN) // (BC)$ . b) MAINTENANT je sais que les droites sont parallèles : je peux me servir du théorème. Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{MN}{BC}$ , soit $\frac{2 , 8}{7} =$ $\frac{MN}{6}$ . $MN = \frac{6 \times 2 , 8}{7} = 2, 4$ cm. ⛔ Le piège : mélanger les deux. La réciproque PROUVE le parallélisme ; le théorème s'en SERT pour calculer. L'une, puis l'autre. Réponse : $(MN) // (BC)$ , et $MN = 2, 4$ cm.
13. Je recalcule les deux rapports. $\frac{A M}{A B} = \frac{3 , 2}{8} =$ $0, 4$ , mais $\frac{A N}{A C} = \frac{2 , 8}{6 , 8} \approx$ $0, 41$ : la division ne tombe pas juste. Pour trancher sans arrondi, les produits en croix : $3, 2 \times 6, 8 = 21, 76$ et $8 \times 2, 8 =$ $22, 4$ . Ils sont différents : les rapports ne sont PAS égaux. Si $(MN)$ et $(BC)$ étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait deux rapports égaux. Ce n'est pas le cas : $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles. ⛔ Le piège : arrondir, puis conclure. « Presque égal », ça ne compte pas : la réciproque demande des rapports EXACTEMENT égaux. Réponse : l'élève a tort, $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.
14. a) $[MN]$ est un côté du PETIT triangle $A MN$ , et $[BC]$ le côté qui lui correspond dans le grand : $MN$ doit être plus court que $BC = 7$ cm. $17, 5$ cm, c'est plus du double : impossible. b) L'erreur : dans $\frac{BC}{MN}$ , le grand triangle est en haut, alors que dans $\frac{A M}{A B}$ c'est le petit. Il faut le même ordre partout : $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{MN}{BC}$ , soit $\frac{4}{10} =$ $\frac{MN}{7}$ . $MN = \frac{7 \times 4}{10} = 2, 8$ cm. ⭐ Contrôle : $2, 8$ est bien plus petit que $7$ , et $\frac{2 , 8}{7} =$ $0, 4$ , comme $\frac{4}{10}$ . ⛔ Le piège : le rapport retourné. Petit sur grand, trois fois de suite : jamais un rapport à l'envers. Réponse : $MN = 2, 8$ cm, et non $17, 5$ cm.
15. D'après le théorème de Thalès, les côtés du petit triangle $A MN$ sont proportionnels à ceux du grand triangle $A BC$ : c'est un tableau de proportionnalité. a) La seule colonne complète est celle de $A N$ et $A C$ : le coefficient vaut $\frac{4 , 8}{12} =$ $0, 4$ . b) Je complète chaque colonne par le produit en croix : $A M = \frac{10 \times 4 , 8}{12} = 4$ cm et $MN = \frac{8 \times 4 , 8}{12} = 3, 2$ cm. C'est la même chose que multiplier par $0, 4$ . ⛔ Le piège : prendre le coefficient dans le mauvais sens, $\frac{12}{4 , 8} =$ $2, 5$ . Il fait passer du petit au grand, et donnerait $A M = 25$ cm : plus long que $A B$ . Réponse : le coefficient vaut $0, 4$ ; $A M = 4$ cm et $MN = 3, 2$ cm.
petit AM4 AN4,8 MN3,2 ↑ × 0,4
grand AB10 AC12 BC8
16. a) Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} =$ $\frac{MN}{BC}$ , soit $\frac{3}{5} = \frac{4 , 2}{A C} =$ $\frac{2 , 4}{BC}$ . $A C = \frac{5 \times 4 , 2}{3} = 7$ cm et $BC = \frac{5 \times 2 , 4}{3} = 4$ cm. b) Périmètre de $A MN$ : $3 + 4, 2 + 2, 4 = 9, 6$ cm. Périmètre de $A BC$ : $5 + 7 + 4 = 16$ cm. c) $\frac{9 , 6}{16} =$ $0, 6$ , et le coefficient de Thalès vaut $\frac{3}{5} =$ $0, 6$ . Oui : chaque côté est multiplié par $0, 6$ , donc leur somme aussi. ⛔ Le piège : croire qu'on passe du petit périmètre au grand en ajoutant $MB = 2$ cm. Ce ne sont pas des longueurs qu'on ajoute : tous les côtés sont multipliés. Réponse : $A C = 7$ cm, $BC = 4$ cm ; périmètres $9, 6$ cm et $16$ cm ; oui, le même coefficient $0, 6$ .
petit AM3 AN4,2 MN2,4 ↑ × 0,6
grand AB5 AC7 BC4
17. La cordelette dans la tente a) $M$ est sur $[A B]$ , $N$ sur $[A C]$ , et la cordelette est parallèle au sol : $(MN) // (BC)$ . Le petit triangle $A MN$ est dans le grand triangle $A BC$ . b) Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} =$ $\frac{MN}{BC}$ , soit $\frac{0 , 5}{1 , 25} =$ $\frac{MN}{1 , 5}$ . $MN = \frac{1 , 5 \times 0 , 5}{1 , 25} = 0, 6$ m. c) Cette fois, je connais $MN = 0, 9$ m et je cherche $A M$ : $\frac{A M}{1 , 25} =$ $\frac{0 , 9}{1 , 5}$ . $A M = \frac{1 , 25 \times 0 , 9}{1 , 5} = 0, 75$ m. ⭐ Plus la cordelette est longue, plus elle est attachée bas : $0, 75$ m, c'est plus loin du sommet que $0, 5$ m. ⛔ Le piège : mesurer depuis le sol. Les longueurs des rapports partent du sommet $A$ : c'est $A M$ , pas $MB$ . Réponse : $0, 6$ m de cordelette ; pour $0, 9$ m, il faut l'attacher à $0, 75$ m du sommet.
18. Le service au tennis a) Le filet et la verticale du joueur sont tous les deux perpendiculaires au sol : $(MN) // (BC)$ . $A$ , $M$ , $B$ sont alignés au sol, et $A$ , $N$ , $C$ sur la trajectoire. b) D'abord la distance au sol : $A B = A M + MB = 6, 4 + 11, 885 = 18, 285$ m. Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{MN}{BC}$ , soit $\frac{6 , 4}{18 , 285} =$ $\frac{0 , 914}{BC}$ . $BC = \frac{18 , 285 \times 0 , 914}{6 , 4} \approx 2, 61$ m. c) Cette fois $BC = 2, 4$ m, et je cherche la hauteur de la balle à l'aplomb du filet : $MN = \frac{2 , 4 \times 6 , 4}{18 , 285} \approx 0, 84$ m. $0, 84$ m, c'est moins que $0, 914$ m : en ligne droite, la balle finirait dans le filet. ⭐ Une vraie balle ne suit pas une droite : la pesanteur et l'effet (le « lift ») la font plonger après le filet. C'est pour ça qu'on peut servir sans mesurer $2, 61$ m bras levé. ⛔ Le piège : prendre $11, 885$ m pour $A B$ . La balle voyage de $B$ jusqu'à $A$ , au-delà du filet : $A B = 18, 285$ m. Réponse : il faudrait frapper à environ $2, 61$ m ; à $2, 40$ m, la balle passerait à $0, 84$ m, sous le haut du filet.
19. Le trait de côte recule a) $(MN)$ et $(BC)$ sont verticales toutes les deux : elles sont parallèles. $A$ , $M$ , $B$ sont sur l'ancien niveau de la mer, et $A$ , $N$ , $C$ sur la pente de la plage. b) Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{MN}{BC}$ , soit $\frac{A M}{24} =$ $\frac{0 , 6}{3}$ . $A M = \frac{24 \times 0 , 6}{3} = 4, 8$ m. Il reste $24 - 4, 8 = 19, 2$ m de plage devant la dune. c) $A M = \frac{24 \times 1}{3} = 8$ m : la mer avance de $8$ m, un tiers de la plage. ⭐ Ici, chaque mètre de hausse fait avancer la mer de $8$ m : c'est le rapport $\frac{24}{3}$ . Sur une plage plus plate, le recul serait encore plus grand. (C'est un modèle simple : les vagues et l'érosion font reculer la côte davantage.) ⛔ Le piège : croire que la mer avance de $0, 6$ m. Elle MONTE de $0, 6$ m, mais elle AVANCE à l'horizontale de bien plus : c'est $A M$ , pas $MN$ . Réponse : la mer avance de $4, 8$ m et il reste $19, 2$ m de plage ; elle avancerait de $8$ m si elle montait de $1$ m.
20. L'éclipse totale de Soleil a) $1400000 \div 3500 =$ $400$ : le Soleil est $400$ fois plus large que la Lune. b) Dans le triangle $A BC$ , $M \in$ $[A B]$ , $N \in [A C]$ et $(MN) // (BC)$ . D'après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{MN}{BC}$ , soit $\frac{380 000}{A B} =$ $\frac{3 500}{1 400 000}$ . $A B = \frac{380 000 \times 1 400 000}{3 500} = 152000000$ km. ⭐ Plus simple : le Soleil est $400$ fois plus large, il est donc $400$ fois plus loin, $400 \times 380000 = 152000000$ km. C'est cette coïncidence qui rend les éclipses totales possibles. c) $152$ millions de km contre environ $150$ millions : l'écart est de $2$ millions de km, à peine plus de $1$ %. Avec des valeurs arrondies, c'est un très bon résultat. ⛔ Le piège : écrire $\frac{A M}{A B} =$ $\frac{BC}{MN}$ . Les deux rapports doivent comparer la Lune (le petit triangle) au Soleil (le grand) dans le même ordre ; sinon on trouverait $A B = 950$ km, plus près que la Lune ! Réponse : $400$ fois ; $A B = 152000000$ km, très proche des $150$ millions de km réels.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : le théorème de thalès, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3