Le cercle et le disque : 20 exercices corrigésmaths 6e — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : le cercle et le disque, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. $[OA]$ va du centre à un point du cercle : c'est un rayon. $[BC]$ joint deux points du cercle en passant par O : c'est un diamètre. $[DE]$ joint deux points du cercle sans passer par O : c'est une corde. ⛔ Le piège : appeler « diamètre » toute corde. Un diamètre passe toujours par le centre. Réponse : $[OA]$ est un rayon, $[BC]$ un diamètre, $[DE]$ une corde.
2. 2. a) Le diamètre vaut deux rayons. $8\times 2=16$ cm. b) Le rayon est la moitié du diamètre. $9÷2=4,5$ cm. ⛔ Le piège : diviser quand il faut multiplier. Le diamètre est toujours le plus long. Réponse : a) $16$ cm ; b) $4,5$ cm.
3. 3. Je compare chaque distance au rayon, $3$ cm. $OM=3$ cm, pile le rayon : M est sur le cercle. $ON=2$ cm, moins que le rayon : N est à l'intérieur. $OP=4$ cm, plus que le rayon : P est dehors. Le disque, c'est le cercle et l'intérieur. M et N sont donc dans le disque. ⛔ Le piège : oublier M. Un point du cercle est aussi dans le disque. Réponse : a) M ; b) M et N ; c) P.
4. 4. a) $6$ cm, c'est $3$ fois $2$ cm, car $2\times 3=$$6$. Le tour est donc $3$ fois plus grand : $6,28\times 3=18,84$ cm. b) $20$ cm, c'est $10$ fois $2$ cm. $6,28\times 10=62,8$ cm. ⛔ Le piège : ajouter. $6$ cm, ce n'est pas « $4$ cm de plus » : c'est « $3$ fois plus ». Réponse : a) $18,84$ cm ; b) $62,8$ cm.

   Diamètre	Tour
   2 cm	6,28 cm
   6 cm	18,84 cm
   20 cm	62,8 cm

5. 5. Le ruban fait le tour du biscuit : c'est son périmètre. Périmètre $=\pi \times$ diamètre. $3,14\times 7=21,98$ cm. ⭐ Je vérifie : c'est un peu plus de $3$ fois $7$, donc un peu plus de $21$. ⚠️ Le résultat est approché, car $3,14$ n'est qu'une valeur approchée de $\pi$. Réponse : environ $21,98$ cm de ruban.
6. 6. La formule utilise le diamètre. Je le cherche d'abord. $6\times 2=12$ cm. Périmètre : $3,14\times 12=37,68$ cm. ⛔ Le piège : calculer $3,14\times 6=$$18,84$. Avec le rayon, on ne trouve que la moitié du tour. Réponse : environ $37,68$ cm.
7. 7. a) Pixel peut aller partout à $3$ m ou moins de P. C'est le disque de centre P et de rayon $3$ m. b) G : $2,5<$$3$. Oui, G est dans le disque. N : $3=$$3$. Oui, tout juste : N est sur le cercle. B : $3,5>$$3$. Non, B est hors du disque. ⛔ Le piège : dire non pour N. La laisse bien tendue arrive pile à N. Réponse : a) un disque de rayon $3$ m ; b) G oui, N oui, B non.
8. 8. Tour $=3,14\times$ diamètre. Je fais le calcul à l'envers : je divise par $3,14$. $125,6÷3,14=40$ cm. Je vérifie : $3,14\times 40=$$125,6$. C'est juste. ⛔ Le piège : multiplier encore par $3,14$. On cherche le diamètre : on remonte le calcul. Réponse : $40$ cm.
9. 9. a) Sur le cercle de centre A et de rayon $4$ cm. b) Sur le cercle de centre B et de rayon $3$ cm. c) Je trace les deux cercles. Ils se coupent en deux points, M et N. M et N sont sur les deux cercles à la fois. d) Les deux cercles sont trop petits : $1+2=$$3$, moins que $6$. Ils ne se touchent pas. Il n'y a aucun point. ⛔ Le piège : chercher un seul point. Deux cercles qui se coupent ont deux points communs. Réponse : a) et b) sur deux cercles ; c) $2$ points ; d) aucun.
10. 10. a) Verre : $25,1÷8\approx$$3,14$. Assiette : $75,4÷24\approx$$3,14$. Bassine : $125,6÷40=$$3,14$. b) On trouve toujours à peu près $3,14$. C'est le nombre $\pi$. Le tour est proportionnel au diamètre. c) $3,14\times 30=94,2$ cm. ⚠️ Une ficelle ne mesure pas parfaitement. C'est pour cela qu'on arrondit. Réponse : a) environ $3,14$ chaque fois ; b) toujours le même nombre ; c) $94,2$ cm.
11. 11. a) En un tour, le vélo avance de la longueur du tour de la roue. $3,14\times 50=157$ cm. b) $157\times 10=1570$ cm, soit $15,7$ m. c) Je mets tout en cm : $314$ m $=31400$ cm. $31400÷157=200$ tours. ⛔ Le piège : diviser des mètres par des centimètres. Je mets tout dans la même unité. Réponse : a) $157$ cm ; b) $15,7$ m ; c) $200$ tours.
12. 12. Le tour se fait en trois morceaux. Les deux côtés droits : $10+10=20$ dm. Le bas : $8$ dm. Le haut est un demi-cercle de diamètre $8$ dm. Un cercle entier ferait $3,14\times 8=25,12$ dm. La moitié : $25,12÷2=12,56$ dm. En tout : $20+8+12,56=40,56$ dm. ⛔ Le piège : compter le trait en pointillés. Il est à l'intérieur : le joint n'y passe pas. Réponse : environ $40,56$ dm.
13. 13. a) Tous les points du cercle sont à la même distance du centre. $OB=OC=4,5$ cm. b) $[AB]$ passe par le centre : c'est un diamètre. $AB=4,5\times 2=9$ cm. c) $[AC]$ est une corde. Une corde est plus courte qu'un diamètre. Le diamètre est la plus longue des cordes. ⛔ Le piège : mesurer OB à la règle. Le cercle suffit : $OB$ est un rayon. Réponse : a) $4,5$ cm chacun ; b) un diamètre, $9$ cm ; c) une corde, plus courte.
14. 14. a) L'aiguille va du centre au bord : c'est un rayon, $12$ cm. Le diamètre vaut $12\times 2=24$ cm. b) En une heure, le bout fait un tour complet. $3,14\times 24=75,36$ cm. c) Un quart d'heure, c'est un quart de tour. $75,36÷4=18,84$ cm. ⛔ Le piège : prendre $12$ cm pour le diamètre. L'aiguille part du centre : c'est un rayon. Réponse : a) $12$ cm et $24$ cm ; b) environ $75,36$ cm ; c) environ $18,84$ cm.
15. 15. a) $30\times 3=90$ cm. b) Le tour est proportionnel au diamètre. Diamètre $3$ fois plus grand, tour $3$ fois plus grand. $94,2\times 3=282,6$ cm. c) $3,14\times 90=282,6$ cm. On retrouve le même nombre. ⛔ Le piège : ajouter $60$ cm au tour, comme au diamètre. Le tour est multiplié, pas augmenté. Réponse : a) $90$ cm ; b) et c) $282,6$ cm.
16. 16. Le tour a deux morceaux : l'arrondi et le côté droit. Un cercle entier ferait $3,14\times 10=31,4$ cm. L'arrondi est la moitié : $31,4÷2=15,7$ cm. Le côté droit est le diamètre : $10$ cm. $15,7+10=25,7$ cm. ⛔ Le piège : oublier le côté droit. Le périmètre fait tout le tour. Réponse : environ $25,7$ cm.
17. 17. La piste du collège a) $80+80=160$ m. b) Deux demi-cercles font un cercle de $60$ m de diamètre. $3,14\times 60=188,4$ m. c) $160+188,4=348,4$ m. d) $348,4\times 3=1045,2$ m. $1$ km $=1000$ m, et $1045,2>$$1000$. Oui, Sami court un peu plus de $1$ km. ⛔ Le piège : compter un seul virage. La piste en a deux. Réponse : a) $160$ m ; b) $188,4$ m ; c) $348,4$ m ; d) oui, $1045,2$ m.
18. 18. La roue du géomètre a) Un clic, c'est $1$ m. $45$ clics : $45\times 1=45$ m. b) Tour $=3,14\times$ diamètre. Je fais le calcul à l'envers : $100÷3,14\approx 31,8$ cm. c) Le tour est proportionnel au diamètre. Diamètre $2$ fois plus grand : tour $2$ fois plus grand, soit $2$ m. ⛔ Le piège : croire que la roue fait $1$ m de diamètre. C'est son tour qui fait $1$ m. Réponse : a) $45$ m ; b) environ $31,8$ cm ; c) $2$ m.
19. 19. Les deux arroseurs a) A arrose tout ce qui est à $5$ m ou moins. C'est un disque de centre A et de rayon $5$ m. b) Pour chaque plante, je compare les distances aux portées, $5$ m et $4$ m. P : $4<$$5$, A l'arrose. $4=$$4$, B aussi, tout juste. Q : $6>$$5$, pas A. $2<$$4$, B l'arrose. R : $3<$$5$, A l'arrose. $6>$$4$, pas B. S : $6>5$ et $5>$$4$. Ni A, ni B. c) S reste au sec. ⛔ Le piège : regarder un seul arroseur. Je compare chaque distance à la bonne portée. Réponse : a) un disque de rayon $5$ m ; b) P : A et B ; Q : B ; R : A ; S : aucun ; c) S.
20. 20. La ronde dans la cour a) $24\times 1,2=28,8$ m. b) Tour $=3,14\times$ diamètre. Je fais le calcul à l'envers. $28,8÷3,14\approx 9,2$ m. c) $9,2<$$10$ : oui, la ronde tient, de justesse. d) Avec $30$ élèves : $30\times 1,2=36$ m de tour. $36÷3,14\approx 11,5$ m de diamètre. $11,5>$$10$ : non, elle ne tient plus. ⛔ Le piège : comparer le tour, $28,8$ m, au côté de la cour. C'est le diamètre qui doit tenir. Réponse : a) $28,8$ m ; b) environ $9,2$ m ; c) oui ; d) non.