Calcul vectoriel et produit scalaire : 20 exercices corrigésmaths 1re spé — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices, de la projection au problème de contrôle : produit scalaire par projection, par les normes et l'angle, par les coordonnées, orthogonalité, formule d'Al-Kashi. Une luge, des remorqueurs, un panneau solaire, un voilier, un radar et un téléski. Un rappel de cours avant chaque niveau ; chaque correction dessine les vecteurs ou le triangle.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice. On applique, on écrit le résultat.

Rappel de cours

PROJECTION : si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(A B)$ , alors $A B \cdot A C = A B \cdot$ $A H$ . Cela vaut $A B \times A H$ si $A B$ et $A H$ ont le même sens, $- A B \times A H$ sinon.
NORMES ET ANGLE : $u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times$ $cos θ$ . COORDONNÉES (repère orthonormé) : $u (x; y) \cdot v (x^{'}; y^{'}) = x x^{'} +$ $y y^{'}$ .
$u \cdot u =$ $∥ u ∥^{2}$ ; $u$ et $v$ sont orthogonaux si et seulement si $u \cdot v =$ $0$ . Al-Kashi : $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B \times A C \times$ $cos A$ .
On calcule comme en algèbre : $u \cdot v = v \cdot$ $u$ , $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot$ $w$ , et $∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v +$ $∥ v ∥^{2}$ .

1
Dans le triangle $A BC$ ci-dessous, on a tracé la hauteur issue de $C$ ; son pied est le point $H$ de $[A B]$ . On donne $A B =$ $6$ , $A H = 4$ et $H B =$ $2$ . a) Calculer $A B \cdot$ $A C$ . b) Calculer $B A \cdot$ $BC$ .
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a) On projette $C$ sur la droite $(A B)$ : son projeté est $H$ . Donc $A B \cdot A C = A B \cdot$ $A H$ . $A B$ et $A H$ vont dans le MÊME sens : $A B \cdot A C = A B \times A H = 6 \times 4 =$ $24$ . b) Vu depuis $B$ , le projeté de $C$ sur $(A B)$ est encore $H$ : $B A \cdot BC = B A \cdot$ $B H$ . Même sens : $B A \cdot BC = B A \times B H = 6 \times 2 =$ $12$ . ⚠️ On multiplie par la longueur du PROJETÉ, pas par celle du côté. Ici $A C =$ $5$ , et $6 \times 5 = 30$ est faux. ⭐ La hauteur $C H = 3$ ne sert à rien : la part de $A C$ perpendiculaire à $A B$ ne compte pas.
2
Calculer $u \cdot v$ dans chaque cas ( $θ$ est l'angle entre $u$ et $v$ ). a) $∥ u ∥ =$ $4$ , $∥ v ∥ = 5$ et $θ = \frac{π}{3}$ (dessin : $u$ en bleu, $v$ en orange). b) $∥ u ∥ =$ $2$ , $∥ v ∥ = 32$ et $θ =$ $\frac{3 π}{4}$ . c) $∥ u ∥ =$ $7$ , $∥ v ∥ = 3$ et $θ =$ $\frac{π}{2}$ .
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On applique $u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times$ $cos θ$ . a) $u \cdot v = 4 \times 5 \times cos \frac{π}{3} = 20 \times \frac{1}{2} =$ $10$ . b) $cos \frac{3 π}{4} =$ $- \frac{2}{2}$ : l'angle est obtus, le produit sera NÉGATIF. $u \cdot v = 2 \times 32 \times (- \frac{2}{2}) = - \frac{6 \times 2}{2} =$ $- 6$ . c) $cos \frac{π}{2} =$ $0$ , donc $u \cdot v =$ $0$ : les vecteurs sont orthogonaux. ⭐ Le signe se lit sur l'angle : aigu, produit positif ; droit, produit nul ; obtus, produit négatif.
3
Dans un repère orthonormé, calculer : a) $u \cdot v$ avec $u (3; - 2)$ et $v (4; 5)$ ; b) $u \cdot w$ avec $u (- 1; 4)$ et $w (6; - 3)$ ; c) $A B \cdot A C$ avec $A (2; 1)$ , $B (5; 3)$ et $C (- 1; 4)$ .
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On multiplie abscisse par abscisse, ordonnée par ordonnée, et on ajoute : $x x^{'} +$ $y y^{'}$ . a) $u \cdot v = 3 \times 4 + (- 2) \times 5 = 12 - 10 =$ $2$ . b) $u \cdot w = (- 1) \times 6 + 4 \times (- 3) = - 6 - 12 =$ $- 18$ . c) D'abord les coordonnées des vecteurs : $A B (3; 2)$ et $A C (- 3; 3)$ . $A B \cdot A C = 3 \times (- 3) + 2 \times 3 = - 9 + 6 =$ $- 3$ . ⚠️ Le résultat est un NOMBRE, pas un vecteur : écrire $(12; - 10)$ au a) est une erreur fréquente. ⛔ La formule $x x^{'} + y y^{'}$ ne vaut que dans un repère ORTHONORMÉ.
4
Dans un repère orthonormé : a) calculer la norme de $u (- 6; 8)$ ; b) calculer la distance $A B$ , avec $A (- 2; 2)$ et $B (2; - 1)$ ; c) donner les coordonnées et la norme de $w =$ $\frac{1}{10} u$ .
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La norme vient du produit scalaire d'un vecteur par lui-même : $∥ u ∥^{2} = u \cdot u = x^{2} +$ $y^{2}$ . a) $u \cdot u = (- 6)^{2} + 8^{2} = 36 + 64 =$ $100$ , donc $∥ u ∥ = 100 =$ $10$ . b) $A B (4; - 3)$ , donc $A B = 4^{2} + (- 3)^{2} = 25 =$ $5$ . c) $w (- 0, 6; 0, 8)$ et $∥ w ∥ = 0, 36 + 0, 64 =$ $1$ : on a divisé la norme par $10$ . ⚠️ $(- 6)^{2} =$ $36$ : le carré efface le signe. Écrire $- 6^{2} = - 36$ donnerait une norme impossible. ⭐ Sur le dessin, c'est Pythagore dans le triangle vert : côtés $4$ et $3$ , hypoténuse $5$ .
5
On sait que $∥ u ∥ =$ $2$ , $u \cdot v = 3$ et $u \cdot w =$ $- 5$ . Calculer : a) $v \cdot$ $u$ ; b) $u \cdot (2 v -$ $w)$ ; c) $(3 u) \cdot$ $v$ ; d) $u \cdot (u +$ $v)$ .
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Le produit scalaire se manie comme un produit de nombres : on peut échanger, développer, sortir les nombres. a) Symétrie : $v \cdot u = u \cdot v =$ $3$ . b) On développe : $u \cdot (2 v - w) = 2 u \cdot v - u \cdot w = 2 \times 3 - (- 5) =$ $11$ . c) Le nombre sort : $(3 u) \cdot v = 3 \times u \cdot v = 3 \times 3 =$ $9$ . d) $u \cdot (u + v) = ∥ u ∥^{2} + u \cdot v = 4 + 3 =$ $7$ . ⚠️ Au b), $- (- 5) =$ $+ 5$ : le signe moins porte sur tout le produit $u \cdot$ $w$ . ✔️ Le dessin vérifie le b) par un autre chemin. Avec $u (2; 0)$ , $v (1, 5; 2)$ et $w (- 2, 5; 1)$ , qui respectent les données, $2 v - w$ (en violet) vaut $(5, 5; 3)$ , et $u \cdot (2 v - w) = 2 \times 5, 5 + 0 \times 3 =$ $11$ .
6
Dans un repère orthonormé : a) $u (- 2; 3)$ et $v (6; 4)$ sont-ils orthogonaux ? b) Même question pour $a (5; 2)$ et $b (- 2; 4)$ . c) Trouver le réel $m$ tel que $p (m; 3)$ et $q (4; - 2)$ soient orthogonaux.
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Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. a) $u \cdot v = (- 2) \times 6 + 3 \times 4 = - 12 + 12 =$ $0$ : oui, ils sont orthogonaux. b) $a \cdot b = 5 \times (- 2) + 2 \times 4 = - 10 + 8 =$ $- 2$ : ce n'est pas $0$ , ils ne sont pas orthogonaux. c) $p \cdot q = 4 m + 3 \times (- 2) = 4 m -$ $6$ . On veut $4 m - 6 =$ $0$ , donc $m =$ $\frac{3}{2}$ . ⚠️ « Presque nul » ne suffit pas : $- 2$ n'est pas $0$ , l'angle n'est pas droit (il est un peu obtus). ⭐ Sur le dessin, l'angle droit du a) se voit sur le quadrillage.
7
On donne $∥ u ∥ =$ $4$ , $∥ v ∥ = 5$ et $u \cdot v =$ $12$ . a) Calculer $∥ u +$ $v ∥^{2}$ , puis $∥ u + v ∥$ au centième. b) Calculer $∥ u - v ∥$ au centième. c) A-t-on $∥ u + v ∥ = ∥ u ∥ +$ $∥ v ∥$ ?
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On développe comme une identité remarquable. a) $∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2} = 16 + 24 + 25 =$ $65$ , donc $∥ u + v ∥ = 65 \approx$ $8, 06$ . b) $∥ u - v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} - 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2} = 16 - 24 + 25 =$ $17$ , donc $∥ u - v ∥ = 17 \approx$ $4, 12$ . c) Non : $∥ u ∥ + ∥ v ∥ =$ $9$ , et $65 \approx$ $8, 06$ . Les normes ne s'ajoutent pas, sauf pour deux vecteurs de même sens. ⚠️ On n'oublie pas le double produit $2 u \cdot$ $v$ , comme dans $(a +$ $b)^{2}$ . ✔️ Le dessin : avec $u (4; 0)$ et $v (3; 4)$ (normes $4$ et $5$ , produit $12$ ), la diagonale violette $u + v (7; 4)$ mesure bien $49 + 16 =$ $65$ , et la flèche verte $u - v (1; - 4)$ mesure $17$ .
8
Dans le triangle $A BC$ ci-dessous, $A B =$ $5$ , $A C = 8$ et $B A C =$ $60°$ . Calculer $BC$ .
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On connaît deux côtés et l'angle qu'ils forment : c'est la situation d'Al-Kashi. $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \times A B \times A C \times$ $cos A$ . $B C^{2} = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac{1}{2} = 89 - 40 =$ $49$ , donc $BC =$ $7$ . ⚠️ L'angle utilisé est celui COMPRIS entre les deux côtés connus : ici $A$ , en face du côté cherché. ⭐ Si l'angle était droit, $cos 90° = 0$ et on retrouverait Pythagore : Al-Kashi le généralise.

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Plusieurs gestes à enchaîner, comme dans un contrôle. On rédige.

Rappel de cours

En physique, le TRAVAIL d'une force constante $F$ sur un déplacement $A B$ est $W = F \cdot A B$ (en joules) : seule la part de la force dans le sens du déplacement travaille.
Avec les trois longueurs d'un triangle : $A B \cdot A C =$ $\frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2})$ . Et pour un angle : $cos A =$ $\frac{A B \cdot A C}{A B \times A C}$ .
Quatre méthodes : la projection (un angle droit visible), les coordonnées (un repère), les normes et l'angle, les trois longueurs. On choisit celle que les données permettent.

9
Un enfant tire une luge sur un chemin plat, de $A$ à $B$ , avec $A B = 20$ m. La corde fait un angle de $30°$ avec le sol ; la force $F$ exercée vaut $50$ N. a) Calculer le travail $W = F \cdot A B$ (valeur exacte, puis arrondie au joule). b) Quelle force, tirée à l'horizontale, ferait le même travail ? c) Le poids $P$ de la luge est vertical. Quel est son travail ?
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Le travail est le produit scalaire de la force par le déplacement. a) On connaît les normes et l'angle : $W = ∥ F ∥ \times A B \times cos 30° = 50 \times 20 \times \frac{3}{2} = 5003 \approx 866$ J. b) Par projection : seule la part HORIZONTALE de la force (la flèche violette) fait avancer la luge. Elle vaut $50 cos 30° = 253 \approx 43, 3$ N. ✔️ $253 \times 20 =$ $5003$ : le même travail. c) $P$ est perpendiculaire au déplacement : $P \cdot A B =$ $0$ . Sur un chemin plat, le poids ne travaille pas. ⚠️ Tirer vers le HAUT ne sert à rien pour avancer : c'est la part horizontale qui compte. ⭐ Plus la corde est basse, plus $cos$ est proche de $1$ : on tire « utile ».
10
Un maçon trace au sol la dalle d'un abri de jardin. Sur son plan, dans un repère orthonormé (unité : le mètre), les coins sont $A (1; 2)$ , $B (5; 0)$ , $C (7; 4)$ et $D (3; 6)$ . a) Montrer que les côtés $[A B]$ et $[A D]$ sont perpendiculaires. b) Montrer que $A BC D$ est un rectangle. c) Est-ce un carré ? d) Vérifier que les diagonales sont perpendiculaires.
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a) $A B (4; - 2)$ et $A D (2; 4)$ . $A B \cdot A D = 4 \times 2 + (- 2) \times 4 = 8 - 8 =$ $0$ : les côtés $[A B]$ et $[A D]$ sont perpendiculaires. b) $D C (4; - 2)$ : $D C =$ $A B$ , donc $A BC D$ est un parallélogramme. Avec un angle droit en $A$ , c'est un rectangle. c) $A B = 16 + 4 = 20$ et $A D = 4 + 16 =$ $20$ : deux côtés consécutifs égaux. Le rectangle est un carré, de côté $25 \approx 4, 47$ m. d) $A C (6; 2)$ et $B D (- 2; 6)$ : $A C \cdot B D = - 12 + 12 =$ $0$ . Les diagonales sont perpendiculaires, comme dans tout carré. ⚠️ Deux côtés égaux ne font qu'un losange : il faut AUSSI l'angle droit. ⭐ Sur un chantier, on vérifie l'équerre avec une corde 3-4-5 ; sur le plan, le produit scalaire fait le même travail.
11
Trois refuges de montagne $A$ , $B$ et $C$ sont distants, à vol d'oiseau, de $A B = 3$ km, $A C = 5$ km et $BC = 7$ km. a) Calculer l'angle $B A C$ sous lequel on voit les refuges $B$ et $C$ depuis $A$ . b) Calculer $A B \cdot A C$ de deux façons différentes.
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a) On connaît les trois côtés : Al-Kashi, lue « à l'envers », donne l'angle. $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \times A B \times A C \times$ $cos A$ , soit $49 = 9 + 25 -$ $30 cos A$ . $30 cos A = 34 - 49 =$ $- 15$ , donc $cos A = - \frac{1}{2}$ et $A =$ $120°$ . b) Normes et angle : $A B \cdot A C = 3 \times 5 \times cos 120° = 15 \times (- \frac{1}{2}) =$ $- 7, 5$ . Les trois longueurs : $A B \cdot A C = \frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}) = \frac{1}{2} (9 + 25 - 49) =$ $- 7, 5$ . ⭐ Même résultat par deux chemins : c'est la meilleure vérification. ⚠️ Un cosinus négatif n'est pas une erreur : l'angle est obtus, et le côté d'en face, $[BC]$ , est le plus long.
12
Deux remorqueurs tirent un paquebot avec des forces $F_{1}$ et $F_{2}$ de normes $3$ et $2$ (en centaines de kilonewtons). Leur résultante $F_{1} + F_{2}$ a pour norme $4$ . a) Calculer $F_{1} \cdot$ $F_{2}$ . b) En déduire l'angle $θ$ entre les deux câbles, au dixième de degré. c) Que vaudrait la résultante si les câbles étaient perpendiculaires ?
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a) On développe : $∥ F_{1} + F_{2} ∥^{2} = ∥ F_{1} ∥^{2} + 2 F_{1} \cdot F_{2} +$ $∥ F_{2} ∥^{2}$ . $16 = 9 + 2 F_{1} \cdot F_{2} +$ $4$ , donc $2 F_{1} \cdot F_{2} = 3$ et $F_{1} \cdot F_{2} =$ $1, 5$ . b) $F_{1} \cdot F_{2} = ∥ F_{1} ∥ \times ∥ F_{2} ∥ \times$ $cos θ$ , donc $cos θ = \frac{1 , 5}{3 \times 2} =$ $0, 25$ . À la calculatrice : $θ \approx$ $75, 5°$ . c) Câbles perpendiculaires : $F_{1} \cdot F_{2} =$ $0$ , et $∥ F_{1} + F_{2} ∥^{2} = 9 + 4 = 13$ (c'est Pythagore). La résultante vaudrait $13 \approx$ $3, 61$ , moins que $4$ : plus l'angle entre les câbles est petit, plus la traction est efficace. Sur le dessin : $F_{1}$ en bleu, $F_{2}$ en orange, la résultante en violet, diagonale du parallélogramme. ⛔ $∥ F_{1} + F_{2} ∥ = 3 + 2 = 5$ est faux : les normes ne s'ajoutent que si les câbles sont parallèles.
13
Pour fabriquer un cerf-volant, on veut deux baguettes qui se croisent à angle droit : ce sont les diagonales d'un parallélogramme de toile $A BC D$ . On pose $u = A B$ et $v =$ $A D$ . a) Exprimer $A C$ et $D B$ en fonction de $u$ et de $v$ . b) Montrer que $A C \cdot D B = A B^{2} -$ $A D^{2}$ . c) À quelle condition les baguettes sont-elles perpendiculaires ? d) Avec $A B = 5$ dm et $A D = 3$ dm, calculer $A C \cdot$ $D B$ . Conclure.
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a) Chasles : $A C = A B + BC = u + v$ (car $BC =$ $A D$ ) et $D B = D A + A B = u -$ $v$ . b) On développe comme en algèbre (bilinéarité) : $(u + v) \cdot (u - v) = u \cdot u - u \cdot v + v \cdot u - v \cdot$ $v$ . Symétrie : $v \cdot u = u \cdot$ $v$ , les deux termes du milieu s'annulent. Il reste $A C \cdot D B = ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2} = A B^{2} -$ $A D^{2}$ . c) Les baguettes sont perpendiculaires si et seulement si $A C \cdot D B =$ $0$ , c'est-à-dire $A B^{2} =$ $A D^{2}$ , soit $A B =$ $A D$ : le parallélogramme est un LOSANGE. d) $A C \cdot D B = 25 - 9 =$ $16$ : ce n'est pas $0$ , les baguettes ne se croisent pas à angle droit. Il faut deux côtés consécutifs égaux. ✔️ Sur le dessin : $A C (6, 8; 2, 4)$ et $D B (3, 2; - 2, 4)$ , et $6, 8 \times 3, 2 - 2, 4 \times 2, 4 = 21, 76 - 5, 76 =$ $16$ . ⭐ C'est l'identité $(a + b) (a - b) = a^{2} -$ $b^{2}$ , version vecteurs.
14
Un carreau de faïence est un carré $A BC D$ de côté $4$ dm ; $I$ est le milieu de $[BC]$ . Le motif suit les segments $[A I]$ et $[B D]$ . a) Calculer $A B \cdot A I$ par projection. b) Retrouver ce résultat avec les coordonnées, dans le repère d'origine $A$ où $B (4; 0)$ et $D (0; 4)$ . c) Calculer $A I \cdot$ $B D$ . Quelle méthode choisir ? d) Donner $A C \cdot B D$ sans calcul.
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a) Le côté $[BC]$ est perpendiculaire à $(A B)$ : le projeté de $I$ sur la droite $(A B)$ est $B$ . Donc $A B \cdot A I = A B \cdot A B = A B^{2} =$ $16$ . b) $A B (4; 0)$ et $A I (4; 2)$ : $A B \cdot A I = 16 + 0 =$ $16$ . Le même résultat. c) Ici, pas de projection simple : on prend les coordonnées. $B D (- 4; 4)$ , donc $A I \cdot B D = 4 \times (- 4) + 2 \times 4 = - 16 + 8 =$ $- 8$ . d) Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires : $A C \cdot B D =$ $0$ . ⭐ Pour choisir : un angle droit visible, la projection ; un repère naturel, les coordonnées ; deux normes et un angle, le cosinus ; trois longueurs, la formule d'Al-Kashi. ⚠️ Au c), le résultat est négatif : $A I$ (orange) et $B D$ (vert) font un angle obtus.
15
On représente en coupe un panneau solaire par le segment $[A B]$ , avec $A (0; 0)$ et $B (4; 3)$ (repère orthonormé, unité : le mètre). À midi, le vecteur $s (- 1; 2)$ pointe vers le Soleil. On modélise la puissance reçue par $P = 400 cos θ$ (en watts), où $θ$ est l'angle entre $s$ et un vecteur normal au panneau. a) Montrer que $n (- 3; 4)$ est orthogonal au panneau. b) Calculer $cos θ$ (angle entre $n$ et $s$ ), puis $θ$ au dixième de degré. c) Quelle puissance reçoit le panneau ? d) Posé à plat, le panneau aurait pour vecteur normal $j (0; 1)$ . Quelle puissance recevrait-il ? Conclure.
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a) $A B (4; 3)$ et $n \cdot A B = - 3 \times 4 + 4 \times 3 =$ $0$ : $n$ est orthogonal au panneau (en vert sur le dessin ; $s$ est en orange). b) $n \cdot s = (- 3) \times (- 1) + 4 \times 2 =$ $11$ , $∥ n ∥ = 9 + 16 = 5$ et $∥ s ∥ = 1 + 4 =$ $5$ . $cos θ = \frac{11}{5 5} \approx$ $0, 984$ , donc $θ \approx$ $10, 3°$ . c) $P = 400 \times \frac{11}{5 5} \approx 394$ W. d) $j \cdot s = 2$ et $∥ j ∥ =$ $1$ : $cos θ^{'} = \frac{2}{5} \approx$ $0, 894$ , soit $θ^{'} \approx$ $26, 6°$ . $P^{'} = 400 \times \frac{2}{5} \approx 358$ W. À cette heure-là, incliner le panneau fait gagner environ $36$ W. ⭐ Le panneau capte le mieux quand le Soleil est dans la direction de sa NORMALE : alors $cos θ =$ $1$ . ⚠️ L'angle utile est celui avec la normale $n$ , pas avec le panneau : avec $A B$ , on trouverait $cos =$ $\frac{2}{5 5}$ , presque $0$ .
16
Démonstration (au programme). Dans un triangle $A BC$ : a) En écrivant $BC = A C -$ $A B$ , montrer que $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B \cdot$ $A C$ . b) En déduire la formule d'Al-Kashi. c) Dans une charpente, deux poutres de $6$ m et de $4$ m partent d'un même point $A$ en formant un angle de $120°$ . Quelle longueur doit avoir la poutre qui relie leurs extrémités ?
Voir la correction
a) Chasles : $BC = B A + A C = A C -$ $A B$ . $B C^{2} = ∥ A C - A B ∥^{2} = A C^{2} - 2 A C \cdot A B +$ $A B^{2}$ : on développe comme $(a -$ $b)^{2}$ . b) On remplace le produit scalaire par normes et angle : $A B \cdot A C = A B \times A C \times$ $cos A$ . D'où $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B \times A C \times$ $cos A$ : c'est la formule d'Al-Kashi. c) $cos 120° =$ $- \frac{1}{2}$ . $B C^{2} = 36 + 16 - 2 \times 6 \times 4 \times (- \frac{1}{2}) = 52 + 24 =$ $76$ . $BC = 76 = 219 \approx 8, 72$ m. ⚠️ Moins par moins : l'angle est obtus, le terme $- 2 A B \times A C \times cos A$ AJOUTE $24$ . Avec un angle droit, on aurait eu $52 \approx 7, 21$ m. ⭐ Toute la preuve tient en une idée : $BC = A C -$ $A B$ , puis on élève au carré.

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Un exercice complet de contrôle, avec ses questions qui s'enchaînent.

Rappel de cours

Un problème de produit scalaire commence par une question : que connaît-on ? Des coordonnées, des normes et un angle, des longueurs ?
Un produit scalaire nul signale un angle droit ; un cosinus négatif, un angle obtus.
Avec $I$ milieu de $[A B]$ : $M A \cdot MB = M I^{2} -$ $I A^{2}$ . Les points $M$ tels que $M A \cdot MB = 0$ forment le cercle de diamètre $[A B]$ .

17La voile et le vent
Sur un voilier, le vent exerce sur la voile une force $F (3; 4)$ , dans un repère orthonormé où l'unité vaut $100$ N (l'axe des abscisses pointe vers l'est). On modélise ainsi : seule la part de $F$ dans la direction du cap fait avancer le bateau ; si $d$ indique le cap, elle vaut $\frac{F \cdot d}{∥ d ∥}$ . a) Calculer l'intensité $∥ F ∥$ , en newtons. b) Le bateau fait cap à l'est : $d =$ $i (1; 0)$ . Quelle force le fait avancer ? c) Il change de cap : $d (4; 3)$ . Même question, puis calculer l'angle entre $F$ et le cap. d) Donner un cap pour lequel le vent ne fait pas avancer le bateau du tout. e) Au cap de la question c), quel est le travail de la force utile sur $2$ km ?
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a) $∥ F ∥ = 3^{2} + 4^{2} = 25 =$ $5$ , soit $500$ N. b) $F \cdot i = 3 \times 1 + 4 \times 0 = 3$ et $∥ i ∥ =$ $1$ : la force utile vaut $3$ , soit $300$ N. C'est l'abscisse de $F$ , sa projection sur l'axe est-ouest. c) $F \cdot d = 3 \times 4 + 4 \times 3 = 24$ et $∥ d ∥ = 16 + 9 =$ $5$ . Force utile : $\frac{24}{5} =$ $4, 8$ , soit $480$ N. Le nouveau cap est meilleur. Angle : $cos θ = \frac{F \cdot d}{∥ F ∥ \times ∥ d ∥} = \frac{24}{25} =$ $0, 96$ , donc $θ \approx$ $16, 3°$ . d) Il faut un cap orthogonal à $F$ , c'est-à-dire $F \cdot d =$ $0$ . Par exemple $d (4; - 3)$ : $3 \times 4 + 4 \times (- 3) =$ $0$ . e) La force utile, $480$ N, est dans le sens du déplacement de $2000$ m : $W = 480 \times 2000 = 960000$ J, soit $960$ kJ. ✔️ Sur le dessin, la flèche violette est la force utile du c) : elle mesure $3, 8 4^{2} + 2, 8 8^{2} =$ $4, 8$ . Le cap vert, lui, ne reçoit rien. ⚠️ Un vrai voilier remonte aussi au vent grâce à la forme de sa voile et à sa quille : ce modèle ne garde que la projection.
18Deux avions sur l'écran radar
Un radar $R$ suit deux avions. À 10 h 00, l'avion $A$ est à $30$ km du radar, l'avion $B$ à $50$ km, et l'angle $A RB$ mesure $60°$ . a) Calculer la distance $A B$ entre les deux avions, au dixième de km. b) Calculer $R A \cdot$ $RB$ . c) À 10 h 02, $R A = 40$ km, $RB = 30$ km et $A B = 50$ km. Calculer $R A \cdot RB$ à partir des trois longueurs, puis l'angle $A RB$ . d) Un contrôleur affirme : « À 10 h 02, le radar voit les deux avions dans des directions perpendiculaires. » A-t-il raison ?
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a) Deux côtés et l'angle compris : Al-Kashi. $A B^{2} = R A^{2} + R B^{2} - 2 \times R A \times RB \times cos 60° = 900 + 2500 - 2 \times 30 \times 50 \times \frac{1}{2} = 3400 - 1500 =$ $1900$ . $A B = 1900 = 1019 \approx 43, 6$ km. b) $R A \cdot RB = R A \times RB \times cos 60° = 30 \times 50 \times \frac{1}{2} =$ $750$ . c) Avec les trois longueurs : $R A \cdot RB = \frac{1}{2} (R A^{2} + R B^{2} - A B^{2}) = \frac{1}{2} (1600 + 900 - 2500) =$ $0$ . Donc $cos A RB = 0$ et $A RB =$ $90°$ . d) Oui : un produit scalaire nul, c'est un angle droit. On le retrouve par la réciproque de Pythagore : $4 0^{2} + 3 0^{2} = 1600 + 900 = 2500 =$ $5 0^{2}$ . ⭐ Une même formule dans les deux sens : deux côtés et un angle donnent le troisième côté ; trois côtés donnent l'angle. ⚠️ Le radar mesure des distances et des directions ; la distance ENTRE les avions, elle, se calcule.
19Voir une fresque
Dans un musée, une fresque occupe un mur du point $A$ au point $B$ , avec $A B = 8$ m. Dans un repère orthonormé (unité : le mètre) centré au milieu $I$ de $[A B]$ , $A (- 4; 0)$ et $B (4; 0)$ . a) Montrer que, pour tout point $M$ , $M A \cdot MB = M I^{2} -$ $16$ . (Écrire $M A = M I + I A$ et $MB = M I -$ $I A$ .) b) Décrire l'ensemble des points $M$ tels que $M A \cdot MB =$ $0$ . c) Une visiteuse est en $M (3; 4)$ . Calculer $M A \cdot MB$ avec les coordonnées, puis vérifier avec a). d) Décrire l'ensemble des points $M$ tels que $M A \cdot MB =$ $9$ . e) Où doit se tenir un visiteur pour voir la fresque sous un angle $A MB$ aigu ?
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a) $I$ est le milieu de $[A B]$ , donc $I B = - I A$ et $M A \cdot MB = (M I + I A) \cdot (M I -$ $I A)$ . On développe (bilinéarité) ; les termes croisés s'annulent (symétrie) : $M A \cdot MB = M I^{2} - I A^{2} = M I^{2} -$ $16$ . b) $M A \cdot MB = 0 ⟺ M I^{2} = 16 ⟺ M I =$ $4$ : c'est le cercle de centre $I$ et de rayon $4$ , le cercle de diamètre $[A B]$ (en orange). c) $M A (- 7; - 4)$ et $MB (1; - 4)$ : $M A \cdot MB = - 7 + 16 =$ $9$ . Avec a) : $M I^{2} = 3^{2} + 4^{2} =$ $25$ , et $25 - 16 =$ $9$ . ✔️ d) $M A \cdot MB = 9 ⟺ M I^{2} = 25 ⟺ M I =$ $5$ : le cercle de centre $I$ et de rayon $5$ (en vert). La visiteuse est dessus. e) L'angle $A MB$ est aigu quand $cos A MB >$ $0$ , c'est-à-dire $M A \cdot MB >$ $0$ , soit $M I >$ $4$ . Il faut se tenir à plus de $4$ m du milieu de la fresque : hors du cercle orange. ⚠️ Sur le cercle orange, l'angle est DROIT ; à l'intérieur, il est obtus. ⭐ Faire apparaître le milieu $I$ remplace un produit de deux vecteurs qui bougent par une seule distance, $M I$ .
20Le téléski
Un téléski tire un skieur de $A$ à $B$ sur une piste droite. Dans un repère orthonormé (axe des abscisses horizontal, axe des ordonnées vertical, unité : le mètre), $A (0; 0)$ et $B (360; 150)$ . Le travail d'une force constante $F$ sur ce trajet est $W = F \cdot A B$ (en joules). a) Calculer la longueur $A B$ de la montée et l'angle $α$ de la piste avec l'horizontale. b) Le poids est $P (0; - 700)$ , en newtons. Calculer son travail. c) La traction de la perche est $T (300; 200)$ . Calculer son travail, puis l'angle entre la perche et la piste. d) Le frottement de la neige est une force de $50$ N, dans le sens opposé au déplacement. Calculer son travail. e) La réaction de la neige est perpendiculaire à la piste. Quel est son travail ? Donner un vecteur qui a sa direction. f) Faire le total des travaux. Que peut-on en conclure ?
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a) $A B (360; 150)$ : $A B = 129600 + 22500 = 152100 = 390$ m. Avec $i (1; 0)$ horizontal : $cos α = \frac{A B \cdot i}{A B} = \frac{360}{390} =$ $\frac{12}{13}$ , donc $α \approx$ $22, 6°$ . b) Coordonnées : $W_{P} = 0 \times 360 + (- 700) \times 150 = - 105000$ J. Négatif : le poids freine la montée. c) Coordonnées : $W_{T} = 300 \times 360 + 200 \times 150 = 108000 + 30000 = 138000$ J. $∥ T ∥ = 90000 + 40000 = 130000 \approx 360, 6$ N, donc $cos β = \frac{138 000}{130 000 \times 390} \approx 0, 981$ et $β \approx$ $11, 1°$ . d) Normes et angle : la force et le déplacement font un angle de $180°$ . $W_{f} = 50 \times 390 \times cos 180° = - 19500$ J. e) Force perpendiculaire au déplacement : $W_{R} = 0$ J, sans calcul. Un vecteur orthogonal à $A B$ : $(- 150; 360)$ , car $360 \times (- 150) + 150 \times 360 =$ $0$ ; plus simple, $(- 5; 12)$ . f) Total : $138000 - 105000 - 19500 + 0 = 13500$ J. Le total est positif : en physique, cela veut dire que le skieur arrive en $B$ plus vite qu'il n'est parti de $A$ . Sur le dessin, les forces sont à une autre échelle que la piste : $T$ en orange, $P$ en violet, la direction de la réaction en vert. ⭐ Une méthode par force : des coordonnées, la formule $x x^{'} +$ $y y^{'}$ ; une norme et un angle, le cosinus ; un angle droit, zéro. ⚠️ Pour le poids, $700 \times 390$ serait faux : seule compte la montée de $150$ m, la part verticale du déplacement.

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : calcul vectoriel et produit scalaire, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. a) On projette $C$ sur la droite $(A B)$ : son projeté est $H$ . Donc $A B \cdot A C = A B \cdot$ $A H$ . $A B$ et $A H$ vont dans le MÊME sens : $A B \cdot A C = A B \times A H = 6 \times 4 =$ $24$ . b) Vu depuis $B$ , le projeté de $C$ sur $(A B)$ est encore $H$ : $B A \cdot BC = B A \cdot$ $B H$ . Même sens : $B A \cdot BC = B A \times B H = 6 \times 2 =$ $12$ . ⚠️ On multiplie par la longueur du PROJETÉ, pas par celle du côté. Ici $A C =$ $5$ , et $6 \times 5 = 30$ est faux. ⭐ La hauteur $C H = 3$ ne sert à rien : la part de $A C$ perpendiculaire à $A B$ ne compte pas.
2. On applique $u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times$ $cos θ$ . a) $u \cdot v = 4 \times 5 \times cos \frac{π}{3} = 20 \times \frac{1}{2} =$ $10$ . b) $cos \frac{3 π}{4} =$ $- \frac{2}{2}$ : l'angle est obtus, le produit sera NÉGATIF. $u \cdot v = 2 \times 32 \times (- \frac{2}{2}) = - \frac{6 \times 2}{2} =$ $- 6$ . c) $cos \frac{π}{2} =$ $0$ , donc $u \cdot v =$ $0$ : les vecteurs sont orthogonaux. ⭐ Le signe se lit sur l'angle : aigu, produit positif ; droit, produit nul ; obtus, produit négatif.
3. On multiplie abscisse par abscisse, ordonnée par ordonnée, et on ajoute : $x x^{'} +$ $y y^{'}$ . a) $u \cdot v = 3 \times 4 + (- 2) \times 5 = 12 - 10 =$ $2$ . b) $u \cdot w = (- 1) \times 6 + 4 \times (- 3) = - 6 - 12 =$ $- 18$ . c) D'abord les coordonnées des vecteurs : $A B (3; 2)$ et $A C (- 3; 3)$ . $A B \cdot A C = 3 \times (- 3) + 2 \times 3 = - 9 + 6 =$ $- 3$ . ⚠️ Le résultat est un NOMBRE, pas un vecteur : écrire $(12; - 10)$ au a) est une erreur fréquente. ⛔ La formule $x x^{'} + y y^{'}$ ne vaut que dans un repère ORTHONORMÉ.
4. La norme vient du produit scalaire d'un vecteur par lui-même : $∥ u ∥^{2} = u \cdot u = x^{2} +$ $y^{2}$ . a) $u \cdot u = (- 6)^{2} + 8^{2} = 36 + 64 =$ $100$ , donc $∥ u ∥ = 100 =$ $10$ . b) $A B (4; - 3)$ , donc $A B = 4^{2} + (- 3)^{2} = 25 =$ $5$ . c) $w (- 0, 6; 0, 8)$ et $∥ w ∥ = 0, 36 + 0, 64 =$ $1$ : on a divisé la norme par $10$ . ⚠️ $(- 6)^{2} =$ $36$ : le carré efface le signe. Écrire $- 6^{2} = - 36$ donnerait une norme impossible. ⭐ Sur le dessin, c'est Pythagore dans le triangle vert : côtés $4$ et $3$ , hypoténuse $5$ .
5. Le produit scalaire se manie comme un produit de nombres : on peut échanger, développer, sortir les nombres. a) Symétrie : $v \cdot u = u \cdot v =$ $3$ . b) On développe : $u \cdot (2 v - w) = 2 u \cdot v - u \cdot w = 2 \times 3 - (- 5) =$ $11$ . c) Le nombre sort : $(3 u) \cdot v = 3 \times u \cdot v = 3 \times 3 =$ $9$ . d) $u \cdot (u + v) = ∥ u ∥^{2} + u \cdot v = 4 + 3 =$ $7$ . ⚠️ Au b), $- (- 5) =$ $+ 5$ : le signe moins porte sur tout le produit $u \cdot$ $w$ . ✔️ Le dessin vérifie le b) par un autre chemin. Avec $u (2; 0)$ , $v (1, 5; 2)$ et $w (- 2, 5; 1)$ , qui respectent les données, $2 v - w$ (en violet) vaut $(5, 5; 3)$ , et $u \cdot (2 v - w) = 2 \times 5, 5 + 0 \times 3 =$ $11$ .
6. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. a) $u \cdot v = (- 2) \times 6 + 3 \times 4 = - 12 + 12 =$ $0$ : oui, ils sont orthogonaux. b) $a \cdot b = 5 \times (- 2) + 2 \times 4 = - 10 + 8 =$ $- 2$ : ce n'est pas $0$ , ils ne sont pas orthogonaux. c) $p \cdot q = 4 m + 3 \times (- 2) = 4 m -$ $6$ . On veut $4 m - 6 =$ $0$ , donc $m =$ $\frac{3}{2}$ . ⚠️ « Presque nul » ne suffit pas : $- 2$ n'est pas $0$ , l'angle n'est pas droit (il est un peu obtus). ⭐ Sur le dessin, l'angle droit du a) se voit sur le quadrillage.
7. On développe comme une identité remarquable. a) $∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2} = 16 + 24 + 25 =$ $65$ , donc $∥ u + v ∥ = 65 \approx$ $8, 06$ . b) $∥ u - v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} - 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2} = 16 - 24 + 25 =$ $17$ , donc $∥ u - v ∥ = 17 \approx$ $4, 12$ . c) Non : $∥ u ∥ + ∥ v ∥ =$ $9$ , et $65 \approx$ $8, 06$ . Les normes ne s'ajoutent pas, sauf pour deux vecteurs de même sens. ⚠️ On n'oublie pas le double produit $2 u \cdot$ $v$ , comme dans $(a +$ $b)^{2}$ . ✔️ Le dessin : avec $u (4; 0)$ et $v (3; 4)$ (normes $4$ et $5$ , produit $12$ ), la diagonale violette $u + v (7; 4)$ mesure bien $49 + 16 =$ $65$ , et la flèche verte $u - v (1; - 4)$ mesure $17$ .
8. On connaît deux côtés et l'angle qu'ils forment : c'est la situation d'Al-Kashi. $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \times A B \times A C \times$ $cos A$ . $B C^{2} = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac{1}{2} = 89 - 40 =$ $49$ , donc $BC =$ $7$ . ⚠️ L'angle utilisé est celui COMPRIS entre les deux côtés connus : ici $A$ , en face du côté cherché. ⭐ Si l'angle était droit, $cos 90° = 0$ et on retrouverait Pythagore : Al-Kashi le généralise.
9. Le travail est le produit scalaire de la force par le déplacement. a) On connaît les normes et l'angle : $W = ∥ F ∥ \times A B \times cos 30° = 50 \times 20 \times \frac{3}{2} = 5003 \approx 866$ J. b) Par projection : seule la part HORIZONTALE de la force (la flèche violette) fait avancer la luge. Elle vaut $50 cos 30° = 253 \approx 43, 3$ N. ✔️ $253 \times 20 =$ $5003$ : le même travail. c) $P$ est perpendiculaire au déplacement : $P \cdot A B =$ $0$ . Sur un chemin plat, le poids ne travaille pas. ⚠️ Tirer vers le HAUT ne sert à rien pour avancer : c'est la part horizontale qui compte. ⭐ Plus la corde est basse, plus $cos$ est proche de $1$ : on tire « utile ».
10. a) $A B (4; - 2)$ et $A D (2; 4)$ . $A B \cdot A D = 4 \times 2 + (- 2) \times 4 = 8 - 8 =$ $0$ : les côtés $[A B]$ et $[A D]$ sont perpendiculaires. b) $D C (4; - 2)$ : $D C =$ $A B$ , donc $A BC D$ est un parallélogramme. Avec un angle droit en $A$ , c'est un rectangle. c) $A B = 16 + 4 = 20$ et $A D = 4 + 16 =$ $20$ : deux côtés consécutifs égaux. Le rectangle est un carré, de côté $25 \approx 4, 47$ m. d) $A C (6; 2)$ et $B D (- 2; 6)$ : $A C \cdot B D = - 12 + 12 =$ $0$ . Les diagonales sont perpendiculaires, comme dans tout carré. ⚠️ Deux côtés égaux ne font qu'un losange : il faut AUSSI l'angle droit. ⭐ Sur un chantier, on vérifie l'équerre avec une corde 3-4-5 ; sur le plan, le produit scalaire fait le même travail.
11. a) On connaît les trois côtés : Al-Kashi, lue « à l'envers », donne l'angle. $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \times A B \times A C \times$ $cos A$ , soit $49 = 9 + 25 -$ $30 cos A$ . $30 cos A = 34 - 49 =$ $- 15$ , donc $cos A = - \frac{1}{2}$ et $A =$ $120°$ . b) Normes et angle : $A B \cdot A C = 3 \times 5 \times cos 120° = 15 \times (- \frac{1}{2}) =$ $- 7, 5$ . Les trois longueurs : $A B \cdot A C = \frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}) = \frac{1}{2} (9 + 25 - 49) =$ $- 7, 5$ . ⭐ Même résultat par deux chemins : c'est la meilleure vérification. ⚠️ Un cosinus négatif n'est pas une erreur : l'angle est obtus, et le côté d'en face, $[BC]$ , est le plus long.
12. a) On développe : $∥ F_{1} + F_{2} ∥^{2} = ∥ F_{1} ∥^{2} + 2 F_{1} \cdot F_{2} +$ $∥ F_{2} ∥^{2}$ . $16 = 9 + 2 F_{1} \cdot F_{2} +$ $4$ , donc $2 F_{1} \cdot F_{2} = 3$ et $F_{1} \cdot F_{2} =$ $1, 5$ . b) $F_{1} \cdot F_{2} = ∥ F_{1} ∥ \times ∥ F_{2} ∥ \times$ $cos θ$ , donc $cos θ = \frac{1 , 5}{3 \times 2} =$ $0, 25$ . À la calculatrice : $θ \approx$ $75, 5°$ . c) Câbles perpendiculaires : $F_{1} \cdot F_{2} =$ $0$ , et $∥ F_{1} + F_{2} ∥^{2} = 9 + 4 = 13$ (c'est Pythagore). La résultante vaudrait $13 \approx$ $3, 61$ , moins que $4$ : plus l'angle entre les câbles est petit, plus la traction est efficace. Sur le dessin : $F_{1}$ en bleu, $F_{2}$ en orange, la résultante en violet, diagonale du parallélogramme. ⛔ $∥ F_{1} + F_{2} ∥ = 3 + 2 = 5$ est faux : les normes ne s'ajoutent que si les câbles sont parallèles.
13. a) Chasles : $A C = A B + BC = u + v$ (car $BC =$ $A D$ ) et $D B = D A + A B = u -$ $v$ . b) On développe comme en algèbre (bilinéarité) : $(u + v) \cdot (u - v) = u \cdot u - u \cdot v + v \cdot u - v \cdot$ $v$ . Symétrie : $v \cdot u = u \cdot$ $v$ , les deux termes du milieu s'annulent. Il reste $A C \cdot D B = ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2} = A B^{2} -$ $A D^{2}$ . c) Les baguettes sont perpendiculaires si et seulement si $A C \cdot D B =$ $0$ , c'est-à-dire $A B^{2} =$ $A D^{2}$ , soit $A B =$ $A D$ : le parallélogramme est un LOSANGE. d) $A C \cdot D B = 25 - 9 =$ $16$ : ce n'est pas $0$ , les baguettes ne se croisent pas à angle droit. Il faut deux côtés consécutifs égaux. ✔️ Sur le dessin : $A C (6, 8; 2, 4)$ et $D B (3, 2; - 2, 4)$ , et $6, 8 \times 3, 2 - 2, 4 \times 2, 4 = 21, 76 - 5, 76 =$ $16$ . ⭐ C'est l'identité $(a + b) (a - b) = a^{2} -$ $b^{2}$ , version vecteurs.
14. a) Le côté $[BC]$ est perpendiculaire à $(A B)$ : le projeté de $I$ sur la droite $(A B)$ est $B$ . Donc $A B \cdot A I = A B \cdot A B = A B^{2} =$ $16$ . b) $A B (4; 0)$ et $A I (4; 2)$ : $A B \cdot A I = 16 + 0 =$ $16$ . Le même résultat. c) Ici, pas de projection simple : on prend les coordonnées. $B D (- 4; 4)$ , donc $A I \cdot B D = 4 \times (- 4) + 2 \times 4 = - 16 + 8 =$ $- 8$ . d) Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires : $A C \cdot B D =$ $0$ . ⭐ Pour choisir : un angle droit visible, la projection ; un repère naturel, les coordonnées ; deux normes et un angle, le cosinus ; trois longueurs, la formule d'Al-Kashi. ⚠️ Au c), le résultat est négatif : $A I$ (orange) et $B D$ (vert) font un angle obtus.
15. a) $A B (4; 3)$ et $n \cdot A B = - 3 \times 4 + 4 \times 3 =$ $0$ : $n$ est orthogonal au panneau (en vert sur le dessin ; $s$ est en orange). b) $n \cdot s = (- 3) \times (- 1) + 4 \times 2 =$ $11$ , $∥ n ∥ = 9 + 16 = 5$ et $∥ s ∥ = 1 + 4 =$ $5$ . $cos θ = \frac{11}{5 5} \approx$ $0, 984$ , donc $θ \approx$ $10, 3°$ . c) $P = 400 \times \frac{11}{5 5} \approx 394$ W. d) $j \cdot s = 2$ et $∥ j ∥ =$ $1$ : $cos θ^{'} = \frac{2}{5} \approx$ $0, 894$ , soit $θ^{'} \approx$ $26, 6°$ . $P^{'} = 400 \times \frac{2}{5} \approx 358$ W. À cette heure-là, incliner le panneau fait gagner environ $36$ W. ⭐ Le panneau capte le mieux quand le Soleil est dans la direction de sa NORMALE : alors $cos θ =$ $1$ . ⚠️ L'angle utile est celui avec la normale $n$ , pas avec le panneau : avec $A B$ , on trouverait $cos =$ $\frac{2}{5 5}$ , presque $0$ .
16. a) Chasles : $BC = B A + A C = A C -$ $A B$ . $B C^{2} = ∥ A C - A B ∥^{2} = A C^{2} - 2 A C \cdot A B +$ $A B^{2}$ : on développe comme $(a -$ $b)^{2}$ . b) On remplace le produit scalaire par normes et angle : $A B \cdot A C = A B \times A C \times$ $cos A$ . D'où $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B \times A C \times$ $cos A$ : c'est la formule d'Al-Kashi. c) $cos 120° =$ $- \frac{1}{2}$ . $B C^{2} = 36 + 16 - 2 \times 6 \times 4 \times (- \frac{1}{2}) = 52 + 24 =$ $76$ . $BC = 76 = 219 \approx 8, 72$ m. ⚠️ Moins par moins : l'angle est obtus, le terme $- 2 A B \times A C \times cos A$ AJOUTE $24$ . Avec un angle droit, on aurait eu $52 \approx 7, 21$ m. ⭐ Toute la preuve tient en une idée : $BC = A C -$ $A B$ , puis on élève au carré.
17. La voile et le vent a) $∥ F ∥ = 3^{2} + 4^{2} = 25 =$ $5$ , soit $500$ N. b) $F \cdot i = 3 \times 1 + 4 \times 0 = 3$ et $∥ i ∥ =$ $1$ : la force utile vaut $3$ , soit $300$ N. C'est l'abscisse de $F$ , sa projection sur l'axe est-ouest. c) $F \cdot d = 3 \times 4 + 4 \times 3 = 24$ et $∥ d ∥ = 16 + 9 =$ $5$ . Force utile : $\frac{24}{5} =$ $4, 8$ , soit $480$ N. Le nouveau cap est meilleur. Angle : $cos θ = \frac{F \cdot d}{∥ F ∥ \times ∥ d ∥} = \frac{24}{25} =$ $0, 96$ , donc $θ \approx$ $16, 3°$ . d) Il faut un cap orthogonal à $F$ , c'est-à-dire $F \cdot d =$ $0$ . Par exemple $d (4; - 3)$ : $3 \times 4 + 4 \times (- 3) =$ $0$ . e) La force utile, $480$ N, est dans le sens du déplacement de $2000$ m : $W = 480 \times 2000 = 960000$ J, soit $960$ kJ. ✔️ Sur le dessin, la flèche violette est la force utile du c) : elle mesure $3, 8 4^{2} + 2, 8 8^{2} =$ $4, 8$ . Le cap vert, lui, ne reçoit rien. ⚠️ Un vrai voilier remonte aussi au vent grâce à la forme de sa voile et à sa quille : ce modèle ne garde que la projection.
18. Deux avions sur l'écran radar a) Deux côtés et l'angle compris : Al-Kashi. $A B^{2} = R A^{2} + R B^{2} - 2 \times R A \times RB \times cos 60° = 900 + 2500 - 2 \times 30 \times 50 \times \frac{1}{2} = 3400 - 1500 =$ $1900$ . $A B = 1900 = 1019 \approx 43, 6$ km. b) $R A \cdot RB = R A \times RB \times cos 60° = 30 \times 50 \times \frac{1}{2} =$ $750$ . c) Avec les trois longueurs : $R A \cdot RB = \frac{1}{2} (R A^{2} + R B^{2} - A B^{2}) = \frac{1}{2} (1600 + 900 - 2500) =$ $0$ . Donc $cos A RB = 0$ et $A RB =$ $90°$ . d) Oui : un produit scalaire nul, c'est un angle droit. On le retrouve par la réciproque de Pythagore : $4 0^{2} + 3 0^{2} = 1600 + 900 = 2500 =$ $5 0^{2}$ . ⭐ Une même formule dans les deux sens : deux côtés et un angle donnent le troisième côté ; trois côtés donnent l'angle. ⚠️ Le radar mesure des distances et des directions ; la distance ENTRE les avions, elle, se calcule.
19. Voir une fresque a) $I$ est le milieu de $[A B]$ , donc $I B = - I A$ et $M A \cdot MB = (M I + I A) \cdot (M I -$ $I A)$ . On développe (bilinéarité) ; les termes croisés s'annulent (symétrie) : $M A \cdot MB = M I^{2} - I A^{2} = M I^{2} -$ $16$ . b) $M A \cdot MB = 0 ⟺ M I^{2} = 16 ⟺ M I =$ $4$ : c'est le cercle de centre $I$ et de rayon $4$ , le cercle de diamètre $[A B]$ (en orange). c) $M A (- 7; - 4)$ et $MB (1; - 4)$ : $M A \cdot MB = - 7 + 16 =$ $9$ . Avec a) : $M I^{2} = 3^{2} + 4^{2} =$ $25$ , et $25 - 16 =$ $9$ . ✔️ d) $M A \cdot MB = 9 ⟺ M I^{2} = 25 ⟺ M I =$ $5$ : le cercle de centre $I$ et de rayon $5$ (en vert). La visiteuse est dessus. e) L'angle $A MB$ est aigu quand $cos A MB >$ $0$ , c'est-à-dire $M A \cdot MB >$ $0$ , soit $M I >$ $4$ . Il faut se tenir à plus de $4$ m du milieu de la fresque : hors du cercle orange. ⚠️ Sur le cercle orange, l'angle est DROIT ; à l'intérieur, il est obtus. ⭐ Faire apparaître le milieu $I$ remplace un produit de deux vecteurs qui bougent par une seule distance, $M I$ .
20. Le téléski a) $A B (360; 150)$ : $A B = 129600 + 22500 = 152100 = 390$ m. Avec $i (1; 0)$ horizontal : $cos α = \frac{A B \cdot i}{A B} = \frac{360}{390} =$ $\frac{12}{13}$ , donc $α \approx$ $22, 6°$ . b) Coordonnées : $W_{P} = 0 \times 360 + (- 700) \times 150 = - 105000$ J. Négatif : le poids freine la montée. c) Coordonnées : $W_{T} = 300 \times 360 + 200 \times 150 = 108000 + 30000 = 138000$ J. $∥ T ∥ = 90000 + 40000 = 130000 \approx 360, 6$ N, donc $cos β = \frac{138 000}{130 000 \times 390} \approx 0, 981$ et $β \approx$ $11, 1°$ . d) Normes et angle : la force et le déplacement font un angle de $180°$ . $W_{f} = 50 \times 390 \times cos 180° = - 19500$ J. e) Force perpendiculaire au déplacement : $W_{R} = 0$ J, sans calcul. Un vecteur orthogonal à $A B$ : $(- 150; 360)$ , car $360 \times (- 150) + 150 \times 360 =$ $0$ ; plus simple, $(- 5; 12)$ . f) Total : $138000 - 105000 - 19500 + 0 = 13500$ J. Le total est positif : en physique, cela veut dire que le skieur arrive en $B$ plus vite qu'il n'est parti de $A$ . Sur le dessin, les forces sont à une autre échelle que la piste : $T$ en orange, $P$ en violet, la direction de la réaction en vert. ⭐ Une méthode par force : des coordonnées, la formule $x x^{'} +$ $y y^{'}$ ; une norme et un angle, le cosinus ; un angle droit, zéro. ⚠️ Pour le poids, $700 \times 390$ serait faux : seule compte la montée de $150$ m, la part verticale du déplacement.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : calcul vectoriel et produit scalaire, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3