Arbre pondéré : calculer : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices pour calculer avec un arbre pondéré : la probabilité d'un chemin (on multiplie), celle d'un évènement atteint par plusieurs chemins (on additionne), et le passage de l'arbre au tableau croisé. Feux tricolores, détecteur de particules, élection à deux tours, biathlon, cigognes migratrices, radar routier, choléra de 1832, panneaux solaires, frelon asiatique. Un rappel de cours avant chaque niveau, et une correction écrite étape par étape.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Un chemin à multiplier, des chemins à additionner, ou un tableau à remplir.

Rappel de cours

La probabilité d'un CHEMIN est le PRODUIT des probabilités de ses branches : $P (A \cap B) = P (A) \times$ $P_{A} (B)$ .
Si plusieurs chemins mènent à $B$ , on ADDITIONNE leurs probabilités : $P (B) = P (A \cap B) + P (\overline{A} \cap$ $B)$ .
Pour passer au tableau croisé, on multiplie chaque chemin par un effectif simple ( $100$ , $1000$ …).

1
Avec l'arbre ci-dessous, calculer $P (A \cap B)$ et $P (\overline{A} \cap$ $\overline{B})$ .
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$A \cap$ $B$ , c'est le chemin « $A$ puis $B$ » : on multiplie ses deux branches. $P (A \cap B) = 0, 8 \times 0, 25 =$ $0, 2$ . De même : $P (\overline{A} \cap \overline{B}) = 0, 2 \times 0, 5 =$ $0, 1$ . ⚠️ Le piège : répondre $0, 25$ . C'est la branche seule, $P_{A} (B)$ ; il faut encore passer par $A$ .
2
Avec l'arbre de l'exercice 1, calculer $P (B)$ .
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Deux chemins mènent à $B$ : « $A$ puis $B$ » et « $\overline{A}$ puis $B$ ». $P (A \cap B) = 0, 8 \times 0, 25 = 0, 2$ et $P (\overline{A} \cap B) = 0, 2 \times 0, 5 =$ $0, 1$ . On additionne : $P (B) = 0, 2 + 0, 1 =$ $0, 3$ . ⛔ Le piège : oublier un des deux chemins, et répondre $0, 2$ .
3
Une graine de tournesol germe avec la probabilité $0, 9$ . Une graine qui a germé donne une plante qui fleurit avec la probabilité $0, 7$ . Quelle est la probabilité qu'une graine semée donne une fleur ?
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L'arbre a deux étapes : germer ( $G$ ), puis fleurir ( $F$ ). Pour fleurir, il faut d'abord germer. Le chemin « $G$ puis $F$ » : $P (G \cap F) = 0, 9 \times 0, 7 =$ $0, 63$ . Sur $100$ graines, environ $63$ donnent une fleur. ⚠️ $0, 7$ ne répond pas à la question : c'est la probabilité de fleurir PARMI les graines qui ont germé.
4
Un élève vient au lycée en bus, à pied ou en voiture, puis arrive en retard ( $R$ ) ou non. Calculer $P (R)$ .
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Trois chemins mènent à $R$ : un par moyen de transport. Bus : $0, 5 \times 0, 1 =$ $0, 05$ . Pied : $0, 3 \times 0, 05 =$ $0, 015$ . Voiture : $0, 2 \times 0, 2 =$ $0, 04$ . $P (R) = 0, 05 + 0, 015 + 0, 04 =$ $0, 105$ . ⭐ Autant de chemins que de branches au premier niveau : on n'en oublie aucun.
5
On sait que $P (A) =$ $0, 4$ , $P_{A} (B) = 0, 5$ et $P_{\overline{A}} (B) =$ $0, 25$ . Compléter un tableau croisé pour $100$ individus, puis y lire $P (B)$ .
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$A$ : $0, 4 \times 100 = 40$ individus, dont $0, 5 \times 40 = 20$ dans $B$ et $20$ hors de $B$ . $\overline{A}$ : $60$ individus, dont $0, 25 \times 60 = 15$ dans $B$ et $45$ hors de $B$ . Colonne $B$ : $20 + 15 =$ $35$ . Donc $P (B) = \frac{35}{100} =$ $0, 35$ . ✔️ Par l'arbre : $0, 4 \times 0, 5 + 0, 6 \times 0, 25 = 0, 2 + 0, 15 =$ $0, 35$ . ⭐ Chaque case du tableau est un chemin de l'arbre, multiplié par $100$ .
Sur 100 B non B Total
A 20 20 40
non A 15 45 60
Total 35 65 100
6
Une association compte $200$ bénévoles. $A$ : « avoir moins de $25$ ans », $B$ : « venir chaque semaine ». À partir du tableau, construire l'arbre pondéré qui commence par $A$ .
B non B Total
A 30 20 50
non A 60 90 150
Total 90 110 200
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Premier niveau : $P (A) = \frac{50}{200} = 0, 25$ et $P (\overline{A}) =$ $0, 75$ . Derrière $A$ , on se place sur la ligne $A$ : $P_{A} (B) = \frac{30}{50} =$ $0, 6$ , et $P_{A} (\overline{B}) =$ $0, 4$ . Derrière $\overline{A}$ : $P_{\overline{A}} (B) = \frac{60}{150} =$ $0, 4$ , et $P_{\overline{A}} (\overline{B}) =$ $0, 6$ . ⚠️ Les branches du deuxième niveau se calculent sur le total de la LIGNE, pas sur $200$ .
7
Sur un trajet, on passe deux feux tricolores. Le premier est vert ( $V_{1}$ ) ou rouge ( $R_{1}$ ) ; les feux sont réglés ensemble, et le second dépend du premier. Calculer la probabilité de trouver exactement un feu vert.
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« Exactement un vert », ce sont deux chemins : vert puis rouge, ou rouge puis vert. $V_{1}$ puis $R_{2}$ : $0, 6 \times 0, 2 =$ $0, 12$ . $R_{1}$ puis $V_{2}$ : $0, 4 \times 0, 3 =$ $0, 12$ . On additionne : $0, 12 + 0, 12 =$ $0, 24$ . ⚠️ Le chemin « vert puis vert » a DEUX feux verts : il ne compte pas.
8
On donne $P (A) =$ $0, 3$ , $P_{A} (B) = 0, 6$ et $P_{\overline{A}} (B) =$ $0, 2$ . Calculer la probabilité de chacun des quatre chemins de l'arbre, puis vérifier le résultat.
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$P (A \cap B) = 0, 3 \times 0, 6 = 0, 18$ et $P (A \cap \overline{B}) = 0, 3 \times 0, 4 =$ $0, 12$ . $P (\overline{A} \cap B) = 0, 7 \times 0, 2 = 0, 14$ et $P (\overline{A} \cap \overline{B}) = 0, 7 \times 0, 8 =$ $0, 56$ . Vérification : $0, 18 + 0, 12 + 0, 14 + 0, 56 =$ $1$ . ⭐ Les chemins d'un arbre décrivent TOUTES les issues, sans en répéter : leur somme vaut toujours $1$ .

Sur 100	B	non B	Total
A	20	20	40
non A	15	45	60
Total	35	65	100

	B	non B	Total
A	30	20	50
non A	60	90	150
Total	90	110	200

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Construire ou lire l'arbre, calculer les chemins utiles, les additionner, et conclure.

Rappel de cours

On repère les chemins qui mènent à l'évènement cherché ; on calcule chacun par un produit ; on les additionne.
Un tableau croisé sur $1000$ individus contient les mêmes informations que l'arbre : chaque case est un chemin fois $1000$ .
Dans l'autre sens, les branches du deuxième niveau se lisent sur les LIGNES du tableau.

9Le détecteur de particules
Une source radioactive émet des particules alpha ou bêta. Un détecteur enregistre ( $D$ ) une particule alpha avec la probabilité $0, 9$ , une particule bêta avec la probabilité $0, 6$ . a) Calculer la probabilité qu'une particule émise soit une alpha détectée. b) Calculer la probabilité qu'une particule soit détectée. c) Compléter un tableau croisé pour $1000$ particules émises.
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a) Le chemin « Alpha puis $D$ » : $0, 3 \times 0, 9 =$ $0, 27$ . b) Deux chemins mènent à $D$ . « Bêta puis $D$ » : $0, 7 \times 0, 6 =$ $0, 42$ . $P (D) = 0, 27 + 0, 42 =$ $0, 69$ . c) Alpha : $300$ particules, dont $270$ détectées et $30$ non. Bêta : $700$ , dont $420$ détectées et $280$ non. Détectées : $690$ . ⭐ Le physicien parle de l'« efficacité » du détecteur : ici, il enregistre $69$ % des particules émises.
Sur 1000 Détectée Non Total
Alpha 270 30 300
Bêta 420 280 700
Total 690 310 1000
10L'élection à deux tours
Dans une élection à deux tours (modèle), au premier tour, un électeur a voté pour A, pour B, ou pour un autre candidat. Au second tour, il ne reste que A et B, et on suppose que tout le monde revote. L'arbre donne les reports de voix. a) Calculer la probabilité qu'un électeur ait voté pour B au premier tour puis pour A au second. b) Quelle est la probabilité de voter A au second tour ? Qui gagne l'élection ?
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a) Le chemin « B puis Vote A » : $0, 35 \times 0, 1 =$ $0, 035$ . b) Trois chemins mènent à « Vote A » : $0, 4 \times 0, 95 =$ $0, 38$ ; $0, 035$ ; $0, 25 \times 0, 5 =$ $0, 125$ . $P (Vote A) = 0, 38 + 0, 035 + 0, 125 =$ $0, 54$ . A l'emporte avec $54$ % des voix. ⭐ En tête au premier tour avec $40$ %, A gagne grâce aux REPORTS : les électeurs des autres candidats se partagent.
11Les ampoules de la maison
Dans une maison, $60$ % des ampoules sont des LED, les autres sont halogènes. Dans l'année, une LED tombe en panne ( $P$ ) avec la probabilité $0, 02$ ; une halogène avec la probabilité $0, 2$ (modèle). a) Construire l'arbre et calculer $P (P)$ . b) Compléter un tableau croisé pour $1000$ ampoules. c) Parmi les ampoules en panne, combien sont des halogènes ? Qu'en conclure ?
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a) LED puis panne : $0, 6 \times 0, 02 =$ $0, 012$ . Halogène puis panne : $0, 4 \times 0, 2 =$ $0, 08$ . $P (P) = 0, 012 + 0, 08 =$ $0, 092$ . b) LED : $600$ ampoules, dont $12$ en panne et $588$ non. Halogènes : $400$ , dont $80$ en panne et $320$ non. En panne : $92$ . c) $80$ des $92$ pannes viennent des halogènes, soit presque neuf sur dix. ⭐ Une LED dure plus longtemps et consomme moins : remplacer les halogènes réduit les déchets ET la facture.
12Le biathlon
Une biathlète tire une série couchée puis une série debout. $C$ : « la série couchée est sans faute », $D$ : « la série debout est sans faute ». Après une série couchée sans faute, elle est plus confiante (modèle). a) Calculer la probabilité qu'elle réussisse les deux séries sans faute. b) Calculer la probabilité qu'elle réussisse exactement une série sans faute. c) Calculer la probabilité qu'elle n'en réussisse aucune, et vérifier la somme des trois résultats.
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a) Le chemin « $C$ puis $D$ » : $0, 6 \times 0, 5 =$ $0, 3$ . b) Deux chemins : « $C$ puis $\overline{D}$ », $0, 6 \times 0, 5 =$ $0, 3$ ; « $\overline{C}$ puis $D$ », $0, 4 \times 0, 3 =$ $0, 12$ . Exactement une : $0, 3 + 0, 12 =$ $0, 42$ . c) « $\overline{C}$ puis $\overline{D}$ » : $0, 4 \times 0, 7 =$ $0, 28$ . Vérification : $0, 3 + 0, 42 + 0, 28 =$ $1$ . ⭐ Zéro, une ou deux séries sans faute : trois cas qui couvrent tout, donc leur somme vaut $1$ .
13L'application de la banque
Une banque compte $30$ % de clients de moins de $30$ ans ( $J$ ). Parmi eux, $60$ % utilisent l'application mobile ( $M$ ) ; parmi les autres clients, $40$ % (modèle). a) Compléter un tableau croisé pour $1000$ clients. b) En déduire $P (M)$ , et le retrouver par l'arbre.
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a) Jeunes : $300$ clients, dont $0, 6 \times 300 = 180$ utilisent l'application et $120$ non. Autres : $700$ clients, dont $0, 4 \times 700 = 280$ l'utilisent et $420$ non. Utilisateurs : $180 + 280 =$ $460$ . b) $P (M) = \frac{460}{1 000} =$ $0, 46$ . Par l'arbre : $0, 3 \times 0, 6 + 0, 7 \times 0, 4 = 0, 18 + 0, 28 =$ $0, 46$ . ⭐ Les deux chemins de l'arbre sont les deux cases de la colonne $M$ , divisées par $1000$ .
Sur 1000 Appli Pas d'appli Total
Jeunes 180 120 300
Autres 280 420 700
Total 460 540 1000
14Les cigognes migratrices
À l'automne, les cigognes blanches d'Europe gagnent l'Afrique soit par l'ouest (détroit de Gibraltar), soit par l'est (Bosphore). Dans une colonie (modèle), $70$ % des jeunes partent par l'ouest et survivent au voyage ( $S$ ) avec la probabilité $0, 8$ ; ceux qui partent par l'est survivent avec la probabilité $0, 6$ . a) Construire l'arbre. b) Calculer la probabilité qu'un jeune parte par l'est et survive. c) Calculer $P (S)$ .
Voir la correction
a) Premier niveau : « Ouest » $0, 7$ , « Est » $0, 3$ . Derrière « Ouest » : $S$ $0, 8$ , $\overline{S}$ $0, 2$ . Derrière « Est » : $S$ $0, 6$ , $\overline{S}$ $0, 4$ . b) Le chemin « Est puis $S$ » : $0, 3 \times 0, 6 =$ $0, 18$ . c) « Ouest puis $S$ » : $0, 7 \times 0, 8 =$ $0, 56$ . Donc $P (S) = 0, 56 + 0, 18 =$ $0, 74$ . ⭐ Les grands voiliers évitent de traverser la mer : ils ont besoin des courants d'air chaud qui montent au-dessus des terres. D'où ces deux passages étroits.
15Vivre seul
Un recensement (modèle) décrit $500$ habitants d'un quartier selon leur âge et le fait de vivre seul ( $S$ ). On choisit un habitant au hasard. a) Construire l'arbre pondéré qui commence par l'âge. b) Recalculer $P (S)$ avec l'arbre, et vérifier sur le tableau.
Seul Pas seul Total
Moins de 60 60 340 400
60 et plus 40 60 100
Total 100 400 500
Voir la correction
a) Premier niveau : « Moins de $60$ ans » $\frac{400}{500} =$ $0, 8$ ; « $60$ ans et plus » $0, 2$ . Deuxième niveau, sur chaque LIGNE : $P (S)$ sachant moins de $60$ ans $= \frac{60}{400} =$ $0, 15$ ; sachant $60$ ans et plus $= \frac{40}{100} =$ $0, 4$ . b) $P (S) = 0, 8 \times 0, 15 + 0, 2 \times 0, 4 = 0, 12 + 0, 08 =$ $0, 2$ . Sur le tableau : $\frac{100}{500} =$ $0, 2$ . Les deux chemins donnent bien la colonne « Seul ». ⭐ Les plus âgés sont peu nombreux mais vivent bien plus souvent seuls : c'est un enjeu des politiques du vieillissement.
16Les colis en retard
Un transporteur livre $50$ % de ses colis en ville, $30$ % en zone périurbaine et $20$ % à la campagne. Un colis arrive en retard ( $R$ ) avec la probabilité $0, 1$ en ville, $0, 2$ en périurbain et $0, 4$ à la campagne (modèle). a) Construire l'arbre. b) Calculer $P (R)$ . c) Quelle zone produit le plus de retards ? Le taux de retard le plus élevé ?
Voir la correction
a) Premier niveau : $0, 5$ , $0, 3$ , $0, 2$ . Derrière chaque zone : $R$ avec $0, 1$ , $0, 2$ , $0, 4$ , et $\overline{R}$ avec le complément à $1$ . b) Ville : $0, 5 \times 0, 1 =$ $0, 05$ . Périurbain : $0, 3 \times 0, 2 =$ $0, 06$ . Campagne : $0, 2 \times 0, 4 =$ $0, 08$ . $P (R) = 0, 05 + 0, 06 + 0, 08 =$ $0, 19$ . c) Le plus de retards : la campagne, avec $0, 08$ sur $0, 19$ . Le taux le plus élevé : la campagne aussi, $0, 4$ . ⚠️ Les deux ne vont pas toujours ensemble : un chemin dépend AUSSI de la première branche.

Sur 1000	Détectée	Non	Total
Alpha	270	30	300
Bêta	420	280	700
Total	690	310	1000

Sur 1000	Appli	Pas d'appli	Total
Jeunes	180	120	300
Autres	280	420	700
Total	460	540	1000

	Seul	Pas seul	Total
Moins de 60	60	340	400
60 et plus	40	60	100
Total	100	400	500

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Arbre, chemins, tableau croisé, puis une phrase qui répond à la question posée.

Rappel de cours

Multiplier le long d'un chemin, additionner les chemins qui mènent au même évènement.
Pour répondre à « parmi les $B$ , quelle part de $A$ ? », on passe au tableau : la case divisée par le total de la colonne $B$ .

17Le radar routier
Un radar mesure la vitesse des voitures grâce à l'effet Doppler, avec une petite incertitude. Sur une route (modèle), $10$ % des voitures sont en excès de vitesse ( $E$ ). Le radar flashe ( $F$ ) $95$ % des voitures en excès, et, à cause de l'incertitude, $1$ % des voitures en règle. a) Construire l'arbre pondéré. b) Calculer $P (E \cap F)$ et $P (\overline{E} \cap$ $F)$ , puis $P (F)$ . c) Compléter un tableau croisé pour $10000$ voitures. d) Parmi les voitures flashées, quelle part était vraiment en excès ?
Voir la correction
a) Premier niveau : $E$ $0, 1$ , $\overline{E}$ $0, 9$ . Derrière $E$ : $F$ $0, 95$ , $\overline{F}$ $0, 05$ . Derrière $\overline{E}$ : $F$ $0, 01$ , $\overline{F}$ $0, 99$ . b) $P (E \cap F) = 0, 1 \times 0, 95 = 0, 095$ et $P (\overline{E} \cap F) = 0, 9 \times 0, 01 =$ $0, 009$ . $P (F) = 0, 095 + 0, 009 =$ $0, 104$ . c) En excès : $1000$ , dont $950$ flashées. En règle : $9000$ , dont $90$ flashées. Flashées : $1040$ . d) Parmi les $1040$ voitures flashées, $950$ étaient en excès : $\frac{950}{1 040} \approx$ $0, 91$ . ⭐ Environ $9$ flashs sur $10$ sont justifiés. C'est pour tenir compte de l'incertitude de mesure qu'en France on retire une marge de quelques km/h à la vitesse relevée par un radar.
Sur 10000 Flash Pas flash Total
Excès 950 50 1000
En règle 90 8910 9000
Total 1040 8960 10000
18Le choléra de Paris en 1832
En $1832$ , une épidémie de choléra frappe Paris. On en fait un modèle : un habitant vit dans les quartiers du centre, très peuplés, dans les faubourgs, ou dans les quartiers de l'ouest, plus aisés ; l'arbre donne la probabilité de tomber malade ( $M$ ) dans chacun. a) Calculer $P (M)$ . b) Compléter un tableau croisé pour $10000$ habitants. c) Parmi les malades, quelle part vivait au centre ? Comparer à la part des habitants du centre.
Voir la correction
a) Trois chemins : $0, 4 \times 0, 05 =$ $0, 02$ ; $0, 35 \times 0, 03 =$ $0, 0105$ ; $0, 25 \times 0, 01 =$ $0, 0025$ . $P (M) = 0, 02 + 0, 0105 + 0, 0025 =$ $0, 033$ . b) Centre : $4000$ habitants, $200$ malades. Faubourgs : $3500$ , $105$ malades. Ouest : $2500$ , $25$ malades. Malades : $330$ . c) $\frac{200}{330} \approx$ $0, 61$ : environ $61$ % des malades vivaient au centre, qui ne compte que $40$ % des habitants. ⭐ Dans ce modèle, l'épidémie frappe plus fort là où l'on vit entassé : le choléra est aussi une question de géographie sociale.
Sur 10000 Malade Sain Total
Centre 200 3800 4000
Faubourgs 105 3395 3500
Ouest 25 2475 2500
Total 330 9670 10000
19Les panneaux solaires
Dans un lotissement (modèle), $40$ % des toits équipés de panneaux solaires sont orientés plein sud ; les autres sont orientés est ou ouest. Un toit plein sud produit assez d'électricité pour la maison en été ( $A$ ) avec la probabilité $0, 9$ ; un toit est ou ouest avec la probabilité $0, 5$ . a) Calculer $P (A)$ . b) Compléter un tableau croisé pour $200$ maisons. c) Parmi les maisons dont la production ne suffit pas, quelle part a un toit plein sud ?
Voir la correction
a) Sud puis $A$ : $0, 4 \times 0, 9 =$ $0, 36$ . Est-ouest puis $A$ : $0, 6 \times 0, 5 =$ $0, 3$ . $P (A) = 0, 36 + 0, 3 =$ $0, 66$ . b) Sud : $80$ maisons, $72$ suffisantes et $8$ non. Est-ouest : $120$ maisons, $60$ et $60$ . Suffisantes : $132$ ; insuffisantes : $68$ . c) $\frac{8}{68} = \frac{2}{17} \approx$ $0, 12$ : environ $12$ % seulement. ⭐ Un panneau reçoit le plus d'énergie quand il fait face au soleil de midi : en France, c'est plein sud.
20Le frelon asiatique
Le frelon asiatique chasse les abeilles devant leurs ruches. Dans un rucher (modèle), $30$ % des ruches sont attaquées ( $F$ ) pendant l'été. Une ruche attaquée passe l'hiver ( $S$ ) avec la probabilité $0, 5$ ; une ruche épargnée avec la probabilité $0, 9$ . a) Construire l'arbre et calculer $P (S)$ . b) Compléter un tableau croisé pour $200$ ruches. c) Parmi les ruches mortes, quelle part avait été attaquée ?
Voir la correction
a) $F$ puis $S$ : $0, 3 \times 0, 5 =$ $0, 15$ . $\overline{F}$ puis $S$ : $0, 7 \times 0, 9 =$ $0, 63$ . $P (S) = 0, 15 + 0, 63 =$ $0, 78$ . b) Attaquées : $60$ ruches, $30$ survivent et $30$ meurent. Épargnées : $140$ , dont $126$ survivent et $14$ meurent. Mortes : $44$ . c) $\frac{30}{44} = \frac{15}{22} \approx$ $0, 68$ : plus de deux ruches mortes sur trois avaient été attaquées. ⭐ Les ruches attaquées ne sont que $30$ %, mais elles font la majorité des pertes : c'est là que l'apiculteur doit protéger en priorité.
Sur 200 Survit Meurt Total
Attaquée 30 30 60
Épargnée 126 14 140
Total 156 44 200

Sur 10000	Flash	Pas flash	Total
Excès	950	50	1000
En règle	90	8910	9000
Total	1040	8960	10000

Sur 10000	Malade	Sain	Total
Centre	200	3800	4000
Faubourgs	105	3395	3500
Ouest	25	2475	2500
Total	330	9670	10000

Sur 200	Survit	Meurt	Total
Attaquée	30	30	60
Épargnée	126	14	140
Total	156	44	200

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : arbre pondéré : calculer, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. $A \cap$ $B$ , c'est le chemin « $A$ puis $B$ » : on multiplie ses deux branches. $P (A \cap B) = 0, 8 \times 0, 25 =$ $0, 2$ . De même : $P (\overline{A} \cap \overline{B}) = 0, 2 \times 0, 5 =$ $0, 1$ . ⚠️ Le piège : répondre $0, 25$ . C'est la branche seule, $P_{A} (B)$ ; il faut encore passer par $A$ .
2. Deux chemins mènent à $B$ : « $A$ puis $B$ » et « $\overline{A}$ puis $B$ ». $P (A \cap B) = 0, 8 \times 0, 25 = 0, 2$ et $P (\overline{A} \cap B) = 0, 2 \times 0, 5 =$ $0, 1$ . On additionne : $P (B) = 0, 2 + 0, 1 =$ $0, 3$ . ⛔ Le piège : oublier un des deux chemins, et répondre $0, 2$ .
3. L'arbre a deux étapes : germer ( $G$ ), puis fleurir ( $F$ ). Pour fleurir, il faut d'abord germer. Le chemin « $G$ puis $F$ » : $P (G \cap F) = 0, 9 \times 0, 7 =$ $0, 63$ . Sur $100$ graines, environ $63$ donnent une fleur. ⚠️ $0, 7$ ne répond pas à la question : c'est la probabilité de fleurir PARMI les graines qui ont germé.
4. Trois chemins mènent à $R$ : un par moyen de transport. Bus : $0, 5 \times 0, 1 =$ $0, 05$ . Pied : $0, 3 \times 0, 05 =$ $0, 015$ . Voiture : $0, 2 \times 0, 2 =$ $0, 04$ . $P (R) = 0, 05 + 0, 015 + 0, 04 =$ $0, 105$ . ⭐ Autant de chemins que de branches au premier niveau : on n'en oublie aucun.
5. $A$ : $0, 4 \times 100 = 40$ individus, dont $0, 5 \times 40 = 20$ dans $B$ et $20$ hors de $B$ . $\overline{A}$ : $60$ individus, dont $0, 25 \times 60 = 15$ dans $B$ et $45$ hors de $B$ . Colonne $B$ : $20 + 15 =$ $35$ . Donc $P (B) = \frac{35}{100} =$ $0, 35$ . ✔️ Par l'arbre : $0, 4 \times 0, 5 + 0, 6 \times 0, 25 = 0, 2 + 0, 15 =$ $0, 35$ . ⭐ Chaque case du tableau est un chemin de l'arbre, multiplié par $100$ .
Sur 100 B non B Total
A 20 20 40
non A 15 45 60
Total 35 65 100
6. Premier niveau : $P (A) = \frac{50}{200} = 0, 25$ et $P (\overline{A}) =$ $0, 75$ . Derrière $A$ , on se place sur la ligne $A$ : $P_{A} (B) = \frac{30}{50} =$ $0, 6$ , et $P_{A} (\overline{B}) =$ $0, 4$ . Derrière $\overline{A}$ : $P_{\overline{A}} (B) = \frac{60}{150} =$ $0, 4$ , et $P_{\overline{A}} (\overline{B}) =$ $0, 6$ . ⚠️ Les branches du deuxième niveau se calculent sur le total de la LIGNE, pas sur $200$ .
7. « Exactement un vert », ce sont deux chemins : vert puis rouge, ou rouge puis vert. $V_{1}$ puis $R_{2}$ : $0, 6 \times 0, 2 =$ $0, 12$ . $R_{1}$ puis $V_{2}$ : $0, 4 \times 0, 3 =$ $0, 12$ . On additionne : $0, 12 + 0, 12 =$ $0, 24$ . ⚠️ Le chemin « vert puis vert » a DEUX feux verts : il ne compte pas.
8. $P (A \cap B) = 0, 3 \times 0, 6 = 0, 18$ et $P (A \cap \overline{B}) = 0, 3 \times 0, 4 =$ $0, 12$ . $P (\overline{A} \cap B) = 0, 7 \times 0, 2 = 0, 14$ et $P (\overline{A} \cap \overline{B}) = 0, 7 \times 0, 8 =$ $0, 56$ . Vérification : $0, 18 + 0, 12 + 0, 14 + 0, 56 =$ $1$ . ⭐ Les chemins d'un arbre décrivent TOUTES les issues, sans en répéter : leur somme vaut toujours $1$ .
9. Le détecteur de particules a) Le chemin « Alpha puis $D$ » : $0, 3 \times 0, 9 =$ $0, 27$ . b) Deux chemins mènent à $D$ . « Bêta puis $D$ » : $0, 7 \times 0, 6 =$ $0, 42$ . $P (D) = 0, 27 + 0, 42 =$ $0, 69$ . c) Alpha : $300$ particules, dont $270$ détectées et $30$ non. Bêta : $700$ , dont $420$ détectées et $280$ non. Détectées : $690$ . ⭐ Le physicien parle de l'« efficacité » du détecteur : ici, il enregistre $69$ % des particules émises.
Sur 1000 Détectée Non Total
Alpha 270 30 300
Bêta 420 280 700
Total 690 310 1000
10. L'élection à deux tours a) Le chemin « B puis Vote A » : $0, 35 \times 0, 1 =$ $0, 035$ . b) Trois chemins mènent à « Vote A » : $0, 4 \times 0, 95 =$ $0, 38$ ; $0, 035$ ; $0, 25 \times 0, 5 =$ $0, 125$ . $P (Vote A) = 0, 38 + 0, 035 + 0, 125 =$ $0, 54$ . A l'emporte avec $54$ % des voix. ⭐ En tête au premier tour avec $40$ %, A gagne grâce aux REPORTS : les électeurs des autres candidats se partagent.
11. Les ampoules de la maison a) LED puis panne : $0, 6 \times 0, 02 =$ $0, 012$ . Halogène puis panne : $0, 4 \times 0, 2 =$ $0, 08$ . $P (P) = 0, 012 + 0, 08 =$ $0, 092$ . b) LED : $600$ ampoules, dont $12$ en panne et $588$ non. Halogènes : $400$ , dont $80$ en panne et $320$ non. En panne : $92$ . c) $80$ des $92$ pannes viennent des halogènes, soit presque neuf sur dix. ⭐ Une LED dure plus longtemps et consomme moins : remplacer les halogènes réduit les déchets ET la facture.
12. Le biathlon a) Le chemin « $C$ puis $D$ » : $0, 6 \times 0, 5 =$ $0, 3$ . b) Deux chemins : « $C$ puis $\overline{D}$ », $0, 6 \times 0, 5 =$ $0, 3$ ; « $\overline{C}$ puis $D$ », $0, 4 \times 0, 3 =$ $0, 12$ . Exactement une : $0, 3 + 0, 12 =$ $0, 42$ . c) « $\overline{C}$ puis $\overline{D}$ » : $0, 4 \times 0, 7 =$ $0, 28$ . Vérification : $0, 3 + 0, 42 + 0, 28 =$ $1$ . ⭐ Zéro, une ou deux séries sans faute : trois cas qui couvrent tout, donc leur somme vaut $1$ .
13. L'application de la banque a) Jeunes : $300$ clients, dont $0, 6 \times 300 = 180$ utilisent l'application et $120$ non. Autres : $700$ clients, dont $0, 4 \times 700 = 280$ l'utilisent et $420$ non. Utilisateurs : $180 + 280 =$ $460$ . b) $P (M) = \frac{460}{1 000} =$ $0, 46$ . Par l'arbre : $0, 3 \times 0, 6 + 0, 7 \times 0, 4 = 0, 18 + 0, 28 =$ $0, 46$ . ⭐ Les deux chemins de l'arbre sont les deux cases de la colonne $M$ , divisées par $1000$ .
Sur 1000 Appli Pas d'appli Total
Jeunes 180 120 300
Autres 280 420 700
Total 460 540 1000
14. Les cigognes migratrices a) Premier niveau : « Ouest » $0, 7$ , « Est » $0, 3$ . Derrière « Ouest » : $S$ $0, 8$ , $\overline{S}$ $0, 2$ . Derrière « Est » : $S$ $0, 6$ , $\overline{S}$ $0, 4$ . b) Le chemin « Est puis $S$ » : $0, 3 \times 0, 6 =$ $0, 18$ . c) « Ouest puis $S$ » : $0, 7 \times 0, 8 =$ $0, 56$ . Donc $P (S) = 0, 56 + 0, 18 =$ $0, 74$ . ⭐ Les grands voiliers évitent de traverser la mer : ils ont besoin des courants d'air chaud qui montent au-dessus des terres. D'où ces deux passages étroits.
15. Vivre seul a) Premier niveau : « Moins de $60$ ans » $\frac{400}{500} =$ $0, 8$ ; « $60$ ans et plus » $0, 2$ . Deuxième niveau, sur chaque LIGNE : $P (S)$ sachant moins de $60$ ans $= \frac{60}{400} =$ $0, 15$ ; sachant $60$ ans et plus $= \frac{40}{100} =$ $0, 4$ . b) $P (S) = 0, 8 \times 0, 15 + 0, 2 \times 0, 4 = 0, 12 + 0, 08 =$ $0, 2$ . Sur le tableau : $\frac{100}{500} =$ $0, 2$ . Les deux chemins donnent bien la colonne « Seul ». ⭐ Les plus âgés sont peu nombreux mais vivent bien plus souvent seuls : c'est un enjeu des politiques du vieillissement.
16. Les colis en retard a) Premier niveau : $0, 5$ , $0, 3$ , $0, 2$ . Derrière chaque zone : $R$ avec $0, 1$ , $0, 2$ , $0, 4$ , et $\overline{R}$ avec le complément à $1$ . b) Ville : $0, 5 \times 0, 1 =$ $0, 05$ . Périurbain : $0, 3 \times 0, 2 =$ $0, 06$ . Campagne : $0, 2 \times 0, 4 =$ $0, 08$ . $P (R) = 0, 05 + 0, 06 + 0, 08 =$ $0, 19$ . c) Le plus de retards : la campagne, avec $0, 08$ sur $0, 19$ . Le taux le plus élevé : la campagne aussi, $0, 4$ . ⚠️ Les deux ne vont pas toujours ensemble : un chemin dépend AUSSI de la première branche.
17. Le radar routier a) Premier niveau : $E$ $0, 1$ , $\overline{E}$ $0, 9$ . Derrière $E$ : $F$ $0, 95$ , $\overline{F}$ $0, 05$ . Derrière $\overline{E}$ : $F$ $0, 01$ , $\overline{F}$ $0, 99$ . b) $P (E \cap F) = 0, 1 \times 0, 95 = 0, 095$ et $P (\overline{E} \cap F) = 0, 9 \times 0, 01 =$ $0, 009$ . $P (F) = 0, 095 + 0, 009 =$ $0, 104$ . c) En excès : $1000$ , dont $950$ flashées. En règle : $9000$ , dont $90$ flashées. Flashées : $1040$ . d) Parmi les $1040$ voitures flashées, $950$ étaient en excès : $\frac{950}{1 040} \approx$ $0, 91$ . ⭐ Environ $9$ flashs sur $10$ sont justifiés. C'est pour tenir compte de l'incertitude de mesure qu'en France on retire une marge de quelques km/h à la vitesse relevée par un radar.
Sur 10000 Flash Pas flash Total
Excès 950 50 1000
En règle 90 8910 9000
Total 1040 8960 10000
18. Le choléra de Paris en 1832 a) Trois chemins : $0, 4 \times 0, 05 =$ $0, 02$ ; $0, 35 \times 0, 03 =$ $0, 0105$ ; $0, 25 \times 0, 01 =$ $0, 0025$ . $P (M) = 0, 02 + 0, 0105 + 0, 0025 =$ $0, 033$ . b) Centre : $4000$ habitants, $200$ malades. Faubourgs : $3500$ , $105$ malades. Ouest : $2500$ , $25$ malades. Malades : $330$ . c) $\frac{200}{330} \approx$ $0, 61$ : environ $61$ % des malades vivaient au centre, qui ne compte que $40$ % des habitants. ⭐ Dans ce modèle, l'épidémie frappe plus fort là où l'on vit entassé : le choléra est aussi une question de géographie sociale.
Sur 10000 Malade Sain Total
Centre 200 3800 4000
Faubourgs 105 3395 3500
Ouest 25 2475 2500
Total 330 9670 10000
19. Les panneaux solaires a) Sud puis $A$ : $0, 4 \times 0, 9 =$ $0, 36$ . Est-ouest puis $A$ : $0, 6 \times 0, 5 =$ $0, 3$ . $P (A) = 0, 36 + 0, 3 =$ $0, 66$ . b) Sud : $80$ maisons, $72$ suffisantes et $8$ non. Est-ouest : $120$ maisons, $60$ et $60$ . Suffisantes : $132$ ; insuffisantes : $68$ . c) $\frac{8}{68} = \frac{2}{17} \approx$ $0, 12$ : environ $12$ % seulement. ⭐ Un panneau reçoit le plus d'énergie quand il fait face au soleil de midi : en France, c'est plein sud.
20. Le frelon asiatique a) $F$ puis $S$ : $0, 3 \times 0, 5 =$ $0, 15$ . $\overline{F}$ puis $S$ : $0, 7 \times 0, 9 =$ $0, 63$ . $P (S) = 0, 15 + 0, 63 =$ $0, 78$ . b) Attaquées : $60$ ruches, $30$ survivent et $30$ meurent. Épargnées : $140$ , dont $126$ survivent et $14$ meurent. Mortes : $44$ . c) $\frac{30}{44} = \frac{15}{22} \approx$ $0, 68$ : plus de deux ruches mortes sur trois avaient été attaquées. ⭐ Les ruches attaquées ne sont que $30$ %, mais elles font la majorité des pertes : c'est là que l'apiculteur doit protéger en priorité.
Sur 200 Survit Meurt Total
Attaquée 30 30 60
Épargnée 126 14 140
Total 156 44 200

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : arbre pondéré : calculer, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3