Épreuves de Bernoulli : reconnaître : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : épreuves de bernoulli : reconnaître, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. Une épreuve de Bernoulli a exactement DEUX issues. a) Pile ou face : deux issues. Oui, avec $p=\frac{1}{2}$ si le succès est « pile ». b) Six résultats possibles : ce n'est pas une épreuve de Bernoulli. c) « $6$ » ou « pas $6$ » : deux issues. Oui, avec $p=$$\frac{1}{6}$. d) Une température peut prendre beaucoup de valeurs : non. ⭐ b) et c) utilisent le même dé : c'est la QUESTION posée qui fait l'épreuve de Bernoulli.
2. 2. Deux issues seulement : rouge (succès) ou bleu (échec). C'est une épreuve de Bernoulli. Trois secteurs rouges sur huit, tous de même taille : $p=$$\frac{3}{8}$. L'échec a la probabilité $1-\frac{3}{8}=$$\frac{5}{8}$. ⚠️ Les deux issues n'ont pas besoin d'être équiprobables : $p$ peut valoir autre chose que $\frac{1}{2}$.
3. 3. Cinq billes, équiprobables car indiscernables au toucher. Trois sont rouges. $p=\frac{3}{5}=0,6$ et $1-p=\frac{2}{5}=$$0,4$. ⭐ « Indiscernables au toucher » : c'est la phrase qui garantit que chaque bille a la même chance.
4. 4. a) Oui : deux issues à chaque lancer, toujours $p=$$\frac{1}{2}$, et la pièce n'a pas de mémoire. b) Non : après un cœur tiré, il reste moins de cœurs. La probabilité change d'un tirage à l'autre : les tirages ne sont ni identiques ni indépendants. c) Oui : la remise rend au jeu sa composition de départ. Chaque tirage recommence à l'identique. ⭐ b) et c) ne diffèrent que par la REMISE : c'est elle qui fait l'indépendance. L'arbre du cas b), avec un jeu de $32$ cartes ($8$ cœurs) : après un cœur, $\frac{7}{31}$ ; après une autre carte, $\frac{8}{31}$.
5. 5. Premier tirage : $R$ avec $0,6$, $B$ avec $0,4$. La bille est remise : l'urne contient de nouveau $3$ rouges et $2$ bleues. Derrière $R$ comme derrière $B$ : $R$ avec $0,6$, $B$ avec $0,4$. Le second tirage a la même probabilité quoi qu'il soit arrivé au premier : les tirages sont indépendants. ⭐ Avec remise, l'arbre REPRODUIT les mêmes branches à chaque niveau.
6. 6. Premier tirage : $R$ avec $\frac{3}{5}$, $B$ avec $\frac{2}{5}$. Si la première est rouge, il reste $2$ rouges et $2$ bleues : $R$ avec $\frac{2}{4}$, $B$ avec $\frac{2}{4}$. Si la première est bleue, il reste $3$ rouges et $1$ bleue : $R$ avec $\frac{3}{4}$, $B$ avec $\frac{1}{4}$. La probabilité d'une rouge au second tirage dépend du premier ($\frac{2}{4}$ ou $\frac{3}{4}$) : les tirages ne sont pas indépendants. ⚠️ Ce n'est donc pas une répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
7. 7. Le succès : « répondre juste ». L'échec : « répondre faux ». Quatre propositions équiprobables, une seule juste : $p=\frac{1}{4}=$$0,25$. L'échec a la probabilité $1-0,25=$$0,75$. ⚠️ Quatre propositions, mais DEUX issues : juste ou faux. C'est bien une épreuve de Bernoulli.
8. 8. L'épreuve : lancer le dé une fois. Le succès : « obtenir $6$ », avec $p=$$\frac{1}{6}$. On la répète $n=3$ fois, dans les mêmes conditions : les épreuves sont identiques. Le dé n'a pas de mémoire : un lancer n'influence pas les suivants. Elles sont indépendantes. ⭐ Les quatre informations à donner : l'épreuve, le succès, $p$, et $n$.
9. 9. La séance de tirs au but a) Deux issues : marquer (succès) ou non. $p=$$0,8$. b) Derrière $T_1$ comme derrière $\overline{T_1}$, $T_2$ a la probabilité $0,8$ : le second tir ne dépend pas du premier. Les tirs sont supposés identiques et indépendants. c) Moins bon : la pression, la fatigue, ou un premier tir manqué peuvent changer $p$ d'un tir à l'autre. ⭐ Le modèle « répétition d'épreuves de Bernoulli » est une HYPOTHÈSE : on la fait parce qu'elle est raisonnable, pas parce qu'elle est vraie à coup sûr.
10. 10. Le carbone 14 a) Pour un noyau : « se désintégrer pendant les $5730$ ans » (succès) ou non. $p=$$0,5$. b) Identiques : les trois noyaux sont du même élément, ils ont la même demi-vie, donc le même $p$. Indépendantes : un noyau se désintègre au hasard, sans tenir compte des autres. C'est une répétition de $n=3$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, avec $p=$$0,5$. ⭐ C'est ce hasard régulier qui permet de dater un os ou un morceau de bois avec le carbone 14. L'arbre des deux premiers noyaux ($D$ : désintégré) recopie les mêmes branches : c'est la marque d'épreuves identiques et indépendantes.
11. 11. Le sondage dans une ville a) Après un électeur de A, il reste $39999$ électeurs de A sur $99999$ : $\frac{39999}{99999}\approx$$0,399994$. Avec remise, ce serait exactement $\frac{40000}{100000}=$$0,4$. b) La différence est minuscule : on peut traiter ce tirage sans remise comme un tirage avec remise. Les réponses forment, en bonne approximation, une répétition d'épreuves de Bernoulli indépendantes, avec $p=$$0,4$. ⭐ C'est l'hypothèse qui fonde les sondages : on interroge peu de personnes dans une population immense.

    	Avec remise	Sans remise
    2e vote A si 1er vote A	0,4	≈ 0,399994

12. 12. Le sachet de graines a) Pour une graine : « elle germe » (succès) ou non, avec $p=$$0,8$. b) Les graines sont tirées sans remise, mais dans $500$ : la composition du sachet ne change presque pas. On peut les considérer comme identiques. Indépendance : elles sont semées au même endroit. Un coup de froid ou une sécheresse toucherait les trois ensemble : l'indépendance est une hypothèse, raisonnable si le sol et la météo sont bons. ⭐ En pratique, on admet le modèle de Bernoulli, en sachant ce qu'il suppose.
13. 13. Le contrôle des pots de confiture a) Il reste $1$ pot mal fermé sur $9$ : $\frac{1}{9}\approx$$0,11$. Au départ, c'était $\frac{2}{10}=$$0,2$ : la probabilité a presque été divisée par deux. b) Il reste $199$ pots mal fermés sur $9999$ : $\frac{199}{9999}\approx$$0,0199$. Au départ, $\frac{200}{10000}=$$0,02$ : presque rien n'a changé. c) Dans le grand lot seulement. Dans le petit lot, le premier prélèvement change beaucoup la composition : les épreuves ne sont ni identiques ni indépendantes. ⭐ Ce qui compte n'est pas le mot « sans remise », c'est la TAILLE du lot par rapport au prélèvement.

    	10 pots	10 000 pots
    2e mal fermé si 1er	≈ 0,11	≈ 0,0199

14. 14. La pluie d'un jour à l'autre Chaque jour, deux issues : il pleut ou non. Chaque jour est donc une épreuve de Bernoulli. Mais derrière $P_1$, $P_2$ a la probabilité $0,6$ ; derrière $\overline{P_1}$, seulement $0,15$. La pluie du lendemain DÉPEND de celle du jour : les épreuves ne sont pas indépendantes. Ce n'est donc pas une répétition d'épreuves de Bernoulli indépendantes. ⭐ Le temps a de la « mémoire » : une perturbation dure souvent plusieurs jours. Un dé, lui, n'en a pas.
15. 15. Le tir à l'arc Chaque tir est bien une épreuve de Bernoulli : centre touché (succès) ou non. Mais $p$ n'est pas le même du début à la fin : $0,7$ au départ, moins après $20$ flèches. Les épreuves ne sont pas IDENTIQUES. Ce n'est donc pas le modèle du cours. Pour s'en rapprocher : faire des pauses, pour tirer chaque flèche dans les mêmes conditions. ⚠️ Deux conditions à vérifier, pas une : même $p$ à chaque épreuve, ET aucune influence d'une épreuve sur l'autre. Le diagramme montre un exemple (modèle) : $70$ % de réussite au début, $55$ % après $20$ flèches.
16. 16. Le jeu de dé a) Le succès : « obtenir $5$ ou $6$ ». Deux faces sur six : $p=\frac{2}{6}=$$\frac{1}{3}$. L'échec : $1-\frac{1}{3}=$$\frac{2}{3}$. b) Même dé, même règle : chaque lancer a la même probabilité $\frac{1}{3}$. Les lancers sont identiques. Le dé n'a pas de mémoire : ils sont indépendants. C'est une répétition de $n=4$ épreuves de Bernoulli de paramètre $p=$$\frac{1}{3}$. ⭐ Le succès peut regrouper plusieurs faces : il suffit qu'il y ait deux issues, « succès » et « le reste ».
17. 17. Les conscrits du XIXᵉ siècle a) Succès (du point de vue de l'armée) : « tirer un mauvais numéro », avec $p=\frac{30}{100}=$$0,3$. b) Chacun garde son numéro : c'est un tirage SANS remise. Si le premier tire un mauvais numéro, il en reste $29$ sur $99$ ; sinon, il en reste $30$ sur $99$. La probabilité du second dépend du premier : les tirages ne sont pas indépendants. c) $0,3\times \frac{29}{99}=\frac{29}{330}\approx$$0,088$. Avec remise, ce serait $0,3\times 0,3=$$0,09$. ⭐ L'écart est petit, car l'urne contient $100$ numéros. Mais le principe compte : un numéro tiré n'est plus disponible pour les suivants.
18. 18. Le carton de thermocouples a) Premier : $D$ avec $\frac{4}{20}=$$0,2$. Si le premier est défectueux, il en reste $3$ sur $19$ ; sinon, $4$ sur $19$. b) $0,2\times \frac{3}{19}=\frac{3}{95}\approx$$0,032$. c) Dans une production immense, les prélèvements sont indépendants : $0,2\times 0,2=$$0,04$. Le carton ne contient que $20$ capteurs : un défectueux retiré fait nettement baisser la part des défectueux restants. ⭐ Le même « $20$ % » donne deux modèles différents selon qu'on puise dans un petit carton ou dans une production entière.
19. 19. Les œufs de tortue a) Pour un œuf : « il éclot » (succès) ou non, avec $p=0,8$ sur l'ensemble de la plage. b) Pas vraiment. Les œufs d'un même nid partagent la même température : dans un nid chaud, $p$ vaut plutôt $0,6$ ; dans un nid frais, $0,9$. Si l'on sait qu'un œuf du nid a éclos, le nid est plutôt frais, et les autres ont plus de chances d'éclore : les œufs ne sont pas indépendants. Le modèle serait meilleur avec des œufs pris dans des nids différents. ⭐ Chez les tortues marines, la température du sable décide aussi du sexe des petits : un détail de plus qui lie les œufs d'un même nid.
20. 20. Deux as de suite a) Épreuve : tirer une carte ; succès : « un as », $p=\frac{4}{32}=$$0,125$. Avec remise : $n=2$ épreuves identiques et indépendantes. Deux as : $0,125\times 0,125=0,015625\approx$$0,016$. b) Premier as : $\frac{4}{32}$. Il reste alors $3$ as sur $31$ cartes : $\frac{3}{31}$. Deux as : $\frac{4}{32}\times \frac{3}{31}=\frac{3}{248}\approx$$0,012$. c) Seulement la situation avec remise. Sans remise, la probabilité d'un as au second tirage dépend du premier ($\frac{3}{31}$ ou $\frac{4}{31}$). ⭐ Sans remise, deux as sont un peu moins probables : le premier as tiré « manque » au second tirage.