Probabilité conditionnelle : reconnaître : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : probabilité conditionnelle : reconnaître, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. On cherche les mots qui RESTREIGNENT le groupe : « parmi », « sachant que ». a) Tous les élèves : ce n'est pas conditionnel. $P(I)=$$0,3$. b) « Parmi les internes » : conditionnelle. $P_I(S)=$$0,8$. c) « Internes ET sportifs », parmi tous les élèves : ce n'est pas conditionnel. $P(I\cap S)=$$0,24$. d) « Sachant qu'il fait du sport » : conditionnelle. $P_S(I)=$$0,5$. Les phrases b) et d). Sur $100$ élèves : la phrase b) se lit sur la ligne des internes ($24$ sur $30$), la phrase d) dans la colonne des sportifs ($24$ sur $48$), la phrase c) dans la case seule ($24$ sur $100$). ⚠️ Le mot « et » de la phrase c) n'annonce pas un « sachant » : on reste parmi TOUS les élèves.

   Sur 100	Sport	Pas sport	Total
   Internes	24	6	30
   Externes	24	46	70
   Total	48	52	100

2. 2. a) On SAIT que l'arbre est un feuillu : $F$ va en indice. $P_F(M)$. b) On SAIT que l'arbre est malade : $M$ va en indice. $P_M(F)$. c) Aucune information connue d'avance : l'arbre est feuillu ET malade. $P(F\cap$$M)$. ⭐ Pour placer l'indice, on se demande : « qu'est-ce qu'on sait déjà de l'arbre ? » ⚠️ a) et b) ne sont pas la même probabilité : on ne regarde pas le même groupe d'arbres. ⭐ Sur le tableau : la case surlignée est « feuillu ET malade ». $P_F(M)$ la compare à la ligne Feuillu, $P_M(F)$ à la colonne Malade, $P(F\cap M)$ à tous les arbres.

   	Malade	Sain
   Feuillu	F ∩ M	F ∩ non M
   Résineux	non F ∩ M	non F ∩ non M

3. 3. « Sachant $F$ » : on se place sur la ligne des feuillus, qui compte $120$ arbres. Parmi eux, $12$ sont malades. $P_F(M)=\frac{12}{120}=\frac{1}{10}=$$0,1$. Un feuillu sur dix est malade. ⚠️ Le piège : diviser par $200$. On obtiendrait $P(F\cap$$M)$, pas $P_F(M)$.
4. 4. $P_M(F)$ : on se place PARMI les $28$ arbres malades (la colonne Malade). $12$ sont des feuillus. $P_M(F)=\frac{12}{28}=\frac{3}{7}\approx$$0,43$. $P_R(M)$ : parmi les $80$ résineux, $16$ sont malades. $P_R(M)=\frac{16}{80}=$$0,2$. Les résineux sont deux fois plus souvent malades que les feuillus ($0,2$ contre $0,1$). ⛔ $P_F(M)=0,1$ et $P_M(F)\approx$$0,43$ : même case, $12$ arbres, mais deux dénominateurs.

   	Malade	Sain	Total
   Feuillus	12	108	120
   Résineux	16	64	80
   Total	28	172	200

5. 5. $P_H(C)=$$0,4$ : l'indice $H$ dit qui l'on regarde. « Parmi les élèves qui habitent à moins de $5$ km, $40$ % viennent à vélo. » $P_C(H)=$$0,9$ : « Parmi les élèves qui viennent à vélo, $90$ % habitent à moins de $5$ km. » ⭐ La phrase commence toujours par « parmi » suivi de l'INDICE. ⚠️ Presque tous les cyclistes habitent près, mais la plupart des élèves qui habitent près ne viennent pas à vélo : les deux nombres ne disent pas la même chose. Un exemple sur $100$ élèves (modèle) : $18$ cyclistes proches sur $45$ élèves proches font $0,4$ ; $18$ sur $20$ cyclistes font $0,9$.

   Sur 100	Vélo	Pas vélo	Total
   Moins de 5 km	18	27	45
   5 km et plus	2	53	55
   Total	20	80	100

6. 6. $P_J(M)$ : parmi les $120$ jeunes (colonne Jeunes), $90$ sont des mésanges. $P_J(M)=\frac{90}{120}=\frac{3}{4}=$$0,75$. $P_M(J)$ : parmi les $150$ mésanges (ligne Mésanges), $90$ sont des jeunes. $P_M(J)=\frac{90}{150}=\frac{3}{5}=$$0,6$. ⭐ Même case ($90$), deux dénominateurs : la colonne pour « sachant $J$ », la ligne pour « sachant $M$ ».
7. 7. a) Six faces équiprobables, une seule donne $6$ : $P(B)=$$\frac{1}{6}$. b) « Sachant que le résultat est pair » : il ne reste que les trois faces surlignées, $2$, $4$ et $6$. Une seule donne $6$ : $P_A(B)=$$\frac{1}{3}$. ⭐ Savoir que $A$ est réalisé RÉDUIT l'univers : on passe de six issues à trois. ⚠️ L'information a changé la probabilité : de $\frac{1}{6}$ à $\frac{1}{3}$.
8. 8. On range d'abord les effectifs dans un tableau croisé : c'est lui qui donne les bons dénominateurs. Maison : $27$ trient, $30-27=3$ non. Appartement : $35$ trient, $50-35=15$ non. Sachant « maison » : $\frac{27}{30}=$$0,9$. Sachant « appartement » : $\frac{35}{50}=$$0,7$. Les foyers en maison trient plus souvent : $90$ % contre $70$ %. ⚠️ En nombre, il y a plus de foyers qui trient en appartement ($35$ contre $27$) : un nombre n'est pas une proportion.

   	Trie	Ne trie pas	Total
   Appartement	35	15	50
   Maison	27	3	30
   Total	62	18	80

9. 9. Le festival et les gobelets a) Parmi tous les festivaliers : $P(G)=\frac{330}{500}=$$0,66$. b) Parmi les $200$ venus en train : $P_T(G)=\frac{180}{200}=$$0,9$. Parmi les $300$ venus en voiture : $\frac{150}{300}=$$0,5$. c) Parmi les $330$ qui ont pris le gobelet : $P_G(T)=\frac{180}{330}=\frac{6}{11}\approx$$0,55$. « Parmi les festivaliers au gobelet réutilisable, environ $55$ % sont venus en train. » ⛔ $P_T(G)=0,9$ et $P_G(T)\approx$$0,55$ : même case, $180$, deux dénominateurs.
10. 10. Les abeilles et les pesticides a) Sans pesticide : $144$ survivent, $160-144=16$ meurent. Grandes cultures : $180$ survivent, $60$ meurent. Survivantes : $324$ ; mortes : $76$. b) Parmi les $160$ ruches sans pesticide : $P_B(S)=\frac{144}{160}=$$0,9$. Parmi les $240$ autres : $P_{\overline{B}}(S)=\frac{180}{240}=$$0,75$. c) Parmi les $324$ survivantes : $P_S(B)=\frac{144}{324}=\frac{4}{9}\approx$$0,44$. C'est que la zone sans pesticide compte MOINS de ruches ($160$ sur $400$) : même en survivant mieux, elles restent minoritaires parmi les survivantes. ⚠️ $P_S(B)$ dit d'où viennent les survivantes ; $P_B(S)$ dit si l'on survit bien. C'est $P_B(S)$ qui juge la zone.

    	Survit	Meurt	Total
    Sans pesticide	144	16	160
    Cultures	180	60	240
    Total	324	76	400

11. 11. L'exode rural a) « Parmi les ouvriers » : conditionnelle, $P_O(C)$. Parmi les $600$ ouvriers, $360$ sont nés à la campagne : $\frac{360}{600}=$$0,6$. Juste. b) « Des actifs nés à la campagne » : on se place parmi eux, c'est conditionnel, $P_C(O)$. $\frac{360}{500}=$$0,72$. Juste. c) Parmi TOUS les actifs : pas de condition, c'est $P(O\cap C)=\frac{360}{1000}=$$0,36$. Juste. ⭐ Trois phrases vraies, un seul nombre de départ, $360$, et trois dénominateurs : $600$, $500$, $1000$. ⚠️ Dans b), « parmi » n'est pas écrit : « $72$ % DES actifs nés à la campagne » veut dire la même chose.
12. 12. Les tirs au but a) Parmi les $36$ tirs à gauche : $P_G(A)=\frac{9}{36}=$$0,25$. Parmi les $24$ tirs à droite : $P_D(A)=\frac{3}{24}=$$0,125$. b) À droite, le gardien arrête un tir sur huit ; à gauche, un sur quatre. Il faut tirer à droite. c) Parmi les $12$ tirs arrêtés : $P_A(G)=\frac{9}{12}=$$0,75$. La conclusion est la bonne, mais pas le raisonnement. $P_A(G)$ est grand aussi parce que les tireurs visent plus souvent sa gauche ($36$ tirs sur $60$). ⛔ Pour choisir un côté, il faut « arrêté SACHANT le côté », pas « le côté SACHANT arrêté ».
13. 13. Le télétravail a) Parmi les $60$ cadres : $P_C(T)=\frac{45}{60}=$$0,75$. Parmi les $190$ non-cadres : $P_{\overline{C}}(T)=\frac{38}{190}=$$0,2$. b) Télétravailleurs : $45+38=$$83$. Parmi eux, $45$ cadres : $P_T(C)=\frac{45}{83}\approx$$0,54$. c) « Trois cadres sur quatre télétravaillent. » « Un non-cadre sur cinq télétravaille. » « Un peu plus de la moitié des télétravailleurs sont des cadres. » ⚠️ Les cadres sont peu nombreux ($60$ sur $250$) : ils télétravaillent beaucoup, mais ne forment qu'un peu plus de la moitié des télétravailleurs.

    	Télétravail	Sur site	Total
    Cadres	45	15	60
    Non-cadres	38	152	190
    Total	83	167	250

14. 14. Les capteurs du laboratoire a) Parmi les $120$ capteurs de $A$ : $P_A(D)=\frac{6}{120}=$$0,05$. Parmi les $80$ capteurs de $B$ : $P_B(D)=\frac{12}{80}=$$0,15$. $A$ est le plus fiable : $5$ % de défaillants contre $15$ %. b) Défaillants : $6+12=$$18$. Parmi eux, $6$ viennent de $A$ : $P_D(A)=\frac{6}{18}=$$\frac{1}{3}$. ⚠️ $P_A(D)$ juge le fournisseur ; $P_D(A)$ dit d'où vient une panne. Ce sont deux questions différentes.

    	Défaillant	Conforme	Total
    A	6	114	120
    B	12	68	80
    Total	18	182	200

15. 15. Le téléphone dans la chambre a) Parmi les $180$ élèves au téléphone : $P_T(F)=\frac{108}{180}=$$0,6$. Parmi les $120$ autres : $P_{\overline{T}}(F)=\frac{36}{120}=$$0,3$. La fatigue est deux fois plus fréquente avec le téléphone dans la chambre. b) Fatigués : $108+36=$$144$. $P_F(T)=\frac{108}{144}=$$0,75$ : trois élèves fatigués sur quatre gardent leur téléphone. c) Non, pas avec ce seul tableau. Il montre un LIEN, pas une cause : d'autres raisons (se coucher tard, le stress) peuvent jouer sur les deux. ⭐ Une probabilité conditionnelle mesure un lien ; prouver une cause demande une expérience.
16. 16. La roue de la kermesse a) Huit secteurs équiprobables, trois gagnants : $P(G)=$$\frac{3}{8}$. b) « Il voit que la roue s'arrête sur du rouge » : on SAIT que $R$ est réalisé. C'est $P_R(G)$. Parmi les $4$ secteurs rouges, $2$ sont gagnants : $P_R(G)=\frac{2}{4}=$$\frac{1}{2}$. c) Parmi les $3$ secteurs gagnants, $2$ sont rouges : $P_G(R)=$$\frac{2}{3}$. ⭐ Une probabilité conditionnelle n'est pas toujours annoncée par « parmi » : ici, c'est une INFORMATION reçue (« il voit que… »).
17. 17. Les randonneurs et la météo a) Parmi les $350$ qui ont lu la météo : $P_M(D)=\frac{35}{350}=$$0,1$. Parmi les $150$ autres : $P_{\overline{M}}(D)=\frac{45}{150}=$$0,3$. Sans bulletin, on fait trois fois plus souvent demi-tour : on découvre le mauvais temps en chemin. b) Parmi les $80$ demi-tours : $P_D(M)=\frac{35}{80}=\frac{7}{16}\approx$$0,44$. « Parmi les randonneurs qui ont fait demi-tour, environ $44$ % avaient lu la météo. » c) Parmi les $80$ demi-tours, $45$ n'avaient pas lu la météo : $\frac{45}{80}\approx$$0,56$. Oui, un peu plus de la moitié. ⚠️ Ils ne sont pourtant que $150$ sur $500$ : c'est leur taux de demi-tour, $0,3$, qui les rend majoritaires parmi les demi-tours.
18. 18. Les voitures électriques a) Parmi les $1200$ clients de la ville : $P_V(E)=\frac{360}{1200}=$$0,3$. Parmi les $800$ clients de la campagne : $P_{\overline{V}}(E)=\frac{120}{800}=$$0,15$. b) Parmi les $480$ électriques : $P_E(V)=\frac{360}{480}=$$0,75$. c) Le premier compare $P_{\overline{V}}(E)=0,15$ et $P_V(E)=$$0,3$ : la part d'électriques est deux fois plus faible à la campagne. Le second utilise $P_E(V)=$$0,75$ : trois électriques sur quatre partent en ville. ⭐ Les deux calculs sont justes : ils ne répondent pas à la même question. Choisir entre eux, c'est un choix d'entreprise, pas de maths.
19. 19. Les tortues marines a) Protégés : $102$ éclosent, $18$ non. Non protégés : $48$ éclosent, $32$ non. Éclos : $150$ ; pas éclos : $50$. b) Parmi les $120$ nids protégés : $P_P(E)=\frac{102}{120}=$$0,85$. Parmi les $80$ autres : $P_{\overline{P}}(E)=\frac{48}{80}=$$0,6$. Oui : $85$ % d'éclosions avec grillage, $60$ % sans. c) Parmi les $150$ nids éclos : $P_E(P)=\frac{102}{150}=$$0,68$. « $68$ % des nids éclos étaient protégés. » Parmi les $50$ nids qui n'ont pas éclos : $P_{\overline{E}}(P)=\frac{18}{50}=$$0,36$. « $36$ % des échecs étaient protégés. » ⭐ C'est b) qui juge le grillage : on compare deux groupes de nids, chacun sur son propre total.

    	Éclos	Pas éclos	Total
    Protégé	102	18	120
    Non protégé	48	32	80
    Total	150	50	200

20. 20. Le premier service au tennis a) Parmi les $120$ points en première balle : $P_R(G)=\frac{90}{120}=$$0,75$. Parmi les $80$ points en seconde balle : $P_{\overline{R}}(G)=\frac{40}{80}=$$0,5$. b) Points gagnés : $90+40=130$ sur $200$. $P(G)=\frac{130}{200}=$$0,65$. c) Parmi les $130$ points gagnés : $P_G(R)=\frac{90}{130}=\frac{9}{13}\approx$$0,69$. « Environ $69$ % des points gagnés l'ont été sur une première balle. » d) On compare les deux probabilités conditionnelles par leur quotient : $\frac{0,75}{0,5}=$$1,5$. Oui, il a raison. ⚠️ $P(G)=0,65$ est une moyenne des deux situations : elle ne dit rien de la valeur d'une première balle.

    	Gagné	Perdu	Total
    1re balle	90	30	120
    2e balle	40	40	80
    Total	130	70	200