Probabilité conditionnelle : calculer : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : probabilité conditionnelle : calculer, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. On applique la formule : $P_A(B)=$$\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$. $P_A(B)=\frac{0,1}{0,4}=$$0,25$. ⚠️ On divise par $P(A)$, la probabilité de ce qui est en INDICE, pas par $P(B)$.

   	B	non B	Total
   A	0,1	0,3	0,4

2. 2. La formule retournée : $P(A\cap B)=P(A)\times$$P_A(B)$. $P(A\cap B)=0,3\times 0,6=$$0,18$. ✔️ Vérification : $\frac{0,18}{0,3}=$$0,6$, on retrouve bien $P_A(B)$. ⚠️ Le piège : additionner. Pour « $A$ puis $B$ parmi les $A$ », on MULTIPLIE.
3. 3. On lit $P(A\cap B)=0,24$ dans la case, et $P(A)=0,3$ dans le total de la ligne. $P_A(B)=\frac{0,24}{0,3}=$$0,8$. De même : $P_{\overline{A}}(B)=\frac{P(\overline{A}\cap B)}{P(\overline{A})}=\frac{0,14}{0,7}=$$0,2$. ⭐ Dans un tableau de probabilités, la formule se lit comme une division « case sur total de la ligne ».
4. 4. a) « Quand il pleut le matin, il pleut aussi l'après-midi $8$ fois sur $10$. » b) $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0,24}{0,38}=\frac{12}{19}\approx$$0,63$. « Parmi les jours où il pleut l'après-midi, il avait déjà plu le matin dans environ $63$ % des cas. » ⚠️ Le dénominateur change avec l'indice : $0,3$ pour « sachant $A$ », $0,38$ pour « sachant $B$ ».

   	B	non B	Total
   A	0,24	0,06	0,3
   non A	0,14	0,56	0,7
   Total	0,38	0,62	1

5. 5. a) $P(B)=$$0,45$. « Parmi eux » : $P_B(C)=$$0,2$. b) $P(B\cap C)=P(B)\times P_B(C)=0,45\times 0,2=$$0,09$. « $9$ % des clients achètent une baguette ET un croissant. » ⚠️ $0,2$ n'est pas la part des clients qui prennent baguette et croissant : c'est leur part PARMI les acheteurs de baguette.
6. 6. Les données : $P(E\cap S)=0,12$ et $P_E(S)=$$0,4$. On cherche $P(E)$. La formule $P_E(S)=\frac{P(E\cap S)}{P(E)}$ donne $P(E)=$$\frac{P(E\cap S)}{P_E(S)}$. $P(E)=\frac{0,12}{0,4}=$$0,3$ : $30$ % des adhérents font de l'escalade. ✔️ Vérification : $0,3\times 0,4=$$0,12$. ⭐ Une formule à trois nombres : on en connaît deux, on trouve le troisième.

   	S	non S	Total
   E	0,12	0,18	0,3

7. 7. a) « Parmi les malades, $99$ % ont un test positif » : $P_M(T)=$$0,99$. b) Le journal parle des personnes au test positif : il annonce $P_T(M)=$$0,99$. Ce n'est pas la même probabilité : l'indice a changé. ⛔ C'est la confusion des faux positifs. $P_T(M)$ dépend aussi du nombre de malades dans la population : si la maladie est rare, la plupart des tests positifs viennent de personnes saines (exercices 9 et 15). ⭐ Sur l'arbre : $0,99$ est sur la branche qui part de $M$. Pour $P_T(M)$, il manque la part des malades et la branche des personnes saines.
8. 8. a) $P_C(E)=$$0,75$ : « parmi les jeunes en conduite accompagnée, $75$ % ont le permis du premier coup ». $P_{\overline{C}}(E)=$$0,6$ : « parmi les autres, $60$ % l'ont du premier coup ». $P(C\cap E)=$$0,3$ : « $30$ % de tous les candidats ont fait la conduite accompagnée ET réussi du premier coup ». b) $P(C)=\frac{P(C\cap E)}{P_C(E)}=\frac{0,3}{0,75}=$$0,4$. ⭐ Une phrase avec « parmi » pour une conditionnelle, une phrase avec « et » pour une intersection.
9. 9. Le test de dépistage a) Malades : $0,02\times 10000=$$200$, dont $0,95\times 200=190$ positifs et $10$ négatifs. Saines : $9800$, dont $0,1\times 9800=980$ positives (les faux positifs) et $8820$ négatives. Tests positifs : $190+980=$$1170$. b) $P_M(T)=$$0,95$, sur la branche $M\to$$T$. c) Parmi les $1170$ positifs, $190$ sont malades : $P_T(M)=\frac{190}{1170}=\frac{19}{117}\approx$$0,16$. Un test positif ne correspond à un malade qu'environ une fois sur six. ⛔ Les faux positifs ($980$) sont cinq fois plus nombreux que les vrais ($190$) : il y a tant de personnes saines que $10$ % d'entre elles pèsent plus que $95$ % des malades.

   Sur 10000	Positif	Négatif	Total
   Malade	190	10	200
   Sain	980	8820	9800
   Total	1170	8830	10000

10. 10. Le banc de test des résistances a) $P(D\cap R)=P(D)\times P_D(R)=0,04\times 0,9=$$0,036$. $P(\overline{D}\cap R)=0,96\times 0,05=$$0,048$. ✔️ $0,036+0,048=$$0,084$ : c'est bien $P(R)$. b) $P_R(D)=\frac{P(D\cap R)}{P(R)}=\frac{0,036}{0,084}=\frac{3}{7}\approx$$0,43$. c) « Parmi les résistances rejetées, seulement $43$ % environ sont vraiment hors tolérance. » Plus de la moitié des rejets sont des pièces bonnes. ⭐ En physique, toute mesure a une incertitude : un banc de test se trompe dans les deux sens. On peut remesurer les pièces rejetées avant de les jeter.
11. 11. Le choléra de Londres a) $P_E(C)=\frac{P(E\cap C)}{P(E)}=\frac{0,05}{0,2}=$$0,25$. $P_{\overline{E}}(C)=\frac{0,008}{0,8}=$$0,01$. b) $\frac{0,25}{0,01}=$$25$ : le risque est $25$ fois plus grand. c) $P_C(E)=\frac{0,05}{0,058}=\frac{25}{29}\approx$$0,86$. « Parmi les malades, environ $86$ % buvaient l'eau de la pompe. » ⭐ C'est ce type de comparaison qui a désigné l'eau comme coupable, à une époque où l'on croyait le choléra transmis par l'air.
12. 12. La finale du 100 m a) $P(F\cap M)=P(F)\times P_F(M)=0,4\times 0,3=$$0,12$. b) Les médailles se gagnent en finale : pas de médaille sans finale. Tous les médaillés sont donc finalistes, et $M$ est contenu dans $F$ : $P(M)=P(F\cap M)=$$0,12$. c) $P_M(F)=\frac{P(F\cap M)}{P(M)}=\frac{0,12}{0,12}=$$1$. « Un médaillé est forcément un finaliste. » ⚠️ $P_F(M)=0,3$ mais $P_M(F)=$$1$ : les deux sens n'ont rien à voir.
13. 13. Les prêts immobiliers a) $P_A(K)=\frac{P(A\cap K)}{P(A)}=\frac{0,18}{0,3}=$$0,6$. b) Les autres demandes acceptées : $P(\overline{A}\cap K)=0,72-0,18=$$0,54$. $P_{\overline{A}}(K)=\frac{0,54}{0,7}=\frac{27}{35}\approx$$0,77$. c) « $60$ % des demandes des primo-accédants sont acceptées, contre environ $77$ % pour les autres. » ⭐ Les primo-accédants ont souvent moins d'apport personnel : la banque les accepte moins souvent.

    	Acceptée	Refusée	Total
    Primo	0,18	0,12	0,3
    Autres	0,54	0,16	0,7
    Total	0,72	0,28	1

14. 14. Les incendies de forêt a) $P(S\cap I)=0,4\times 0,5=0,2$ et $P(\overline{S}\cap I)=0,6\times 0,1=$$0,06$. ✔️ $0,2+0,06=$$0,26$ : c'est bien $P(I)$. b) $P_I(S)=\frac{P(S\cap I)}{P(I)}=\frac{0,2}{0,26}=\frac{10}{13}\approx$$0,77$. c) « Un été sur cinq est sec et connaît un grand incendie. » « Parmi les étés à grand incendie, environ $77$ % sont des étés secs. » ⭐ Avec des étés secs plus fréquents, $P(S)$ augmente, et le nombre de grands incendies aussi.
15. 15. La maladie rare a) Malades : $\frac{100000}{1000}=$$100$. Vrais positifs : $0,99\times 100=$$99$. b) Saines : $99900$. Faux positifs : $0,02\times 99900=$$1998$. c) Tests positifs : $99+1998=$$2097$. $P_T(M)=\frac{99}{2097}\approx$$0,05$. Moins d'un test positif sur vingt correspond à un malade. ⛔ Le test est excellent pour $P_M(T)=$$0,99$, et pourtant $P_T(M)$ est minuscule : la maladie est si rare que les faux positifs écrasent les vrais. ⭐ C'est pourquoi on confirme toujours un test positif par un second examen.
16. 16. Les trajets domicile-travail a) $P(N\cap V)=P(N)\times P_N(V)=0,35\times 0,8=$$0,28$. b) $P_V(N)=\frac{P(N\cap V)}{P(V)}=\frac{0,28}{0,6}=\frac{7}{15}\approx$$0,47$. c) « $28$ % des actifs travaillent hors de leur commune ET y vont en voiture. » « Parmi les automobilistes, environ $47$ % sortent de leur commune pour travailler. » ⭐ En géographie, ces allers-retours quotidiens s'appellent des migrations pendulaires : ils dessinent l'aire d'attraction d'une ville.
17. 17. Le test en période d'épidémie a) Malades : $500$, dont $0,8\times 500=400$ positifs. Saines : $9500$, dont $0,02\times 9500=190$ faux positifs. b) Positifs : $400+190=$$590$. $P(T)=\frac{590}{10000}=$$0,059$. $P_T(M)=\frac{400}{590}=\frac{40}{59}\approx$$0,68$. c) Malades : $50$, dont $40$ positifs. Saines : $9950$, dont $0,02\times 9950=199$ faux positifs. $P_T(M)=\frac{40}{40+199}=\frac{40}{239}\approx$$0,17$. d) Non. Pendant l'épidémie, un positif est malade environ $2$ fois sur $3$ ; hors épidémie, environ $1$ fois sur $6$. ⛔ $P_M(T)$ est une qualité du TEST ; $P_T(M)$ dépend AUSSI de la population testée.
18. 18. L'iode radioactif a) $P(S_8)=\frac{500}{1000}=$$0,5$, $P(S_{16})=0,25$ et $P(S_{24})=$$0,125$. b) Un noyau intact au jour $16$ était forcément intact au jour $8$ : une désintégration ne se défait pas. c) $P_{S_8}(S_{16})=\frac{P(S_8\cap S_{16})}{P(S_8)}=\frac{0,25}{0,5}=$$0,5$. $P_{S_{16}}(S_{24})=\frac{0,125}{0,25}=$$0,5$. d) « Parmi les noyaux encore intacts, la moitié le restent $8$ jours de plus », quel que soit leur âge. ⭐ Un noyau ne vieillit pas : ce qui lui est arrivé avant ne change pas son avenir. C'est ce qui définit la demi-vie.
19. 19. Le recrutement a) $P(I\cap E)=0,2\times 0,3=0,06$ et $P(\overline{I}\cap E)=0,8\times 0,05=$$0,04$. b) Ligne Ingénieur : $0,06$ et $0,14$, total $0,2$. Ligne Autre : $0,04$ et $0,76$, total $0,8$. Colonne Embauché : $P(E)=0,06+0,04=$$0,1$. c) $P_E(I)=\frac{0,06}{0,1}=$$0,6$. d) Les deux. Le premier parle de $P_E(I)=$$0,6$ : $60$ % des embauchés sont ingénieurs. Le second de $P_I(E)=$$0,3$. ⭐ Les ingénieurs ne sont que $20$ % des candidats, mais $60$ % des embauchés : leur chance est six fois plus grande ($0,3$ contre $0,05$).

    	Embauché	Pas embauché	Total
    Ingénieur	0,06	0,14	0,2
    Autre	0,04	0,76	0,8
    Total	0,1	0,9	1

20. 20. L'espérance de vie a) Pour atteindre $80$ ans, il faut d'abord avoir atteint $60$ ans : $A_{80}$ est contenu dans $A_{60}$. b) $P_{A_{60}}(A_{80})=\frac{P(A_{80})}{P(A_{60})}=\frac{0,6}{0,9}=\frac{2}{3}\approx$$0,67$. c) $P_{A_{80}}(A_{90})=\frac{0,24}{0,6}=$$0,4$. d) À la naissance, $P(A_{80})=$$0,6$ ; à $60$ ans, la probabilité monte à environ $0,67$. La personne de $60$ ans a déjà « passé » les risques des soixante premières années : on ne compte plus ceux qui sont morts avant. ⭐ C'est pourquoi les démographes calculent aussi une espérance de vie « à $60$ ans » : plus on avance en âge, plus l'âge qu'on peut espérer atteindre recule.