Indépendance de deux évènements : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : indépendance de deux évènements, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. $P_B(A)=0,3=$$P(A)$ : savoir que $B$ est réalisé ne change pas la probabilité de $A$. $A$ et $B$ sont indépendants. $P_C(A)=0,5\ne$$0,3$ : savoir $C$ fait passer la probabilité de $A$ de $0,3$ à $0,5$. $A$ et $C$ ne sont pas indépendants. ⭐ On compare la probabilité « avec l'information » à la probabilité « sans l'information ». Sur le dessin, en pour cent : P(A), puis A sachant B, puis A sachant C.
2. 2. L'indépendance est DONNÉE : on peut utiliser le produit. $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)=0,4\times 0,25=$$0,1$. ⚠️ Sans l'indépendance, ce calcul serait faux : il faudrait $P(A)\times$$P_A(B)$. ⭐ Dans ce tableau, chaque case est le produit de son total de ligne et de son total de colonne : c'est cela, l'indépendance.

   	B	non B	Total
   A	0,1	0,3	0,4
   non A	0,15	0,45	0,6
   Total	0,25	0,75	1

3. 3. On compare $P(A\cap \dots )$ au produit des deux probabilités. a) $P(A)\times P(B)=0,5\times 0,4=$$0,2$, et $P(A\cap B)=$$0,2$. Égalité : $A$ et $B$ sont indépendants. b) $P(A)\times P(D)=0,5\times 0,6=$$0,3$, mais $P(A\cap D)=$$0,2$. $0,3\ne$$0,2$ : $A$ et $D$ ne sont pas indépendants. ⭐ Une justification se termine toujours par une égalité vérifiée… ou refusée.

   	B	non B	Total
   A	0,2	0,3	0,5
   non A	0,2	0,3	0,5
   Total	0,4	0,6	1

4. 4. a) On ne peut pas obtenir $1$ et $6$ sur le même lancer : $P(A\cap B)=$$0$. Ils sont incompatibles. b) $P(A)\times P(B)=\frac{1}{6}\times \frac{1}{6}=$$\frac{1}{36}$, alors que $P(A\cap B)=$$0$. Ils ne sont PAS indépendants. D'ailleurs, savoir que $B$ est arrivé rend $A$ impossible : $P_B(A)=0\ne$$\frac{1}{6}$. ⛔ Incompatibles, c'est très LIÉS : l'un empêche l'autre.
5. 5. Sans information : $P(M)=\frac{60}{200}=$$0,3$. Parmi les élèves nés en été : $P_E(M)=\frac{24}{80}=$$0,3$. $P_E(M)=$$P(M)$ : $E$ et $M$ sont indépendants. ✔️ Avec le produit : $P(E)\times P(M)=0,4\times 0,3=$$0,12$, et $P(E\cap M)=\frac{24}{200}=$$0,12$. ⭐ Sur un tableau, l'indépendance se VOIT : la proportion de musiciens est la même sur chaque ligne ($\frac{24}{80}$ et $\frac{36}{120}$ valent tous deux $0,3$).
6. 6. On calcule $P(B)$ avec les deux chemins : $P(B)=0,6\times 0,3+0,4\times 0,3=0,18+0,12=$$0,3$. Sur la branche, $P_A(B)=$$0,3$. $P_A(B)=$$P(B)$ : $A$ et $B$ sont indépendants. ⭐ Sur un arbre, l'indépendance se VOIT : les branches derrière $A$ et derrière $\overline{A}$ portent les mêmes nombres. Que $A$ arrive ou non, $B$ a la même probabilité.
7. 7. a) Le dé bleu ne « sait » pas ce qu'a fait le dé rouge : les deux lancers sont indépendants. $P(\text{deux }6)=\frac{1}{6}\times \frac{1}{6}=$$\frac{1}{36}$. b) De même : $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=$$\frac{1}{4}$. ⭐ Deux objets physiques séparés, lancés sans lien : c'est l'exemple type de l'indépendance.
8. 8. Incompatibles : $P(A\cap B)=$$0$. S'ils étaient indépendants, on aurait $P(A\cap B)=0,3\times 0,2=$$0,06$. $0\ne$$0,06$ : ils ne sont pas indépendants. ⛔ Deux évènements incompatibles, de probabilités non nulles, ne sont JAMAIS indépendants.

   	B	non B	Total
   A	0	0,3	0,3
   non A	0,2	0,5	0,7
   Total	0,2	0,8	1

9. 9. Les lancers francs a) Derrière $R_1$ comme derrière $\overline{R_1}$, $R_2$ a la probabilité $0,8$. Donc $P(R_2)=0,8\times 0,8+0,2\times 0,8=$$0,8$, et $P_{R_1}(R_2)=0,8=$$P(R_2)$ : indépendants. Réussir ou rater le premier ne change rien au second. b) Par l'indépendance : $P(R_1\cap R_2)=0,8\times 0,8=$$0,64$. ⭐ Dans ce modèle, chaque tir est un nouveau départ : un tir raté ne fait pas rater le suivant.
10. 10. Le circuit en série a) En série, il faut $I$ ET $A$. Par l'indépendance : $P(I\cap A)=0,95\times 0,9=$$0,855$. b) L'évènement contraire : $1-0,855=$$0,145$. ⚠️ Chaque composant est fiable à au moins $90$ %, mais la lampe ne l'est qu'à $85,5$ % : en série, les risques de panne s'accumulent. ⭐ C'est pourquoi un circuit en série est d'autant plus fragile qu'il a de composants.
11. 11. Le vote et la région a) $P(A)=\frac{450}{1000}=$$0,45$. $P_N(A)=\frac{180}{400}=$$0,45$. $P_{\overline{N}}(A)=\frac{270}{600}=$$0,45$. b) $P_N(A)=$$P(A)$ : $N$ et $A$ sont indépendants. ✔️ $P(N)\times P(A)=0,4\times 0,45=0,18$ et $P(N\cap A)=\frac{180}{1000}=$$0,18$. « Dans ce sondage, le vote pour A ne dépend pas de la région : $45$ % au Nord comme au Sud. » ⭐ Une carte électorale de ce pays serait d'une seule couleur pour cette candidate.
12. 12. Le glacier et la météo a) $P(V)=\frac{56}{100}=$$0,56$. Parmi les $60$ jours de beau temps : $P_B(V)=\frac{48}{60}=$$0,8$. b) $P_B(V)=0,8\ne$$0,56$ : savoir qu'il fait beau change la probabilité d'une bonne vente. Ils ne sont pas indépendants. Avec le produit : $P(B)\times P(V)=0,6\times 0,56=$$0,336$, mais $P(B\cap V)=$$0,48$. Pas d'égalité. ⭐ Sans surprise : les ventes de glaces DÉPENDENT de la météo. Le glacier a donc intérêt à regarder les prévisions avant de commander.
13. 13. La forêt et la maladie $C$ et $H$ : un arbre ne peut pas être à la fois un chêne et un hêtre. $P(C\cap H)=$$0$ : incompatibles, donc pas indépendants. $C$ et $M$ : $P(C)\times P(M)=0,4\times 0,1=0,04=P(C\cap$$M)$. Indépendants : les chênes sont malades aussi souvent que les autres arbres. $H$ et $M$ : $P(H)\times P(M)=0,3\times 0,1=$$0,03$, mais $P(H\cap M)=$$0,06$. Ni indépendants, ni incompatibles. $P_H(M)=\frac{0,06}{0,3}=$$0,2$ : les hêtres sont deux fois plus souvent malades que l'ensemble des arbres. ⭐ Trois paires, trois situations : il faut CALCULER à chaque fois.

    	Malade	Sain	Total
    Chêne	0,04	0,36	0,4
    Hêtre	0,06	0,24	0,3
    Autre	0	0,3	0,3
    Total	0,1	0,9	1

14. 14. Deux noyaux de radon a) Par l'indépendance : $P(\text{deux intacts})=0,5\times 0,5=$$0,25$. b) « Au moins un désintégré » est le contraire de « deux intacts » : $1-0,25=$$0,75$. ⭐ Les noyaux ne se « parlent » pas : chacun se désintègre au hasard, sans tenir compte des autres. C'est pourquoi la moitié d'un grand échantillon se désintègre en une demi-vie.
15. 15. Le covoiturage a) On lit $P_V(C)=0,2$ et $P_{\overline{V}}(C)=$$0,2$. Deux chemins : $P(C)=0,7\times 0,2+0,3\times 0,2=0,14+0,06=$$0,2$. b) $P_V(C)=0,2=$$P(C)$ : $V$ et $C$ sont indépendants. « Dans ce département, covoiturer ne dépend pas du lieu de vie. » ⭐ Deux barres de même hauteur : c'est le dessin de l'indépendance.
16. 16. Les registres de mariage a) $P(S)=\frac{280}{400}=$$0,7$. $P_F(S)=\frac{120}{200}=$$0,6$. $P_{\overline{F}}(S)=\frac{160}{200}=$$0,8$. b) $P_F(S)=0,6\ne$$0,7$ : pas indépendants. Avec le produit : $P(F)\times P(S)=0,5\times 0,7=$$0,35$, mais $P(F\cap S)=\frac{120}{400}=$$0,3$. « Dans ce canton, savoir signer dépend du sexe : les femmes signent moins souvent que les hommes. » ⭐ Les lois Ferry de $1881$-$1882$ rendent l'école primaire gratuite, obligatoire et laïque, pour les filles comme pour les garçons.
17. 17. Les détecteurs de fumée a) Un détecteur manque l'incendie avec la probabilité $1-0,9=$$0,1$. Par l'indépendance : $0,1\times 0,1=$$0,01$. b) $1-0,01=$$0,99$. ✔️ Par l'arbre : $0,81+0,09+0,09=$$0,99$. c) Aucun des trois : $0,1\times 0,1\times 0,1=$$0,001$. L'alarme sonne avec la probabilité $1-0,001=$$0,999$. ⭐ En parallèle, la redondance rend le système presque sûr. C'est le contraire du circuit en série de l'exercice 10. ⚠️ Tout repose sur l'indépendance : deux détecteurs branchés sur la même pile tomberaient en panne ensemble.
18. 18. Les deux machines a) $P(P_1\cap P_2)=0,1\times 0,05=$$0,005$. b) Aucune panne : $0,9\times 0,95=$$0,855$. Au moins une : $1-0,855=$$0,145$. c) Deux chemins : $0,1\times 0,95=0,095$ et $0,9\times 0,05=$$0,045$. Exactement une : $0,095+0,045=$$0,14$. ✔️ $0,005+0,14+0,855=$$1$. d) Il a confondu indépendantes et incompatibles. Ne pas pouvoir arriver le même jour, ce serait $P(P_1\cap P_2)=$$0$ ; or elle vaut $0,005$. ⭐ Sur $1000$ jours, les deux machines tombent en panne ensemble environ $5$ jours.
19. 19. Les cadres et la ville a) $P(U)=\frac{600}{1000}=0,6$ et $P(C)=\frac{200}{1000}=$$0,2$. Si indépendants : $P(U\cap C)=0,6\times 0,2=$$0,12$, soit $120$ cadres urbains sur $1000$. b) On en compte $150$, pas $120$ : $U$ et $C$ ne sont pas indépendants. c) $P_U(C)=\frac{150}{600}=0,25$ et $P_{\overline{U}}(C)=\frac{50}{400}=$$0,125$. Un urbain est deux fois plus souvent cadre qu'un rural. ⭐ Les géographes parlent de métropolisation : les emplois les plus qualifiés se concentrent dans les grandes villes.
20. 20. Les pièges photographiques a) $0,3\times 0,4=$$0,12$. b) Aucune photo : $0,7\times 0,6=$$0,42$. Au moins une : $1-0,42=$$0,58$. c) Avec $n$ pièges à $0,3$, aucune photo a la probabilité $0,7^n$. On veut $1-0,7^n>$$0,9$, soit $0,7^n<$$0,1$. À la calculatrice : $0,7^6\approx 0,118$ (trop) et $0,7^7\approx 0,082$ (assez). Il faut $7$ pièges. ⭐ Chaque piège ajoute peu, mais « aucune photo » devient vite rare : c'est la force de l'évènement contraire.