Comparer deux nombres : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : comparer deux nombres, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. On met au même dénominateur, $35$ : $a-b=\frac{15}{35}-\frac{14}{35}=$$\frac{1}{35}$. La différence est positive, donc $a>$$b$ : $\frac{3}{7}>$$\frac{2}{5}$. ⭐ On n'a pas besoin de la valeur exacte de la différence : seul son SIGNE compte.
2. 2. Les deux nombres sont positifs : on peut comparer par le quotient. $\frac{0,6^2}{0,6}=$$0,6$, qui est plus petit que $1$. Donc $0,6^2<$$0,6$. ✔️ Vérification : $0,6^2=$$0,36$. ⚠️ Élever au carré n'agrandit pas toujours : pour un nombre entre $0$ et $1$, le carré est PLUS PETIT que le nombre.
3. 3. Les trois fractions ont le même numérateur, $5$ : on partage $5$ en parts plus ou moins nombreuses. Plus on partage en BEAUCOUP de parts, plus chaque part est petite. Donc $\frac{5}{9}<\frac{5}{7}<$$\frac{5}{6}$. ⚠️ Le piège : croire que $\frac{5}{9}$ est la plus grande « parce que $9$ est le plus grand ».
4. 4. Produits en croix : $7\times 8=56$ et $5\times 12=$$60$. $56<$$60$, donc $\frac{7}{12}<$$\frac{5}{8}$. ✔️ Autre chemin, le même dénominateur $24$ : $\frac{14}{24}$ et $\frac{15}{24}$. ⚠️ On croise : le numérateur de l'une avec le dénominateur de l'AUTRE.
5. 5. Les trois fractions ont le numérateur $1$ : la plus petite a le plus grand dénominateur, c'est $\frac{1}{12}$. Reste à la comparer à $0,1=$$\frac{1}{10}$ : $12>$$10$, donc $\frac{1}{12}<$$\frac{1}{10}$. Le plus petit est $\frac{1}{12}$. L'ordre complet : $\frac{1}{12}<0,1<\frac{1}{9}<$$\frac{1}{8}$. ⭐ Écrire $0,1$ sous la forme $\frac{1}{10}$ ramène tout à la même famille.
6. 6. On factorise la différence : $x^2-x=x(x-$$1)$. $x>$$0$, et $x-1<0$ puisque $x<$$1$. Un produit d'un positif par un négatif est négatif : $x^2-x<$$0$. Donc $x^2<$$x$. ⭐ C'est la règle de l'exercice 2, démontrée pour TOUS les nombres entre $0$ et $1$, et pas seulement pour $0,6$. Sur le dessin : entre $0$ et $1$, la courbe de $x^2$ (orange) passe SOUS la droite $y=x$ (bleue). Après $1$, c'est l'inverse.
7. 7. Tout sur $12$ : $A=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$ et $B=\frac{6}{12}+\frac{1}{12}=$$\frac{7}{12}$. $A-B=$$0$ : les deux nombres sont ÉGAUX. ⚠️ Une comparaison a trois réponses possibles : plus grand, plus petit… ou égal.
8. 8. On écrit tout avec la même base : $9=$$3^2$, donc $b=(3^2{)}^9=$$3^{18}$. Quotient : $\frac{a}{b}=\frac{3^{20}}{3^{18}}=3^2=$$9$. $9>$$1$, donc $a>$$b$ : $a$ vaut même $9$ fois $b$. ⚠️ $9^9$ n'est pas « plus grand parce que $9>$$3$ » : l'exposant compte autant que la base.
9. 9. Le prix au kilo On compare les prix AU KILO, pas les prix des paquets. Le paquet de $1$ kg : $5,80$ € le kilo. Le paquet de $750$ g $=0,75$ kg : $\frac{4,50}{0,75}=6$ € le kilo (car $0,75\times 6=$$4,50$). $5,80<$$6$ : le paquet de $1$ kg est le plus avantageux. ⚠️ Le petit paquet est moins CHER, mais pas moins CHER AU KILO. C'est l'argument de nombreuses promotions.
10. 10. Deux villes qui grandissent a) On compare des GAINS : des différences. $A$ gagne $10000$ habitants, $B$ en gagne $30000$. C'est $B$. b) « Grandir vite » se mesure par rapport à la taille de départ : des quotients. $A$ : $\frac{50000}{40000}=\frac{5}{4}=$$1,25$, soit $+25$ %. $B$ : $\frac{180000}{150000}=\frac{6}{5}=$$1,2$, soit $+20$ %. $A$ a grandi le plus vite. ⭐ Les deux réponses sont différentes, et toutes deux justes : tout dépend de la question.
11. 11. On écrit $0,67=$$\frac{67}{100}$, puis on calcule la différence sur $300$ : $0,67-\frac{2}{3}=\frac{201}{300}-\frac{200}{300}=$$\frac{1}{300}$. Elle est positive : $0,67>$$\frac{2}{3}$. ⚠️ $\frac{2}{3}=$$0,666\dots$ : $0,67$ en est une valeur ARRONDIE, légèrement trop grande. Un arrondi n'est pas une égalité.
12. 12. Différence sur le dénominateur commun $1000\times$$1001$ : $A-B=$$\frac{999\times 1001-1000\times 1000}{1000\times 1001}$. Astuce : $999\times 1001=(1000-1)(1000+1)=1000^2-$$1$. Le numérateur vaut donc $1000^2-1-1000^2=$$-1$ : $A-B<$$0$, et $A<$$B$. ⭐ Il manque $\frac{1}{1000}$ à $A$ pour faire $1$, et seulement $\frac{1}{1001}$ à $B$ : $B$ est plus près de $1$.
13. 13. Qui est le plus densément peuplé ? Sans calcul : l'Allemagne a PLUS d'habitants sur MOINS de surface. Son quotient « habitants ÷ surface » a un plus grand numérateur et un plus petit dénominateur : il est forcément plus grand. Les densités : France $\frac{66000000}{550000}=\frac{6600}{55}=120$ habitants par km². Allemagne $\frac{84000000}{357000}\approx 235$ habitants par km². L'Allemagne est environ deux fois plus densément peuplée. ⭐ Comparer deux quotients sans les calculer : c'est souvent possible, et c'est exactement ce qu'on attend d'un automatisme.
14. 14. On compare $\frac{18}{30}$ et $\frac{14}{25}$. $\frac{18}{30}=\frac{3}{5}=$$\frac{15}{25}$. Comme $\frac{15}{25}>$$\frac{14}{25}$, la proportion est plus grande dans la classe $A$. En pourcentages : $60$ % contre $56$ %. ⚠️ Comparer $18$ et $14$ ne suffit pas : les classes n'ont pas le même effectif.
15. 15. Les grains de riz Un milliard, c'est $10^9=(10^3{)}^3=$$1000^3$. Et $2^{30}=(2^{10}{)}^3=$$1024^3$. $1024>$$1000$, donc $1024^3>$$1000^3$ : $2^{30}>$$10^9$. Oui : le total dépasse un milliard de grains, en un mois seulement. ⭐ Doubler à chaque étape fait exploser les nombres : c'est la croissance exponentielle, qu'on retrouvera dans l'année.
16. 16. Deux forfaits Prix de $A$ : $20+$$0,1x$. Prix de $B$ : $30$. On étudie le signe de la différence : $(20+0,1x)-30=0,1x-$$10$. $0,1x-10<0$ quand $x<$$100$ : $A$ est alors moins cher. $0,1x-10>0$ quand $x>$$100$ : $B$ est moins cher. Pour exactement $100$ minutes, les deux coûtent $30$ €. ⭐ La réponse n'est pas un forfait, c'est une RÈGLE : « moins de $100$ minutes, prendre $A$ ».

    minutes	50	100	150
    écart A − B (€)	−5	0	5

17. 17. Deux placements a) $+3$ % revient à multiplier par $1,03$, deux fois : $1,03^2=$$1,0609$. Avec $B$ : $\times 1,06$. b) $\frac{1,0609}{1,06}>1$ puisque $1,0609>$$1,06$ : $A$ est meilleur. Pour $10000$ € : $A$ donne $10609$ €, $B$ donne $10600$ €. L'écart est de $9$ €. ⭐ La deuxième année, les $3$ % s'appliquent aussi aux intérêts de la première : ce sont les intérêts composés. ⚠️ $3$ % puis $3$ %, ce n'est pas $6$ % : c'est un peu plus.
18. 18. Deux géants démographiques a) $1430-1410=20$ millions d'habitants : presque un tiers de la France. b) $\frac{1430}{1410}\approx$$1,014$ : $A$ a environ $1,4$ % d'habitants en plus. c) Les deux, chacun avec son outil. En DIFFÉRENCE, l'écart est énorme ($20$ millions). En QUOTIENT, il est minuscule ($1,4$ %). ⭐ Pour juger de la taille d'un écart, on le rapporte à la taille des nombres comparés. $20$ millions, c'est beaucoup pour un village, et peu pour un pays de $1,4$ milliard. Sur le diagramme, les deux barres ont presque la même hauteur : c'est le point de vue du quotient.
19. 19. Le budget d'une commune a) Tout sur $20$ : $\frac{2}{5}=$$\frac{8}{20}$, $\frac{1}{4}=$$\frac{5}{20}$, $\frac{3}{10}=$$\frac{6}{20}$. Donc écoles ($\frac{8}{20}$) $>$ services sociaux ($\frac{6}{20}$) $>$ routes ($\frac{5}{20}$). b) $\frac{8}{20}+\frac{5}{20}+\frac{6}{20}=$$\frac{19}{20}$. Il reste $1-\frac{19}{20}=\frac{1}{20}$ pour la culture. c) $\frac{1}{20}$ de $2$ millions : $2000000÷20=100000$ euros. ⭐ Le dénominateur commun $20$ a servi trois fois : pour ranger, pour additionner, pour trouver le reste.
20. 20. Deux remises a) À $100$ € : $A$ fait payer $80$ €, $B$ fait payer $85$ € : $A$ est meilleure. À $200$ € : $A$ fait payer $180$ €, $B$ fait payer $170$ € : $B$ est meilleure. b) Avec $A$ : $x-$$20$. Avec $B$ : $0,85x$ (on garde $85$ % du prix). c) $(x-20)-0,85x=0,15x-$$20$. Elle est négative quand $0,15x<$$20$, soit $x<\frac{20}{0,15}\approx$$133,33$. Pour un prix inférieur à environ $133$ €, la remise $A$ fait payer moins : elle est la meilleure. Au-delà, c'est $B$. ⭐ Une remise fixe avantage les petits prix, une remise en pourcentage les gros.

    prix de départ (€)	100	133	200
    payé avec A − payé avec B (€)	−5	≈ 0	10